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专题04 全等三角形模型之半角模型
半角模型是初中几何从静态全等过渡到动态旋转探究的代表模型。各地期末、模考、中考命题人十分青睐：条件简洁，辅助线套路固定，但变式繁多，可以很好考查学生几何构造能力。核心思想：通过旋转 / 截长补短构造两组 SAS 全等，完成线段的转移，求解线段和差、三角形周长定值、角度定值。
模型来源 1
知识储备 1
例讲模型 2
模型1.半角模型（正方形与等腰直角型） 2
模型2.半角模型（等边型） 11
易错点与方法总结 17
模型运用 18
A组（基础题） 18
B组（能力提升题） 18
C组（综合压轴题） 24
半角模型本质来源于图形旋转不变性，是欧式几何经典构造模型。 该模型没有特定数学家命名，是后世教研基于旋转全等总结出的经典模型。 将图形一部分绕公共顶点旋转，让相等的边重合，把分散两条线段拼接为一条线段，再证明二次全等。
半角模型 ：90°含45°、120°含60°等特殊旋转，通过截长补短或旋转构造全等三角形，解决角度和线段问题。
1）全等三角形 SAS 判定定理；正方形、等边三角形、等腰三角形边角性质；
2）旋转的性质：旋转前后图形全等，对应边相等、对应角相等；
3）角度和差运算、邻补角； 勾股定理，利用勾股建立方程求线段；
4）截长补短辅助线思想；联动模型：手拉手旋转模型。
模型1.半角模型（正方形与等腰直角型）
【模型提炼与证明】
1）条件：如图1，四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；（正方形型）
结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB；
⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。
证明：将△CBE绕点C逆时针旋转90°至△CDG，即△CBE≌△CDG，
∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG；
∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共线。
∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°，
∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF，
∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，过点C作CH⊥EF，则∠CHE=90°，
∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△CBE≌△CHE，
∴∠HEC=∠CBE，同理可证：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。
图1 图2
2）条件：如图2，ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°；（等腰直角型）
结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；
证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，即△BAD≌△CAG，
∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG；
∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°，
∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°，
2）条件：如图2，ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°；（等腰直角型）
结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°。
证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，即△BAD≌△CAG，
∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG；
∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°，
∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°，
【模型运用】
【典例1】（2026·江西·模拟预测）如图，四边形是正方形，，分别在、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，点与点重合，得到，连接、、．(1)求证： ．(2)如图，已知旋转得到，如果正方形的边长是4，求的周长．
【典例2】（25-26八年级上·山东·期中）在正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交直线、于点、．
(1)当绕点旋转到时（如图①），求证：；
(2)当绕点A旋转到时（如图②），线段、和之间的数量关系是__________；
(3)当绕点A旋转到如图③所示的位置时，猜想线段、和之间的数量关系，并说明理由．
【典例3】（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连结，则下列结论：①；②；③平分．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
【典例4】（25-26八年级上·山东烟台·期中）如图，在正方形中，E、F分别是和上的动点，且，交和于M、N两点．下列结论：①；②；③平分．其中正确的结论是（ ）
A．②③ B．①②③ C．①③ D．①②
模型2.半角模型（等边型）
【模型提炼与证明】
1）条件：如图1，ABC是等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；（等边型120-60）
结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周长=2AB；
⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。
证明：将△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCG，即△BDE≌△CDG，
∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG；
∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF，
∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF，
∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB，
过点D作DH⊥EF，DM⊥GF，则∠DHF=∠DMF=90°，
∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△DHF≌△DMF，
∴∠HFD=∠MFD，同理可证：∠BED=∠FED，即DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。
图1 图2 图3
2）条件：如图2，ABC是等边三角形，∠EAD=30°；（等边型60-30）
结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；
证明：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACF，即△BAD≌△CAF，
∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF；
∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°，
∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°，
3）条件：如图3，∠BAC=，AB=AC，∠DAE=；（任意型）
结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。
证明：将△ABD绕点A逆时针°至△ACF，即△BAD≌△CAF，
∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠BCA=∠FCA=90°-，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°-。
∵∠BAC=，∠DAE=，∴∠BAD+∠EAC=，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=，∴∠DAE=∠FAE=，
∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE。
【模型运用】
【典例1】（25-26八年级上·江西·期末）在等边的两边，所在直线上分别有两点M，N，D为为外一点，且，，．探究：当M，N分别在直线，上移动时，，，之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系．
【操作发现】（1）如图1，当点M，N分别在边，上，且时，试猜想，，之间的数量关系，并求出此时的值．小明和小丽经过仔细思考，分别得到如下两种解题思路：
思路一：如图1-1，由，，易证是等边三角形；由等边，，，易证和均为直角三角形，且，进而可得，从而得出，，之间的数量关系，并求出的值；
思路二：如图1-2，延长至点E，使，易证，从而可证，从而得出，，之间的数量关系，并求出的值；
故，，之间的数量关系是________；此时________（直接写出结果）；
【类比探究】（2）如图2，点M，N边分别在，上，且当时，
猜想，，之间的数量关系并加以证明；②此时_________（直接写出结果）；
（3）如图3，当M，N分别在边，的延长线上时，猜想，，之间的数量关系并加以证明；②若此时，则_____（用x，L表示，直接写出结果）．
【典例2】（25-26江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在等边三角形中，在AC边上取两点使．若，，， 则以为边长的三角形的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随的值而定
【典例3】（2025·山东东营·中考真题）
【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
(1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____．
(2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【典例4】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是 ．
像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型．
拓展如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是 ．请证明你的结论．
【典例5】（25-26七年级下·广东湛江·期末）半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等或相似三角形，弱化条件，变更载体，而构建模型，可把握问题的本质．
(1)问题背景：如图1，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系；
(2)探索延伸：如图2，若在四边形中，，．E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
(3)结论应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇与指挥中心O之间的夹角，试求此时两舰艇之间的距离；
模型常见易错点
1）乱套半角结论，忽略三大条件
错误：只要看到 45° 就直接写（EF=BE+DF）。
解决方案：做题先核对：共顶点、两条边相等、大角的一半，三者缺一不可。
2）分不清线段 “和” 与 “差”
错误：点在延长线上，依旧使用（EF=BE+DF）。
解决方案：点在边上，线段相加；点在延长线上，线段相减，做题先观察动点位置。
3）解答题直接写 “由半角模型得”
错误：大题直接默写模型结论，无推导，直接扣分。
解决方案：选择填空可以直接用结论；解答题必须做辅助线，完整写出两次SAS全等证明。
4）辅助线构造出错
错误：随意作垂线、连接线段，不会旋转/截长补短。
解决方案：标准辅助线：延长边截取等线段，构造第一次全等。
5）半角模型与对角互补模型混淆
半角模型核心：共顶点等边+半角，求线段和差；对角互补核心：对角互补，垂线构造全等，重点处理角度。
解题方法总结
判定模型：检查条件：共顶点、两条边相等、内部存在半角；
作辅助线：延长其中一条边，截取线段等于已知短线段，实现旋转拼接；
第一次 SAS 全等：转移边、转移角；角度倒角：证明拼接得到的角等于半角；
第二次 SAS 全等：完成线段等量转化；根据点的位置，选用和或者差，求解线段、周长（可能会结合勾股）。
记忆口诀：共顶等边含半角，延长截线造全等； 两组 SAS 来证明，边上求和延求差； 选填可速算，大题要证全。
1.（25-26八年级上·黑龙江·期末）已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点、.
当绕点旋转到时（如图1），易证：.（不必证明）
(1)当绕点旋转到时，在图2种情况下，求证：.
(2)当绕点旋转到时，在图3种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.
2.（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，等边△ABC中，在BC边上取两点D，E，使∠DAE＝30°．
（1）当∠BAD＝15°时，如图1，求证：△ADE为等腰三角形；
（2）作D点关于直线AE的对称点F，连接AF，CF，如图2．求证：△ADF为等边三角形；
（3）求证：以BD，DE，CE为边长的三角形为钝角三角形．
3.（25-26广东八年级上期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB = BC = DC，点E、F分别在AD、AB上，且.（1）求证：；（2）连结AC，若，求的度数.
4．（25-26九年级上·山西·期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得． 大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故．
任务：
如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
5．（25-26九年级上·山西大同·阶段练习）定义，我们习惯把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半，这样的模型称为半角模型．常见的图形为正方形、正三角形、等腰直角三角形等，在解决“半角模型”的问题时，旋转是一种常用的方法．
已知，如图，四边形是正方形，，分别在边、上，且，
(1)在图1中，连接，为了证明结论“”，小亮将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；(2)如图2，当绕点旋转到图位置时，试探究与、之间有怎样的数量关系？
6．（25-26九年级上·广东深圳·期中）在正方形中，，绕点A按顺时针方向旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于M，N两点，当绕点A旋转到时，如图1，易证：（不需证明）．
(1)当绕点A旋转到时，如图2，线段，和之间有怎样的数量关系？并说明理由．(2)当绕点A旋转到如图3所示的位置时，线段，和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
1．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，正方形中，，点E、F分别在边上，，连接，下列结论：①；②平分；③的周长为2；④，其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④
2．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列说法：① ；②平分；③平分；④ ．其中正确的是 （填写正确的序号）
3．（25-26九年级下·重庆·期中）综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
(1)【初步尝试】如图，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由；
(2)【类比探究】小启改变点的位置后，进一步探究：如图，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】李老师提出新的探究方向：如图，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
4．（24-25九年级上·四川达州·期末）（1）【问题情景】如图1，已知在正方形中，点E、F分别是边、上的一动点，连接、，且，如图，延长至G，使，通过证明和可得，即：．
（2）【尝试探究】如图2，当点E、F分别在射线、上运动，时，探究、、之间的数量关系，请说明理由；
（3）【模型建立】如图3，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点E、F分别在边、上运动，且，试猜想（1）中的结论还成立吗？请加以说明；
（4）【拓展应用】如图4，已知是边长为5的等边三角形，点D是外一点，连接、，且，，以D为顶点作一个角，使其角的两边分别交边、于点E、F，连接，求的周长．
5.（25-26八年级上·河南郑州·期末）【模型解读】“半角模型”是指在一个大角中包含着一个大小为其一半的角，通过边与角的特殊关系解决线段长度、角度的相关问题．在解决这类问题时，“截长补短”是一种常用的方法，将分散的线段或角集中在一起，构造全等三角形，从而利用全等三角形的性质来解决问题．
【初步思考】（）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且．求证：．
小文发现此题是证明线段的和（差）问题，联想到近期所学过的转化的问题解决策略，找到证明此类题型的常见方法，于是就有了如下的思考过程：请你在下面的框图中填空帮他补全证明思路．
第一步：延长至点，使，连接，易证，
得出① ，．
第二步：，，得出，
所以，即 ② ．
第三步：易证，得出 ③ ，因为④ ，所以．
【探究迁移】（）如图，由特殊到一般：把（）中变换为，其余条件不变，爱思考的小文发现仍然成立，请你类比上面“延长、证全等”的方法写出证明过程．
【拓展应用】（）如图，四边形是边长为的正方形，，则的周长为 ．
6．（25-26八年级下·河南南阳·期末）【问题背景】从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与两对边的交点，构成的基本平面几何模型称为半角模型．
【问题发现】（1）如图1，在正方形中，以A为顶点的，与边分别交于E，F两点．则之间的数量关系为_________．
【问题探究】（2）如图2，在四边形中，，，，以A为顶点的，与边分别交于E，F两点，且，求五边形的周长．
【问题拓展】（3）如图3，在四边形中，，与互补，点E，F分别在射线上，且．当，，时，请直接写出的周长．

1．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，在正方形中，，连接．小明同学在进一步探究这个题目时，将绕点顺时针旋转了，然后发现了一些结论．你认为他发现的以下四个结论完全正确的是（ ）
平分；平分；；的周长正方形边长的倍
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在与中，，，、分别是、上的点，，下列结论：①；②若，则；③平分；④平分．其中正确的是 （填写序号）．
3．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在四边形中，，=3cm，，，点从点出发以每秒速度沿着射线运动，设运动时间为秒，点在射线上，且．①如图1，若点E在线段上，判断线段之间的数量关系，并加以证明．②在整个运动过程中，求的周长（结果可用含的式子表示）．
4．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：正方形中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点，．当绕点A旋转到时（如图1），易证．

(1)当绕点A旋转到时（如图2），线段，和之间有怎样的数量关系？
请直接写出猜想：________________________．(2)当绕点A旋转到如图3的位置时，线段，和之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．(3)图3中若，，求的面积．
5．（2025·江苏扬州·二模）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等．
【问题初探】（1）如图1，在四边形中，，，、分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系．
①如图1，从条件出发：将绕着点逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论．
【类比分析】（2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长．
【学以致用】（3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当，，时，求出的周长．
6．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）阅读理解
半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质．

【问题背景】如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系．
【初步探索】小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是______________．
【探索延伸】如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为_______海里．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题04 全等三角形模型之半角模型
半角模型是初中几何从静态全等过渡到动态旋转探究的代表模型。各地期末、模考、中考命题人十分青睐：条件简洁，辅助线套路固定，但变式繁多，可以很好考查学生几何构造能力。核心思想：通过旋转 / 截长补短构造两组 SAS 全等，完成线段的转移，求解线段和差、三角形周长定值、角度定值。
模型来源 1
知识储备 1
例讲模型 2
模型1.半角模型（正方形与等腰直角型） 2
模型2.半角模型（等边型） 11
易错点与方法总结 17
模型运用 18
A组（基础题） 18
B组（能力提升题） 18
C组（综合压轴题） 24
半角模型本质来源于图形旋转不变性，是欧式几何经典构造模型。 该模型没有特定数学家命名，是后世教研基于旋转全等总结出的经典模型。 将图形一部分绕公共顶点旋转，让相等的边重合，把分散两条线段拼接为一条线段，再证明二次全等。
半角模型 ：90°含45°、120°含60°等特殊旋转，通过截长补短或旋转构造全等三角形，解决角度和线段问题。
1）全等三角形 SAS 判定定理；正方形、等边三角形、等腰三角形边角性质；
2）旋转的性质：旋转前后图形全等，对应边相等、对应角相等；
3）角度和差运算、邻补角； 勾股定理，利用勾股建立方程求线段；
4）截长补短辅助线思想；联动模型：手拉手旋转模型。
模型1.半角模型（正方形与等腰直角型）
【模型提炼与证明】
1）条件：如图1，四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；（正方形型）
结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB；
⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。
证明：将△CBE绕点C逆时针旋转90°至△CDG，即△CBE≌△CDG，
∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG；
∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共线。
∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°，
∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF，
∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，过点C作CH⊥EF，则∠CHE=90°，
∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△CBE≌△CHE，
∴∠HEC=∠CBE，同理可证：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。
图1 图2
2）条件：如图2，ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°；（等腰直角型）
结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；
证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，即△BAD≌△CAG，
∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG；
∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°，
∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°，
2）条件：如图2，ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°；（等腰直角型）
结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°。
证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，即△BAD≌△CAG，
∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG；
∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°，
∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°，
【模型运用】
【典例1】（2026·江西·模拟预测）如图，四边形是正方形，，分别在、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，点与点重合，得到，连接、、．
(1)求证： ．
(2)如图，已知旋转得到，如果正方形的边长是4，求的周长．
【答案】(1)见解析(2)8
【详解】（1）证明：由旋转的性质，可知：，，，
在和中，，；
（2）解：由旋转的性质，可知：，，，，
点、、共线，，
在和 中，，．，
，；，
正方形的边长为4，．
【典例2】（25-26八年级上·山东·期中）在正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交直线、于点、．
(1)当绕点旋转到时（如图①），求证：；
(2)当绕点A旋转到时（如图②），线段、和之间的数量关系是__________；
(3)当绕点A旋转到如图③所示的位置时，猜想线段、和之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)证明过程见解析(2)(3)，理由见解析
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，∴，，
在和中，，∴，∴，，
∵，，∴，
∴，作于点，
∵，∴平分，∴，
∴，，∴平分，平分，
∵，，∴，，，，∴，，
∵，∴．
（2）解：在延长线上截取，连接，∵四边形是正方形，
∴，，，∴，
在和中，，∴，∴，，，
∵，，∴，
∴，∴，
在和中，，∴，∴，
∴，∴，故答案为：．
（3）解：，理由：在上截取，连接，
∵四边形是正方形，∴，，∴，
在和中，，∴，∴，，
∵，∴，
∴，∴，
在和中，，∴，∴，
∵，∴，∴，
答：线段、和之间的数量关系为．
【典例3】（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连结，则下列结论：①；②；③平分．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
【答案】D
【详解】解：由旋转的性质可得：， ，，
，，故①正确；
，，即：平分，故③正确；，
，∠FEB＜90°，故与不相等，故②不正确，
综上所述，①③正确，故选：D．
【典例4】（25-26八年级上·山东烟台·期中）如图，在正方形中，E、F分别是和上的动点，且，交和于M、N两点．下列结论：①；②；③平分．其中正确的结论是（ ）
A．②③ B．①②③ C．①③ D．①②
【答案】D
【详解】解：如图所示，延长到G，使得，连接，
∵四边形是正方形，∴，
∴，
又∵，∴，∴，，
∵，∴，
∴，∴，
又∵，∴，∴，
∴，即平分，故③正确；
∵，∴，故①正确；
如图所示，将绕点A顺时针旋转90度得到，连接，
由旋转的性质可得，同理可得证明，
又∵，∴，∴，
∵，∴，故②错误；故选：D．
模型2.半角模型（等边型）
【模型提炼与证明】
1）条件：如图1，ABC是等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；（等边型120-60）
结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周长=2AB；
⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。
证明：将△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCG，即△BDE≌△CDG，
∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG；
∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF，
∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF，
∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB，
过点D作DH⊥EF，DM⊥GF，则∠DHF=∠DMF=90°，
∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△DHF≌△DMF，
∴∠HFD=∠MFD，同理可证：∠BED=∠FED，即DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。
图1 图2 图3
2）条件：如图2，ABC是等边三角形，∠EAD=30°；（等边型60-30）
结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；
证明：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACF，即△BAD≌△CAF，
∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF；
∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°，
∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°，
3）条件：如图3，∠BAC=，AB=AC，∠DAE=；（任意型）
结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。
证明：将△ABD绕点A逆时针°至△ACF，即△BAD≌△CAF，
∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠BCA=∠FCA=90°-，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°-。
∵∠BAC=，∠DAE=，∴∠BAD+∠EAC=，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=，∴∠DAE=∠FAE=，
∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE。
【模型运用】
【典例1】（25-26八年级上·江西·期末）在等边的两边，所在直线上分别有两点M，N，D为为外一点，且，，．探究：当M，N分别在直线，上移动时，，，之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系．
【操作发现】（1）如图1，当点M，N分别在边，上，且时，试猜想，，之间的数量关系，并求出此时的值．小明和小丽经过仔细思考，分别得到如下两种解题思路：
思路一：如图1-1，由，，易证是等边三角形；由等边，，，易证和均为直角三角形，且，进而可得，从而得出，，之间的数量关系，并求出的值；
思路二：如图1-2，延长至点E，使，易证，从而可证，从而得出，，之间的数量关系，并求出的值；
故，，之间的数量关系是________；此时________（直接写出结果）；
【类比探究】（2）如图2，点M，N边分别在，上，且当时，
猜想，，之间的数量关系并加以证明；②此时_________（直接写出结果）；
（3）如图3，当M，N分别在边，的延长线上时，猜想，，之间的数量关系并加以证明；②若此时，则_____（用x，L表示，直接写出结果）．
【答案】（1），；（2），证明见解析；；（3），证明见解析；
【详解】解：（1），；理由如下：
，，是等边三角形，，
，，，
是等边三角形，，，
在和中，，
，，，
，；
，，，，是等边三角形，
，的周长，
等边的周长，；
（2），理由如下：如图2，延长到E，使，连接，
是等边三角形，，，，，
，即，，
在和中，，，，
，，，
，即，
在和中，，，
，，；根据（1）可得
（3），理由如下：如图3，在上截取，连接，
由（2）知：，，
在和中，，，，
，，
在和中，，，
，，；
②．如图3，等边的周长为L，
，的周长
．故答案为．
【典例2】（25-26江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在等边三角形中，在AC边上取两点使．若，，， 则以为边长的三角形的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随的值而定
【答案】C
【详解】解：如图所示：将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH，连接HN，
由旋转性质可知，BM=BH，CH=AM，，，
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，∵∠MBN=30°，∴∠ABM+∠CBN=30°，
∴∠NBH=∠CBH+∠CBN=∠ABM+∠CBN =30°，∴∠NBM=∠NBH，
在△NBM与△NBH中，，∴△NBM≌△NBH（SAS），∴MN=NH=x，
∵∠BCH=∠A=60°，CH=AM=m，∴∠NCH=120°，
∴以x，m，n为边长的三角形△NCH是钝角三角形．故选：C．
【典例3】（2025·山东东营·中考真题）
【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
(1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____．
(2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)(2)，理由见解析(3)
【详解】（1）解：绕点A顺时针旋转，得到，
，，，，
四边形是正方形，，
，E、B、N三点共线，
，，，，，
，，，，
；故答案为：；
（2）解：；理由如下：将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，
，，，，E在上，
四边形是正方形，，，
，，，，
，，；
（3）解：．理由如下：将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，
，，，，
，，
E、B、N三点共线，
，，，，．
【典例4】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是 ．
像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型．
拓展如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是 ．请证明你的结论．
【答案】（1）；（2），证明见解析
【详解】解：（1）在和中
，；又，；
在和中
（2），理由：如图所示，延长到点，使，连接
，
在和中，
在和中
【典例5】（25-26七年级下·广东湛江·期末）半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等或相似三角形，弱化条件，变更载体，而构建模型，可把握问题的本质．
(1)问题背景：如图1，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系；
(2)探索延伸：如图2，若在四边形中，，．E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
(3)结论应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇与指挥中心O之间的夹角，试求此时两舰艇之间的距离；
【答案】(1)(2)（1）中的结论仍然成立，理由见解析(3)210海里
【详解】（1）解：；理由如下：如图1，延长到点G，使．连接，
在和中，，∴，∴，，
∵，∴，
即，在和中，，∴，∴，
∵，∴；
（2）解：（1）中的结论仍然成立，即．理由：
如图2，延长到点G，使．连接，
在和中，，∴，∴，，
∵，∴，
即，在和中，，∴，∴，
∵，∴；
（3）解：如图3，连接，延长、相交于点C，
∵，，∴，
∵，，∴符合探索延伸中的条件，
∴结论成立，即（海里）．∴此时两舰艇之间的距离为210海里．
模型常见易错点
1）乱套半角结论，忽略三大条件
错误：只要看到 45° 就直接写（EF=BE+DF）。
解决方案：做题先核对：共顶点、两条边相等、大角的一半，三者缺一不可。
2）分不清线段 “和” 与 “差”
错误：点在延长线上，依旧使用（EF=BE+DF）。
解决方案：点在边上，线段相加；点在延长线上，线段相减，做题先观察动点位置。
3）解答题直接写 “由半角模型得”
错误：大题直接默写模型结论，无推导，直接扣分。
解决方案：选择填空可以直接用结论；解答题必须做辅助线，完整写出两次SAS全等证明。
4）辅助线构造出错
错误：随意作垂线、连接线段，不会旋转/截长补短。
解决方案：标准辅助线：延长边截取等线段，构造第一次全等。
5）半角模型与对角互补模型混淆
半角模型核心：共顶点等边+半角，求线段和差；对角互补核心：对角互补，垂线构造全等，重点处理角度。
解题方法总结
判定模型：检查条件：共顶点、两条边相等、内部存在半角；
作辅助线：延长其中一条边，截取线段等于已知短线段，实现旋转拼接；
第一次 SAS 全等：转移边、转移角；角度倒角：证明拼接得到的角等于半角；
第二次 SAS 全等：完成线段等量转化；根据点的位置，选用和或者差，求解线段、周长（可能会结合勾股）。
记忆口诀：共顶等边含半角，延长截线造全等； 两组 SAS 来证明，边上求和延求差； 选填可速算，大题要证全。
1.（25-26八年级上·黑龙江·期末）已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点、.
当绕点旋转到时（如图1），易证：.（不必证明）
(1)当绕点旋转到时，在图2种情况下，求证：.
(2)当绕点旋转到时，在图3种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.
【答案】(1)证明见解析；(2)不成立，
【详解】（1）证明：如图，延长到点，使，连接，
，，
在和中，，，，
，，
，即，，
在和中，，，，
，．
（2）不成立， 证明如下：如图，在上截取，连接，
，，
在和中，，，，
，，
，，
在和中，，，，
，即．
2.（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，等边△ABC中，在BC边上取两点D，E，使∠DAE＝30°．
（1）当∠BAD＝15°时，如图1，求证：△ADE为等腰三角形；
（2）作D点关于直线AE的对称点F，连接AF，CF，如图2．求证：△ADF为等边三角形；
（3）求证：以BD，DE，CE为边长的三角形为钝角三角形．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．
【详解】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°＝∠B＝∠C，
∵∠BAD＝15°，∠DAE＝30°，∴∠CAE＝∠BAD＝15°，
∴△ABD≌△ACE（ASA），∴AD＝AE，∴△ADE是等腰三角形；
（2）∵点D，点F关于直线AE对称，∴AD＝AF，AE垂直平分DF，
∴∠DAE＝∠FAE＝30°，∴∠DAF＝60°，∴△ADF是等边三角形；
（3）如图，连接EF，∵∠DAF＝∠BAC＝60°，∴∠BAD＝∠CAF，
又∵AB＝AC，AD＝AF，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD＝CF，∠ABD＝∠ACF＝60°，∴∠ECF＝120°，
∵AE垂直平分DF，∴DE＝EF，∵△EFC是钝角三角形，∴以EF，CE，CF为边长的三角形是钝角三角形，∴以BD，DE，CE为边长的三角形为钝角三角形．
3.（25-26广东八年级上期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB = BC = DC，点E、F分别在AD、AB上，且.（1）求证：；（2）连结AC，若，求的度数.
【答案】（1）见解析；（2）20°
【详解】（1）旋转△BCF使BC与CD重合，
∵AD∥BC，AB=DC，即梯形ABCD为等腰梯形，
∴∠A=∠ADC，∠A+∠ABC=180°，∴∠ADC+∠ABC=180°，
由旋转可知：∠ABC=∠CDF′，∴∠ADC+∠CDF′=180°，即∠ADF′为平角，∴A，D，F′共线，
∵∴∠BCF+∠ECD=∠ECF=∠BCD，
∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，∴△FCE≌△F′CE，∴EF′=EF=DF′+ED，∴BF=EF-ED；
（2）∵AB=BC，∠B=80°，∴∠ACB=50°，由（1）得∠FEC=∠DEC=70°，
又∵AD//BC，∴∠ECB=70°，而∠B=∠BCD=80°，∴∠DCE=10°，∴∠BCF=30°，∴∠ACF=∠BCA-∠BCF=20°．
4．（25-26九年级上·山西·期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得． 大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故．
任务：
如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【答案】成立，见解析
【详解】解：成立．证明：将绕点顺时针旋转得到，
，，，，，
，、、三点共线，
，，
，，，，．
5．（25-26九年级上·山西大同·阶段练习）定义，我们习惯把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半，这样的模型称为半角模型．常见的图形为正方形、正三角形、等腰直角三角形等，在解决“半角模型”的问题时，旋转是一种常用的方法．
已知，如图，四边形是正方形，，分别在边、上，且，
(1)在图1中，连接，为了证明结论“”，小亮将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；(2)如图2，当绕点旋转到图位置时，试探究与、之间有怎样的数量关系？
【答案】(1)见解析(2)．
【详解】（1）证明：如图1，由旋转可得，，
四边形为正方形
、、三点在一条直线上
在和中
；
（2）解：结论：．
理由：如图，把绕点逆时针旋转，使与重合，点与点对应，同（）可证得，
，且，．
6．（25-26九年级上·广东深圳·期中）在正方形中，，绕点A按顺时针方向旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于M，N两点，当绕点A旋转到时，如图1，易证：（不需证明）．
(1)当绕点A旋转到时，如图2，线段，和之间有怎样的数量关系？并说明理由．
(2)当绕点A旋转到如图3所示的位置时，线段，和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析
【详解】（1）解：，理由如下：如图2，把绕点A顺时针旋转，得到，
由旋转的性质得：，，，，
∵四边形是正方形∴∵∴E，B，M三点共线，
又∵，∴，
在和中，，∴，∴，
∵，∴．
（2）解：，理由如下：如图3，在线段上截取，
∵四边形是正方形∴
在和中，，∴，∴，
∵，∴
∵∴，
在和中，，∴，∴，
∵∴．
1．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，正方形中，，点E、F分别在边上，，连接，下列结论：①；②平分；③的周长为2；④，其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【详解】延长到T，使得，连接
∵四边形是正方形，∴，，
∵，∴（），∴，，∴，
∵，∴，
∵，∴（），∴，，∴平分,
∵，，∴．∴．故①②正确；
∵的周长为,故③正确；
根据题意，
∴，无法确定，故④错误，故选B．
2．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列说法：① ；②平分；③平分；④ ．其中正确的是 （填写正确的序号）
【答案】①②④
【详解】解：延长到点，使，连接，则，
∵于点，于点，，
在和中，，，
，，，，，
，，
在和中，，，
，，，，故①正确，②正确；
，，不平分，故③错误；
，且，，故④正确，故答案为：①②④．
3．（25-26九年级下·重庆·期中）综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
(1)【初步尝试】如图，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由；
(2)【类比探究】小启改变点的位置后，进一步探究：如图，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】李老师提出新的探究方向：如图，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)；理由见解析(2)；理由见解析(3)；理由见解析
【详解】（1）解：，理由如下：
由旋转的性质，可知，，，，
又正方形中，，，，，三线共线，
，，
在和中，，， ，
，．
（2）解：，理由如下：如图，在上取，连接，
在正方形中，，，，
在和中，，，，，
，，，
在和中，，，，
，．
（3）解：,理由如下： 如图，将绕点逆时针旋转得，
，，，
，，，，三点共线，
由（1）同理可得，．
4．（24-25九年级上·四川达州·期末）（1）【问题情景】如图1，已知在正方形中，点E、F分别是边、上的一动点，连接、，且，如图，延长至G，使，通过证明和可得，即：．
（2）【尝试探究】如图2，当点E、F分别在射线、上运动，时，探究、、之间的数量关系，请说明理由；
（3）【模型建立】如图3，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点E、F分别在边、上运动，且，试猜想（1）中的结论还成立吗？请加以说明；
（4）【拓展应用】如图4，已知是边长为5的等边三角形，点D是外一点，连接、，且，，以D为顶点作一个角，使其角的两边分别交边、于点E、F，连接，求的周长．
【答案】（2）见详解 （3）成立，见详解 （4）
【详解】（2），理由如下:如图，在上截取，连接
∵，∴，
∴，∴，
∵，∴，又∵，∴，
， ，即 ；
（3）结论仍然成立，理由如下：如图，把绕点逆时针旋转，使与重合，得到，
，，，
∴点三点共线， ，
又∵，，即，
又∵，∴，∴，
又∵，∴；
(4)∵是边长为的等边三角形，∴，，
∵，∴，
∵，把绕点顺时针旋转至，可使与重合，
由旋转得: ，，，
同理得：点在同一条直线上，
，∴，∴，∴，
∵，∴，∴ ，∴，
∴的周长．
5.（25-26八年级上·河南郑州·期末）【模型解读】“半角模型”是指在一个大角中包含着一个大小为其一半的角，通过边与角的特殊关系解决线段长度、角度的相关问题．在解决这类问题时，“截长补短”是一种常用的方法，将分散的线段或角集中在一起，构造全等三角形，从而利用全等三角形的性质来解决问题．
【初步思考】（）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且．求证：．
小文发现此题是证明线段的和（差）问题，联想到近期所学过的转化的问题解决策略，找到证明此类题型的常见方法，于是就有了如下的思考过程：请你在下面的框图中填空帮他补全证明思路．
第一步：延长至点，使，连接，易证，
得出① ，．
第二步：，，得出，
所以，即 ② ．
第三步：易证，得出 ③ ，因为④ ，所以．
【探究迁移】（）如图，由特殊到一般：把（）中变换为，其余条件不变，爱思考的小文发现仍然成立，请你类比上面“延长、证全等”的方法写出证明过程．
【拓展应用】（）如图，四边形是边长为的正方形，，则的周长为 ．
【答案】（），，，；（）仍然成立，理由见解析；（）
【详解】（）证明：如图，延长至点，使，连 接，
∵， ∴，
在和中， ， ∴，∴，，
∴，
∵，∴，
在和中， ，∴， ∴，
∵，∴，故答案为：，，，；
（）仍然成立，理由如下：如图，延长到点，使，连 接，
∵，， ∴，
在和中， ，∴， ∴，，
∵， ∴，
∴，即，
在和中，，∴， ∴，
∵，∴，∴（）中的结论仍然成立；
（）如图，延长到点，使，连接， ∵四边形是边长为的正方形，
∴， ， ∴，
在和中， ，∴，∴，，
∵，∴，∴，
在和中， ，∴，∴，
∵， ∴，
∴，∴ 的周长为，故答案为：．
6．（25-26八年级下·河南南阳·期末）【问题背景】从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与两对边的交点，构成的基本平面几何模型称为半角模型．
【问题发现】（1）如图1，在正方形中，以A为顶点的，与边分别交于E，F两点．则之间的数量关系为_________．
【问题探究】（2）如图2，在四边形中，，，，以A为顶点的，与边分别交于E，F两点，且，求五边形的周长．
【问题拓展】（3）如图3，在四边形中，，与互补，点E，F分别在射线上，且．当，，时，请直接写出的周长．

【答案】（1）；（2）22；（3）18
【详解】解：（1），
理由：如图，将绕点顺时针旋转得到，

，
，∴点在一条直线上，
∵四边形为正方形，，
，，，
在和中，，，
，，故答案为：；
（2）解：将绕点顺时针旋转得到，
，
，三点共线，
，，，
，，，，
五边形的周长；
（3）解：在上截取，，，

在和中，，，
，，，
在和中，，，
，，
．
1．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，在正方形中，，连接．小明同学在进一步探究这个题目时，将绕点顺时针旋转了，然后发现了一些结论．你认为他发现的以下四个结论完全正确的是（ ）
平分；平分；；的周长正方形边长的倍
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵四边形是正方形，∴，，
∵将绕点顺时针旋转了，∴，，，，∴，∴三点共线，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴，，，
∴平分，故正确；
∵，∴，∴平分，故正确；
∴的周长，
，故正确；综上可知：正确，故选：．
2．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在与中，，，、分别是、上的点，，下列结论：①；②若，则；③平分；④平分．其中正确的是 （填写序号）．
【答案】①③④
【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，
则，，，，
，，，
，，
，，
点、、共线，，
在和中，，，，
，，故①正确；，，
与不一定相等，与不一定相等，
与不一定相等，与不一定相等，故②错误；
，，平分，故③正确；
过点作于点，延长线于点，则，
，，，
在和中，，，，
点在的平分线上，平分，故④正确，故答案为：①③④．
3．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在四边形中，，=3cm，，，点从点出发以每秒速度沿着射线运动，设运动时间为秒，点在射线上，且．①如图1，若点E在线段上，判断线段之间的数量关系，并加以证明．②在整个运动过程中，求的周长（结果可用含的式子表示）．
【答案】①它们的关系为．证明见解析；②当秒时周长为，当时，不存在；当秒时，周长为
【详解】解：①它们的关系为．理由如下：如图1，延长到点G，使，连结，
又， ，，
，
又， 即
②依题意得，记的周长，
，，，
（I）当秒时，点在线段上，点在上，
由①知
，
II）当时，点与点重合，不存在.
III）当时，点在延长线上，点在延长线上，
如图2，在上取点G，使，连结，
同理可得，
综上所述，当秒时周长为，
当时，不存在. 当秒时，周长为．
4．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：正方形中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点，．当绕点A旋转到时（如图1），易证．

(1)当绕点A旋转到时（如图2），线段，和之间有怎样的数量关系？
请直接写出猜想：________________________．(2)当绕点A旋转到如图3的位置时，线段，和之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．(3)图3中若，，求的面积．
【答案】(1)(2)，证明见解析(3)
【详解】（1）解：猜想：，
证明如下：如图2，在的延长线上，截取，连接，

∵四边形是正方形，∴，
在和中，，∴，∴，
∵，∴，∴， ∴，
在和中，，∴，∴，
又∵，∴；故答案为：
（2）解：，证明如下：如图3，在上截取，连接，

在和中，，∴，
∴，，
∴，即，
∵，∴，
在和中，，∴， ∴，
∴，∴；
（3）解：∵，∴，，
∵四边形是正方形，， ∴，
∴的面积为：，∴．即的面积为．
5．（2025·江苏扬州·二模）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等．
【问题初探】（1）如图1，在四边形中，，，、分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系．
①如图1，从条件出发：将绕着点逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论．
【类比分析】（2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长．
【学以致用】（3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当，，时，求出的周长．
【答案】（1），理由见解答；（2）；（3）
【详解】（1），理由如下：
∵在四边形中，，，
∴绕点旋转得到，∴，
∴，，，，，三点共线，
∵，∴，∴，
∴在和中，，∴，∴；
（2）在上取点，使得，
∵，∴，
∴，∵，∴，
在和中，，∴，∴，，
∵，∴，
∵，∴，
∵，，∴，∴，设，
∵，，，∴，，
∴在中，，∴，解得：，∴．
（3）在上取点，使得，∵与互补，∴，
∵，∴，
在和中，，∴，∴，，
∵，∴，∴，
在和中，，∴，∴，
∵，∴，
∴，
∵，，，∴．
6．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）阅读理解
半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质．

【问题背景】如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系．
【初步探索】小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是______________．
【探索延伸】如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为_______海里．
【答案】【问题背景】，理由见详解；【初步探索】；【探索延伸】仍然成立，理由见详解；【结论运用】
【详解】解：【问题背景】，理由如下，如图所示，

∵，，
∴将绕点逆时针旋转得，与重合，
∴，∴，，，
∵，∴，∴点共线，
∵，，∴，
∴，即，
在中，，∴，∴，
∵，∴；
【初步探索】根据题意，，延长至点，∴，
在中，，∴，∴，，
∵，，∴，
∴，即，
在中，，∴，∴，
∵，∴，故答案为：；
【探索延伸】仍然成立，理由如下，如图所示，延长至点，使得，
∵，，∴，
在中，，∴，∴，，
∵，∴，
即，∴，
在中，，∴，
∴，且，∴；
【结论运用】如图所示，连接，过点作轴于点，

根据题意可得，，，，，
∴在中，，，则，
∴，
∵，∴，
∵舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙以海里/小时的速度前进，形式小时，
∴（海里），（海里），
如图所示，延长至点，使得，则，
在中，，∴，∴，，
∴，
∴在中，，∴，
∴，∴（海里），
∴此时两舰艇之间的距离为海里，故答案为：．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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