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2.2 有理数的乘法与除法 新知对点练2026-2027学年
人教版七年级数学上册
一、单选题
1．计算的结果等于（ ）
A． B． C．6 D．7
2．的倒数是（ ）
A． B． C．2 D．
3．公式的运算依据是（）
A．乘法结合律 B．乘法分配律 C．积的乘方法则 D．同底数幂的乘法法则
4．能被6整除的数是（）
A．111 B．444 C．555 D．777
5．已知 a ，b ，c 为非零有理数 ，若，则 a ，b ，c 可能是 （ ）
A．a，b，c同负 B．，b与c同号 C．，a与c同号 D．
6．（商品问题）妮妮去文具店购买修正带，某品牌的修正带有两款，普通版20米长售价5.4元，加长版30米长售价7.5元，（ ）更优惠．
A．普通版 B．加长版 C．两者相同 D．不能比较
7．计算的结果是（ ）
A． B． C．2 D．10
8．定义一种新运算：，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．8
9．从1层到4层每层参会人数分别为2、1、2、2，每层楼之间爬楼距离相等．如果要使所有参会人员到会议室地点爬楼的距离之和最短，那么会议室地点应设在哪一层？（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．甲、乙、丙三个商店同款足球的单价都是80元，但优惠方式各不相同（如下表），李老师要为学校购买10个足球，选择（ ）商店能让支付的金额最少．
商店 甲 乙 丙
优惠方式 买10个送1个 全场八折 每满100元，返还现金15元
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定
二、填空题
11．有理数，在数轴上的位置如图所示，则______0．（填“”“”或“”）
12．对于任意有理数，定义一种新运算：，例如：，则的值为_______．
13．在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是，8，若以点C为折点，将此数轴对折，此时A，B两点相距2个单位，则点C表示的数是________．
14．已知是有理数，表示不超过的最大整数，如：，，则______．
15．如图，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，对应的数分别为，，10，某同学将刻度尺按如图所示方式放置，使刻度尺上的数字0与数轴上的点对齐，发现点与刻度尺上的2.4对齐，点与刻度尺上的6.4对齐，则数轴上点对应的数为___________．
三、解答题
16．计算下列各题：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
17．近两年，河北各地积极开展各种全民阅读活动，某校图书馆记录了一周内五天的图书借阅数据，列表如下，以每天借出50册图书为标准，超出部分用正数表示，不足部分用负数表示．
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
0
(1)求这周星期五图书借出的册数；
(2)求这周星期二比星期四多借出多少册图书？
(3)求这周五天共借出多少册图书？
18．有理数、、在数轴上的位置如图．
(1)用“”或“”填空；_________0，_________0，_________0；
(2)比较的大小．
19．我们知道“任意两个负数的积一定等于其相反数的积”．
如：
理由：
因为
············①
············②
············③
因此，．
请说明每一步的理由．
20．【问题情境】
如图1，送货员计划开车从货物集散中心出发送货（送货地点均在笔直的道路上），为更直观地显示送货路线，可以将道路表示为如图2所示的以向东为正方向的数轴，货物集散中心在数轴上的原点处，数轴上1个单位长度表示实际距离为，送货员开车从货物集散中心出发，先向西行驶到达村，继续向西行驶到达村，最后向东行驶到达村．
【问题发现】
（1）、、三个村庄的位置在数轴上表示的数分别是点、、，请在数轴上表示出点、、的位置；
【初步探究】
（2）若送货员驾驶的汽车的耗油量为升/千米，则该汽车从货物集散中心出发到达村全程共耗油多少升？
【拓展延伸】
（3）若在这条道路上有一个便民超市和一所学校，便民超市在数轴上表示的数是，学校在数轴上表示的数是，且位于点向西处的位置，到点的距离为，求便民超市与学校之间的距离．【提示：到0之间的距离可以表示为】试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B B B B B A C B
1．【答案】C
【知识点】两个有理数的乘法运算
【详解】解：．
2．【答案】B
【知识点】倒数
【详解】解：的倒数是．
3．【答案】B
【知识点】有理数乘法运算律
【分析】本题考查了乘法分配律；公式表示一个数乘以多个数的和，等于这个数分别乘以每个数再相加，这符合乘法分配律的定义．
【详解】解：是乘法分配律的直接应用．
故选：B．
4．【答案】B
【知识点】有理数的除法运算
【分析】本题考查有理数的除法，一个数能被6整除当且仅当它能被2和3同时整除．被2整除要求个位是偶数，被3整除要求各位数字之和能被3整除．据此逐项判断即可．
【详解】解：∵，
∴一个数能被6整除当且仅当它能被2和3整除．
选项A∶111的个位1是奇数，不能被2整除，故111不能被6整除．
选项B∶444的个位4是偶数，能被2整除；各位数字之和，，能被3整除，故444能被6整除．
选项C∶555的个位5是奇数，不能被2整除，故555不能被6整除．
选项D∶777的个位7是奇数，不能被2整除，故777不能被6整除．
故选：B．
5．【答案】B
【知识点】多个有理数的乘法运算
【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，解题的关键是熟练正确处理符号．
根据得到a、b、c中负数的个数为0或2，据此判断各选项即可．
【详解】解：∵，
∴a、b、c中负数的个数为0或2，
A、当a、b、c同负时，，故该选项错误；
B、当且b与c同号时，若b、c同正，则；若b、c同负，则，故可能；
C、∵，无论a、c同正还是同负，则，故，故不可能；
D、∵，∴，故不可能；
故选：B．
6．【答案】B
【知识点】有理数大小比较的实际应用、有理数除法的应用
【分析】本题主要考查了小数除法的实际应用以及小数大小的比较，明确单价、数量和总价之间的关系是解答本题的关键．根据总价数量单价，分别求出两款修正带每米的钱数，再进行比较即可判定．
【详解】解：普通版修正带每米的钱数为：
（元），
加长版修正带每米的钱数为：
（元），
，
所以，加长版更优惠．
故选：B．
7．【答案】B
【知识点】有理数乘除混合运算、有理数的减法运算
【分析】本题考查有理数的四则运算，根据运算优先级，先计算乘法和除法，再计算加法，注意负数的乘除法则：负数乘以正数为负，负数除以负数为正．
【详解】解：
．
故选：B．
8．【答案】A
【知识点】有理数四则混合运算
【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，根据新定义可得，据此计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：A．
9．【答案】C
【知识点】有理数乘法的实际应用、有理数加法在生活中的应用
【分析】本题考查了有理数的混合运算的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
分类讨论，分别算出所有人的爬楼距离，再比较即可．
【详解】解：若在1层，则所有参会人员爬楼距离之和为；
若在2层，则所有参会人员爬楼距离之和为；
若在3层，则所有参会人员爬楼距离之和为；
若在4层，则所有参会人员爬楼距离之和为，
∵，
∴会议室地点应设在3层，
故选：C．
10．【答案】B
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用
【分析】本题考查有理数乘法和减法的应用，根据三家商店的优惠方式，分别计算甲、乙、丙三个商店购买10个足球的实际支付金额，然后比较选择费用最低的商店．
【详解】解：根据三家商店的优惠方式，分别计算甲、乙、丙三个商店购买10个足球的实际支付金额为：
甲商店：优惠为“买10个送1个”，购买10个需支付（元），但实际得到11个，因李老师只需10个，需按原价支付800元；
乙商店：全场八折，总金额为元，打八折后为（元）；
丙商店：每满100元返15元现金，实际支付（元）；
，
乙商店实际支付金额最少，为640元，
故选：B．
11．【答案】
【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数的减法运算、两个有理数的乘法运算
【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示及有理数的运算，熟练掌握数轴上有理数的表示及有理数的运算是解题的关键；由数轴可知，且，则有，然后问题可求解．
【详解】解：由数轴可知，且，
∴，
∴；
故答案为＞．
12．【答案】
19
【知识点】有理数四则混合运算
【分析】本题考查新定义运算，涉及有理数的乘法、减法和加法运算，根据给定的运算规则，代入数值进行计算即可．
【详解】解：根据题意，得．
故答案为：．
13．【答案】0或2
【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数加法运算、有理数的减法运算、数轴上的翻折
【分析】本题考查有理数与数轴，分对折后点在点的左侧和右侧，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：①当对折后点在点的左侧时，此时点表示的数为：，
∴点表示的数为：；
②当对折后点在点的右侧时，此时点表示的数为：，
∴点表示的数为：；
故答案为：0或2．
14．【答案】10
【知识点】有理数大小比较、有理数乘除混合运算
【分析】本题考查的是有理数的大小比较，有理数的乘除混合运算，理解表示不超过的最大整数的意义是解题的关键．
根据题意求出、、的值，再代入代数式进行计算即可．
【详解】解：表示不超过的最大整数，
，，，
．
故答案为：．
15．【答案】
【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、有理数四则混合运算
【分析】本题考查数轴的概念，有理数的四则混合运算，关键是确定数轴上的单位长度是多少厘米．由长度是求出数轴的单位长度是，再由的长度是，即可求解．
【详解】解：∵，
∴数轴的单位长度是，
∵，
∴在数轴上间距离是6个单位长度，
∴点所对应的数为．
故答案为：0．
16．【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算
【分析】按照有理数混合运算的法则进行计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
17．【答案】(1)这周星期五图书借出43册．
(2)这周星期二比星期四多借出11册图书．
(3)这五天共借出254册图书．
【知识点】正负数的实际应用、有理数减法的实际应用、有理数四则混合运算
【分析】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
（1）根据正数和负数的实际意义列式，再计算即可；
（2）根据正数和负数的实际意义列式，计算即可；
（3）根据正数和负数的实际意义列式，再计算即可．
【详解】（1）解：（册），
∴这周星期五图书借出43册．
（2）解：（册），
∴这周星期二比星期四多借出11册图书．
（3）解：
（册），
即这五天共借出254册图书．
18．【答案】(1)，，
(2)
【知识点】利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负
【分析】本题考查利用数轴判断式子的符号，熟练掌握数轴上的数右边的比左边的大是解题的关键：
（1）根据点的位置，判断数的大小关系，进而判断式子的符号即可；
（2）根据点的位置，判断大小即可．
【详解】（1）解：由图可知：，，
∴，，；
（2）∵，，
∴；
故．
19．【答案】第①步的依据为：乘法对加法的分配律（或乘法分配律）；第②步的依据为：有理数的加法法则（互为相反数的两个数的和为0）第③步的依据为：有理数的乘法法则（任何数与0相乘，结果为0）
【知识点】有理数加法运算、有理数乘法运算律
【分析】本题考查有理数的乘法运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据乘法分配律，解答即可，
【详解】解：第①步的依据为：乘法对加法的分配律（或乘法分配律）；
第②步的依据为：有理数的加法法则（互为相反数的两个数的和为0）；
第③步的依据为：有理数的乘法法则（任何数与0相乘，结果为0）．
20．【答案】
（1）由题意可得：点A、B、C的位置如下图所示：
（2）共耗油升；
（3）便民超市与学校之间的距离为或
【知识点】正负数的实际应用、用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、有理数四则混合运算的实际应用
【分析】本题考查了数轴的相关知识点、有理数的混合运算的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）根据题意标出点A、B、C的位置即可；
（2）先求出该汽车从货物集散中心出发到达C村所行驶的路程，再乘以0.1即可得解；
（3）由（1）知点B表示的数为，求出，再分两种情况：①当便民超市在点C左侧时；②当便民超市在点C右侧时；分别求解即可．
【详解】解：（1）略
（2），
（升）．
所以该汽车从货物集散中心出发到达C村全程共耗油1.4升．
（3）由（1）知点B表示的数为，
因为n位于点B向西处的位置，
所以．
①当便民超市在点C左侧时，，
所以便民超市与学校之间的距离为．
②当便民超市在点C右侧时，，
所以便民超市与学校之间的距离为．
所以便民超市与学校之间的距离为或．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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