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7.3.3　函数y=Asin(ωx+φ)
基础过关练
题组一　三角函数图象的变换
1.(教材习题改编)已知函数y=sin的图象为C,为了得到函数y=sin的图象,只要把C上所有的点(　　)
A.向右平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
2.(2026江苏常州期中)将函数f(x)=cos的图象先向左平移个单位长度,再将得到的曲线上每一个点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,则g(x)=(　　)
A.cos　　　　B.cos
C.cos　　　　D.cos
3.(2025江苏苏州盛泽中学月考)将函数f(x)的图象先向右平移个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=2sin的图象,则f(x)的解析式可能为f(x)=(　　)
A.2cos　　　　B.2sin
C.2cos　　　　D.2sin
题组二　由图象确定函数解析式
4.(2026江苏丹阳高级中学检测)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则φ的值为(　　)
A.-　　　　B.-　　　　C.　　　　D.
5.(2026江西南昌莲塘一中质量检测)函数f(x)=tan(ωx+φ)的图象如图所示,图中阴影部分的面积为6π,则 f=(　　)
A.-　　　　B.-　　　　C.　　　　D.
6.(2026北京第二十中学期末)已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示.若A,B,C,D四点在同一个圆上,则ω=(　　)
A.1　　　　B.　　　　C.π　　　　D.
7.(2025广东茂名联考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B的部分图象如图所示,则ω=(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.6
8.(2026重庆实验外国语学校月考)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,现将此图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象,则函数g(x)的解析式为　　　　　　.
题组三　函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的应用
9.(2025江苏海安高级中学月考)将函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于原点对称,则φ=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
10.(多选题)(2025江苏宿迁期中)把函数y=sin图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,再向左平移个单位长度,得到函数y=f(x)的图象,则(　　)
A.f(x)的最小正周期为π
B.f =
C.f(x)在上单调递增
D.f(x)的图象关于直线x=对称
11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,若关于x的方程g(x)-m=0在区间上有两个不同的实数解,求实数m的取值范围.
能力提升练
题组　函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的应用
1.(2025江苏苏州震泽中学月考)将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移φ个单位长度后得到函数g(x)的图象,以f(x),g(x)图象相邻的三个交点为顶点的三角形的面积为,则φ=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
2.(2026江苏百校联考)将函数f(x)=4cos(0<ω<4)的图象向右平移π个单位长度后,所得图象与原来的图象重合,当x1,x2∈时, f(x1)+f(x2)=0,则 f(x1+x2)=(　　)
A.2　　　　B.2　　　　
C.-2　　　　D.-2
3.(多选题)(2025河南郑州宇华实验学校开学考试)函数f(x)=2tan(ω>0)的部分图象与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,且满足△ABC的面积为,则下列结论正确的是(　　)
A.ω=2
B.f(x)的图象的对称中心为,k∈Z
C.f(x)的单调递增区间是,k∈Z
D.将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数y=2tan ωx的图象
4.(多选题)已知函数f(x)=Acos(x+φ)+1A>0,|φ|<,若函数y=|f(x)|的部分图象如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)的图象关于直线x=对称
B.f(x)的图象关于点对称
C.将函数y=2sin x+1的图象向左平移个单位长度可得到f(x)的图象
D.函数f(x)在区间上单调递减
5.(多选题)(2026江苏南京金陵中学月考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,其中B为最高点,tan θ=,|AB|=,则(　　)
A.A=2
B.若f(x1)=f(x2)=,则|x1-x2|min=
C.φ=
D.=-
6.(2025江苏南京六校联合体调研)若函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<2π)的图象向右平移φ个单位长度后得到的图象对应的函数在区间上单调递减,则φ=　　　　.
7.(2026江苏南京金陵中学月考)已知函数f(x)=sin(ω>0)在上有最小值,无最大值,且 f= f.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)将函数f(x)的图象向右平移φ个单位长度后得到函数g(x)的图象,且对满足| f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2有|x1-x2|min=.
(i)求φ的值;
(ii)若对任意的x1,x2∈,都有 f(x1)8.(2026江苏扬州大学附属中学月考)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)直接写出函数f(x)的单调递增区间及|f(x)|取得最大值时x的取值集合;
(3)若关于x的方程9[f(x)]2+acos-a-=0在上有四个不同的实数根,求实数a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
第7章　三角函数
7.3　三角函数的图象和性质
7.3.3　函数y=Asin(ωx+φ)
基础过关练
1.A 2.A 3.C 4.C 5.C
6.D 7.D 9.B 10.BCD
1.A　y=sin=sin2+,故需要把C上所有的点向右平移个单位长度.
2.A　将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后,得到y=cos=cos的图象,再将其上每一个点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到g(x)=cos的图象.
3.C　采用逆向思维,首先将函数y=2sin的图象上各点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,得到函数y=2sin的图象,再将所得图象向左平移个单位长度,得到f(x)=2sin=2sin=2cos的图象.
4.C　设f(x)的最小正周期为T.由题图可知,A=1,=-=1,所以T=2,即=2,解得ω=π.由“五点法”可知×π+φ=π,解得φ=.
5.C　如图,由正切函数的周期性可知,①和②的面积相等,所以题图中阴影部分的面积即为矩形ABCD的面积.
∵题图中阴影部分的面积为6π,AB=3,∴AD=2π,即f(x)的最小正周期T=2π,即=2π,解得ω=,∴f(x)=tan.
由图可知, f(x)的图象过点,∴tan=tan=-1,
∵φ∈,∴+φ∈,∴+φ=-,解得φ=-,∴f(x)=tan,
∴ f=tan
=tan=tan
=tan=.
6.D　连接BC,交x轴于点E.
因为A,B,C,D四点在同一个圆上,易知A,D和B,C均关于点E对称,所以点E为圆心,所以|AE|=|BE|.
记函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期为T.
易得|AE|=T=·=,|BE|==,
所以=,所以ω=.
7.D　因为A>0,
所以由题图得解得
所以f(x)=2sin(ωx+φ)+1.
又f(0)=2sin φ+1=2,所以sin φ=,
又|φ|<,所以φ=,
所以f(x)=2sin+1.
又f =2sin+1=3,
所以+=+2kπ,k∈Z,
所以ω=6+36k,k∈Z,
又0<ω<10,所以ω=6.
8.答案　g(x)=2sin 2x
解析　由题图得,A=2, f(0)=-1,所以2sin φ=-1,即sin φ=-,又|φ|<,
所以φ=-,所以f(x)=2sin.
又 f=0,所以ω-=kπ,k∈N,解得ω=,k∈N①.
设函数f(x)的最小正周期为T,则<且>,所以由①②得ω=2,
所以f(x)=2sin.
所以g(x)=f=2sin2-=2sin 2x.
9.B　设f(x)=sin(2x+φ)的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数为g(x),则g(x)=sin2+φ=sin.
因为g(x)的图象关于原点对称,所以φ-=kπ,k∈Z,解得φ=+kπ,k∈Z,
又0<φ<π,所以φ=.
10.BCD　易得f(x)=sin-=sin.
其最小正周期T==4π,故A错误.
f =sin=sin=,故B正确.
当x∈时,x+∈,此时f(x)单调递增,故C正确.
当x=时,x+=,此时f(x)取得最大值,所以f(x)的图象关于直线x=对称,故D正确.
11.解析　(1)记f(x)的最小正周期为T.
由题图可知=-,得T=π,
∴ω==2,则f(x)=sin(2x+φ).
又f=,∴sin=1,即sin=1,∴+φ=+2kπ,k∈Z.∴φ=-+2kπ,k∈Z,
又|φ|≤,∴φ=-,
故f(x)=sin.
(2)由题意得g(x)=sin,
g(x)-m=0在区间上有两个不同的实数解,即直线y=m与函数g(x)=sin的图象在区间上有两个不同的交点.
画出y=g(x)在上的图象及直线y=m,如图.
由图可知,若g(x)-m=0在区间上有两个不同的实数解,则m的取值范围为[1,).
能力提升练
1.B 2.D 3.ACD 4.BC 5.BC
1.B　作出y=f(x)和y=g(x)的图象,如图,
不妨取y轴右侧的三个连续交点A,C,B. f(x)与g(x)=sin[2(x-φ)]的周期均为π,可得|AB|=π.
由△ABC的面积为及对称性知,yA=,故A,代入g(x)=sin[2(x-φ)]并结合0<φ<,得φ=.
2.D　由题意得,π是函数f(x)的一个周期,所以k·=π,k为正整数,所以|ω|=2k,k为正整数,又0<ω<4,所以ω=2,所以f(x)=4cos.
令2x+=+k1π,k1∈Z,得x=+,k1∈Z,所以函数f(x)图象的对称中心为,k1∈Z.
令-<+<,k1∈Z,得-所以函数f(x)图象的一个对称中心为.
当-因为x1,x2∈,且 f(x1)+f(x2)=0,所以=,即x1+x2=,
所以 f(x1+x2)= f=4cos2×+=-2.
3.ACD　对于A,当x=0时,|OC|=f(0)=2tan=2.又S△ABC=|AB||OC|=×2|AB|=,所以|AB|=,即函数f(x)的最小正周期T=,由T=,ω>0,得ω=2,故A正确;
对于B,由A可知f(x)=2tan,令2x+=,k∈Z,解得x=-,k∈Z,即函数f(x)的图象的对称中心为,k∈Z,故B错误;
对于C,令+kπ<2x+<+kπ,k∈Z,得+对于D,将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数y=2tan 2x的图象,故D正确.
4.BC　由题图知,函数f(x)的最大值为3,最小值为-1,所以A=2,所以f(x)=2cos(x+φ)+1.
因为函数y=|f(x)|的图象过点(0,2),且|φ|<,所以2cos φ+1=2,即cos φ=,所以φ=±,结合题图可得φ=,所以f(x)=2cos+1.
令x+=kπ(k∈Z),得x=-+kπ(k∈Z),所以函数f(x)图象的对称轴为直线x=-+kπ(k∈Z),故A错误.
令x+=+kπ(k∈Z),得x=+kπ(k∈Z),所以函数f(x)图象的对称中心为(k∈Z),故当k=-1时,函数f(x)的图象关于点对称,故B正确.
函数y=2sin x+1的图象向左平移个单位长度后得到y=2sin+1=2cos+1的图象,故C正确.
令2kπ≤x+≤π+2kπ,k∈Z,得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,所以函数f(x)的单调递减区间为-+2kπ,+2kπ,k∈Z,当k=0时,函数f(x)的单调递减区间为,所以函数f(x)在区间上不具有单调性,故D错误.
5.BC　过点B作x轴的垂线,垂足为C.
Rt△ABC中,tan θ==,又|AB|=,即|AC|2+|BC|2=10,所以|BC|=1,|AC|=3,所以f(x)的最大值为A=1,故A错误.
设f(x)的最小正周期为T,易知|AC|=3=T,所以T=4,所以ω===,所以f(x)=sin,又 f=0,所以sin=0,又|φ|<π,所以φ=,所以f(x)=sin,故C正确.
令f(x)=,则x+=+2kπ,k∈Z或x+=+2kπ,k∈Z,
解得x=-+4k,k∈Z或x=4k,k∈Z,
所以|x1-x2|min=,故B正确.
因为f(x)是周期为4的周期函数,所以y= f是周期为12的周期函数,
所以 f=168 f+ f+…+ f+ f+ f+…+ f+ f+ f,
又 f= f= f=0, f= f=-, f= f=-, f= f=, f= f=, f=-1, f=1,
所以 f= f+ f+…+ f+ f+ f=,故D错误.
6.答案　
解析　记函数f(x)的图象向右平移φ个单位长度后得到的图象对应的函数为g(x),则g(x)=sin[2(x-φ)+φ]=sin(2x-φ).
因为x∈,
所以2x-φ∈[-φ,π-φ].
因为g(x)在上单调递减,
所以
即
所以-φ=+2kπ,k∈Z,
所以φ=--2kπ,k∈Z.
又0<φ<2π,所以取k=-1,则φ=.
7.解析　(1)因为f(x)在上有最小值,无最大值,且f=f,
所以≤(ω>0),所以0<ω≤12①.
因为x=与x=在一个最小正周期内,且 f= f,所以x=+=时,函数f(x)取到最小值,
所以ω+=-+2kπ(k∈Z),
所以ω=-+8k(k∈Z)②.
联立①②,得ω=,所以函数f(x)的最小正周期T===.
(2)(i)由| f(x1)-g(x2)|=2可知, f(x1)与g(x2)一个对应最大值,一个对应最小值.
对于函数f(x),其最大值与最小值对应的相邻x的距离为半个最小正周期,
所以|x1-x2|min+φ=,所以φ=-=.
(ii)由上述分析得f(x)=sin,g(x)=sin=sinx.
因为对任意的x1,x2∈,都有 f(x1)当x∈时,x+∈-,π,x∈,
所以f(x)max=1,g(x)min=-1.
所以1<-1+m,解得m>2,
故实数m的取值范围为(2,+∞).
8.解析　(1)由题图可知A=,最小正周期T=×4=π,所以ω==2,
所以f(x)=cos(2x+φ).
将代入,得=cos,所以+φ=2kπ,k∈Z,解得φ=-+2kπ,k∈Z,因为|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=cos.
(2)令-π+2kπ≤2x-≤2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
由|f(x)|=,得cos=±,所以2x-=kπ,k∈Z,解得x=+kπ,k∈Z,所以|f(x)|取得最大值时x的取值集合为.
(3)由9[f(x)]2+acos-a-=0,得cos2+a·cos-a-=0,所以sin22x++acos-a-=0,所以1-cos2+acos-a-=0,即cos2-acos+a+=0.
令t=cos,则t2-at+a+=0.
令q=2x+,则t=cos q.
因为x∈,所以2x+∈,即q∈,所以t∈.
要使cos2-acos+a+=0在上有四个不同的实数根,则需t2-at+a+=0在上有两个不相等的实数根.
易知t2+=a,
当t=时,t2+=a无解,故t≠,所以=a.
令t-=s,则s∈且s≠0,a=s++.
易知y=s++在上单调递减,所以a=s++至多有一个实数根,与题意不符,所以s∈.
当s=-时,y=-+×+=-,y=s++=-+≤-2+=-1,当且仅当s=-时取等号.所以实数a的取值范围为.

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