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专题05.三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型
高分线模型、双（三）垂直模型属于初中几何高频倒角工具。 高分线模型核心记住：同一顶点的角平分线与高线夹角等于两底角差的一半； 双垂直、三垂直模型核心工具是同角的余角相等，是几何大题寻找全等条件最重要手段。 很多大题不会直接给出干净模型，需要学生从复杂图形中剥离出局部的高分线、双垂直结构完成倒角。
本专题包含高分线模型、双垂直模型、三垂直（一线三垂直/ K型）模型，属于初中几何倒角底层工具模型，贯穿八年级三角形全等、坐标系几何，九年级会延伸到初三相似、圆综合。
模型来源 1
知识储备 1
例讲模型 2
模型1.高分线模型 2
模型2.双垂直模型 6
模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 8
易错点与方法总结 12
模型运用 13
A组（基础题） 13
B组（能力提升题） 16
C组（综合压轴题） 19
高分线、双垂直模型，是国内教研团队从海量三角形角度计算题提炼总结，底层逻辑来自《几何原本》中直角三角形两锐角互余。 一线三垂直（三垂直）原型来自赵爽弦图，是我国古代经典几何图形，变形后成为初中最经典垂直倒角模型，也叫K型图。
1）三角形内角和 180°，外角定理；直角三角形两锐角互余；
2）角平分线定义：平分内角，得到两个相等角；高线定义：垂直对边，形成 90°；
3）余角性质：同角（等角）的余角相等；
4）等面积法（子母双垂直求斜边上的高）。
模型1.高分线模型
【模型提炼与证明】
1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：．
2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．

图1 图2
1）证明：∵平分，∴，
∵，∴，
∴；
2）证明：如图，过作于，由（2）可知：，
，，，，
，，，．
【模型运用】
【典例1】（25-26八年级上·广东江门·期中）如图，在中，平分，，若，．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（25-26八年级上·安徽六安·期中）在中，是高，是角平分线，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（25-26八年级上·贵州安顺·期中）如图，在中，，于点，平分，交于点．
(1)当，时，求的度数．(2)猜想与，之间的关系，并说明理由．
【典例4】（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，在中，，平分交于点D，P是上一点（不与点D重合），过点P作于点E．
(1)如图1，当，且点P与点A重合时，求的度数；(2)如图2，当是锐角三角形，且点P与点A不重合时，过点A作于点F，若，求的度数．
【典例5】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）【问题重现】沪科版义务教育教科书数学八年级上册第87页第9题原文如下：“如图，在中，平分交于点D，，垂足为点E．若，，求的度数．
受此题启发，某校八年级数学兴趣小组继续进行此类问题的实践探究，请你和他们一起完成吧．
【问题变式】如图1，将原第9题中“”改为“在上任取一点F，作”，垂足为点E，其他条件不变，直接写出的度数_______；
【继续探究】如图2，将【问题变式】中“在上任取一点F”改为“在的延长线上任取一点F”，其他条件不变，判断的度数是否会发生变化，并说明理由；
【深度探究】如图3，在中，，，是的平分线，在上任取一点F，过点F作，与的延长线交于点E，请直接写出与，之间的数量关系．
模型2.双垂直模型
【模型提炼与证明】
条件：如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高，
结论：①∠ABD=∠ACE ；②∠A=∠BOE=∠COD；③。
证明：∵BD，CE是两条高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°，
∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，∠ACE+∠DOC=90°，∴∠ABD=∠ACE，∠DOC=∠A，
∵∠DOC=∠BOE，∴∠A=∠BOE=∠COD。
∵BD，CE是△ABC的两条高，∴，∴。
【模型运用】
【典例1】（25-26四川成都八年级校考期中）如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高，∠A=50°，则∠BOC=（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
【典例2】（25-26八年级上·湖北武汉·开学考试）中，，、是它的两条高，直线、交于，则的度数为 ．
【典例3】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三角形中，分别是这个三角形的两条高，，，则三角形的面积等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
模型3.子母型双垂直模型（射影模型）
【模型提炼与证明】
条件：在Rt中，∠ACB=90°，CD是的高线，
结论：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③。

证明：∵∠ACB=90°，CD是高线，∴∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°，
∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD，
∵∠ACB=90°，CD是高线，∴，∴。
【模型运用】
【典例1】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在直角三角形中，是斜边上的高，，求：（1）的度数；（2）的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：（1）∵（已知），∴________，
∴（________）
∴________________（等量代换）．
（2）∵________，
∴________（等式的性质），
∴（已知），∴________（等量代换）．
【典例2】（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图所示，在中，，，垂足分别为，已知，，，则边上的高的长为（ ）
A．4 B．4.8 C． D．8
【典例3】（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，平分，是的高，，相交于点，若，，求的度数．
【典例4】（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，D是AB上一点，且．

(1)求证：
证明：∵在中，（已知）
∴（___________），又∵（已知），∴（等量代换），
∵（___________），∴，∴．
(2)如图②，若的平分线分别交，于点E，F，求证：；
(3)如图③．若E为上一点，交于点F，，，．
①___________；（用含m的代数式表示）
②四边形的面积是___________．（用含m的代数式表示）
模型常见易错点
1）高分线模型，不分顶点直接套用公式
解决方案：高和角平分线必须是从同一个顶点出发，才可以使用公式；不同顶点不能套用；钝角三角形高在外部，务必画图。
2）双垂直模型，分不清 “同角余角相等”，找错等角
错误：随便看到两个直角就判定角相等。
解决方案：找角要看两个角是否都和同一个角互余；做题标记 90°，圈出公共角。
3）一线三垂直，忽略 “三个直角在同一条直线上” 的前提
解决方案：必须是同一条直线上出现三个直角；无共线条件，不能直接判定角相等；全等需要一组对应边相等，仅有角相等不能证全等。
4）子母双垂直，混淆三组等角，八年级直接乱用射影定理
解决方案：初二只用来倒角 + 等面积求高；射影定理线段乘积结论学完相似再使用，初二证明不能直接写。
5）钝角三角形高线落在外部，容易漏解
解决方案：题干没有说明三角形是锐角三角形，需要分类讨论，高可能落在边延长线上。
解题方法总结
高分线模型解题步骤：
1）识别标志：同一顶点，一条高线 + 一条角平分线；2）公式：∠DAE=|∠ B-∠C|。3）选择填空可以直接代入；大题证明不能直接默写公式，必须写出内角和、角平分线、直角互余推导过程。
双垂直模型解题步骤：
1）识别：图中存在两处垂直，出现多个 90°；2）思路：寻找公共角，用同角的余角相等证明角度相等；3）子母双垂直：倒角 + 等面积法求斜边上的高。
一线三垂直（三垂直）解题步骤
1）识别：一条直线上三个直角顶点；2）倒角：利用平角拆分，推出一组等角；3）有一组边相等→证全等；无边相等→证相似；4）转化线段，进行线段加减计算。
记忆口诀 高分同顶半差角，内外钝角画图瞧； 双垂互余找等角，子母等面积别忘； 一线三垂共直线，等角全等马上现。
1．（25-26七年级下·河南开封·期末）如图，，分别是的高和中线，已知，，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（25-26八年级上·河南商丘·期中）如图，在中，是的平分线，是的高，，相交于点F，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26八年级上·浙江·期中）如图，在中，是高，是的平分线，，，则的度数是________．
4.（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，，是的高，且.若，则的度数是_____°．
5．（25-26八年级上·湖北·期中）如图，中，分别为角平分线和高，，则___________．
6．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）在中，，分别是它的高和角平分线，设，．(1)如图1，求证：．(2)如图2，是的外角的平分线，交的延长线于点E，且，求的度数．
1．（25-26江苏·七年级专题练习）如图，在中，AB=8，BC=6，AB、BC边上的高CE、AD交于点H，则AD与CE的比值是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，在中，，平分，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26七年级下·江苏·专题练习）如图，在中，E为角平分线的延长线上一点，过点E作于点D，若，，则的度数为________ ．
4.（25-26八年级上·重庆·校考期中）如图，在中，已知，与是的高，点O是它们的交点，求的度数．
5．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）在中，是角平分线，，．
(1)如图1，若是的高，求的度数；
(2)如图2，若是上一点，且，垂足为，求的度数．
6．（25-26八年级上·重庆·校考期中）已知在中，，平分，请根据题中所给的条件，解答下列问题：
(1)如图①所示，若，，求的度数；
(2)通过以上的计算你发现和之间有什么关系？
(3)在图②的中，，那么（2）中的结论仍然成立吗？为什么？
1.（25-26八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在中，，是斜边上的高，，，，则的长度为 （　　）
A． B． C． D．
2.（25-26八年级上·重庆大足·期末）已知在（不是直角三角形）中，边的高、边的高所在直线交于点，则的度数为 ．
3.（25-26八年级上·四川绵阳·专题练习）如图，在中，，是的高．
（1）若，则________；（2）若，则________．
4．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，在中，是边上的高，分别是的平分线，且相交于点O，，已知．(1)求的度数；(2)若，求的度数．
5.（24-25八年级上·广东·校考期中）已知：在中，，平分交于点．

(1)如图①，于点，若，求的度数；
(2)如图①，于点，若，求的度数（用含的式子表示）；
(3)如图②，在中，于点，是上的任意一点（不与点，重合），过点作于点，且，请你运用（2）中的结论求出的度数；
(4)在（3）的条件下，若点在的延长线上（如图③），其他条件不变，则的度数会发生改变吗？说明理由．
6.（25-26八年级·上海嘉定·期末）小海在解答练习册P37第4题后进行了拓展探究：
如图1，在中，的平分线交边于点D，，垂足为E．
小海猜想：通过的度数可求出的度数，再结合的度数可求出的度数，从而确定与之间存在固定的数量关系．他尝试代入了几组的度数后，验证了这一猜想．
(1)请补全下表：
……
……
______ ______ ……
(2)如图2，若，，那么______．（用含、的代数式表示），并加以证明；
(3)在（2）的基础上作的垂直平分线，交的延长线于点F，连接．如图3，如果，请直接写出______．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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高分线模型、双（三）垂直模型属于初中几何高频倒角工具。 高分线模型核心记住：同一顶点的角平分线与高线夹角等于两底角差的一半； 双垂直、三垂直模型核心工具是同角的余角相等，是几何大题寻找全等条件最重要手段。 很多大题不会直接给出干净模型，需要学生从复杂图形中剥离出局部的高分线、双垂直结构完成倒角。
本专题包含高分线模型、双垂直模型、三垂直（一线三垂直/ K型）模型，属于初中几何倒角底层工具模型，贯穿八年级三角形全等、坐标系几何，九年级会延伸到初三相似、圆综合。
模型来源 1
知识储备 1
例讲模型 2
模型1.高分线模型 2
模型2.双垂直模型 6
模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 8
易错点与方法总结 12
模型运用 13
A组（基础题） 13
B组（能力提升题） 16
C组（综合压轴题） 19
高分线、双垂直模型，是国内教研团队从海量三角形角度计算题提炼总结，底层逻辑来自《几何原本》中直角三角形两锐角互余。 一线三垂直（三垂直）原型来自赵爽弦图，是我国古代经典几何图形，变形后成为初中最经典垂直倒角模型，也叫K型图。
1）三角形内角和 180°，外角定理；直角三角形两锐角互余；
2）角平分线定义：平分内角，得到两个相等角；高线定义：垂直对边，形成 90°；
3）余角性质：同角（等角）的余角相等；
4）等面积法（子母双垂直求斜边上的高）。
模型1.高分线模型
【模型提炼与证明】
1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：．
2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．

图1 图2
1）证明：∵平分，∴，
∵，∴，
∴；
2）证明：如图，过作于，由（2）可知：，
，，，，
，，，．
【模型运用】
【典例1】（25-26八年级上·广东江门·期中）如图，在中，平分，，若，．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵在中，，， ∴，
∵平分，∴，
∵，∴，∴，
∴，即的度数是．故选：D．
【典例2】（25-26八年级上·安徽六安·期中）在中，是高，是角平分线，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵，，∴，．
又∵平分，∴．
∵在中，，，∴．故选C．
【典例3】（25-26八年级上·贵州安顺·期中）如图，在中，，于点，平分，交于点．
(1)当，时，求的度数．(2)猜想与，之间的关系，并说明理由．
【答案】(1)(2)，理由见解析
【详解】（1）解：∵平分，，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴．
（2）解：，理由如下：∵平分，∴，
∵，∴，
∴，∵，∴，
∴
．
【典例4】（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，在中，，平分交于点D，P是上一点（不与点D重合），过点P作于点E．
(1)如图1，当，且点P与点A重合时，求的度数；(2)如图2，当是锐角三角形，且点P与点A不重合时，过点A作于点F，若，求的度数．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：，，，
AD平分，，，
，，．
（2）解：，，，
，，，∴，，
∵平分，，∴，．
【典例5】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）【问题重现】沪科版义务教育教科书数学八年级上册第87页第9题原文如下：“如图，在中，平分交于点D，，垂足为点E．若，，求的度数．
受此题启发，某校八年级数学兴趣小组继续进行此类问题的实践探究，请你和他们一起完成吧．
【问题变式】如图1，将原第9题中“”改为“在上任取一点F，作”，垂足为点E，其他条件不变，直接写出的度数_______；
【继续探究】如图2，将【问题变式】中“在上任取一点F”改为“在的延长线上任取一点F”，其他条件不变，判断的度数是否会发生变化，并说明理由；
【深度探究】如图3，在中，，，是的平分线，在上任取一点F，过点F作，与的延长线交于点E，请直接写出与，之间的数量关系．
【答案】问题变式：；继续探究：不变；理由见解析；深度探究：
【详解】解：问题变式：∵，，∴，
∵平分，∴，
是的一个外角，，
，∴，；
继续探究：的度数不变；理由如下：
∵，，∴，
∵平分，∴，
是的一个外角，，
，∴，；
深度探究：在中，，，，
是的平分线，，
是的一个外角，，
，．
模型2.双垂直模型
【模型提炼与证明】
条件：如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高，
结论：①∠ABD=∠ACE ；②∠A=∠BOE=∠COD；③。
证明：∵BD，CE是两条高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°，
∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，∠ACE+∠DOC=90°，∴∠ABD=∠ACE，∠DOC=∠A，
∵∠DOC=∠BOE，∴∠A=∠BOE=∠COD。
∵BD，CE是△ABC的两条高，∴，∴。
【模型运用】
【典例1】（25-26四川成都八年级校考期中）如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高，∠A=50°，则∠BOC=（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
【答案】C
【详解】解：∵在△ABC中，BD，CE是两条高，∠A=50°，
∴，∴，故选C．
【典例2】（25-26八年级上·湖北武汉·开学考试）中，，、是它的两条高，直线、交于，则的度数为 ．
【答案】或
【详解】解：如图，当为锐角三角形时，

，，，，
，，，
当为钝角角三角形时，的延长线于，
，，，，
，，；
当为直角三角形，时，不存在，
故的度数为或．故答案为：130°或50°．
【典例3】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三角形中，分别是这个三角形的两条高，，，则三角形的面积等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】利用等面积法，求出之间的关系，并设值，再利用已知求出的长度，套用三角形的面积公式求解．
【详解】解：∵，∴，
又∵，∴，即，设，则，
∵，∴，解得，，．
模型3.子母型双垂直模型（射影模型）
【模型提炼与证明】
条件：在Rt中，∠ACB=90°，CD是的高线，
结论：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③。

证明：∵∠ACB=90°，CD是高线，∴∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°，
∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD，
∵∠ACB=90°，CD是高线，∴，∴。
【模型运用】
【典例1】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在直角三角形中，是斜边上的高，，求：（1）的度数；（2）的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：（1）∵（已知），∴________，
∴（________）
∴________________（等量代换）．
（2）∵________，
∴________（等式的性质），
∴（已知），∴________（等量代换）．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【详解】解：（1）∵（已知），∴，
∴（三角形外角的性质）
∴（等量代换）．
（2）∵，∴（等式的性质），
∴（已知），∴（等量代换）．
【典例2】（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图所示，在中，，，垂足分别为，已知，，，则边上的高的长为（ ）
A．4 B．4.8 C． D．8
【答案】B
【详解】解：由题意得，，
即，解得， 故选：B．
【典例3】（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，平分，是的高，，相交于点，若，，求的度数．
【答案】
【详解】解：，，．
平分，．
为边上的高，，．
【典例4】（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，D是AB上一点，且．

(1)求证：
证明：∵在中，（已知）
∴（___________），又∵（已知），∴（等量代换），
∵（___________），∴，∴．
(2)如图②，若的平分线分别交，于点E，F，求证：；
(3)如图③．若E为上一点，交于点F，，，．
①___________；（用含m的代数式表示）
②四边形的面积是___________．（用含m的代数式表示）
【答案】(1)直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理；(2)见解析；(3)①；②．
【详解】（1）证明：∵在中，（已知），
∴（直角三角形两锐角互余），
又∵（已知），∴（等量代换），
∵（三角形内角和定理），∴，∴．
故答案为：直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理；
（2）证明：∵平分，∴，
∵，∴，，∴，
又∵，∴；
（3）解：①∵，∴，
∵，∴，∴，故答案为：；

②连接，设，则，∵，∴，
∵，∴，
∵，∴解得：，
∴四边形的面积，故答案为：．
模型常见易错点
1）高分线模型，不分顶点直接套用公式
解决方案：高和角平分线必须是从同一个顶点出发，才可以使用公式；不同顶点不能套用；钝角三角形高在外部，务必画图。
2）双垂直模型，分不清 “同角余角相等”，找错等角
错误：随便看到两个直角就判定角相等。
解决方案：找角要看两个角是否都和同一个角互余；做题标记 90°，圈出公共角。
3）一线三垂直，忽略 “三个直角在同一条直线上” 的前提
解决方案：必须是同一条直线上出现三个直角；无共线条件，不能直接判定角相等；全等需要一组对应边相等，仅有角相等不能证全等。
4）子母双垂直，混淆三组等角，八年级直接乱用射影定理
解决方案：初二只用来倒角 + 等面积求高；射影定理线段乘积结论学完相似再使用，初二证明不能直接写。
5）钝角三角形高线落在外部，容易漏解
解决方案：题干没有说明三角形是锐角三角形，需要分类讨论，高可能落在边延长线上。
解题方法总结
高分线模型解题步骤：
1）识别标志：同一顶点，一条高线 + 一条角平分线；2）公式：∠DAE=|∠ B-∠C|。3）选择填空可以直接代入；大题证明不能直接默写公式，必须写出内角和、角平分线、直角互余推导过程。
双垂直模型解题步骤：
1）识别：图中存在两处垂直，出现多个 90°；2）思路：寻找公共角，用同角的余角相等证明角度相等；3）子母双垂直：倒角 + 等面积法求斜边上的高。
一线三垂直（三垂直）解题步骤
1）识别：一条直线上三个直角顶点；2）倒角：利用平角拆分，推出一组等角；3）有一组边相等→证全等；无边相等→证相似；4）转化线段，进行线段加减计算。
记忆口诀 高分同顶半差角，内外钝角画图瞧； 双垂互余找等角，子母等面积别忘； 一线三垂共直线，等角全等马上现。
1．（25-26七年级下·河南开封·期末）如图，，分别是的高和中线，已知，，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【详解】解：∵是中线，∴，
∵，即，∴．
2．（25-26八年级上·河南商丘·期中）如图，在中，是的平分线，是的高，，相交于点F，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵是的平分线，∴，
∵是的高，，∴，
∴，∴，
∴，故选：D．
3．（25-26八年级上·浙江·期中）如图，在中，是高，是的平分线，，，则的度数是________．
【答案】38
【详解】解：是高，，，，
，，是的平分线，，
，故答案为：38．
4.（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，，是的高，且.若，则的度数是_____°．
【答案】23
【详解】解：∵，是的高，∴，
在和中，，∴，∴，
又，且，
∴，∴，
又，．
5．（25-26八年级上·湖北·期中）如图，中，分别为角平分线和高，，则___________．
【答案】/12度
【详解】解：在中， ，，∴，
∵平分∴，
∵，∴
∴故答案为：．
6．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）在中，，分别是它的高和角平分线，设，．(1)如图1，求证：．(2)如图2，是的外角的平分线，交的延长线于点E，且，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：在中，由三角形内角和定理，得．
∵是的平分线，∴，
∵是高线，∴，∴，
∴．
（2）解：∵是的平分线，，，∴，
∵是高线，∴，
∵，∴．
1．（25-26江苏·七年级专题练习）如图，在中，AB=8，BC=6，AB、BC边上的高CE、AD交于点H，则AD与CE的比值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意得：；
解得故选：A．
2．（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，在中，，平分，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，平分，∴，
∴，∴；故选D．
3．（25-26七年级下·江苏·专题练习）如图，在中，E为角平分线的延长线上一点，过点E作于点D，若，，则的度数为________ ．
【答案】
【详解】解：∵E为角平分线的延长线上一点，，
∴，∴，
∵，∴，
∵于点D，∴，∴，∴，
∴，∴，∴．
4.（25-26八年级上·重庆·校考期中）如图，在中，已知，与是的高，点O是它们的交点，求的度数．
【答案】，
【详解】解：∵与是的高，∴
∵，∴，
∵，∴∴．
5．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）在中，是角平分线，，．
(1)如图1，若是的高，求的度数；
(2)如图2，若是上一点，且，垂足为，求的度数．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：，，，
是角平分线，，；
是的高，，；
（2），，．
6．（25-26八年级上·重庆·校考期中）已知在中，，平分，请根据题中所给的条件，解答下列问题：
(1)如图①所示，若，，求的度数；
(2)通过以上的计算你发现和之间有什么关系？
(3)在图②的中，，那么（2）中的结论仍然成立吗？为什么？
【答案】(1)(2)(3)成立，理由见解析
【详解】（1）解：∵，∴，
∵平分，∴，
∵，，∴，∴；
（2）由（1）中，，，∴；
（3）（2）中的结论仍然成立，理由如下：
在中，∵，平分，∴，
∴，
又∵，∴．
1.（25-26八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在中，，是斜边上的高，，，，则的长度为 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，是斜边上的高，∴，，
∴，∴，∴，故选：．
2.（25-26八年级上·重庆大足·期末）已知在（不是直角三角形）中，边的高、边的高所在直线交于点，则的度数为 ．
【答案】或
【详解】解：如图，当与交于点时，∵边的高、边的高所在直线交于点，
∴，；
如图，是锐角三角形时，∵边的高、边的高所在直线交于点，
∴，；
如图，是钝角三角形时，是钝角，同理可求，，；
如图，是钝角三角形时，是钝角，同理可得；故答案为：或．
3.（25-26八年级上·四川绵阳·专题练习）如图，在中，，是的高．
（1）若，则________；（2）若，则________．
【答案】
【详解】解：（1）∵，是的高，∴，∴，
∵是的外角，∴；
（2）由（1）可得，
∵是的外角，；∴．
4．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，在中，是边上的高，分别是的平分线，且相交于点O，，已知．(1)求的度数；(2)若，求的度数．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵分别是的平分线，
∴，∴．
∵在中，，∴，
∴．
（2）解：∵是上的高，∴．
又∵，∴．
在中，．
∵是的平分线，∴．∴．
5.（24-25八年级上·广东·校考期中）已知：在中，，平分交于点．

(1)如图①，于点，若，求的度数；
(2)如图①，于点，若，求的度数（用含的式子表示）；
(3)如图②，在中，于点，是上的任意一点（不与点，重合），过点作于点，且，请你运用（2）中的结论求出的度数；
(4)在（3）的条件下，若点在的延长线上（如图③），其他条件不变，则的度数会发生改变吗？说明理由．
【答案】(1)(2)(3)(4)的度数不会发生改变，理由见解析
【详解】（1）解：∵在中，，∴，
∵平分，∴，
∵，∴，∴，
∴，
当时，；
（2）由（1）可知，，∴当时，∴；
（3）∵，而，∴，
∵，，∴，∴；
（4）的度数大小不发生改变．理由如下：
∵，，∴，∴．
6.（25-26八年级·上海嘉定·期末）小海在解答练习册P37第4题后进行了拓展探究：
如图1，在中，的平分线交边于点D，，垂足为E．
小海猜想：通过的度数可求出的度数，再结合的度数可求出的度数，从而确定与之间存在固定的数量关系．他尝试代入了几组的度数后，验证了这一猜想．
(1)请补全下表：
……
……
______ ______ ……
(2)如图2，若，，那么______．（用含、的代数式表示），并加以证明；
(3)在（2）的基础上作的垂直平分线，交的延长线于点F，连接．如图3，如果，请直接写出______．
【答案】(1)见解析(2)，证明见（1）(3)
【详解】（1）解：∵，∴，∴，
∵，的平分线交边于点D，
∴，
∴，
当时， ；
当时， ；
填表如下：
……
……
……
（2）解：由（1）可得，
∵，，∴；
（3）解：由（1）可得，
∵，∴，∴；
由线段垂直平分线的性质可得，∴，
∵，的平分线交边于点D，
∴，∴．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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