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第8章　函数应用
8.1　二分法与求方程近似解
8.1.1　函数的零点
基础过关练
题组一　函数的零点与方程的根
1.下列函数有变号零点的是(　　)
A. f(x)=3x　　　　B. f(x)=x2
C. f(x)=log3x　　　　D. f(x)=
2.(易错题)(2025山西大同月考)函数f(x)=log2x-log4(x+20)的零点为(　　)
A.4　　　　B.4或5　　　　
C.5　　　　D.-4或5
3.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点是　　　　.
题组二　函数零点(方程根)所在的区间
4.函数f(x)=ln x-的零点所在的区间是(　　)
A.(3,4)　　　　B.(2,3)　　　　C.(1,2)　　　　D.(0,1)
5.(2026江苏苏州第三中学校月考)若幂函数f(x)的图象过点(4,2),则函数y=f(x)+ln x-2的零点所在的区间为(　　)
A.(0,1)　　　　B.(1,2)　　　　C.(2,3)　　　　D.(3,4)
6.(多选题)(2026浙江强基联盟联考)函数f(x)=sin x+ex的零点所在的区间可以是(　　)
A.(-π,0)　　　　B.(-2π,-π)　　　　
C.(-3π,-2π)　　　　D.(-4π,-3π)
题组三　确定零点的个数
7.对于函数f(x),若f(-1)f(3)<0,则　(　　)
A.方程f(x)=0一定有实数解
B.方程f(x)=0一定无实数解
C.方程f(x)=0一定有两个实数解
D.方程f(x)=0可能无实数解
8.(2025河北保定月考)已知函数f(x)=若k>0,则函数y=|f(x)|-1的零点个数是(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
9.(2026福建龙岩第一中学检测)设[x]表示不超过x的最大整数,如[1.5]=1,[-1.5]=-2,则函数f(x)=x2-[x]-1的零点个数为　　　　.
题组四　根据函数零点(方程根)的情况求参数的值或范围
10.(2025江苏无锡第一中学期中)若二次函数f(x)=x2-2mx-5在区间(3,4)上存在一个零点,则实数m的取值范围是(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
11.(教材习题改编)关于x的方程sin x+x-3=0的唯一解在区间(k∈Z)内,则k的值为　　(　　)
A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.5
12.(2026江苏靖江高级中学期中)关于x的方程x2-4x+a=0的两根都大于1的一个充分不必要条件是(　　)
A.3C.a>3　　　　D.a≤4
13.(2025江苏淮安涟水第一中学检测)若关于x的方程x2-4|x|-5=k+1有两个解,则实数k的取值范围是　　　　.
能力提升练
题组一　函数的零点与方程的根
1.(2026江苏海门中学检测)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[-1,1]时,f(x)=1-x2,函数g(x)=则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]内的零点个数为　　(　　)
A.13　　　　B.12　　　　C.11　　　　D.10
2.(多选题)(2026江苏常州第一中学调研)已知x0是函数f(x)=ex+2x-4的零点(其中e=2.718 28…为自然对数的底数),则下列说法正确的有(　　)
A.x0∈　　　　B.ln(4-2x0)=x0
C.>1　　　　D.2x0+1->0
3.(2026江苏南通中学检测)已知函数f(x)在定义域(0,+∞)上单调,若对任意的x∈(0,+∞),都有f(f(x)-ln x)=1+e,则方程xf(x)-2x-1=0的解的个数为(　　)
A.0　　　　B.1　　　　
C.2　　　　D.3
4.(多选题)(2026江苏扬州中学阶段测试)已知f(x)=若存在x1A.x1x2=1
B.x3+x4=2
C.x3x4的最大值为1
D.x1+x2+x3+x4∈
5.(2026江苏苏州中学期中)已知函数f(x)=x3-x2sin πx+的零点分别为x1,x2,…,xn(n∈N*),则++…+=　　　　.
题组二　根据函数零点(方程根)的情况求参数的值或范围
6.(2026江苏南京九校联考)若函数f(x)=恰有4个零点,则正数ω的取值范围是(　　)
A.　　　　B.　　　　
C.　　　　D.
7.已知f(x)为偶函数,对任意的实数x都有f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时, f(x)=x3.若函数f(x)的图象与函数g(x)=loga|x|(a>0,且a≠1)的图象恰有6个交点,则实数a的取值范围是(　　)
A.(3,5)　　　　B.(3,5]　　　　C.(5,7)　　　　D.(5,7]
8.(2026江苏无锡澄宜六校调研)已知函数f(x)=若关于x的方程1-m2+2mf(x)=[f(x)]2有且仅有5个不同的实数根,则实数m的取值范围是(　　)
A.(-1,0)　　　　B.(1,e2-2]
C.(1,2)　　　　D.[1,2)
9.(多选题)(2026江苏苏州西安交通大学苏州附属中学月考)已知函数f(x)=-x2+2x,g(x)=若函数y=g(f(x))-a有4个零点,则实数a的值可能为(　　)
A.　　　　B.1　　　　C.　　　　D.
10.(2026重庆渝东九校期中)已知函数f(x)=且a>0,若f(x)=b有四个实根,从左到右依次为x1,x2,x3,x4(x1≤x2≤x3≤x4)且x1+x2+2x3+x4=-2,则实数a的取值范围为　　(　　)
A.(0,4]　　　　B.(0,2]　　　　
C.(0,1]　　　　D.
答案与分层梯度式解析
第8章　函数应用
8.1　二分法与求方程近似解
8.1.1　函数的零点
基础过关练
1.C 2.C 4.B 5.B 6.AC
7.D 8.D 10.A 11.A 12.A
1.C　对于A,函数f(x)=3x>0恒成立,不存在零点,故A不符合题意;对于B,函数f(x)=x2存在零点x=0,但当x<0时, f(x)>0,当x>0时, f(x)>0,不是变号零点,故B不符合题意;对于C,函数f(x)=log3x存在零点x=1,且当01时, f(x)>0,故C符合题意;对于D,函数f(x)=不存在零点,故D不符合题意.
2.C　由题意得解得x>0,
所以f(x)的定义域为(0,+∞).
令f(x)=log2x-log4(x+20)=0,得log2x=log4(x+20),即log2x=log2.
因为函数y=log2x在定义域内单调递增,所以x=,整理,得x2-x-20=0,解得x=5或x=-4,又x>0,所以x=5.
易错警示
函数的零点必须在其定义域内.
3.答案　-1和4
解析　依题意,得或所以x=-1或x=4.
4.B　f(x)的定义域为{x|x>0且x≠1},
当x∈(0,1)时, f(x)=ln x-<0恒成立,不存在零点,排除D;
当x∈(1,+∞)时, f(x)=ln x-,
因为f(2)=ln 2-2<0, f(3)=ln 3-1>0,且f(x)在(1,+∞)上的图象是不间断的,所以f(x)的零点所在的区间是(2,3).
解题模板
判断函数零点所在区间,要根据函数解析式,借助函数的图象,综合运用函数的值域、单调性,判断函数零点的个数,再结合函数零点存在定理判断零点所在的区间.
5.B　设f(x)=xα,则由题意得4α=2,解得α=,所以f(x)==,所以y=+ln x-2.
设g(x)=+ln x-2,
易知函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,且g(1)=1+0-2=-1<0,g(2)=+ln 2-2.
因为23-e2>8-2.82=8-7.84>0,所以23>e2,所以ln(23)>ln(e2),即3ln 2>2,所以ln 2>.又>1.4,所以g(2)=+ln 2-2>1.4+-2>0.所以由函数零点存在定理可知,g(x)有唯一零点,在(1,2)内.
6.AC　令f(x)=sin x+ex=0,得sin x=-ex.
在同一平面直角坐标系中作出函数y=sin x与y=-ex的部分图象,如图所示.
由图可知,两函数图象在(-π,0)和(-3π,-2π)内有交点,所以函数f(x)的零点所在区间可以为(-π,0),(-3π,-2π).
7.D　∵函数f(x)的图象在(-1,3)上未必连续,∴由f(-1)f(3)<0不一定能得出函数f(x)在(-1,3)上有零点,即方程f(x)=0可能无实数解.
8.D　由y=|f(x)|-1=0得|f(x)|=1,
所以f(x)=1或f(x)=-1.
当x>0时,由ln x=1或ln x=-1,解得x=e或x=.
当x≤0时,由kx+2=1或kx+2=-1,解得x=-或x=-.
所以函数y=|f(x)|-1的零点个数是4.
9.答案　1
解析　令x2-[x]-1=0,得x2-1=[x],
所以f(x)的零点个数即函数y=x2-1与y=[x]的图象的交点个数.
易知x=0和x=1不是f(x)的零点.
在同一平面直角坐标系中作出y=x2-1与y=[x](x≠0且x≠1)的图象,如图,
由图可知,两函数图象只有一个交点,故f(x)只有1个零点.
10.A　由题意得, f(3)f(4)<0,即(4-6m)·(11-8m)<0,解得所以实数m的取值范围是m11.A　关于x的方程sin x+x-3=0的唯一解在区间(k∈Z)内可转化为函数f(x)=sin x+x-3的唯一零点在区间(k∈Z)内(破题关键),又f(2)=sin 2+2-3=sin 2-1<0,且f=sin+-3>sin+-3=0,所以由函数零点存在定理,得f(x)在区间上有零点,因此k=2.
12.A　令f(x)=x2-4x+a,其图象开口向上,对称轴方程为x=2.
因为关于x的方程x2-4x+a=0的两根都大于1,所以
即解得3故关于x的方程x2-4x+a=0的两根都大于1的充要条件为3结合选项,其充分不必要条件是313.答案　(-6,+∞)∪{-10}
解析　令f(x)=x2-4|x|-5,则方程x2-4|x|-5=k+1有两个解,即函数y=f(x)的图象与直线y=k+1有两个不同的交点.当x≥0时, f(x)=x2-4x-5=(x-2)2-9;
当x<0时, f(x)=x2+4x-5=(x+2)2-9.
作出函数f(x)的图象,如图所示.
由图可知,需满足k+1>-5或k+1=-9,解得k>-6或k=-10.
故实数k的取值范围是(-6,+∞)∪{-10}.
方法总结
已知函数零点的情况求参数的取值
范围的方法
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的关系式,通过关系式确定参数的取值范围.
(2)分离参数法:将参数分离,转化成求函数的值域问题.
(3)数形结合法:先对函数解析式变形,然后在平面直角坐标系中画出函数的图象,通过数形结合求解.
能力提升练
1.C 2.ABD 3.B 4.ABD 6.A
7.A 8.C 9.BC 10.D
1.C　求函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]内的零点个数,即求函数f(x)与g(x)的图象在[-5,5]内的交点个数.
因为f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期为2的周期函数,
在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)与g(x)的部分图象,如图所示.
由图可知,两函数图象在[-5,5]内有11个交点,即函数h(x)在区间[-5,5]内的零点个数为11.
2.ABD　易知函数f(x)在R上单调递增, f =-3<0, f(1)=e-2>0,所以x0∈,故A正确.
因为x0是函数f(x)的零点,所以+2x0-4=0,即=4-2x0,所以ln(4-2x0)=x0,故B正确.
由A知x0∈,所以<<1,故C错误.
2x0+1-=2x0+1-==>0,故D正确.
3.B　设t=f(x)-ln x,则f(t)=1+e.
对于t=f(x)-ln x,令x=t,得f(t)=ln t+t.
易知f(t)在(0,+∞)上单调递增, f(e)=1+e,所以t=e,所以f(x)=ln x+e,所以xf(x)-2x-1=0,即x(ln x+e)-2x-1=0,两边同时除以x,得ln x-+e-2=0.
设g(x)=ln x-+e-2(x>0),
易知g(x)在(0,+∞)上单调递增,g(1)=e-3<0,g(e)=e--1>0,
所以g(x)在(1,e)上有唯一零点,即方程xf(x)-2x-1=0的解的个数为1.
4.ABD　作出函数f(x)的图象及直线y=m,如图所示.
由图可知,0x3,x4是关于x的方程x2-2x+1=m的两根,所以x3+x4=2,x3x4=1-m∈[0,1),
所以x3x4无最大值,故B正确,C错误.
因为0所以-e≤x1<-1.
x1+x2+x3+x4=x1++2.
易知g(x)=x++2在[-e,-1)上单调递增,g(-1)=0,g(-e)=--e+2,
所以g(x1)∈,即x1+x2+x3+x4∈,故D正确.
5.答案　
解析　令f(x)=0,得x3-x2sin πx+=0,即x=0,
所以f(0)=0.
令g(x)=x2-xsin πx+,显然g(0)≠0.
令g(x)=0,则x2+=xsin πx,所以=sin πx(x≠0).
易知-1≤sin πx≤1,所以≤1,所以x2+≤|x|,即≤0,
所以|x|=,所以当x=±时,g(x)=0.
综上, f(x)共有3个零点,分别为0,-,,所以++…+=02++=.
6.A　设g(x)=ln x+x.
易知函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,又g=-1+<0,g(1)=1>0,
所以g(x)在(0,+∞)上有1个零点.
又因为f(x)有4个零点,所以y=sin在[-π,0]上有3个零点.
当x∈[-π,0]时,由ω>0得ωx-∈,所以-4π<-πω-≤-3π,解得≤ω<,
所以正数ω的取值范围为.
7.A　因为f(x)为偶函数,当x∈[0,1]时, f(x)=x3,所以当x∈[-1,0]时, f(x)=-x3.
因为f(x+2)=f(x),
所以f(x)的周期为2.
易得g(x)=log a|x|为偶函数,所以要想f(x)的图象与g(x)=loga|x|(a>0,且a≠1)的图象恰有6个交点,只需f(x)的图象与函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象有3个交点(破题关键).
令h(x)=logax(a>0,且a≠1),由题意可知,a>1,在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和h(x)的图象,如图所示:
由图可得,若函数f(x)和h(x)的图象有3个交点,则需h(3)=loga3<1=f(1),h(5)=loga5>1=f(5),故3故实数a的取值范围是(3,5).
8.C　令f(x)=t,则1-m2+2mt=t2,
即[t-(m-1)][t-(m+1)]=0,
解得t1=m-1或t2=m+1.
因为关于x的方程1-m2+2mf(x)=[f(x)]2有且仅有5个不同的实数根,
所以函数f(x)的图象与直线y=m-1,y=m+1共有5个不同的交点.
作出函数f(x)的图象与直线y=1,如图所示.
由图可知,
或
解得或
所以1故实数m的取值范围是(1,2).
9.BC　易知f(x)=-x2+2x=1-(x-1)2≤1.
令t=f(x),则t≤1.
作出函数g(x)的图象,如图所示.
由图可知,对于任意的实数a,关于t的方程g(t)=a至多有2个实数根,所以要使方程g(f(x))=a有4个不同的实数根,则关于x的方程f(x)=t需有2个不同的实数根,即t<1,且g(t)=a有2个不同的实数根,所以1≤a<.
结合选项,实数a的值可能为1,.
10.D　由题意得, f(x)的图象与直线y=b有三个或四个不同的交点.
若有三个交点,则x1=x2或x3=x4;
若有四个交点,则x1≠x2且x3≠x4.
作出函数f(x)的大致图象与直线y=b,如图所示.
由图可知,x1+x2=-2×2=-4.
又x1+x2+2x3+x4=-2,所以2x3+x4=2.
令x+=b,则x2-bx+a=0,
由图象可知2≤b≤4,∴Δ=b2-4a≥0,则x3+x4=b,x3x4=a,
∴x3=2-(x3+x4)=2-b,x4=b-x3=b-(2-b)=2b-2,
∴a=(2-b)(2b-2)=-2b2+6b-4,
若b2≥4a,则-2b2+6b-4≤,整理可得(3b-4)2≥0恒成立,
∵x3>0,x4>0,∴解得1综上所述,1当b∈(1,2)时,-2b2+6b-4∈,∴a∈.

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