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专题04 三角形中的倒角模型之8字模型、A字模型与三角板模型
本套模型是初中几何所有倒角体系的底层基石，全部由三角形内角和、外角定理、对顶角性质衍生而来。三者核心工具：三角形内角和 180°、三角形外角等于不相邻两内角之和、对顶角相等。命题特点：题干不会直接给出标准模型，全部为隐藏模型，需要学生自主识图剥离结构。多用于填空选择快速口算角度，也是复杂几何（高阶几何模型、圆综合、压轴探究）大题倒角的底层工具。
模型来源 1
知识储备 2
例讲模型 2
模型1.“8”字模型 2
模型2.“A”字模型 7
模型3.三角板模型 9
易错点与方法总结 14
模型运用 15
A组（基础题） 15
B组（能力提升题） 18
C组（综合压轴题） 23
8字模型、A字模型不属于数学定理，是初中几何教研总结的标准化图形工具。教研界将高频重复图形归纳为8字、A字固定模型，大幅简化几何解题步骤。三角板模型源自课堂标准教具，中考命题人刻意将课堂实操几何动态搬进试卷，考查学生图形抽象能力，是极少数“源于课本、高于课本”的原生模型。
8字模型：解决相交结构角度等量替换；A字模型：解决三角形内部截线外角倒角；三角板模型：解决固定特殊角动态旋转、重叠角度计算。
1）三角形内角和定理：任意三角形内角和180°；
2）三角形外角定理：外角=不相邻两内角和；
3）对顶角相等、邻补角互补；
4）两套标准三角板固定角度：45°、45°、90°；30°、60°、90°；
5）平行线同位角、内错角相等、角平分线定义。
模型1.8字模型
【模型提炼与证明】
1）8字模型（基础型）
条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。
证明：在 ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；在 COD中，∠C+∠D+∠COD=180°；
∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D；
在 ABO中，AB＜AO+BO；在 COD中，CD＜CO+DO；
∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。
图1 图2
2）8字模型（加角平分线）
条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D
证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD
∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ②
①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D
【模型运用】
【典例1】（2026·北京门头沟·二模）如图，和交于点，于点，连接．若，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：在中，，，
，，．
【典例2】（25-26七年级下·江苏常州·期中）如图，与、分别交于点、，则______
【答案】180
【详解】解：∵和分别是和的外角，∴，
∴，
∵，∴．
【典例3】（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，和的平分线和相交于P点，若，，那么的度数是___．
【答案】/40度
【详解】解：∵，而，∴①，
同理可得②，得，
∵和的平分线和相交于P点，∴，，
∴，∴，解得．故答案为：．
【典例4】（24-25七年级下·河南·期末）如图，与交于点，则的度数为 ．
【答案】/540度
【详解】解∶ 连接，
∵，，，∴，
∴
，故答案为：．
【典例5】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）【新知探究】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，求证：；
【问题探究】（2）如图2，、分别平分，，若，求度数；
【拓展提升】（3）如图3，直线平分的外角，平分的外角，请猜想的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）；（3），理由见解析
【详解】（1）证明：在中，，则，
在中，，则，
∵，∴；
（2）解：由（1）得：，∴，
∵平分，平分，∴，∴，
∵，∴，∴；
（3）解：，理由如下：如图3，
由（1）得，
∵，∴，
∴∴，
∵平分的外角，平分的外角，∴，∴．
【典例6】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）平面内，四条线段、、、首尾顺次相连，与相交于点O．
(1)如图1，若，，和的角平分线交于点M，求的度数；
(2)如图2，若，，，，求的度数；
(3)如图3，若，，，，试用含n、x、y的代数式表示的度数．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：∵和的角平分线交于点M，∴，，
∵，，，
∴，同理可得：，
由可得：，∴，
∵，，∴；
（2）解：∵，，，∴，∵，，∴，
∵，，，
∴，同理可得：，
由可得：，
∵，，∴，
∴，∴，
∵，，∴；
（3）解：∵，，，
∴，∵，，∴，
∵，，，
∴，同理可得：，
由可得：，
∵，，
∴，
∴，∴，
∵，，∴．
模型2.A字模型
【模型提炼与证明】
图1 图2
条件：如图1，在 ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角；
结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E
证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。
②在 ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在 ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。
【模型运用】
【典例1】（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在中，，剪去得到一个四边形，则的度数为______．
【答案】
【详解】解：，，
．
【典例2】24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，在中，沿虚线剪去，若，则的度数为 ______．
【答案】
【详解】解：如图，∵，，∴，
∵，∴，∵，∴．
【典例3】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，与的数量关系正确的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，，∴．
【典例4】（24-25八年级下·贵州铜仁·期中）（1）如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则 ____；
（2）如图2，已知中，，剪去后成四边形，则____；
（3）如图3，当时，将折成如图3形状，试求的度数（用含α的式子表示）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】解：（1）如图，为直角三角形，，∴，
∵，，∴，∴；
（2）如图，∵，∴，
∵，，∴，∴；
（3）如图，，理由见下：由题意得，，
∴，，∴，，
∴，∵，
∴，∴，
∴，∴，即．
模型3.三角板模型
【模型提炼与证明】
当题中含三角板时，先根据度数或隐含条件判断三角形的形状，标注其中的特殊角度（90°、30°、45°、60°），再根据题干解题。一副三角板可以拼接出的角度为三角板所含角度的和差，且均为15°的整数倍。
常见角度拼接（证明特别简单，故略过）。
【模型运用】
【典例1】（2026·福建三明·一模）将一副分别含角和角的直角三角板按如图所示方式摆放，点D在边上，保持点D位置不动，将绕点D旋转，始终保持边与边相交，则和的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：根据题意可得，，∴，∵，∴，
∴，∴．
【典例2】（2026·江苏淮安·模拟预测）将一副三角尺按图所示方式摆放，它们共用顶点，，分别交于点，．若，，，，则的度数是______．

【答案】/75度
【详解】解：∵，，，∴，，
∵，∴，∴，
∴，∴．
【典例3】（2026·陕西西安·模拟预测）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点在同一条直线上，，，．当时，的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，∵，∴.
【典例4】（25-26七年级下·山东枣庄·期中）一副直角三角板中， ，现将直角顶点 C 按照如图方式叠放，点E 在直线上方，且（ ，能使三角形 有一条边与平行的所有的度数的和为_____________．
【答案】
【分析】分当时，当时，当时，3种情况进行讨论求解即可.
【详解】解：当时，如图 ∵，∴，
当时，如下图所示，则，
∵，∴；
当时，延长交于点F，如下图所示，则，
∵，∴∴，
综上：所有 的度数的和为.
【典例5】（25-26七年级下·海南海口·期中）问题情景：如图1，中，有一块直角三角板放置在上（P点在内），使三角板的两条直角边、恰好分别经过点B和点C，试问与是否存在某种确定的数量关系？
(1)特殊探究：若，则_________度， _________度， _________度．(2)类比探索：请探究与的关系；
(3)类比延伸：如图2，改变直角三角板的位置：使P点在外，三角板的两条直角边仍然分别经过点B和点C，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论．
【答案】(1)140，90，50(2)(3)不成立，
【详解】（1）解：∵， ∴，
∵，且，∴，
∴；
（2）解：结论：．
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴．
（3）解：不成立；存在结论：．设交于O．
∵，，∴，
∵∴，∴，
∵，∴．
模型常见易错点
1）无法识别隐藏8字、A字（最普遍丢分点）
错误：图形复杂、线段多，找不到模型，反复硬算内角和。 解决方案：只要看到两线相交，立刻锁定8字；只要看到大三角内部凸出尖角，立刻锁定A字。做题先剥离局部模型。
2）8字模型角度等式写反
错误：乱配对角，等式混乱。 解决方案：固定口诀：八字左右平分，同侧两角相加相等，记混立刻用内角和快速推一遍。
3）A字模型和平行模型混淆
错误：无平行条件乱用同位角相等。解决方案：无平行只用外角定理；有平行才用同位角、内错角。
4）三角板旋转角度加减混乱
错误：重叠张开分不清，角度算反。解决方案：重叠取差，张开取和；旋转先画初始位置，再对比偏移量。
5）大题直接写模型结论扣分
解决方案：选填可秒杀；解答题必须简单写内角和+对顶角/外角推导，禁止直接写“由8字模型得”。
解题方法总结
8字模型解题步骤：1）识图：两线段相交，形成对顶三角形，判定8字模型；2）利用内角和+对顶角相等，得两角和相等；3）代入已知角度，列等式求解未知角。
A字模型解题步骤：1）识图：大三角形内部截线形成外凸尖角；2）利用外角定理：外尖角=顶角+两底角；3）代数计算求值。
三角板模型解题步骤：1）标出所有固定特殊角；2）判断静态拼接/重叠/旋转；3）重叠作差、张开作和；相交嵌套8字快速倒角；4）算出最终角度。
统一口诀
相交对顶出八字，两角和等不用试；A字外尖含三角，外角定理是本质；三角板角永不变，重叠加减辨虚实。
1．（25-26八年级下·广东河源·阶段检测）如图，是的一个外角，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：∵是的一个外角，，，
∴．
2.（24-25七年级下·成都·校考期中）如图，与相交于点O，若，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、对顶角相等可得，A说法正确，不符合题意；
B、，，说法正确，不符合题意；
C、与是对顶角，，不能得出，说法错误，符合题意；
D、，，，，
，说法正确，不符合题意；故选：C．
3.（24-25七年级下·四川内江·期末）如图，在四边形中，，若沿图中虚线剪去，那么等于(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图所示 ∵∴，
∵∴故选：C．
4.（24-25七年级下·山东潍坊·阶段练习）如图： ．
【答案】
【详解】连接，为与的交点，
在和中，，，
那么．
而正好是四边形的内角和．
根据多边形内角和公式：边形内角和为，四边形内角和为，
所以．故答案为：．
5．（2026·福建·中考真题）某数学兴趣小组成员把一副三角板按如图所示的方式摆放，其中，，，四边形 恰好为矩形，点E，F分别在 ， 上，则等于____________度．
【答案】75
【详解】解：∵，四边形为矩形，∴，
又∵，，∴，，
∴.
6.（24-25七年级下·河南南阳·期末）一副三角板如图所示摆放，、、三点共线，若，则的度数为 ．
【答案】
【详解】解：根据题意得，，
∵，∴，
∵，∴，
∴，故答案为：．
1．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：在中，，，
三角尺的两条直角边，分别经过点，，，
在中，，
．
2．（24-25·河南商丘·八年级统考阶段练习）如图所示，五条线段首尾相连形成的图形中，，则等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，，，，，，
，，，．

3．（25-26七年级下·江苏·期中）如图，某工人加工一个机器零件， ，则_______．
【答案】50
【详解】解：连接，
∵在中，,∴，
∵，∴，
∴，∴，
∵，∴．
4．（25-26七年级下·四川眉山·阶段检测）如图，则的度数为_______．
【答案】/度
【详解】解：如图，设分别交、于、，
∵是的外角，∴，
∵是的外角，∴，
∵，∴．
5.（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图①，已知线段，相交于点，连接，，我们把形如这样的图形称为“八字图形”．(1)问题发现：如图①，试证明：；
(2)拓展研究：如图②，若和的平分线和相交于点，与，分别交于点，．
①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：______；______；
②若，，求的度数（用含，的代数式表示）；
(3)解决问题：在（2）的条件下，若与分别平分与，与交于点，且，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)见解析(2)①，；②
(3)
【详解】（1）证明：，，；
（2）①，，；
，，；
故答案为：，；
②如图所示：和的平分线和相交于点，，，
由(1)得，，，．
，，；
（3）解：，理由如下：与分别平分与，
，，
和的平分线和相交于点，，，
，，
，，
，，，
四边形，，
，，
，，，
，，．
6．（24-25七年级下·河南·期末）在学习完三角形的内角、外角相关知识后，利用三角形的内角和同学们很容易证明三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的关系．于是，爱思考的小红在想，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
①尝试探究：如图1，与分别为的两个外角，试探究与之间存在怎样的数量关系？为什么？
解：数量关系：．理由：∵与分别为的两个外角，
∴．∴．
∵三角形的内角和为，∴．∴．
小红顺利地完成了探究过程，并想考一考同学们，请同学们利用上述结论完成下面的问题．
②初步应用：（1）如图2，在纸片中剪去，得到四边形，，则 ；
（2）如图3，在中，分别平分外角，则与有何数量关系？ ；（直接填答案）；③拓展提升：（3）如图4，在四边形中，分别平分外角，则与有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由）。
【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析
【详解】解：（1）由题意得：在纸片中剪去，
∵，，∴，故答案为：；
（2），由尝试探究得，
∵分别平分外角，∴，
∴，
∴ 故答案为：；
（3）数量关系为：，理由如下：如图，延长线段、线段交于点，
，
∵通过（2）得，∴，
∵，又∵，
∴，∴．
1.（24-25·四川·七年级校联考期中）如图所示，将一副三角板按如图放置，有下列结论：①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，必有．其中正确的是（ ）

A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
【答案】D
【详解】解：①，，，故①正确；
②，，，，
，，，故②正确；

③如图，，，
，，
，，与不垂直，故③错误；
④，，，
，，，故④正确，
①②④正确，故选：．
2．（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，________．
【答案】540
【详解】解：如图，与、交于点、，
，，
，，
，，
，，
，
，．
3.（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知线段、相交于点，连接、，、分别是和的三等分线，、．若，，则________．
【答案】
【详解】解：如图，设、交于点，
、，，，，，，，
，，
，故答案为：．
4．（25-26八年级下·河南郑州·期末）如图，的度数为__________．
【答案】
【详解】解：如图，设交于点，连接，则，，，
∴，
又，，∴．
5.（24-25·湖南·七年级校考期末）一副三角板如图1摆放，，，，点在上，点在上，且平分，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转（当点落在射线上时停止旋转），设旋转时间为秒．

(1)当______秒时，；当______秒时，；
(2)在旋转过程中，与的交点记为，如图2，若有两个内角相等，求的值；
(3)当边与边、分别交于点、时，如图3，连接，设，，，试问是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)；(2)当为6或15或24时，有两个内角相等(3)是定值，，理由见解析
【详解】（1）如图，当时，
平分，，，
又为的一个外角，，；

如图，当时，，，
，，．故答案为：3；21．
（2）①如图，当时，，，；
②如图，当时，
，，，；

③如图，当时，，，
综上所述：当为6或15或24时，有两个内角相等．
（3）是为定值105，理由如下：是的一个外角，是的一个外角，
，，
又，，
，，．
6．（25-26七年级下·上海·专题练习）如图1的图形我们把它称为“8字形”，显然有；
新定义：在图1中，我们把，，，叫做“8字形”的边，，，，叫做“8字形”的内角，“8字形”的一边与其相邻边的延长线组成的角叫做外角．例如，图2中，，为“8字形”的内角，图3中，，为“8字形”的外角．
(1)在图2中，的平分线和的平分线相交于点P，若，，求的度数．
(2)在图3中，的平分线和的平分线所在直线相交于点P，猜想与、的关系，并说明理由．
(3)在图4中，的平分线和的平分线相交于点P，猜想与、的关系，并说明理由．
(4)在图5中，的平分线和的平分线相交于点P，用、来表示出，直接写出结论，无需说明理由．
【答案】(1)(2)，理由见解析(3)，理由见解析
(4)
【详解】（1）解：，分别平分，，∴，
设，，
则有， ，
．
（2）解：∵的平分线和的平分线所在直线相交于点，∴，
∵，①∴，
∴，∴，
∵，②
，得，∴，
∴，∴．
（3）解：连接
直线平分的外角，平分的外角，，，
∵，，
∴，同理得到：，
∴，
∴，
∵，，∴，
∴．
（4）解：直线平分，平分的外角，
，，
∴，∴，
∵，
∴，
∴，∴，即．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题04 三角形中的倒角模型之8字模型、A字模型与三角板模型
本套模型是初中几何所有倒角体系的底层基石，全部由三角形内角和、外角定理、对顶角性质衍生而来。三者核心工具：三角形内角和 180°、三角形外角等于不相邻两内角之和、对顶角相等。命题特点：题干不会直接给出标准模型，全部为隐藏模型，需要学生自主识图剥离结构。多用于填空选择快速口算角度，也是复杂几何（高阶几何模型、圆综合、压轴探究）大题倒角的底层工具。
模型来源 1
知识储备 2
例讲模型 2
模型1.“8”字模型 2
模型2.“A”字模型 7
模型3.三角板模型 9
易错点与方法总结 14
模型运用 15
A组（基础题） 15
B组（能力提升题） 18
C组（综合压轴题） 23
8字模型、A字模型不属于数学定理，是初中几何教研总结的标准化图形工具。教研界将高频重复图形归纳为8字、A字固定模型，大幅简化几何解题步骤。三角板模型源自课堂标准教具，中考命题人刻意将课堂实操几何动态搬进试卷，考查学生图形抽象能力，是极少数“源于课本、高于课本”的原生模型。
8字模型：解决相交结构角度等量替换；A字模型：解决三角形内部截线外角倒角；三角板模型：解决固定特殊角动态旋转、重叠角度计算。
1）三角形内角和定理：任意三角形内角和180°；
2）三角形外角定理：外角=不相邻两内角和；
3）对顶角相等、邻补角互补；
4）两套标准三角板固定角度：45°、45°、90°；30°、60°、90°；
5）平行线同位角、内错角相等、角平分线定义。
模型1.8字模型
【模型提炼与证明】
1）8字模型（基础型）
条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。
证明：在 ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；在 COD中，∠C+∠D+∠COD=180°；
∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D；
在 ABO中，AB＜AO+BO；在 COD中，CD＜CO+DO；
∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。
图1 图2
2）8字模型（加角平分线）
条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D
证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD
∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ②
①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D
【模型运用】
【典例1】（2026·北京门头沟·二模）如图，和交于点，于点，连接．若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（25-26七年级下·江苏常州·期中）如图，与、分别交于点、，则______
【典例3】（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，和的平分线和相交于P点，若，，那么的度数是___．
【典例4】（24-25七年级下·河南·期末）如图，与交于点，则的度数为 ．
【典例5】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）【新知探究】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，求证：；
【问题探究】（2）如图2，、分别平分，，若，求度数；
【拓展提升】（3）如图3，直线平分的外角，平分的外角，请猜想的数量关系，并说明理由．
【典例6】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）平面内，四条线段、、、首尾顺次相连，与相交于点O．
(1)如图1，若，，和的角平分线交于点M，求的度数；
(2)如图2，若，，，，求的度数；
(3)如图3，若，，，，试用含n、x、y的代数式表示的度数．
模型2.A字模型
【模型提炼与证明】
图1 图2
条件：如图1，在 ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角；
结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E
证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。
②在 ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在 ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。
【模型运用】
【典例1】（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在中，，剪去得到一个四边形，则的度数为______．
【典例2】24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，在中，沿虚线剪去，若，则的度数为 ______．
【典例3】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，与的数量关系正确的是 （ ）
A． B． C． D．
【典例4】（24-25八年级下·贵州铜仁·期中）（1）如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则 ____；
（2）如图2，已知中，，剪去后成四边形，则____；
（3）如图3，当时，将折成如图3形状，试求的度数（用含α的式子表示）．
模型3.三角板模型
【模型提炼与证明】
当题中含三角板时，先根据度数或隐含条件判断三角形的形状，标注其中的特殊角度（90°、30°、45°、60°），再根据题干解题。一副三角板可以拼接出的角度为三角板所含角度的和差，且均为15°的整数倍。
常见角度拼接（证明特别简单，故略过）。
【模型运用】
【典例1】（2026·福建三明·一模）将一副分别含角和角的直角三角板按如图所示方式摆放，点D在边上，保持点D位置不动，将绕点D旋转，始终保持边与边相交，则和的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2026·江苏淮安·模拟预测）将一副三角尺按图所示方式摆放，它们共用顶点，，分别交于点，．若，，，，则的度数是______．

【典例3】（2026·陕西西安·模拟预测）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点在同一条直线上，，，．当时，的大小为（ ）
A． B． C． D．
【典例4】（25-26七年级下·山东枣庄·期中）一副直角三角板中， ，现将直角顶点 C 按照如图方式叠放，点E 在直线上方，且（ ，能使三角形 有一条边与平行的所有的度数的和为_____________．
【典例5】（25-26七年级下·海南海口·期中）问题情景：如图1，中，有一块直角三角板放置在上（P点在内），使三角板的两条直角边、恰好分别经过点B和点C，试问与是否存在某种确定的数量关系？
(1)特殊探究：若，则_________度， _________度， _________度．(2)类比探索：请探究与的关系；
(3)类比延伸：如图2，改变直角三角板的位置：使P点在外，三角板的两条直角边仍然分别经过点B和点C，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论．
模型常见易错点
1）无法识别隐藏8字、A字（最普遍丢分点）
错误：图形复杂、线段多，找不到模型，反复硬算内角和。 解决方案：只要看到两线相交，立刻锁定8字；只要看到大三角内部凸出尖角，立刻锁定A字。做题先剥离局部模型。
2）8字模型角度等式写反
错误：乱配对角，等式混乱。 解决方案：固定口诀：八字左右平分，同侧两角相加相等，记混立刻用内角和快速推一遍。
3）A字模型和平行模型混淆
错误：无平行条件乱用同位角相等。解决方案：无平行只用外角定理；有平行才用同位角、内错角。
4）三角板旋转角度加减混乱
错误：重叠张开分不清，角度算反。解决方案：重叠取差，张开取和；旋转先画初始位置，再对比偏移量。
5）大题直接写模型结论扣分
解决方案：选填可秒杀；解答题必须简单写内角和+对顶角/外角推导，禁止直接写“由8字模型得”。
解题方法总结
8字模型解题步骤：1）识图：两线段相交，形成对顶三角形，判定8字模型；2）利用内角和+对顶角相等，得两角和相等；3）代入已知角度，列等式求解未知角。
A字模型解题步骤：1）识图：大三角形内部截线形成外凸尖角；2）利用外角定理：外尖角=顶角+两底角；3）代数计算求值。
三角板模型解题步骤：1）标出所有固定特殊角；2）判断静态拼接/重叠/旋转；3）重叠作差、张开作和；相交嵌套8字快速倒角；4）算出最终角度。
统一口诀
相交对顶出八字，两角和等不用试；A字外尖含三角，外角定理是本质；三角板角永不变，重叠加减辨虚实。
1．（25-26八年级下·广东河源·阶段检测）如图，是的一个外角，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2.（24-25七年级下·成都·校考期中）如图，与相交于点O，若，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
3.（24-25七年级下·四川内江·期末）如图，在四边形中，，若沿图中虚线剪去，那么等于(　　)
A． B． C． D．
4.（24-25七年级下·山东潍坊·阶段练习）如图： ．
5．（2026·福建·中考真题）某数学兴趣小组成员把一副三角板按如图所示的方式摆放，其中，，，四边形 恰好为矩形，点E，F分别在 ， 上，则等于____________度．
6.（24-25七年级下·河南南阳·期末）一副三角板如图所示摆放，、、三点共线，若，则的度数为 ．
1．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25·河南商丘·八年级统考阶段练习）如图所示，五条线段首尾相连形成的图形中，，则等于（ ）

A． B． C． D．
3．（25-26七年级下·江苏·期中）如图，某工人加工一个机器零件， ，则_______．
4．（25-26七年级下·四川眉山·阶段检测）如图，则的度数为_______．
5.（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图①，已知线段，相交于点，连接，，我们把形如这样的图形称为“八字图形”．(1)问题发现：如图①，试证明：；
(2)拓展研究：如图②，若和的平分线和相交于点，与，分别交于点，．
①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：______；______；
②若，，求的度数（用含，的代数式表示）；
(3)解决问题：在（2）的条件下，若与分别平分与，与交于点，且，请直接写出的取值范围．
6．（24-25七年级下·河南·期末）在学习完三角形的内角、外角相关知识后，利用三角形的内角和同学们很容易证明三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的关系．于是，爱思考的小红在想，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
①尝试探究：如图1，与分别为的两个外角，试探究与之间存在怎样的数量关系？为什么？
解：数量关系：．理由：∵与分别为的两个外角，
∴．∴．
∵三角形的内角和为，∴．∴．
小红顺利地完成了探究过程，并想考一考同学们，请同学们利用上述结论完成下面的问题．
②初步应用：（1）如图2，在纸片中剪去，得到四边形，，则 ；
（2）如图3，在中，分别平分外角，则与有何数量关系？ ；（直接填答案）；③拓展提升：（3）如图4，在四边形中，分别平分外角，则与有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由）。
1.（24-25·四川·七年级校联考期中）如图所示，将一副三角板按如图放置，有下列结论：①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，必有．其中正确的是（ ）

A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
2．（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，________．
3.（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知线段、相交于点，连接、，、分别是和的三等分线，、．若，，则________．
4．（25-26八年级下·河南郑州·期末）如图，的度数为__________．
5.（24-25·湖南·七年级校考期末）一副三角板如图1摆放，，，，点在上，点在上，且平分，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转（当点落在射线上时停止旋转），设旋转时间为秒．

(1)当______秒时，；当______秒时，；
(2)在旋转过程中，与的交点记为，如图2，若有两个内角相等，求的值；
(3)当边与边、分别交于点、时，如图3，连接，设，，，试问是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
6．（25-26七年级下·上海·专题练习）如图1的图形我们把它称为“8字形”，显然有；
新定义：在图1中，我们把，，，叫做“8字形”的边，，，，叫做“8字形”的内角，“8字形”的一边与其相邻边的延长线组成的角叫做外角．例如，图2中，，为“8字形”的内角，图3中，，为“8字形”的外角．
(1)在图2中，的平分线和的平分线相交于点P，若，，求的度数．
(2)在图3中，的平分线和的平分线所在直线相交于点P，猜想与、的关系，并说明理由．
(3)在图4中，的平分线和的平分线相交于点P，猜想与、的关系，并说明理由．
(4)在图5中，的平分线和的平分线相交于点P，用、来表示出，直接写出结论，无需说明理由．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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