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第2课时　正切函数的图象与性质
基础过关练
题组一　正切(型)函数的图象及其应用
1.(2025安徽淮南二中月考)与函数y=tan2x+的图象不相交的一条直线可能是(　　)
A.x=　　　　B.x=　　　　
C.x=　　　　D.x=
2.(2025广东深圳龙城高级中学期中)在区间内,函数y=tan πx和y=4x的图象交点间的线段长的最大值为(　　)
A.　　　　B.　　　　
C.　　　　D.4
3.(2025河北承德部分学校联考)已知函数f(x)=tan(ω>0)的最小正周期为2π,则不等式f(x)>的解集为(　　)
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
题组二　正切(型)函数的性质
4.(2025四川乐山期中)已知x∈,则函数f(x)=的值域是(　　)
A.　　　　　　B.(0,3]　　　　
C.　　　　D.[3,+∞)
5.(2026江苏五市十一校联考)已知点(a,b)是函数y=2tan-1的图象的一个对称中心,则a+b的值可以是(　　)
A.-　　　　B.　　　　C.　　　　D.
6.(多选题)(2026江苏南京临江高级中学检测)已知函数f(x)=tan,则(　　)
A.f(x)在定义域内是增函数
B.f(x)的最小正周期为
C.直线x=是y=|f(x)|图象的一条对称轴
D.是f(x)图象的一个对称中心
7.(多选题)(2025江苏百校联考)已知函数f(x)=tan(ω>0)的图象的相邻两个对称中心之间的距离为,则(　　)
A.ω=4
B. f(x)的最小正周期为
C. f(x)的图象的一条渐近线为直线x=
D. f(x)的单调递增区间为-+,+(k∈Z)
8.(2026江苏苏州实验中学调研)已知函数f(x)=tan(2x+φ)在区间上单调递增,则φ的最大值为(　　)
A.-　　　　B.-　　　　C.　　　　D.
9.(2026天津第九十五中学质量监测)函数y=的定义域为　　　　.
能力提升练
题组　正切(型)函数的图象及性质
1.(2025河南许昌高级中学月考)已知函数f(x)=tan(ω>0),若方程f(x)=1在区间(0,π)上恰有3个实数根,则ω的取值范围是(　　)
A.(2,3]　　　　B.[2,3)　　　　C.(3,4]　　　　D.[3,4)
2.(2025江苏盐城检测)若函数f(x)=tan(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的图象与直线y=a的两个相邻交点之间的距离为,且 f为奇函数,则φ的最小值为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
3.已知函数f(x)=-,若a=tan 171°,b=tan 188°,c=tan 365°,则　　(　　)
A.f(a)C.f(b)4.(多选题)(2026江苏高邮三垛中学检测)已知函数f(x)=tan x+|tan x|,则下列结论中正确的是(　　)
A. f(x)的最小正周期为
B. f(x)图象的一个对称中心是
C. f(x)的值域为[0,+∞)
D.不等式f(x)>2的解集为+kπ,+kπ(k∈Z)
5.(2026重庆期末)若函数f(x)=tan与函数g(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象的对称中心完全一致,则φ=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
6.(2025陕西西安铁一中学月考)已知函数f(x)=a-tan 2x在闭区间上的最大值为7,最小值为3,则ab=　　　　.
7.(2025云南宣威检测)已知函数f(x)=tan(ω>0)在区间上有定义,且其图象在区间(0,π)上至少有两个对称中心,则ω的取值范围为　　　　.
8.(2025四川成都石室中学月考)已知函数f(x)=tan(ωx+φ)图象的相邻两个对称中心的距离为,且f(1)=-,则函数y=f(x)的图象与函数y=(-2 0199.已知函数f(x)=x2+2xtan θ-1,其中θ≠+kπ,k∈Z.
(1)当θ=-,x∈[-1,]时,求函数f(x)的最大值与最小值;
(2)若函数g(x)=为奇函数,求θ的值;
(3)求使y=f(x)在区间[-1,]上单调的θ的取值范围.
答案与分层梯度式解析
第7章　三角函数
7.3　三角函数的图象和性质
7.3.2　三角函数的图象与性质
第2课时　正切函数的图象与性质
基础过关练
1.B 2.A 3.A 4.C 5.A
6.BD 7.BC 8.B
1.B　令2x+≠+kπ,k∈Z,得x≠+,k∈Z,当k=0时,x≠,∴与函数y=tan的图象不相交的一条直线可能是x=.
2.A　在同一平面直角坐标系中作出函数y=tan πx和y=4x的部分图象,如图所示.
令tan πx=4x,x∈,得x=0或x=或x=-.
不妨设A,B,
则|AB|==,
故交点间的线段长的最大值为.
3.A　由题意得=2π,解得ω=,
所以f(x)=tan.
令tan>,得kπ+4.C　令t=tan x,因为t=tan x在x∈上单调递增,且tan=1,所以t=tan x∈(-∞,1],
又y=单调递减,且t∈(-∞,1],
所以y=∈,即f(x)的值域是.
5.A　易知正切函数y=tan x图象的对称中心为,k∈Z,所以+=,k∈Z,解得a=,k∈Z,此时y=-1,即b=-1,所以a+b=-1=,k∈Z.
当k=1时,a+b==-.
6.BD　对于A,正切函数在整个定义域内不具有单调性,故A错误.
对于B, f(x)的最小正周期T=,故B正确.
对于C,易知函数y=|tan x|的图象的对称轴方程为x=(k∈Z),
令2x+=(k∈Z),得x=-(k∈Z),令-=,得k= Z,
所以直线x=不是y=|f(x)|图象的一条对称轴,故C错误.
对于D,令2x+=(k∈Z),得x=-(k∈Z),令-=,得k=4,所以是f(x)图象的一个对称中心,故D正确.
7.BC　对于A,B,因为函数f(x)=tan(ω>0)的图象的相邻两个对称中心之间的距离为,所以该函数的最小正周期T=,所以ω==2,A错误,B正确;
对于C,由以上分析得f(x)=tan,当x=时,2x-=-=,所以f(x)的图象的一条渐近线为直线x=,C正确;
对于D,令kπ-<2x-所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z),D错误.
8.B　当x∈时,φ<2x+φ<+φ.
因为f(x)在上单调递增,所以-+kπ≤φ<+φ≤+kπ,k∈Z,解得-+kπ≤φ≤-+kπ,k∈Z.
又|φ|<,所以-<φ≤-,所以φ的最大值为-.
9.答案　,k∈Z
解析　要使函数有意义,需满足1-tan≥0,即tan≤1,
所以kπ-能力提升练
1.C 2.A 3.A 4.CD 5.B
1.C　令t=ωx+,当x∈(0,π)时,t∈,则由题意可得tan t-1=0在t∈上有3个实数根,所以+3π<ωπ+≤+4π,解得3<ω≤4,即ω的取值范围是(3,4].
2.A　因为函数f(x)的图象与直线y=a的两个相邻交点之间的距离为,
所以f(x)的最小正周期T=,
所以ω=3,所以f(x)=tan(3x+φ),
所以 f=tan.
因为 f为奇函数且φ>0,所以φ+=(k∈N*),解得φ=-+(k∈N*),所以φ的最小值为.
3.A　f(x)=-=-(e2x+e-2x),其定义域为R,关于原点对称,
又f(-x)=-(e-2x+e2x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数.
令t=x2+1,其在(0,+∞)上单调递增,
又y=在(0,+∞)上单调递减,所以函数y=在(0,+∞)上单调递减.
令u=e2x,易知其在(0,+∞)上单调递增,
当x∈(0,+∞)时,u∈(1,+∞),
易知函数y=u+在(1,+∞)上单调递增,所以函数y=e2x+e-2x在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)=-(e2x+e-2x)在(0,+∞)上单调递减.
f(a)=f(tan 171°)=f(-tan 9°)=f(tan 9°),
f(b)=f(tan 188°)=f(tan 8°),
f(c)=f(tan 365°)=f(tan 5°),
因为tan 5°所以f(a)4.CD　f(x)=tan x+|tan x|
=
作出f(x)的图象,如图所示.
由图可知f(x)的最小正周期为π,A错误; f(x)的图象没有对称中心,B错误; f(x)的值域为[0,+∞),C正确;当x∈(k∈Z)时,令2tan x>2,得tan x>1,解得+kπ2的解集为+kπ,+kπ(k∈Z),D正确.
5.B　易知函数y=sin x,y=tan x的图象的相邻对称中心之间的距离都是最小正周期的一半,
因为函数f(x)=tan与函数g(x)=sin(ωx+φ)的图象的对称中心完全一致,所以函数f(x)与g(x)的周期相等.
易知函数f(x)的最小正周期T=π,所以=π,解得ω=2,所以g(x)=sin(2x+φ).令x+=(k1∈Z)易错点:y=tan x的图象的对称中心为点(k∈Z),而非点(kπ,0)(k∈Z),得x=-+(k1∈Z).
令2x+φ=k2π(k2∈Z),得x=-+(k2∈Z).所以-+=-+(k1,k2∈Z),解得φ=+(k2-k1)π(k1,k2∈Z),又0<φ<π,所以φ=.
6.答案　
解析　令-<2x<,解得-所以y=tan 2x在上单调递增,
所以f(x)=a-tan 2x在上单调递减,又f(x)在闭区间上的最大值为 7,最小值为 3,所以-即
解得
又-故ab=.
7.答案　
解析　当x∈且ω>0时,ωx+∈,
由函数f(x)=tan(ω>0)在区间上有定义,
得所以0<ω≤1.
令ωx+=,k∈Z,
得x=,k∈Z.
f(x)的图象在区间(0,π)上至少有两个对称中心,则至少存在两个k值,使0<3k-2<6ω,k∈Z,故至少有k=1,2两个取值,所以ω>.
综上,ω的取值范围为.
8.答案　2 696
解析　因为f(x)图象的相邻两个对称中心的距离为,所以f(x)的最小正周期为3,即=3,解得ω=,所以f(x)=tan.又f(1)=-,所以tan=-,所以+φ=+kπ,k∈Z.又0<φ<,所以φ=,
所以f(x)=tan.
易得f(2)=0,所以f(x)的图象关于点(2,0)中心对称.
显然y=的图象也关于点(2,0)中心对称.
在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)和y=的部分图象,如图所示.
当-2 0199.解析　(1)当θ=-时, f(x)=x2-x-1=-.
又x∈[-1,],且f(x)的图象开口向上,∴当x=时, f(x)min=-;
当x=-1时, f(x)max=.
(2)由题可知g(x)=x-+2tan θ,
∵g(x)为奇函数,∴g(-x)+g(x)=-x++2tan θ+x-+2tan θ=4tan θ=0,
∴tan θ=0,∴θ=kπ,k∈Z.
(3)函数f(x)的图象的对称轴为直线x=-tan θ.
∵f(x)在区间[-1,]上单调,
∴-tan θ≥或-tan θ≤-1,
即tan θ≤-或tan θ≥1,
∴-+kπ<θ≤-+kπ或+kπ≤θ<+kπ,k∈Z,故θ的取值范围是-+kπ,-+kπ∪+kπ,+kπ,k∈Z.

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