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8.2.2　函数的实际应用
基础过关练
题组一　用已知函数模型解决实际问题
1.(2025江苏扬中高级中学月考)生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境,从而对入侵地的生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q,一年四季均可繁殖,繁殖间隔T为相邻两代间繁殖所需要的平均时间.在物种入侵初期,可用对数函数模型K=λlog3n(λ为常数)来描述该物种累计繁殖数量n与入侵时间K(单位:天)之间的对应关系,且Q=+1,在物种入侵初期,基于现有数据得出Q=6,T=60,据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的8倍所需要的时间为(结果保留一位小数,参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)(　　)
A.19.5天　　　　B.20.5天　　　　
C.22.5天　　　　D.19.0天
2.(2026江苏昆山中学月考)根据国际标准,室内二氧化碳浓度应不超过1 000 ppm,在这个范围内,室内空气质量良好,人体健康不受到影响.已知某室内二氧化碳浓度y(ppm)与开窗通风的时长t(分钟)之间的关系式为y=500+104λ(λ∈R).经测定,该室内初始时刻的二氧化碳浓度为2 000 ppm,要使该室内的二氧化碳浓度达到国际标准,则需要开窗通风的时长至少约为(参考数据:ln 3≈1.099,ln 5≈1.609)(　　)
A.6分钟　　　　B.8分钟　　　　
C.10分钟　　　　D.12分钟
3.(2026江苏启东中学检测)沙漏也叫沙钟,是一种测量时间的装置.现有一个沙漏,上方装有a cm3的细沙,细沙从中间小孔由上方慢慢漏下,经过t min后剩余的细沙量为y cm3,且y=ae-bt(b为常数),经过8 min后,上方还剩下一半细沙,要使上方细沙是开始时的,需经过的时间为(　　)
A.8 min　　　　B.16 min　　　　
C.24 min　　　　D.26 min
4.(2025江苏无锡期末)已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离L(单位:m)与速度v(单位:km/h)之间有如下关系式:L=k·M·v2,其中k是比例系数,且k>0,M是汽车质量(单位:t).若某辆卡车不装货物(司机体重忽略不计)以36 km/h的速度行驶时,从踩刹车到停车需要滑行20 m.当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时,为保证安全,要在发现前面20 m处有障碍物时能在离障碍物5 m以外处停车,则最高速度应低于(假定司机发现障碍物到踩刹车需要经过1 s)(　　)
A.16 km/h　　　　B.18 km/h　　　　
C.24 km/h　　　　D.27 km/h
5.(多选题)(2025江西贵溪实验中学月考)人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.人口的年平均增长率r满足r=t-1ln,其中t为经过的时间,M0为t=0时的人口总数(单位:万),Mt为经过t年后的人口总数(单位:万).下表为A,B,C三市2022年人口总数及预计年平均增长率的情况:
城市 2022年人口总数 年平均增长率
A市 2M 0.02~0.03
B市 1.5M 0.04~0.05
C市 3M 0.03
设A,B,C三市在2032年底人口总数的估计值分别为MA,MB,MC,则(　　)
A.MA>MC　　　　B.MB>MC
C.MC=3Me0.3　　　　D.MA≤MC
6.(2026江苏镇江实验高级中学调研)经检测,餐后4小时内,正常人身体内某微量元素在血液中的浓度y1与时间t满足关系式y1=8-2t(0≤t≤4).服用某药物后,药物中所含该微量元素在血液中的浓度y2与时间t满足关系式y2=现假定某患者餐后立刻服用该药物,且血液中该微量元素总浓度y等于y1与y2的和.(参考数据:≈1.41,≈1.73)
(1)求4小时内血液中该微量元素总浓度y的最大值;
(2)若餐后4小时内,血液中该微量元素总浓度y不低于8的累积时长不少于2.5小时,则认定该药物治疗有效,否则需调整治疗方案,请你判断是否需要调整治疗方案,并说明理由.
题组二　构建函数模型解决实际问题
7.(2025江苏泰州中学期中)某高校为提升科研能力,计划逐年加大科研经费投入,若该高校2025年全年投入科研经费1 300万元,在此基础上,每年投入的科研经费比上一年增长12%,则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)(　　)
A.2027年　　　　B.2028年　　　　
C.2029年　　　　D.2030年
8.(2026浙江杭州第二中学期中)某车企生产A型汽车,每年需要固定投入100万元,此外每生产x辆A型汽车另需增加投资g(x)万元,当该款汽车年产量低于400辆时,g(x)=x2+x,当年生产量不低于400辆时,g(x)=16x+-3 500.若该款汽车售价为每辆15万元,且生产的汽车均能售完,则该工厂生产并销售这款汽车的最高年利润为(　　)
A.2 000万元　　　　B.2 100万元　　　　
C.2 200万元　　　　D.2 300万元
9.(2026江苏宜兴调研)某公司为了提高生产效率,决定投入200万元购进一套生产设备,预计使用该设备后,前x(x∈N*)年的支出成本为(8x2-4x)万元,每年的销售收入112万元,设前x年的总盈利额为y万元.
(1)写出y与x的函数关系式,并求出从第几年开始盈利;
(2)使用若干年后,对该设备处理的方案有两种:
方案一:当总盈利额达到最大值时,以10万元价格处理该设备;
方案二:当年平均盈利额达到最大值时,以50万元价格处理该设备.
你认为哪种方案较为合理 请说明理由.注:年平均盈利额为z=
题组三　建立拟合函数模型解决实际问题
10.(2026江苏淮阴中学期中)全运会是我国规模最大、水平最高的综合体育盛会,核心意义在于推动全民健身普及.某校鼓励学生利用课余时间积极参加体育锻炼,学生每天能用于锻炼的课余时间有60分钟,现需要制订一个课余锻炼考核评分标准,建立一个学生每天得分y(单位:分)与当天锻炼时间x(单位:分钟)的函数关系,满足的条件如下:
①函数是区间[0,60]上的增函数;
②每天运动时间为0分钟时,当天得分为0分;
③每天运动时间为10分钟时,当天得分为2分;
④每天运动时间为30分钟时,当天得分不超过5分.
现有以下三个函数模型供选择:
模型1:y=mx+n(m>0);
模型2:y=m·log2+n(m>0);
模型3:y=m·+n(m>0).
(1)请你根据条件从中选择一个合适的函数模型(说明理由),并求出函数的解析式;
(2)若每位学生每天得分不少于4分,求学生每天至少需要锻炼的时长.
11.(2025重庆万州第三中学月考)有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试,得到了该电动汽车每小时耗电量P(单位:kW·h)与速度v(单位:km/h)的数据,如下表所示:
v 60 70 80 90 100
P 8.8 11 13.6 16.6 20
为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量P与速度v的关系,现有以下两种函数模型可供选择:①P1(v)=av2+bv+c(a,b,c∈R);②P2(v)=kv+m(k,m∈R).
(1)请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型(不需要说明理由),并求出相应的函数解析式;
(2)现有一辆同型号电动汽车从A地出发经高速公路(最低限速60 km/h,最高限速120 km/h)匀速行驶到距离A地500 km的B地,出发前汽车电池存量为65 kW·h,汽车到达B地后至少要保留5 kW·h的保障电量(假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计).已知该高速公路上有一功率为16 kW的充电桩(充电量=充电功率×充电时间).
(i)求出行驶过程中,耗电量f(v)的函数解析式,并说明其单调性(不需证明);
(ii)若不充电,该电动汽车能否到达B地 若需要充电,求该电动汽车从A地到达B地所用时间(即行驶时间与充电时间之和)的最小值;若不需要,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
第8章　函数应用
8.2　函数与数学模型
8.2.2　函数的实际应用
基础过关练
1.C 2.C 3.C 4.B 5.BCD
7.C 8.C
1.C　因为Q=+1,Q=6,T=60,
所以λ=12.
设初始时间为K1,累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的8倍的时间为K2,
则K2-K1=12log3(8n)-12log3n=12×log38=12×=12×≈22.5(天),
所以该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的8倍所需要的时间约为22.5天.
2.C　由题意得,当t=0时,y=2 000,则2 000=500+104λ,解得104λ=1 500,
所以y=500+1 500.
令y≤1 000,得500+1 500≤1 000,
所以≤,所以-≤-ln 3,
所以t≥9ln 3≈9×1.099=9.891,所以需要开窗通风的时长至少约为10分钟.
3.C　由题意得ae-8b=a,即e-8b=,等号两边同时取自然对数,得-8b=ln=-ln 2,所以b=,所以y=a.
令a=a,得=,等号两边同时取对数,得-t=ln=-3ln 2,所以t=24.
4.B　将L=20 m,v=36 km/h代入L=k·M·v2,得20=k·M·362,所以kM=.
因为司机发现障碍物到踩刹车需要经过1 s,所以司机发现障碍物到踩刹车行驶的距离为= m.
由题意得,+k·2M·v2<20-5,
所以·v2+-3<0,
所以(v+27)(v-18)<0,解得-27又v>0,所以05.BCD　因为r=t-1ln,所以rt=ln,所以=ert,所以Mt=M0ert.
2032年对应的t=10,所以Mt=M0e10r.
设A,B,C三市的年平均增长率分别为r1,r2,r3,则r1∈[0.02,0.03],r2∈[0.04,0.05],r3=0.03.
对于A,D,==,因为r1-r3≤0,所以≤,即MA≤MC,故A错误,D正确.
对于B,==,因为r2-r3>0,所以>,即MB>MC,故B正确.
对于C,MC=3M=3Me0.3,故C正确.
6.解析　(1)由题意得,
y=
当0≤t<1时,y=-2+,其最大值为;
当1≤t≤4时,y=14-2在[1,)上单调递增,在(,4)上单调递减,其最大值为14-4.
因为>14-4,所以4小时内血液中该微量元素总浓度y的最大值为.
(2)当0≤t<1时,令8-2t+2≥8,则·(-1)≤0,解得t∈[0,1);
当1≤t≤4时,令14-2t-≥8,则t2-3t+2≤0,解得t∈[1,2].
故血液中该微量元素总浓度y不低于8的累积时长为2小时,故需要调整治疗方案.
7.C　设2026年是第1年,则第n年该高校全年投入的科研经费为1 300×(1+12%)n.
令1 300×(1+12%)n>2 000,得1.12n>,即1.12n>,同时取常用对数,得lg 1.12n>lg,即nlg 1.12>lg 2-lg 1.3,
所以n>≈=3.8,
所以第4年,即2029年该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元.
8.C　设该工厂生产并销售这款汽车的年利润为f(x)万元.
由题意得, f(x)=
即f(x)=
易得y=-x2+x-100的图象的对称轴方程为x=420.
因为420>400,所以当0≤x<400时,函数f(x)单调递增,所以f(x)当x≥400时, f(x)=-+3 400≤-2+3 400=2 200,当且仅当x=,即x=600时, f(x)取得最大值2 200.
因为2 100<2 200,所以该工厂生产并销售这款汽车的最高年利润为2 200万元.
9.解析　(1)易知前x年的总收入为112x万元,总成本为(8x2-4x+200)万元,
所以总盈利额y=112x-(8x2-4x+200)=-8x2+116x-200,其中x∈N*.
令y>0,得-8x2+116x-200>0,即2x2-29x+50<0,解得2又x∈N*,
所以该公司从第3年开始盈利.
(2)由(1)知y=-8x2+116x-200,其中x∈N*.
方案一:易知函数y=-8x2+116x-200的图象开口向下,对称轴方程为x==7.25,当x=7时,y=220;当x=8时,y=216,所以当x=7时,方案一的总盈利额取得最大值,最大值为y+10=230万元.
方案二:前x年的平均利润为==116-.
易知8x+≥2=80,当且仅当8x=,即x=5时,等号成立,
所以=116-≤116-80=36,所以当x=5时,平均盈利额取得最大值.
当x=5时,y=180,所以方案二的总盈利额为y+50=230万元.
综上,方案一与方案二的总盈利额都是230万元,但方案二更早实现盈利,所以方案二更为合理.
10.解析　(1)对于模型1,将(0,0),(10,2)代入y=mx+n,得解得m=,n=0,
所以y=x.
当x=30时,y=6>5,与题意不符.
对于模型2,将(0,0),(10,2)代入y=m·log2+n,得
解得m=2,n=-2,
所以y=2log2-2.
当x=30时,y=2log28-2=4<5,符合题意.
对于模型3,将(0,0),(10,2)代入y=m·+n,得 解得m=,n=0,所以y=·.
当x=30时,y=×=×30>5,与题意不符.
综上,模型2符合题意,
y=2log2-2,x∈[0,60].
(2)由题意得,2log2-2≥4,即log2≥3,所以+2≥23,即+2≥8,解得x≥30,所以学生每天至少需要锻炼30分钟.
11.解析　(1)由题表可知,P随v的增大而增大,且增长速度越来越大,所以选择模型P1(v)=av2+bv+c(a,b,c∈R).
把(60,8.8),(70,11),(80,13.6)代入,
得
解得
所以P1(v)=0.002v2-0.04v+4.
经检验,(90,16.6),(100,20)也满足上述解析式.
(2)(i)由题意得f(v)=P1(v)·=v+-20(60≤v≤120).
函数f(v)在[60,120]上单调递增.
(ii)由(i)知f(v)min=f(60)=>65-5,即最小耗电量大于出发前电池存量减去保障电量,所以该车需要充电,否则不能到达B地.
设行驶时间与充电时间分别为t1,t2(单位:h),总时间为t.
若能到达B地,则初始电量+充电电量-消耗电量≥保障电量,即65+16t2-f(v)≥5,所以t2≥+-5,
所以t=t1+t2≥++-5=+-5≥2-5=,当且仅当=,即v=100时,等号成立,
所以该电动汽车从A地到达B地最少用时 h.

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