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专题07 圆中的重要模型之圆中的外接圆和内切圆模型
圆在中考数学几何模块中占据着重要地位。本模型研究任意三角形的外接圆、内切圆两大基础圆模型，是初中圆几何最底层、最必考、辐射最广的核心模型。外接圆、内切圆是圆几何一切综合题的根基。 外心核心：垂直平分线 + 顶点等距 内心核心：角平分线 + 面积法求半径。
模型来源 1
知识储备 2
例讲模型 2
模型1.内切圆模型 2
模型2.外接圆模型 10
易错点与方法总结 17
模型运用 18
A组（基础题） 18
B组（能力提升题） 23
C组（综合压轴题） 29
古希腊数学家（如欧几里得）在《几何原本》中系统研究过三角形与圆的位置关系，垂直平分线、角平分线的交点性质奠定了外心与内心的理论基础 。三角形的内切圆和外接圆模型均基于三角形的基本性质命名：外接圆与三边相关，内切圆与三角形的角相关。两大圆 “一外一内、一顶点一边长” 完美对偶，构成平面几何三角形最稳定的圆体系。 中考命题逻辑完全继承这一几何本质： 考位置、考距离、考半径、考角度、考面积。
内切圆 是与多边形各边均相切的圆，在三角形中具有唯一性，其圆心称为内心，是角平分线的交点。内心到三角形各个边的垂线段相等。
外接圆 是与多边形各顶点都相交的圆，其中三角形必然有外接圆，其圆心称为外心，位于任意两边垂直平分线的交点。外心到三角形各顶点的距离相等。
1）线段垂直平分线性质（外心核心）；
2）角平分线性质（内心核心）；
3）三角形内角和、外角定理；
4）三角形面积多种求法；
5）直角三角形斜边中线性质；
6）等边三角形四心合一性质。
模型1.内切圆模型
【模型提炼与证明】
1）三角形的内切圆模型
条件：如图1，⊙O为三角形ABC的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。
结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=。
证明：∵O为三角形ABC的内心，∴OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线，
∵O为内心，切点为D、E、F，∴OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥AC，∵OD=OE=OF=r，
∴点O到三角形ABC的三边距离相等；∵OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线，
∴∠BAO=∠CAO=，∠BCO=∠ACO=，∠ABO=∠CBO=，
∴∠BOC=180°-（∠CBO-∠BCO）=180°-（-）=180°-
=180°-=90°+，
∴，即r=
图1 图2 图3
2）直角三角形的内切圆模型
条件：如图2，⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。
结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=；
证明：①②证明同模型1）的证明，∵⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，
∴AD=AF，BD=AE，CE=CF，OE⊥BC、OF⊥AC，∴四边形OECF为正方形，
∴CE=CF=OF=OE=r，∴AC+BC-AB=AF+CF+CE+BE-AD-BD=CE+CF=2r，即r=；
3）四边形的内切圆模型
条件：如图3，⊙O是四边形ABCD的内切圆。 结论：。
证明：∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH，
∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，∴。
【模型运用】
【典例1】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点是的内心，若，则 ．
【答案】/125度
【详解】解：，，
点I是的内心，，平分，平分，
，，故答案为：．
【典例2】（2025·辽宁铁岭·二模）《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．甲乙二人俱在干地，乙东行三百二十步而立，甲南行六百步望见乙，问径几里？”意思是：如图，中，步，步，是的内切圆，切点为，，，求的直径．根据题意，的直径是（ ）
A．200步 B．240步 C．280步 D．320步
【答案】B
【详解】解：∵中，步，步，，
∴步，设内切圆的半径为，
∵，∴，解得，
∴内切圆的直径是240步．故选：B．
【典例3】（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）如图，边长为a的正三角形的内切圆半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图所示，设等边的内切圆圆心为O，与分别相切于D、E，连接，由切线的性质可得，
∵，∴平分，∵是等边三角形，∴，
∴，同理可得，∴，∴，∴，
在中，，∴，∴，
∴边长为a的正三角形的内切圆半径是，故选：A．
【典例4】（24-25·福建福州·九年级校考期末）如图，的内切圆与两直角边、分别相切于点D、E，过劣弧（不包括端点D、E）上任一点P作的切线，与、分别交于点M、N，，，则的周长为 ．
【答案】4
【详解】如图，连接、，在中，，
设内切圆半径为r，、为的切线，∴，，
∵，，∴四边形为正方形，∴，
由切线长定理得，，，，，
∴，解得，
则的周长为．
故答案为：4．
【典例5】（2026·四川·校考一模）如图，在直角坐标系中，一直线l经过点M（，1）与x轴、y轴分别交于A、B两点，且MA＝MB，可求得△ABO的内切圆⊙O1的半径r1＝﹣1；若⊙O2与⊙O1、l、y轴分别相切，⊙O3与⊙O2、l、y轴分别相切，…，按此规律，则⊙O2014的半径r2014＝ ．
【答案】
【详解】连接OO1、AO1、BO1，作O1 D⊥OB于D，O1 E⊥AB于E，O1 F⊥OA于F，如图所示：则O1 D＝O1 E＝O1 F＝r1，
∵M是AB的中点，∴B（0，2），A（2 ，0），则S△OO1B＝×OB×r1＝r1，
S△AO1O＝×AO×r1＝r1
∵S△AOB＝S△OO1B+S△AO1O+S△AO1B＝∴
同理得：…∴依此类推可得：⊙O2014的半径r2014＝故答案为
【典例6】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）阅读材料：已知，如图①，在面积为的中，，内切圆的半径为．连接被划分为三个小三角形．

．．
(1)类比推理：若面积为的四边形存在内切圆（与各边都相切），如图②，各边长分别为，求四边形的内切圆半径；(2)理解应用：如图③，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为，设它们的半径分别为和，若，，，，，求的值．
【答案】(1)；(2)2．
【详解】（1）解：如图2，连接．

，；；
（2），，，．
是的内切圆，，，，
，∴设，则，
，，即（，解得，，
，，．
【典例7】（2026·上海静安·三模）探究与应用：
在研究平面几何时，要把握图形与图形之间的位置关系以及对应关系．请你对下面这个图形展开了综合性研究，已知直角三角形 ， ， ， ，在 边上有一点H．
【定理探究】：定理是我们解决几何问题的起点，定理的条件和结论交换之后的真假往往也很关键．在发现定理的过程中，我们往往可以从特殊值出发，猜测一般化的规律．
(1)小张同学发现，点B在以 为直径圆上，由此他得出结论：“若一个三角形一条边上的中线长等于该边长的一半，则这个三角形是直角三角形”这个命题是“直角三角形斜边上中线长等于斜边长的一半．”的_________，这个结论成立是__________．（ ）
A．逆命题，必然事件 B．逆命题，不可能事件 C．同义命题， 必然事件
(2)三角形内切圆的圆心是三角形（ ）
A．内角平分线的交点 B．中线的交点 C．各边垂直平分线的交点
【位置关系】：与圆有关的位置关系是平面几何问题的重要模块，也是现实工程测量的重要依据．
(3)当 和 的内切圆半径相等时，求： 的长；
(4)下列说法正确的是（ ）（多选题）
A．点H可能在 和 的内切圆上
B． 和 的内切圆可能相切
C． 和 的内切圆的圆心距可能为6
D．除直线外，同时与 和 的内切圆相切的直线最多有3条
【答案】(1)A(2)A(3)(4)
【详解】（1）原定理“直角三角形斜边上中线长等于斜边长的一半”的逆命题是“若一个三角形一条边上的中线长等于该边长的一半，则这个三角形是直角三角形”．根据圆的性质，若中线等于边的一半，则该点在以该边为直径的圆上，因此三角形为直角三角形，结论是必然事件．所以A选项是正确的．
（2）三角形内切圆的圆心是三角形的内心，即内角平分线的交点(到三边距离相等)．中线交点是重心，垂直平分线交点是外心．所以A选项是正确的．
（3）已知在直角三角形 中， ， ， ，
则 ，设 ，则 ，
由题意知 是直角三角形，其内切圆半径为，
因为，所以，
由题意知 的面积为，
的半周长，
其内切圆半径为，即，
令，化简得方程 ，解得（ 时 不存在，舍去），因此．
（4）对于选项A，点H在 上， 的内切圆在三角形内部，H到内切圆圆心的距离需等于半径，但只有当H与B重合时成立(此时 不存在)，故A错误．
对于选项B，设 内切圆的圆心为， 内切圆的圆心为，移动 上的H点时，随 大小变化、随 大小变化，当两个内切圆都与相切与同一点时，两圆可能相切，B正确．
对于选项C，设 内切圆的圆心为， 内切圆的圆心为，到 的距离相等，到 的距离相等，当H靠近B时，靠近B，偏大；当H靠近C时，靠近C，偏大；当H在中间某位置时， 圆心距可取到中间值6，C正确．对于选项D，如图所示：
两圆公切线共4条，其中为一条，除外最多有3条公切线，D正确．
模型2.外接圆模型
【模型提炼与证明】
1）三角形的外接圆模型
条件：如图1，⊙O为三角形ABC的外接圆（即O为三角形ABC的外心）。
结论：①OA=OB=OC；②。
证明：∵O为三角形ABC的外心，∴OA=OB=OC；∴∠BAO=∠ABO，∠CAO=∠ACO，
∴∠BOD=∠BAO+∠ABO=2∠BAO，∠COD=∠CAO+∠ACO=2∠CAO，
∴∠BOD+∠COD=2∠BAO+2∠CAO=2∠BAC
图1 图2 图3
2）等边三角形的外接圆模型
条件：如图2，点P为等边三角形ABC外接圆劣弧BC上一点。
结论：①，PM平分；②PA=PB+PC；③；
证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∵点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点，∴四边形ABPC是圆的内接四边形
∴∠BPC+∠BAC=180°，∴∠BPC=120°，∵弧BA=弧BA，弧AC=弧AC
∴∠APB=∠ACB=60°，∠APC=∠ABC=60°，∴PM平分；在PA上截取PD=PC，连结CD．
∵∠ABC=∠APC=60°，∴△PCD为等边三角形，∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD，
∴∠PCD-∠DCM=∠ACB-∠DCM，即∠ACD=∠BCP，
在△ACD和△BCP中，，∴△ACD≌△BCP，∴AD=PB，
∵PA=AD+DP，DP=PC，∴PA=PB+PC；∵∠APB=∠ACB=60°（已证），∠BMP=∠AMC（对顶角）。
∴△BMP≌△AMC，∴，同理：。
∴，∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∴。
3）四边形的外接圆模型
条件：如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形。
结论：①；；②。
证明：连结OA、OC，设∠AOC=，∵圆周角等于所对的圆心角的一半，∴∠ADC=，
同理：∠ABC=，∴；同理：；
∵，∴。
【模型运用】
【典例1】（25-26九年级上·山东青岛·校考期中）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：连接，，，，，∵点是的内心，，故选：B．
【典例2】（2026·上海静安·三模）已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________．
【答案】
【详解】解：如图，在 中， ， ，过点 作 于点 ，
∵ ， ，∴ ， 垂直平分 ，
∴ ，∵三角形外接圆圆心在三角形任意一边的垂直平分线上，
∴外接圆圆心 在射线上，连接，设外接圆半径为 ，则 ，∴ ，
在 中， ，∴，解得：．即外接圆的半径为．
【典例3】（25-26九年级下·浙江宁波·自主招生）已知为等腰三角形，，，点I为的内心，点O为的外心，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图，连接并延长交于D，连接，．
∵点I为的内心，∴，∵，，∴，
∴，即垂直平分，
∵，，∴，∴，
设，由勾股定理得，解得，∴．
作交于H，交于J，∵点I为的内心，∴，
设，∴，
即，解得，即，∴．故选：B．
【典例4】（25-26·湖北咸宁·九年级校考阶段练习）如图，的直径的长为8，P是上一动点，的角平分线交于点Q，点I为的内心，连接，下列结论：①点Q是定点；②的最大值为8；③的长为定值；④的最大值为16．其中正确的结论是 （把正确结论的序号都填上）．
【答案】①②③
【详解】解：连接，如图所示：∵为的直径，∴，
∵的角平分线交于点Q，点I为的内心，∴，
∴，且是等腰直角三角形，∴，即点Q是定点，故①正确；
由圆中最长的弦是直径可知的最大值为8，故②正确；
∵，且，
∴，∴，即的长为定值，故③正确；
过点P作于点D，∴，
当的值为最大，则的值为最大，即的值为最大，
∴当是半径时，即为，∴的最大值为；故④错误；
综上所述：正确的有①②③；故答案为①②③．
【典例5】（2026·江苏镇江·一模）如图，等腰三角形内接于，，点是的内心，连接并延长交于点，点在的延长线上，满足．试证明：(1)所在的直线经过点I；(2)点D是的中点．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）证明：连接、、、，
，，，，，平分，
点是的内心，平分，与在同一条直线上，所在的直线经过点．
（2）证明：连接，则，，
，，，，
，，，，
，，
，，，，，点是的中点．
【典例6】（25-26·浙江·九年级专题练习）已知为三角形的内心，连接交三角形的外接圆于点，如图所示，连接和．(1)求证：．(2)，，，求AD．
(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵为三角形的内心，，，，，
，，，
，，；
（2）如图，过点作于，过点作于点，
，，，则，
，，则，，
，，，，
，，
过点，作的垂线，垂足分别为，如图，
I为三角形ABC的内心，，设，
，即，
解得，中，，
，，
（3）如图，设为三角形ABC的外接圆的圆心，连接，
，，，，且，
，是等边三角形，，圆的半径为，
．
模型常见易错点
1）内外心位置记混（最高频错误）
错误：认为外心永远在三角形内部 解决方案： 锐角内、直角中、钝角外；内心永远在内部！
2）内外心性质混淆
错误：外心到边等距、内心到顶点等距 解决方案：外心盯顶点，内心盯边长，死记对偶口诀
3）乱用直角三角形内切公式
错误：普通三角形套用：r=（a+b-c）/2 解决方案： 该公式仅限直角三角形！普通三角形只能用万能面积公式。
4）大题直接默写二级结论
解决方案： 选择填空可秒用；解答题必须写出面积法推导或斜边中线依据。
5）等边三角形比例记反
解决方案： 外半径是内半径的2倍，R大r小，永远2:1。
解题方法总结
外接圆解题步骤：
1）判断三角形类型（锐/直/钝）确定外心位置.
2）直角三角形直接：R=斜边/2
3）普通三角形利用垂直平分线性质、圆心角圆周角倒角
4）勾股定理求半径、边长
内切圆解题步骤：
1）求三角形面积S、周长L。
2）套万能公式：r=2S/L
3）若是直角三角形，直接秒杀：r=(a+b-c)/2
万能口诀
外心垂直分三边，顶点等距半径显；内心平分三个角，面积求r最保险；直角外圆斜一半，内切公式要分辨。
1.（25-26九年级上·广西河池·期末）如图，中，，点是的内心．则的度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵中，，∴，
∵点是的内心，∴平分，平分，
∴，，∴，
∴，故选：D．
2.（25-26九年级上·湖北·期末）如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿切线剪一个，则的周长为（　　）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】B
【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、，

由切线长定理可知，，，
∵是的切线，∴，，
∵，，， ∴，∴，则四边形是正方形，
∵是的内切圆，∴内切圆的半径，
∴，∴，∴，
∴的周长为：．故选：B．
3.（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：连接，∵点I是的内心，，
∴，∴，
∵，∴，故选：C．

4．（2026·四川成都·一模）如图，等腰内接于，，，在内任意取一个点，则该点落在等腰内（包括边界）的概率为_______．
【答案】
【详解】解：如图，连接并延长交于点，连接，
∵等腰内接于，，∴，，
∵，∴，∴，
∴，
在中，，∴，解得：，
∴面积为，
∴该点落在等腰内（包括边界）的概率为．
5．（2026·河南周口·二模）如图，在中，，是的内切圆，半径为3，则阴影部分的面积为________．
【答案】
【详解】解：如图，E、F为圆与三角形的交点，连接，
∵在中，，∴，∵是的内切圆，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∵半径为3，∴，∴阴影部分的面积．
6．（25-26九年级下·上海杨浦·期末）我们知道：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，这个交点叫做三角形的外心．对于三角形的外心，课本第138页有如下一个关于角度的问题：
5．如图，在中，，边、的垂直平分线相交于点P，连接、．求的度数．
对于类似的问题会不会有一般性的结论呢？
(1)如图1，在锐角三角形中，①请用直尺和圆规作出的外心O（保留作图痕迹）；
②在所作图中连接、，如果设，那么 （用含的式子表示）；
(2)如图2，在钝角三角形中，，点O是的外心，连接、，如果设，那么 （用含的式子表示）；
(3)如果三角形的外心恰好落在这个三角形的一条边上，那么这个三角形的最大角的度数是 度；
(4)通过以上问题的解决，对于三角形的外心的位置你能得到怎样的结论？请写出得到的结论．
【答案】(1)解：①如图，外心即为所求；
②如图，连接，
∵为线段的垂直平分线的交点，∴，∴，，
∵，∴，
∴，∴.
（2）解：如图，连接，
∵点O是的外心，∴，∴，，
∵，∴，
∵，，
∴，∴.
（3）解：如图，为三角形的外心，∴，∴，，
∵，∴，
∴，∴，∴的最大角为.
(4)解：锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部.
7．（25-26浙江年级上期中）我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形．如图1，与的三边分别相切于点则叫做的外切三角形.以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形．如图2，与四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA分别相切于点则四边形叫做的外切四边形．
（1）如图2，试探究圆外切四边形的两组对边与之间的数量关系，猜想： (横线上填“>”，“<”或“=”)；（2）利用图2证明你的猜想(写出已知，求证，证明过程)；
（3）用文字叙述上面证明的结论： ；
（4）若圆外切四边形的周长为相邻的三条边的比为，求此四边形各边的长．
【答案】（1）=；（2）答案见解析；（3）圆外切四边形的对边之和相等；（4）4；10；12；6
【详解】（1）∵⊙O与四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA分别相切于点E，F，G，H，
∴猜想AB＋CD＝AD＋BC，故答案为：＝．
（2）已知：四边形ABCD的四边AB，BC，CD，DA都于⊙O相切于G，F，E，H，求证：AD＋BC＝AB＋CD，
证明：∵AB，AD和⊙O相切，∴AG＝AH，同理：BG＝BF，CE＝CF，DE＝DH，
∴AD＋BC＝AH＋DH＋BF＋CF＝AG＋BG＋CE＋DE＝AB＋CD，即：圆外切四边形的对边和相等．
（3）由（2）可知：圆外切四边形的对边和相等．
故答案为：圆外切四边形的对边和相等；
（4）∵相邻的三条边的比为2：5：6，∴设此三边为2x，5x，6x，
根据圆外切四边形的性质得，第四边为2x＋6x 5x＝3x，
∵圆外切四边形的周长为32，∴2x＋5x＋6x＋3x＝16x＝32，∴x＝2，
∴此四边形的四边的长为2x＝4，5x＝10，6x＝12，3x＝6．
即此四边形各边的长为：4，10，12，6．
1．（25-26九年级·山东济南·专题练习）如图，已知中，，内切圆半径为3，则图中阴影部分面积和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图令，分别交于，，
∵是的内切圆，切点分别为G，D，R，
∴图中阴影部分面积和是的面积扇形的面积，
∵、分别是、的角平分线， ∴，，
∵， ∴，
∴， ∴，
∴．
2.（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点．则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的是（　　）
A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
【答案】A
【详解】解：∵点是的内心，∴，∴对应的圆心角相等，
∴，∴，故①说法正确；如图，连接，，
∵点是的内心，∴，，∴，
∵，∴∴，∴，故②说法正确；
∵，∵点为的中点，∴线段经过圆心O，∴，
∴成立，故③说法正确；∵点是的内心，
∴，，
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴，∴，故④说法正确；
综上分析可知，①②③④正确．故选：A．
3．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，在中，，．，I是的内心，则线段的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，连接，延长交于H，连接，作出的内接圆，确定圆心I，连接，
∵，∴，∴，
∵，∴，设，
在中，∵，∴，∴，
∴，∴，
∴，∴，故选D．
4.（24-25·湖北武汉·九年级期中）《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式．若三角形的三边a，b，c分别为7，6，3，则这个三角形内切圆的半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵三角形的三边a，b，c分别为7，6，3，
∴，如图，
设这个三角形内切圆的半径为，则，即，
∵三角形的三边a，b，c分别为7，6，3，
∴，解得：，∴这个三角形内切圆的半径为．故选：B．
5.（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，经过的直角顶点，交于点，交于点，交于点，且满足，则的半径为 ．
【答案】
【详解】解：如图，过点O作于点M，于点N，于点P，连接，
∵弦，∴，，
∴小是的内切圆，四边形是正方形，
∴，，，是等腰直角三角形，
∴，，设，∵，∴，，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，（不合题意，舍去），∴设，∴，
∵是等腰直角三角形，∴，∴的半径为，故答案为：．
6．（2026·江苏南京·三模）是的内切圆，与边分别相切于点，若点在内部（含边界）且满足，则所有点组成的区域的面积为__________．
【答案】/
【详解】解：过点作，交于点，连接，如图所示：
∴，即垂直平分，
∴当点在上时，则根据线段垂直平分线的性质可知：，∴，
∴要使点在内部（含边界）且满足，则有所有点组成的区域为的下方半圆，
∵，∴，∴，∴，
∵是的内切圆，∴点到的三边距离都是的半径，
∵，∴，
∴半圆的面积为，即所有点组成的区域的面积为．
7．（25-26九年级上·山西忻州·阶段检测）阅读与思考
下面是小康学习了《圆》的知识后的学习笔记，请你仔细阅读，并完成相应的任务．
勾股容圆问题【概念】 在直角三角形中、已知勾与股的长，求直角三角形能容纳的圆（直角三角形的内切圆）的直径，这就是勾股容圆问题． 【问题1】如图1，在中，，，，，的内切圆的半径为，内切圆与三边相切于点，，，则，这就是勾股容圆公式，下面是该公式的部分推理过程： 解：连接，，则四边形是正方形， 根据切线长定理，可设，，…… 【问题2】在一直角三角形中，勾（短直角边）为8步，股（长直角边）为15步，则可利用勾股容圆公式直接求得该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径为▲步．
任务：(1)请补全【问题1】中的勾股容圆公式的推理过程．(2)【问题2】中的“▲”处应填______．
(3)如图2，在中，，，．请求出的内切圆的半径．
【答案】(1)连接，，则四边形是正方形，
根据切线长定理，可设，，，
∵，，，∴，，，
∴，，，∴，，∴，∴．
∵四边形是正方形，∴，∵的半径为r，即，∴．
（2）解：∵在一直角三角形中，勾（短直角边）为8步，股（长直角边）为15步，
∴弦（斜边）为（步），
∴根据勾股容圆公式直接求得该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的半径为（步），
∴直径为（步）．故答案为：6
（3）解：∵在中，，，，∴，∴，
∴根据勾股容圆公式可得，的内切圆的半径为．
1．（2026·江苏南通·三模）如图，菱形中，对角线、相交于点，的内心与点的距离为，则菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：作于E， 作于F，连接，．
四边形是菱形，，，．
是的内心，，．
．．．
．．
，，．．
．．
．
2．（2026·湖北武汉·一模）如图，，，，内切圆半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：连接，∵，∴，，∴，
∴是圆的直径．∴，
在中，，，∴ ，
∴，∴ ．
过点A作于点E，则，∴，
∴，∴，∴，
设的内心为点I，内切圆半径为r，过点I作于点F，作于点G，作于点H，
则，∵，
∴，化简得，解得．
3.（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，点在边上，过的内心作于点．若，，则的长为（ ）

A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【详解】解：如图，过点I作，，垂足分别为G，F，

∵点I为的内心，∴以为半径的圆I是的内切圆，
∴，，，设，，
∵，∴，∴，
∵，∴，解得：，∴．故选：C．
4.（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，是等腰的外接圆，D为弧 ，P为的内心，过P作，若 ，则的值为（　　）
A．4 B． C．2 D．
【答案】A
【详解】解：作于M，于N，在上截取，如图：
∵是等腰直角三角形，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∴是等腰直角三角形，∴，
∵P是的内心，∴，∵，
∴四边形是正方形，∴，∵，∴，
∴，同理：，∴，
∵，∴，故选：A．
5．（2025·云南昆明·模拟预测）如图所示，半径为的圆内切于正，为边上一点，为边上一点，且直线与圆相切于点，的内切圆与相切于点．若圆的半径为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，设、、分别与相切于点、、，、分别与相切于、，连接、、、、、、，
则，，，，，，，，
，平分，同理，平分，、、三点共线，
是等边三角形，，，
，，
，，
在中，，，
，，
，，得：，
如图，过点作，交的延长线于，则，
∴四边形是矩形，，
，，
在中，，，．故选：D．
6.（2025·湖北武汉·模拟预测）我们将一个三角形内切圆的半径与外接圆的半径的比值叫做该三角形的“径比”，已知等腰三角形底为6，腰为5，则该三角形的“径比”为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图所示，为等腰底边上的高，点为三角形的外心，∴，
由三线合一和勾股定理得，， ，
由勾股定理得，解得，
如图，点为的内心，，
∴，∴ 故选：B．
7．（25-26江苏盐城·九年级统考期中）如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D．
(1)求证：；(2)求证：；(3)连接、，求证：点D是的外心．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析
【详解】（1）证明：点I是的内心， 平分，，
，，．
（2）证明：如图，连接，
点I是的内心，平分，平分，
，又，，
，，，．
（3）证明：如图，连接，，，
，．，∴点D是的外心．
8．（25-26九年级上·江苏·专题练习）如图，等腰三角形内接于，，点I是的内心，连接并延长交于点D，点E在的延长线上，满足．试证明：(1)所在的直线经过点I；(2)点D是的中点．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）证明：连接，
∵，，，∴，∴，∴平分，
∵点I是的内心，∴平分，∴与在同一条直线上，∴所在的直线经过点I．
（2）证明：连接，则，∴，
∴，∴，∵，∴，
∵，，∴，∴，
∵，∴，
∵，，∴，∴，∴，∴点D是的中点．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题07 圆中的重要模型之圆中的外接圆和内切圆模型
圆在中考数学几何模块中占据着重要地位。本模型研究任意三角形的外接圆、内切圆两大基础圆模型，是初中圆几何最底层、最必考、辐射最广的核心模型。外接圆、内切圆是圆几何一切综合题的根基。 外心核心：垂直平分线 + 顶点等距 内心核心：角平分线 + 面积法求半径。
模型来源 1
知识储备 2
例讲模型 2
模型1.内切圆模型 2
模型2.外接圆模型 10
易错点与方法总结 17
模型运用 18
A组（基础题） 18
B组（能力提升题） 23
C组（综合压轴题） 29
古希腊数学家（如欧几里得）在《几何原本》中系统研究过三角形与圆的位置关系，垂直平分线、角平分线的交点性质奠定了外心与内心的理论基础 。三角形的内切圆和外接圆模型均基于三角形的基本性质命名：外接圆与三边相关，内切圆与三角形的角相关。两大圆 “一外一内、一顶点一边长” 完美对偶，构成平面几何三角形最稳定的圆体系。 中考命题逻辑完全继承这一几何本质： 考位置、考距离、考半径、考角度、考面积。
内切圆 是与多边形各边均相切的圆，在三角形中具有唯一性，其圆心称为内心，是角平分线的交点。内心到三角形各个边的垂线段相等。
外接圆 是与多边形各顶点都相交的圆，其中三角形必然有外接圆，其圆心称为外心，位于任意两边垂直平分线的交点。外心到三角形各顶点的距离相等。
1）线段垂直平分线性质（外心核心）；
2）角平分线性质（内心核心）；
3）三角形内角和、外角定理；
4）三角形面积多种求法；
5）直角三角形斜边中线性质；
6）等边三角形四心合一性质。
模型1.内切圆模型
【模型提炼与证明】
1）三角形的内切圆模型
条件：如图1，⊙O为三角形ABC的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。
结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=。
证明：∵O为三角形ABC的内心，∴OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线，
∵O为内心，切点为D、E、F，∴OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥AC，∵OD=OE=OF=r，
∴点O到三角形ABC的三边距离相等；∵OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线，
∴∠BAO=∠CAO=，∠BCO=∠ACO=，∠ABO=∠CBO=，
∴∠BOC=180°-（∠CBO-∠BCO）=180°-（-）=180°-
=180°-=90°+，
∴，即r=
图1 图2 图3
2）直角三角形的内切圆模型
条件：如图2，⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。
结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=；
证明：①②证明同模型1）的证明，∵⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，
∴AD=AF，BD=AE，CE=CF，OE⊥BC、OF⊥AC，∴四边形OECF为正方形，
∴CE=CF=OF=OE=r，∴AC+BC-AB=AF+CF+CE+BE-AD-BD=CE+CF=2r，即r=；
3）四边形的内切圆模型
条件：如图3，⊙O是四边形ABCD的内切圆。 结论：。
证明：∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH，
∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，∴。
【模型运用】
【典例1】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点是的内心，若，则 ．
【典例2】（2025·辽宁铁岭·二模）《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．甲乙二人俱在干地，乙东行三百二十步而立，甲南行六百步望见乙，问径几里？”意思是：如图，中，步，步，是的内切圆，切点为，，，求的直径．根据题意，的直径是（ ）
A．200步 B．240步 C．280步 D．320步
【典例3】（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）如图，边长为a的正三角形的内切圆半径是（ ）
A． B． C． D．
【典例4】（24-25·福建福州·九年级校考期末）如图，的内切圆与两直角边、分别相切于点D、E，过劣弧（不包括端点D、E）上任一点P作的切线，与、分别交于点M、N，，，则的周长为 ．
【典例5】（2026·四川·校考一模）如图，在直角坐标系中，一直线l经过点M（，1）与x轴、y轴分别交于A、B两点，且MA＝MB，可求得△ABO的内切圆⊙O1的半径r1＝﹣1；若⊙O2与⊙O1、l、y轴分别相切，⊙O3与⊙O2、l、y轴分别相切，…，按此规律，则⊙O2014的半径r2014＝ ．
【典例6】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）阅读材料：已知，如图①，在面积为的中，，内切圆的半径为．连接被划分为三个小三角形．

．．
(1)类比推理：若面积为的四边形存在内切圆（与各边都相切），如图②，各边长分别为，求四边形的内切圆半径；(2)理解应用：如图③，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为，设它们的半径分别为和，若，，，，，求的值．
【典例7】（2026·上海静安·三模）探究与应用：
在研究平面几何时，要把握图形与图形之间的位置关系以及对应关系．请你对下面这个图形展开了综合性研究，已知直角三角形 ， ， ， ，在 边上有一点H．
【定理探究】：定理是我们解决几何问题的起点，定理的条件和结论交换之后的真假往往也很关键．在发现定理的过程中，我们往往可以从特殊值出发，猜测一般化的规律．
(1)小张同学发现，点B在以 为直径圆上，由此他得出结论：“若一个三角形一条边上的中线长等于该边长的一半，则这个三角形是直角三角形”这个命题是“直角三角形斜边上中线长等于斜边长的一半．”的_________，这个结论成立是__________．（ ）
A．逆命题，必然事件 B．逆命题，不可能事件 C．同义命题， 必然事件
(2)三角形内切圆的圆心是三角形（ ）
A．内角平分线的交点 B．中线的交点 C．各边垂直平分线的交点
【位置关系】：与圆有关的位置关系是平面几何问题的重要模块，也是现实工程测量的重要依据．
(3)当 和 的内切圆半径相等时，求： 的长；
(4)下列说法正确的是（ ）（多选题）
A．点H可能在 和 的内切圆上
B． 和 的内切圆可能相切
C． 和 的内切圆的圆心距可能为6
D．除直线外，同时与 和 的内切圆相切的直线最多有3条
模型2.外接圆模型
【模型提炼与证明】
1）三角形的外接圆模型
条件：如图1，⊙O为三角形ABC的外接圆（即O为三角形ABC的外心）。
结论：①OA=OB=OC；②。
证明：∵O为三角形ABC的外心，∴OA=OB=OC；∴∠BAO=∠ABO，∠CAO=∠ACO，
∴∠BOD=∠BAO+∠ABO=2∠BAO，∠COD=∠CAO+∠ACO=2∠CAO，
∴∠BOD+∠COD=2∠BAO+2∠CAO=2∠BAC
图1 图2 图3
2）等边三角形的外接圆模型
条件：如图2，点P为等边三角形ABC外接圆劣弧BC上一点。
结论：①，PM平分；②PA=PB+PC；③；
证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∵点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点，∴四边形ABPC是圆的内接四边形
∴∠BPC+∠BAC=180°，∴∠BPC=120°，∵弧BA=弧BA，弧AC=弧AC
∴∠APB=∠ACB=60°，∠APC=∠ABC=60°，∴PM平分；在PA上截取PD=PC，连结CD．
∵∠ABC=∠APC=60°，∴△PCD为等边三角形，∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD，
∴∠PCD-∠DCM=∠ACB-∠DCM，即∠ACD=∠BCP，
在△ACD和△BCP中，，∴△ACD≌△BCP，∴AD=PB，
∵PA=AD+DP，DP=PC，∴PA=PB+PC；∵∠APB=∠ACB=60°（已证），∠BMP=∠AMC（对顶角）。
∴△BMP≌△AMC，∴，同理：。
∴，∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∴。
3）四边形的外接圆模型
条件：如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形。
结论：①；；②。
证明：连结OA、OC，设∠AOC=，∵圆周角等于所对的圆心角的一半，∴∠ADC=，
同理：∠ABC=，∴；同理：；
∵，∴。
【模型运用】
【典例1】（25-26九年级上·山东青岛·校考期中）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2026·上海静安·三模）已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________．
【典例3】（25-26九年级下·浙江宁波·自主招生）已知为等腰三角形，，，点I为的内心，点O为的外心，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【典例4】（25-26·湖北咸宁·九年级校考阶段练习）如图，的直径的长为8，P是上一动点，的角平分线交于点Q，点I为的内心，连接，下列结论：①点Q是定点；②的最大值为8；③的长为定值；④的最大值为16．其中正确的结论是 （把正确结论的序号都填上）．
【典例5】（2026·江苏镇江·一模）如图，等腰三角形内接于，，点是的内心，连接并延长交于点，点在的延长线上，满足．试证明：(1)所在的直线经过点I；(2)点D是的中点．
【典例6】（25-26·浙江·九年级专题练习）已知为三角形的内心，连接交三角形的外接圆于点，如图所示，连接和．(1)求证：．(2)，，，求AD．
(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
模型常见易错点
1）内外心位置记混（最高频错误）
错误：认为外心永远在三角形内部 解决方案： 锐角内、直角中、钝角外；内心永远在内部！
2）内外心性质混淆
错误：外心到边等距、内心到顶点等距 解决方案：外心盯顶点，内心盯边长，死记对偶口诀
3）乱用直角三角形内切公式
错误：普通三角形套用：r=（a+b-c）/2 解决方案： 该公式仅限直角三角形！普通三角形只能用万能面积公式。
4）大题直接默写二级结论
解决方案： 选择填空可秒用；解答题必须写出面积法推导或斜边中线依据。
5）等边三角形比例记反
解决方案： 外半径是内半径的2倍，R大r小，永远2:1。
解题方法总结
外接圆解题步骤：
1）判断三角形类型（锐/直/钝）确定外心位置.
2）直角三角形直接：R=斜边/2
3）普通三角形利用垂直平分线性质、圆心角圆周角倒角
4）勾股定理求半径、边长
内切圆解题步骤：
1）求三角形面积S、周长L。
2）套万能公式：r=2S/L
3）若是直角三角形，直接秒杀：r=(a+b-c)/2
万能口诀
外心垂直分三边，顶点等距半径显；内心平分三个角，面积求r最保险；直角外圆斜一半，内切公式要分辨。
1.（25-26九年级上·广西河池·期末）如图，中，，点是的内心．则的度数（ ）
A． B． C． D．
2.（25-26九年级上·湖北·期末）如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿切线剪一个，则的周长为（　　）
A．10 B．12 C．14 D．16
3.（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
4．（2026·四川成都·一模）如图，等腰内接于，，，在内任意取一个点，则该点落在等腰内（包括边界）的概率为_______．
5．（2026·河南周口·二模）如图，在中，，是的内切圆，半径为3，则阴影部分的面积为________．
6．（25-26九年级下·上海杨浦·期末）我们知道：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，这个交点叫做三角形的外心．对于三角形的外心，课本第138页有如下一个关于角度的问题：
如图，在中，，边、的垂直平分线相交于点P，连接、．求的度数．
对于类似的问题会不会有一般性的结论呢？
(1)如图1，在锐角三角形中，①请用直尺和圆规作出的外心O（保留作图痕迹）；
②在所作图中连接、，如果设，那么 （用含的式子表示）；
(2)如图2，在钝角三角形中，，点O是的外心，连接、，如果设，那么 （用含的式子表示）；
(3)如果三角形的外心恰好落在这个三角形的一条边上，那么这个三角形的最大角的度数是 度；
(4)通过以上问题的解决，对于三角形的外心的位置你能得到怎样的结论？请写出得到的结论．
7．（25-26浙江年级上期中）我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形．如图1，与的三边分别相切于点则叫做的外切三角形.以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形．如图2，与四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA分别相切于点则四边形叫做的外切四边形．
（1）如图2，试探究圆外切四边形的两组对边与之间的数量关系，猜想： (横线上填“>”，“<”或“=”)；（2）利用图2证明你的猜想(写出已知，求证，证明过程)；
（3）用文字叙述上面证明的结论： ；
（4）若圆外切四边形的周长为相邻的三条边的比为，求此四边形各边的长．
1．（25-26九年级·山东济南·专题练习）如图，已知中，，内切圆半径为3，则图中阴影部分面积和是（ ）
A． B． C． D．
2.（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点．则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的是（　　）
A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
3．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，在中，，．，I是的内心，则线段的值为（ ）
A．1 B． C． D．
4.（24-25·湖北武汉·九年级期中）《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式．若三角形的三边a，b，c分别为7，6，3，则这个三角形内切圆的半径是（ ）
A． B． C． D．
5.（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，经过的直角顶点，交于点，交于点，交于点，且满足，则的半径为 ．
6．（2026·江苏南京·三模）是的内切圆，与边分别相切于点，若点在内部（含边界）且满足，则所有点组成的区域的面积为__________．
7．（25-26九年级上·山西忻州·阶段检测）阅读与思考
下面是小康学习了《圆》的知识后的学习笔记，请你仔细阅读，并完成相应的任务．
勾股容圆问题【概念】 在直角三角形中、已知勾与股的长，求直角三角形能容纳的圆（直角三角形的内切圆）的直径，这就是勾股容圆问题． 【问题1】如图1，在中，，，，，的内切圆的半径为，内切圆与三边相切于点，，，则，这就是勾股容圆公式，下面是该公式的部分推理过程： 解：连接，，则四边形是正方形， 根据切线长定理，可设，，…… 【问题2】在一直角三角形中，勾（短直角边）为8步，股（长直角边）为15步，则可利用勾股容圆公式直接求得该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径为▲步．
任务：(1)请补全【问题1】中的勾股容圆公式的推理过程．(2)【问题2】中的“▲”处应填______．
(3)如图2，在中，，，．请求出的内切圆的半径．
1．（2026·江苏南通·三模）如图，菱形中，对角线、相交于点，的内心与点的距离为，则菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·湖北武汉·一模）如图，，，，内切圆半径为（ ）
A． B． C． D．
3.（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，点在边上，过的内心作于点．若，，则的长为（ ）

A．8 B．9 C．10 D．11
4.（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，是等腰的外接圆，D为弧 ，P为的内心，过P作，若 ，则的值为（　　）
A．4 B． C．2 D．
5．（2025·云南昆明·模拟预测）如图所示，半径为的圆内切于正，为边上一点，为边上一点，且直线与圆相切于点，的内切圆与相切于点．若圆的半径为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
6.（2025·湖北武汉·模拟预测）我们将一个三角形内切圆的半径与外接圆的半径的比值叫做该三角形的“径比”，已知等腰三角形底为6，腰为5，则该三角形的“径比”为（ ）
A． B． C． D．
7．（25-26江苏盐城·九年级统考期中）如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D．
(1)求证：；(2)求证：；(3)连接、，求证：点D是的外心．
8．（25-26九年级上·江苏·专题练习）如图，等腰三角形内接于，，点I是的内心，连接并延长交于点D，点E在的延长线上，满足．试证明：(1)所在的直线经过点I；(2)点D是的中点．
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