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8.1.2　用二分法求方程的近似解
基础过关练
题组一　对二分法概念的理解
1.(2025湖北荆州中学月考)下列函数中,不能用二分法求零点的是(　　)
A.f(x)=2x　　　　B.f(x)=x2+2x+2
C.f(x)=x+-4　　　　D.f(x)=2x-3
2.(2026福建龙岩第一中学检测)若在用二分法寻找函数y=2x-(x>1)的零点的过程中,依次确定了零点所在区间为[a,b],,,则实数a和b分别等于(　　)
A.,　　　　B.2,3　　　　C.,2　　　　D.,
3.(2026上海洋恒高级中学月考)已知函数f(x)=ex-2x-2,现用二分法求函数y=f(x)在(1,2)内的零点的近似解,则使用两次二分法后,零点所在的区间为(　　)
A.(1,1.25)　　　　B.(1.25,1.5)
C.(1.5,1.75)　　　　D.(1.75,2)
4.(2025湖北新高考联考协作体月考)用二分法求函数f(x)=ln(x+1)+x-1在区间(0,1)上的近似解,要求精确度为0.1时,所需二分区间次数最少为(　　)
A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6
题组二　二分法的应用
5.(2026江苏无锡青山高级中学调研)若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算的结果如下表所示:
x 1 1.5 1.25 1.375 1.437 5
f(x) -2 0.625 -0.984 -0.260 0.162
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.1)不可以是(　　)
A.1.375　　　　B.1.25　　　　
C.1.437 5　　　　D.1.406 25
6.一块电路板的AB线段之间有60个串联的焊接点,知道电路不通的原因是焊口脱落.要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落,至多需要检测(　　)
A.4次　　　　B.6次　　　　C.8次　　　　D.30次
7.已知f(x)=ln x+x-2,g(x)=ex+x.
(1)用二分法求方程f(x)=0的近似解,且满足精确度为0.5;
(2)设f(x1)=0,g(x2)=0,证明:x1x2>-e.
8.已知函数f(x)=x2,g(x)=2x.
(1)设f(x)与g(x)的图象在y轴左边的交点为A,试用二分法求出点A的横坐标x0的近似值(精确度为0.3);
(2)用M(x)表示f(x),g(x)中的较大者,记为M(x)=max{f(x),g(x)},请写出M(x)的解析式.
答案与分层梯度式解析
第8章　函数应用
8.1　二分法与求方程近似解
8.1.2　用二分法求方程的近似解
基础过关练
1.B 2.A 3.C 4.B 5.B
6.B
1.B　不能用二分法求零点的函数,要么没有零点,要么零点两侧的函数值同号.
对于A, f(x)=2x在R上单调递增,所以有唯一零点x=0,且函数值在零点两侧异号,所以能用二分法求零点,故A不符合题意.
对于B, f(x)=x2+2x+2=(x+)2≥0,所以有唯一零点x=-,但函数值在零点两侧同号,所以不能用二分法求零点,故B符合题意.
对于C,当x<0时, f(x)=x+-4=--4≤-2-4=-6,当且仅当x=-1时,等号成立,此时无零点;
当x>0时,易知f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
令f(x)=0,得x=2±,所以有两个零点,且函数值在零点两侧异号,所以能用二分法求零点,故C不符合题意;
对于D, f(x)=2x-3在R上单调递增,所以有唯一零点x=log23,且函数值在零点两侧异号,所以能用二分法求零点,故D不符合题意.
2.A　∵依次确定了零点所在区间为[a,b],,,
∴解得
3.C　设函数y=f(x)在(1,2)内的零点为x0.
因为f(1)=e-2-2=e-4<0, f(2)=e2-4-2=e2-6>0,所以f(1)f(2)<0,所以x0∈(1,2).
取区间(1,2)的中点x1=1.5,易知f(1.5)=e1.5-5=-<0,
所以f(1.5)f(2)<0,所以x0∈(1.5,2).
取区间(1.5,2)的中点x2=1.75,易知f(1.75)=e1.75-5.5=->0,所以f(1.5)f(1.75)<0,所以x0∈(1.5,1.75).
所以使用两次二分法后,函数y=f(x)零点所在的区间为(1.5,1.75).
4.B　区间(0,1)的长度为1,每经过一次操作后,区间长度变为原来的,所以经过n次操作后,区间长度为.
由题意得≤0.1,又n∈N*,所以n≥4,所以所需二分区间次数最少为4.
5.B　由题表得, f(1.375)·f(1.437 5)<0,且|1.375-1.437 5|=0.062 5<0.1,
所以函数f(x)的零点在(1.375,1.437 5)内,(1.375,1.437 5)的两端点也可以作为零点的近似值.结合选项,方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.1)不可以是1.25.
6.B　第一次,可去掉30个结果,从剩余的30个中继续应用二分法;
第二次,可去掉15个结果,从剩余的15个中继续应用二分法;
第三次可去掉7或8个结果,考虑至多的情况,所以去掉7个结果,从剩余的8个中继续应用二分法;
第四次,可去掉4个结果,从剩余的4个中继续应用二分法;
第五次,可去掉2个结果,从剩余的2个中继续应用二分法;
第六次,可去掉1个结果,得到最终结果,
所以至多需要检测六次.
7.解析　(1)易知f(x)在(0,+∞)上单调递增, f(1)=ln 1+1-2=-1<0, f(2)=ln 2+2-2=ln 2>0,所以方程f(x)=0有唯一解,记为x0,并且这个解在区间(1,2)内.
又f =ln+-2=ln-=ln=ln<0,所以x0∈.
又 f =ln+-2=ln-=ln=ln>0,
所以x0∈.
因为=<0.5,
所以原方程的近似解可为.
(2)证明:由题意得
所以
所以ln x1+ln(-x2)=ln(-x1x2)=2-x1+x2,且x2<0,
所以要证x1x2>-e,
只需证2-x1+x2<1,即x2由(1)知x1∈,
显然x2-e.
8.解析　(1)在同一平面直角坐标系中作出函数f(x),g(x)的图象,如图所示.
令F(x)=f(x)-g(x)=x2-2x,则x0即为函数F(x)在(-∞,0)上的零点.
易知F(-1)=1-=>0,F(0)=0-1=-1<0,
所以F(-1)F(0)<0,
所以x0∈(-1,0).
又F=-<0,所以F(-1)·F<0,所以x0∈.
又F=-=-<0,
所以F(-1)F<0,
所以x0∈.
因为=0.25<0.3,所以x0的近似值可为-.
(2)结合(1),由x2=2x,得x=x0或x=2或x=4,
所以M(x)=

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