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7.2.3　三角函数的诱导公式
基础过关练
题组一　利用诱导公式解决给角求值问题
1.(2025江苏南京第一中学月考)sin-cos+tan=(　　)
A.+1　　　　B.1　　　　C.-1　　　　D.-+1
2.(2026湖南长沙麓山共同体学校检测)在平面直角坐标系中,若锐角α的终边经过点P,则sin=(　　)
A.-　　　　B.-　　　　C.　　　　D.
3.(创新题·新考法)(2025山东济南检测)英国数学家泰勒发现了公式cos x=1-+-+…+(-1)n-1·+…,其中n∈N*,x∈R.若T=1-+-+…+(-1)n-1+…,其中n!=1×2×3×…×n,0!=1,则下列选项中与T的值最接近的是(　　)
A.-sin 8°　　　　B.-sin 18°
C.-cos 8°　　　　D.-cos 18°
4.设a=sin(-870°),b=tan,c=lg,则(　　)
A.a题组二　利用诱导公式解决条件求值问题
5.(教材习题改编)(多选题)已知sin α=,α∈,则(　　)
A.sin(π-α)=　 　B.tan(π+α)=-
C.sin=-　　D.cos=-
6.(2026江苏无锡锡山高级中学检测)已知sin=,则cos=(　　)
A.-　　　　B.　　　　C.　　　　D.±
7.(2025江苏徐州铜山月考)已知cos(75°+α)=,则sin(195°-α)+cos(105°-α)=　　　　.
8.(2026江苏丹阳高级中学检测)已知cos(75°+α)=,且α为锐角,则cos(15°-α)=　　　　.
题组三　利用诱导公式解决恒等变形
9.(多选题)(2026江苏南京第一中学检测)已知角α和β的终边关于x轴对称,则(　　)
A.sin α=-sin β　　　　B.tan α=tan β
C.sin=cos β　　　　D.cos(π-α)=cos β
10.(2026江苏盐城中学质量检测)已知f(α)=.
(1)若角α的终边过点P(5,-12),求f(α)的值;
(2)若f(α)- f=,且α∈,求tan α的值.
能力提升练
题组一　利用诱导公式解决条件求值问题
1.(2025江苏苏州吴江中学质检)若tan(π+α)=2,则sin2-4sin(π-α)cos(-α)=(　　)
A.-　　　　B.　　　　C.-　　　　D.
2.已知3sin=-5cos,则tan=(　　)
A.-　　　　B.-　　　　C.　　　　D.
3.(2026江苏盐城中学质量检测)若sin=,x∈,则cos+cos=　　　　.
4.(2025江苏无锡江阴第二中学月考)在单位圆中,锐角α的终边与单位圆O相交于点P,将射线OP绕点O按逆时针方向旋转θ后与单位圆相交于点B,其中θ∈.
(1)求的值;　　
(2)记点B的横坐标为f(θ),若f =,求cos+cos的值.
题组二　利用诱导公式解决恒等变形问题
5.(多选题)(2026江苏丹阳马相伯高级中学质量检测)若角A,B,C是△ABC的三个内角,则下列结论中一定成立的是(　　)
A.sin(A+B)=sin C　　　　B.cos(B+C)=cos A
C.tan=tan B　　　　D.sin2+sin2=1
6.化简:=　　　　.
7.(2025江苏盐城检测)若sin θ,cos θ是关于x的方程x2-ax+a=0的两个根,则cos+sin=　　　　.
8.(1)设tan=m,求证:
=;
(2)求证:sin=cos2nπ+(-1)n·(n∈Z).
答案与分层梯度式解析
第7章　三角函数
7.2　三角函数概念
7.2.3　三角函数的诱导公式
基础过关练
1.A 2.C 3.C 4.C 5.AC
6.B 9.AC
1.A　原式=sin-cos+tan=sin+sin+tan=+1.
2.C　由三角函数的概念,得sin α=cos=cos=cos=,
又α为锐角,所以α=,
所以sin=sin=sinπ=sin=sin=.
3.C　对于cos x=1-+-+…+(-1)n-1+…,
令x=3,得cos 3=1-+-+…+(-1)n-1·+…,
所以T=cos 3=cos≈cos 172°=-cos 8°.
4.C　a=sin(-870°)=-sin 870°=-sin(2×360°+150°)=-sin 150°=-sin(180°-30°)=-sin 30°=-,
b=tan=tan
=tan=-tan=-1,
因为lg即-1所以-15.AC　因为sin α=,α∈,
所以cos α=-,所以tan α=-.
对于A,sin(π-α)=sin α=,故A正确.
对于B,tan(π+α)=tan α=-,故B错误.
对于C,sin=cos α=-,故C正确.
对于D,cos=-sin α=-,故D错误.
6.B　cos=sin=sin=.
解题模板
解决条件求值问题的关键是找到已知角与待求角之间的关系,结合诱导公式进行转化求值.
7.答案　-
解析　因为cos(75°+α)=,
所以sin(195°-α)+cos(105°-α)
=sin[270°-(75°+α)]+cos[180°-(75°+α)]
=-cos(75°+α)-cos(75°+α)
=-2cos(75°+α)=-2×=-.
8.答案　
解析　因为(75°+α)+(15°-α)=90°,
所以sin(15°-α)=cos(75°+α)=,
由题意知0°<α<90°,
所以-75°<15°-α<15°,
所以cos(15°-α)===.
9.AC　因为角α和β的终边关于x轴对称,所以α=-β+2kπ,k∈Z.
对于A,sin α=sin(-β+2kπ)=-sin β,k∈Z,所以A正确;
对于B,tan α=tan(-β+2kπ)=tan(-β)=-tan β,k∈Z,所以B错误;
对于C,sin=cos α=cos(-β+2kπ)=cos(-β)=cos β,k∈Z,所以C正确;
对于D,cos(π-α)=-cos α=-cos(-β+2kπ)=-cos β,k∈Z,所以D错误.
10.解析　原式==sin α.
(1)因为角α的终边过点P(5,-12),
所以sin α==-,
所以f(α)=sin α=-.
(2)因为f(α)-f=,
所以sin α-sin=,
即sin α+cos α=.
解法一:易得(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=,所以sin αcos α=-.
又α∈,所以sin α>0,cos α<0,所以sin α-cos α==.
联立
得
所以tan α==-.
解法二:联立
得或
又因为α∈,
所以
所以tan α==-.
能力提升练
1.C　因为tan(π+α)=2,
所以tan α=2.
sin2-4sin(π-α)cos(-α)=cos2α-4sin αcos α====-.
2.C　易知3sin=3sin3π+=-3sin,
所以-3sin=-5cos,
所以tan=.
所以tan=tan
===.
3.答案　
解析　因为x∈,
所以x+∈,
又sin=>0,且不等于1,
所以x+∈,
所以cos=-=-=-.故cos+cos=cos+cos=sin-cos=-=.
4.解析　(1)因为点P在单位圆上,α为锐角,所以m=,所以cos α=.
==2cos α=1.
(2)由(1)知cos α=.
又α为锐角,所以α=∠xOP=.
由三角函数的概念得f(θ)=cos,
所以f =cos=>0,
因为θ∈,
所以θ+∈,
所以sin=,
所以cos+cos
=cos+cos
=sin-cos=.
5.AD　由题意得A+B+C=π,
所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,cos(B+C)=cos(π-A)=-cos A,tan=tan===,sin2+sin2=sin2-+sin2=cos2+sin2=1,故A,D正确,B,C错误.
6.答案　-1
解析　原式=
=
=
=
==-1.
7.答案　-1
解析　由题意得Δ=a2-4a≥0,则a≤0或a≥4,由根与系数的关系得又(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,所以a2=1+2a,解得a=1-或a=1+(舍去),则sin θ+cos θ=1-,
所以cos+sin
=cos+sin
=cos-sin
=-sin θ-cos θ=-(sin θ+cos θ)=-1.
8.证明　(1)左边=
=
===右边,
所以原等式成立.
(2)①当n=2k,k∈Z时,
左边=sin=sin=,
右边=cos=cos=,
左边=右边,则原等式成立;
②当n=2k+1,k∈Z时,
左边=sin
=sin=sin=,
右边=cos=cos=cos=,
左边=右边,则原等式成立.
综上,sin
=cos(n∈Z).

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