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7.2.2　同角三角函数关系
基础过关练
题组一　同角三角函数关系的简单应用
1.(2025江苏无锡市北高级中学月考)已知sin α=,α∈,则tan α=(　　)
A.　　　　B.-　　　　C.　　　　D.-
2.(2025山东菏泽第一中学质量检测)已知tan α=-2,且0<α<π,则cos α-sin α的值为(　　)
A.-　　　　B.-　　　　C.-　　　　D.
3.已知sin α=,cos α=-,且α为第二象限角,则tan α=　　　　.
题组二　利用sin α±cos α与sin αcos α之间的关系求值
4.(2026江苏无锡第一中学质量检测)已知sin x·cos x=且A.　　　　B.-　　　　C.　　　　D.-
5.(2026江苏苏州中学质量评估)已知α∈(0,π),且sin α-cos α=,则tan α=(　　)
A.　　　　B.-　　　　C.　　　　D.-
6.(2025广东汕头期末)已知sin α+cos α=,α∈,则=(　　)
A.　　　　B.-　　　　C.　　　　D.-
题组三　齐次式的求值问题
7.(2025湖南岳阳第一中学月考)已知2sin θ-cos θ=0,则=(　　)
A.1　　　　B.　　　　C.2　　　　D.3
8.(2026江苏扬州大学附属中学月考)已知tan α=,且α为第三象限角,则tan α=(　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.-2或3　　　　D.2或-3
9.已知cos α-sin α=2sin αtan α,其中α为第一象限角,则tan α=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.1　　　　D.2
10.(2026江苏盐城中学质量检测)已知sin α-3cos α=0,则=　　　　.
题组四　利用同角三角函数关系式化简与证明
11.(2026江苏苏州星海实验高级中学调研)已知sin θ+sin2θ=1,则cos2θ+cos4θ的值是(　　)
A.1　　　　B.　　　　C.　　　　D.
12.求证:sin θ(1+tan θ)+cos θ=+.
能力提升练
题组一　利用同角三角函数关系式求值
1.(2025江苏盐城射阳中学检测)已知=-,则=(　　)
A.　　　　B.-　　　　C.　　　　D.-
2.(2026江苏常州高级中学检测)若钝角α满足=2,则cos α=(　　)
A.-　　　　B.-　　　　C.-　　　　D.-
3.(2025江苏连云港期中)已知α,β∈,sin α,sin β为方程4x2+2x-1=0的两个根,则tan αtan β=(　　)
A.-　　　　B.-　　　　C.-　　　　D.-
4.(创新题·新考法)(2026江苏南京调研)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,如星形线等.某星形线如图所示,已知该曲线上一点P(x0,y0)的坐标可以表示为(acos3θ,asin3θ)(a>0),若x0y0=,且x0+y0=,则实数a=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.2　　　　D.
5.(2026江苏宿迁检测)已知θ∈,sin θ-cos θ=,则sin3θ+cos3θ=　　　　.
题组二　齐次式的求值问题
6.(2026江苏南通海门中学月考)已知=3,则sin2α-3sin αcos α=(　　)
A.-2　　　　B.2　　　　C.0　　　　D.-
7.已知sin α+2cos α=,则=(　　)
A.-3　　　　B.-　　　　C.-　　　　D.
8.(易错题)(2026江苏常州前黄高级中学期中)已知θ为△ABC的一个内角,若=,则tan θ=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
题组三　利用同角三角函数关系式化简与证明
9.若π<α<,则+的化简结果是(　　)
A.　　　　B.-　　　　C.　　　　D.-
10.(2025湖北荆州中学月考)化简:=　　　　.
11.(1)证明:-=;
(2)已知tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β=2sin2α-1.
答案与分层梯度式解析
第7章　三角函数
7.2　三角函数概念
7.2.2　同角三角函数关系
基础过关练
1.B 2.A 4.B 5.C 6.A
7.D 8.A 9.B 11.A
1.B　∵sin α=,α∈,∴cos α=-=-,∴tan α==-.
2.A　因为tan α=-2,且0<α<π,
所以α∈.
又tan α==-2,sin2α+cos2α=1,
所以sin α=,cos α=-.
则cos α-sin α=--=-.
3.答案　-
解析　∵α为第二象限角,
∴
解得m<-1或m>.
∵sin2α+cos2α==1,即(2m-5)2+m2=(m+1)2,∴2m2-11m+12=0,解得m=(舍去)或m=4,∴sin α=,cos α=-,
∴tan α==-.
4.B　因为因为sin x·cos x=,所以(cos x-sin x)2=cos2x-2sin xcos x+sin2x=1-2×=,所以cos x-sin x=-.
5.C　因为sin α-cos α=①,所以(sin α-cos α)2=,即1-2sin αcos α=,
所以2sin αcos α=>0.又α∈(0,π),所以sin α>0,cos α>0,所以sin α+cos α==②.
联立①②,得sin α=,cos α=,所以tan α=.
6.A　由sin α+cos α=两边平方得sin2α+2sin αcos α+cos2α=,即sin αcos α=-<0,又α∈,故sin α>0,cos α<0.所以cos α-sin α<0,而(cos α+sin α)2+(cos α-sin α)2=2,解得cos α-sin α=-,所以====.
7.D　由题意可得tan θ=,
则==3.
8.A　易知tan α===,整理,得tan2α+tan α-6=0,解得tan α=2或tan α=-3.
因为α为第三象限角,所以tan α>0,
所以tan α=2.
9.B　由α为第一象限角得,cos α>0,tan α>0,
因为cos α-sin α=2sin αtan α,所以1-tan α=2tan2α,即2tan2α+tan α-1=0,解得tan α=或tan α=-1(舍去).
10.答案　2
解析　因为sin α-3cos α=0,
所以tan α=3,
所以
====2.
11.A　由sin θ+sin2θ=1得sin θ=1-sin2θ=cos2θ,所以cos2θ+cos4θ=sin θ+sin2θ=1.
12.证明　左边=sin θ+cos θ·=sin θ++cos θ+=+=+=右边,所以原等式成立.
能力提升练
1.A 2.C 3.D 4.D 6.D
7.C 8.B 9.D
1.A　易得·===-1.又=-,所以=.
2.C　因为=2,所以1+sin α-cos α=2(1+sin α+cos α),
所以sin α=-1-3cos α,所以sin2α=(-1-3cos α)2,即1-cos2α=9cos2α+6cos α+1,
所以2cos α(5cos α+3)=0,解得cos α=0或cos α=-.
又α为钝角,所以cos α=-.
3.D　因为sin α,sin β是方程4x2+2x-1=0的两个根,所以sin α+sin β=-<0,sin αsin β=-<0.
又α,β∈,
所以cos α>0,cos β>0,
所以cos αcos β=
=
=
==,
所以tan αtan β===-.
4.D　∵x0y0=,x0+y0=,∴x0>0,y0>0.
由题知x0=acos3θ,y0=asin3θ,
又a>0,∴cos θ>0,sin θ>0.
∵x0y0=,∴acos3θ·asin3θ=,∴sin θcos θ=,∴(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=1+=,
∴sin θ+cos θ=,
∴x0+y0=acos3θ+asin3θ=a(sin θ+cos θ)·(1-sin θcos θ)=a××=,
解得a=.
5.答案　-
解析　因为sin θ-cos θ=,所以(sin θ-cos θ)2=,即1-2sin θcos θ=,所以
sin θcos θ=-,所以(sin θ+cos θ)2=.
结合单位圆和三角函数线可知,当θ∈时,sin θ>0,cos θ<0,且|cos θ|>|sin θ|,所以sin θ+cos θ<0,所以sin θ+cos θ=-,所以sin3θ+cos3θ=(sin θ+cos θ)(sin2θ-sin θcos θ+cos2θ)=-×=-.
6.D　由=3,得=3,
解得tan α=2,
所以sin2α-3sin αcos α
==
==-.
7.C　因为sin α+2cos α=,
所以(sin α+2cos α)2=,
即sin2α+4sin αcos α+4cos2α=,
即=,
所以=,
即3tan2α-8tan α-3=0,
解得tan α=3或tan α=-.
因为=,
所以当tan α=3时,原式=-;
当tan α=-时,原式=-.
综上,=-.
8.B　由=,得1-tan θ=sin θ,
所以(1-tan θ)2=3sin2θ==,整理得tan4θ-2tan3θ-tan2θ-2tan θ+1=0,即tan2θ+-2-1=0,所以-2-3=0,解得tan θ+=3或tan θ+=-1(无解,舍去),所以tan2θ-3tan θ+1=0,解得tan θ=或tan θ=.
因为θ为△ABC的一个内角,
所以sin θ>0.
又=,所以tan θ<1,(易错点:不要忽略隐含的三角函数的范围)
所以tan θ=.
9.D　+
=
+
=+,
因为π<α<,
所以cos α<0,1+sin α>0,1-sin α>0,
故原式=+
=--=-.
10.答案　
解析　原式=
=
=
=
==.
11.证明　(1)左边
=
=
=
=
==右边,
所以原等式成立.
(2)因为tan2α=2tan2β+1,
所以tan2α+1=2tan2β+2,
所以+1=2,
所以+1=2,
所以=,所以cos2β=2cos2α,
所以1-sin2β=2(1-sin2α),即sin2β=2sin2α-1.

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