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专题04.圆中的重要模型之圆中的翻折模型
圆中的翻折模型是将一个圆形的纸片沿着一条直线翻折，使得纸片的边缘与直线重合，从而形成新的圆形或圆环。翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分。这种模型可以用于创建各种不同的图形和图案，是一种非常有趣的几何模型。
圆翻折模型是圆中轴对称类问题的核心载体，承接圆周角、垂径定理基础知识点，侧重考查几何变换思想。它常和四点共圆、圆内接四边形综合嵌套，出现在圆综合压轴的小问中。掌握圆翻折的不变量，学会转化折叠后的弧、角、弦，能够快速挖掘隐藏等角、等腰三角形，套用解题模板结合勾股计算线段长度。
模型来源 1
知识储备 1
例讲模型 2
模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰） 2
易错点与方法总结 10
模型运用 11
A组（基础题） 11
B组（能力提升题） 15
C组（综合压轴题） 22
阿拉伯学者系统证明圆弧翻折后， 折痕必垂直平分对应弦 （即垂径定理），确立了“翻折→对称→垂直关系”的逻辑链。 中国宋代数学学者基于弦长与圆心角关系，明确“等弧翻折得等弦”的性质，强化对称构图思想。法国数学家布里昂雄发现翻折的 对偶性质 ：圆内折痕两侧的弧、角、弦存在对称等价关系，奠定现代模型核心原理。近代形成 “弧翻折必出等腰”的定性定理 ：圆内以弦为对称轴翻折圆弧，所得两弦相等（即生成等腰三角形），成为模型的核心判定条件。
圆中的翻折模型作为几何学中处理圆内对称问题的核心工具，其历史演进脉络融合了东西方数学思想。
1）轴对称性质：折叠前后图形全等，对应弧相等，对应圆周角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分；
2）圆周角定理：同弧 / 等弧所对圆周角相等；
3）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，平分弦所对的弧
4）勾股定理：在半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形中列式计算
5）圆内接四边形对角互补、外角等于内对角
6）等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称；
7）弧翻折（即等圆相交）：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。
模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰）
【模型提炼与证明】
模型1）条件：如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，结论：CD=CA
1）证明：如图，设折叠后的所在的圆心是G，连接AC，CD.
由题意得（折叠）：，即：，∴∠CAB=∠DCB+∠CBD，
∵∠CDA=∠DCB+∠CBD，∴∠CAB=∠CDA，∴CD=CA。
模型2）条件：特别地，弧BC折叠后过圆心，结论：CD=CA，∠CAB=60°
2）证明：如图，连接AC，CD，CO；由1）中证明知：CO=CA，
∵OA=OC，∴CO=CA=OA，∴△OAC为等边三角形，∴∠CAB=60°。
【模型运用】
【典例1】（25-26九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，在中，为直径，为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点（不与点重合），连结．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【典例2】（2025·陕西西安·一模）如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点D，连接．如果，，则的长为 ．
【典例4】（2026·湖北·模拟预测）如图，是的直径，将劣弧沿弦折叠，折叠后的弧恰好与相切于的中点，若，则的半径为（ ）
A． B． C． D．
【典例5】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知是的直径，点C为圆上一点．将沿弦翻折，交于D，把沿直径翻折，交于点E，过点D作，点E恰好是翻折后的的中点，则的度数为______， 的值为_____．
【典例6】（25-26九年级上·江苏连云港·阶段练习）图1为一圆形纸片，A、B、C为圆周上三点，其中为直径，以为折线将纸片向右折叠，纸片盖住部分的，且交于点D，如图2所示，若弧为，则的度数 ．
【典例7】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的内接三角形，把沿着折叠交弦于点，且点为的中点，若，则下列结论错误的是（ ）
A． B．点为的中点 C． D．
【典例8】（2025·吉林·一模）【驱动背景】在中，将劣弧沿弦所在的直线折叠，使得弧恰好过圆心O，圆心O关于直线的对称点为．
【前情感知】（1）如图1，连接，，的度数为 ；
【问题探究】（2）如图2，若点D是优弧上的任意一点，连接交折叠后的弧于点C，连接，．
①的度数为 ；猜想与的数量关系 ；
②如图3，若弧（翻折后）不经过圆心O．与的数量关系是否仍然成立？请说明你的理由．
【拓展生长】（3）如图4，若为直径，将第一次折叠后的弧（弧部分）沿向下翻折交弦于点E，连接．若，，请直接写出线段的长．
模型常见易错点
1）只看到线段折叠，忽略 “弧相等” 这一核心条件
错误：把翻折只当成三角形全等，看不到圆弧相等，无法进行圆周角转化。
正解：圆中的翻折，第一优先级是：等弧 等圆周角。
2）分不清折叠后的弧的位置，混淆内外圆周角
错误：依旧用原来的圆外角圆周角公式，没有替换成折叠后圆内的等角。
正解：翻折之后，弧进入圆内部，对应圆周角在弦的同侧，注意角度位置。
3）不会作弦心距，无法构造直角三角形
很多圆翻折计算题，必须作圆心向弦的垂线，依靠垂径定理建立直角三角形，学生缺少辅助线意识，只会观察原图。
4）翻折过圆心题型，错误判断弦心距长度
在弧折叠过圆心的题型中，弦心距不等于半径，而是半径的一半，极易代错数值，导致勾股方程出错。
5）大题只写结论，缺少弧相等的推导过程
几何书写扣分点：直接写角度相等，没有先说明 “由折叠得弧相等，故圆周角相等”，逻辑链条断裂。
解题方法总结
步骤 1：找折痕，定等弧：观察翻折的弦，写出：由折叠可知，两段弧相等。
步骤 2：角转化，做倒角：由等弧推得圆周角相等，完成角度代换，寻找等腰三角形。
步骤 3：作垂线，构造直角三角形：过圆心向折痕弦作垂线段，利用垂径定理平分弦、平分弧。
步骤 4：设未知数，表示边长：设圆半径为 r，用 r 表示弦心距、半弦长。
步骤 5：勾股定理列方程，求解计算：在 Rt△中列出方程，解出半径或者弦长。
步骤 6：整理作答，补齐几何书写过程。
1．（2025·河南洛阳·一模）如图，在中，直径是圆上一点，将弧BC沿BC折叠，折叠后的弧恰好经过点，则图中阴影部分的周长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在⊙中，点C为的中点，将弦下方的部分沿弦翻折，使点C与圆心O重合．点D为优弧上一点连接．若，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·河南·模拟预测）如图，是的弦，把沿翻折，点A在翻折后的上，点C在上．若，则的度数是（ ）
A．80° B．100° C．120° D．140°
4．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连接，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5.（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点，连接．若点与圆心重合，，则半径等于 ．
6．（25-26九年级上·浙江台州·阶段练习）点，，在上，将沿折叠后，与交于．
(1)若，求的度数．
(2)如图，点恰是翻折所得的中点，若，求的度数．
1.（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知点，，在上，，把劣弧沿着直线折叠交弦于点．若，，则的长为（　　）

A． B． C． D．
2.（2021·湖北武汉·统考中考真题）如图，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点．再将沿翻折交于点．若，设，则所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·浙江杭州·一模）如图，等腰内接于，，将折叠至，使点D落在上．若过点O，则 ．
4.（2025·河南·模拟预测）如图，为的直径，C为上一点，连接，将沿弦翻折，翻折后经过圆心O．若的半径为2，则图中阴影部分的面积为 ．
5．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）是的两条弦，且．
(1)如图，若弦的延长线相交于点，求证：
小明同学：从垂径定理的角度联想到辅助线：过点作，，垂足为．
小华同学：从全等三角形的角度联想到辅助线；连接．
小刚同学：从等角对等边的角度联想到辅助线：连接．
请你从上面三位同学提供的方法选择一种完成证明．
(2)如图，若的半径为，将沿着折叠，若折叠后的过点，求的长．
(3)如图，若的半径为，，将沿着折叠，若此时，请直接写出折叠后上的一点到最小值．
6．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）探究圆中折叠．
如图1，是圆的直径，是圆上一点（不与，重合），连接，沿着把翻折交于点，连接，．
(1)小浩发现并展示了两种思维方式，请帮他补充完整：
依据：同弧或等弧所对的弦相等
思维方式1 思维方式2
对于，所对两个圆中的弧分别是和______，所以，所以． 如图2，找到点折叠前的对应点，由折叠的性质可知，，所以=______，即可证．
(2)如图3，E是的中点．①若的半径为，连接，的长度是否改变，若不改变，求出的长度，若改变，请说明理由．②连接，若的最小值为，求的半径．
1．（2026·湖北黄石·模拟预测）如图，为半圆O的直径，C为半圆弧上一动点，将弧沿弦折叠，折叠后的弧与交于点D，E为折叠后的弧的中点，连接，若，则线段CE的长为（　　）

A． B． C． D．点C、O、E共线时，CE的长最大
2．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，已知是的直径，点C为圆上一点．将沿弦翻折，交于D，把沿直径翻折，交于点E，作，若点E恰好是翻折后的的中点，则的值为 __________．
3．（2025·河南漯河·三模）如图，以为直径的半圆中，，点为半圆上一点，，以为对称轴将弧折叠得到弧，点的对应点为点，连接交半圆于点，则图中阴影部分面积为 ．
4．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，已知扇形中，圆心角，半径，点为．上一点，将沿翻折后交于点，点分别为中点，过点作与翻折后的弧线交于点，则的最小值为 ．
5．（25-26·河北承德·九年级校考期末）如图，的直径，是弦，沿折叠劣弧，记折叠后的劣弧为．(1)如图1，当与相切于时．
①为画出所在圆的圆心，请选择你认为正确的答案 ．
甲：在上找一点，连、并分别作它们的中垂线，交点为；
乙：分别以、为圆心，以为半径作弧，除外两弧另一个交点即为圆心．
A．甲正确 B．乙正确 C．甲乙都正确 D．都不正确
②选择合适的方法做出圆心，求的长；直接写出此时的度数．
(2)如图2，当经过圆心时，求的长；
(3)如图3，当覆盖圆心且与直径交于点，若，直接写出的度数．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题04.圆中的重要模型之圆中的翻折模型
圆中的翻折模型是将一个圆形的纸片沿着一条直线翻折，使得纸片的边缘与直线重合，从而形成新的圆形或圆环。翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分。这种模型可以用于创建各种不同的图形和图案，是一种非常有趣的几何模型。
圆翻折模型是圆中轴对称类问题的核心载体，承接圆周角、垂径定理基础知识点，侧重考查几何变换思想。它常和四点共圆、圆内接四边形综合嵌套，出现在圆综合压轴的小问中。掌握圆翻折的不变量，学会转化折叠后的弧、角、弦，能够快速挖掘隐藏等角、等腰三角形，套用解题模板结合勾股计算线段长度。
模型来源 1
知识储备 1
例讲模型 2
模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰） 2
易错点与方法总结 10
模型运用 11
A组（基础题） 11
B组（能力提升题） 15
C组（综合压轴题） 22
阿拉伯学者系统证明圆弧翻折后， 折痕必垂直平分对应弦 （即垂径定理），确立了“翻折→对称→垂直关系”的逻辑链。 中国宋代数学学者基于弦长与圆心角关系，明确“等弧翻折得等弦”的性质，强化对称构图思想。法国数学家布里昂雄发现翻折的 对偶性质 ：圆内折痕两侧的弧、角、弦存在对称等价关系，奠定现代模型核心原理。近代形成 “弧翻折必出等腰”的定性定理 ：圆内以弦为对称轴翻折圆弧，所得两弦相等（即生成等腰三角形），成为模型的核心判定条件。
圆中的翻折模型作为几何学中处理圆内对称问题的核心工具，其历史演进脉络融合了东西方数学思想。
1）轴对称性质：折叠前后图形全等，对应弧相等，对应圆周角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分；
2）圆周角定理：同弧 / 等弧所对圆周角相等；
3）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，平分弦所对的弧
4）勾股定理：在半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形中列式计算
5）圆内接四边形对角互补、外角等于内对角
6）等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称；
7）弧翻折（即等圆相交）：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。
模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰）
【模型提炼与证明】
模型1）条件：如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，结论：CD=CA
1）证明：如图，设折叠后的所在的圆心是G，连接AC，CD.
由题意得（折叠）：，即：，∴∠CAB=∠DCB+∠CBD，
∵∠CDA=∠DCB+∠CBD，∴∠CAB=∠CDA，∴CD=CA。
模型2）条件：特别地，弧BC折叠后过圆心，结论：CD=CA，∠CAB=60°
2）证明：如图，连接AC，CD，CO；由1）中证明知：CO=CA，
∵OA=OC，∴CO=CA=OA，∴△OAC为等边三角形，∴∠CAB=60°。
【模型运用】
【典例1】（25-26九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，在中，为直径，为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点（不与点重合），连结．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：连接，∵是直径，∴，

∵，∴，
根据翻折的性质，所对的圆周角为，所对的圆周角为，∴，
又∵，∴，∴．故选D．
【典例2】（2025·陕西西安·一模）如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：过点O作，如图所示，由折叠性质可知，∴，
在中，∵，∴，∵，∴，
∵，经过圆心，∴，故选：A．
【典例3】（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点D，连接．如果，，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：如图，过作于，连接、，设折叠前后点D的对应点为，
由折叠的性质可得，∵，∴，

∵，∴，∴，∴，
∵，且为直径，∴，∴，∴，∴，
∵，∴，故答案为：．
【典例4】（2026·湖北·模拟预测）如图，是的直径，将劣弧沿弦折叠，折叠后的弧恰好与相切于的中点，若，则的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，设实线劣弧所在圆的圆心为，连接，，，，
、关于对称，垂直平分，
，的半径相等，两圆为等圆，设圆的半径为，即，
为和的公共弦，也垂直平分，，
在中，，，
为切点，是的中点，，，
在中，，
，，解得：，，的半径为，故选：B．
【典例5】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知是的直径，点C为圆上一点．将沿弦翻折，交于D，把沿直径翻折，交于点E，过点D作，点E恰好是翻折后的的中点，则的度数为______， 的值为_____．
【答案】
【详解】解：、、所在的圆是等圆，、、所对的圆周角都是，
，点恰好是翻折后的的中点，，，
，，，
连接，在上截取，连接，，
的度数为，，
，，都是等腰直角三角形，，
设，则，
，，故答案为：；．
【典例6】（25-26九年级上·江苏连云港·阶段练习）图1为一圆形纸片，A、B、C为圆周上三点，其中为直径，以为折线将纸片向右折叠，纸片盖住部分的，且交于点D，如图2所示，若弧为，则的度数 ．
【答案】
【详解】解：由折叠性质可得：，，，
为直径，．故答案为：．
【典例7】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的内接三角形，把沿着折叠交弦于点，且点为的中点，若，则下列结论错误的是（ ）
A． B．点为的中点 C． D．
【答案】B
【详解】解：如图所示，连接，过点作垂足为，过点作，垂足为，则四边形是矩形，
∵是的中点，，∴，故A选项正确，
∵，∴，故C选项正确，∴，
∵，∴，又∵，，∴是等腰直角三角形，
∴，，∴矩形是正方形，∴，
又∵，∴，∴∴，∴是等腰直角三角形，
∴，∴，故D选项正确，
则无法证明点为的中点，故B选项错误，故选：B．
【典例8】（2025·吉林·一模）【驱动背景】在中，将劣弧沿弦所在的直线折叠，使得弧恰好过圆心O，圆心O关于直线的对称点为．
【前情感知】（1）如图1，连接，，的度数为 ；
【问题探究】（2）如图2，若点D是优弧上的任意一点，连接交折叠后的弧于点C，连接，．
①的度数为 ；猜想与的数量关系 ；
②如图3，若弧（翻折后）不经过圆心O．与的数量关系是否仍然成立？请说明你的理由．
【拓展生长】（3）如图4，若为直径，将第一次折叠后的弧（弧部分）沿向下翻折交弦于点E，连接．若，，请直接写出线段的长．
【答案】（1）；（2）①；； ②成立；理由见解析；（3）
【详解】解：（1）如图，连接，交于点N，则则，
∴，故答案为：；
（2）①如图2，，设翻折前点C对应的点为T，连接、，
∵折叠，∴，∵， 即，
∵四边形是的内接四边形，∴，∴，
即；故答案为：，；
②成立，理由如下：设折叠前点C的对应点为点，连接，．由折叠可知，，
∵四边形是的圆内接四边形，，∴，
∵，∴，∴；
（3）补出第一次折叠后上面的弧所在圆，补出第二次折叠后从A到E到C的N所在圆，
由题意得：上述两个圆和圆O是等圆，圆O的之间，
故设圆直径均为10，半径均为5，过B作于H，
由（2）知，∴，∴，，
则，，则，，
∵，∴，
∴，即，∴，
则（负值已舍去），∴，则（负值已舍去），
作圆的直径，则，在圆中，，则，
∵，则，则．
模型常见易错点
1）只看到线段折叠，忽略 “弧相等” 这一核心条件
错误：把翻折只当成三角形全等，看不到圆弧相等，无法进行圆周角转化。
正解：圆中的翻折，第一优先级是：等弧 等圆周角。
2）分不清折叠后的弧的位置，混淆内外圆周角
错误：依旧用原来的圆外角圆周角公式，没有替换成折叠后圆内的等角。
正解：翻折之后，弧进入圆内部，对应圆周角在弦的同侧，注意角度位置。
3）不会作弦心距，无法构造直角三角形
很多圆翻折计算题，必须作圆心向弦的垂线，依靠垂径定理建立直角三角形，学生缺少辅助线意识，只会观察原图。
4）翻折过圆心题型，错误判断弦心距长度
在弧折叠过圆心的题型中，弦心距不等于半径，而是半径的一半，极易代错数值，导致勾股方程出错。
5）大题只写结论，缺少弧相等的推导过程
几何书写扣分点：直接写角度相等，没有先说明 “由折叠得弧相等，故圆周角相等”，逻辑链条断裂。
解题方法总结
步骤 1：找折痕，定等弧：观察翻折的弦，写出：由折叠可知，两段弧相等。
步骤 2：角转化，做倒角：由等弧推得圆周角相等，完成角度代换，寻找等腰三角形。
步骤 3：作垂线，构造直角三角形：过圆心向折痕弦作垂线段，利用垂径定理平分弦、平分弧。
步骤 4：设未知数，表示边长：设圆半径为 r，用 r 表示弦心距、半弦长。
步骤 5：勾股定理列方程，求解计算：在 Rt△中列出方程，解出半径或者弦长。
步骤 6：整理作答，补齐几何书写过程。
1．（2025·河南洛阳·一模）如图，在中，直径是圆上一点，将弧BC沿BC折叠，折叠后的弧恰好经过点，则图中阴影部分的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：作半径于N，
由折叠的性质得到，，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴阴影的周长==．故选A．
2．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在⊙中，点C为的中点，将弦下方的部分沿弦翻折，使点C与圆心O重合．点D为优弧上一点连接．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图，连接，交于点N，过点B作，
将弦下方的部分沿弦翻折，使点C与圆心O重合．，垂直平分，，
，，是等边三角形，，
，，
，，，，故选：A
3．（2025·河南·模拟预测）如图，是的弦，把沿翻折，点A在翻折后的上，点C在上．若，则的度数是（ ）
A．80° B．100° C．120° D．140°
【答案】B
【详解】如解图，
把折叠部分展开，点A的对应点为，则四边形是的内接四边形，
∴，∴，即，故选B．
4．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连接，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：延长交于点D，过点B作于点H，连结，
和是圆周角所对的弧，，，
是直径，，，
，，，
，，，．故选：C．
5.（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点，连接．若点与圆心重合，，则半径等于 ．
【答案】
【详解】解：作点关于的对称点，连接，交于点，则：垂直平分，∴，
∵点与圆心重合，为直径，∴，∴，
在中，由勾股定理，得： ，∴，
∴；即半径等于；故答案为：．
6．（25-26九年级上·浙江台州·阶段练习）点，，在上，将沿折叠后，与交于．
(1)若，求的度数．
(2)如图，点恰是翻折所得的中点，若，求的度数．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：将还原后点的对应点为，连接、，如图所示：
则，，，；
（2）由（1）得，，，，
点是翻折所得的中点，，，，
，，设，则，
在中，由三角形内角和定理得：，解得，即．
1.（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知点，，在上，，把劣弧沿着直线折叠交弦于点．若，，则的长为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：取点在上的对应点，连接，过点作于点，如下图，∵四边形内接于，∴，

∵点在上的对应点为点，∴根据折叠的性质有，
∵，∴，
∵，∴，∴是等腰三角形，
∵，，∴，
∵，∴，∵，∴是直角三角形，
∵，在中，，
在中，，
∵，∴，∵，∴是等边三角形，
∴，，∴的长为：．故选：C．
2.（2021·湖北武汉·统考中考真题）如图，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点．再将沿翻折交于点．若，设，则所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，将⊙O′沿BD翻折得到⊙O″，则⊙O、⊙O′、⊙O″为等圆．
∵⊙O与⊙O′为等圆，劣弧AC与劣弧CD所对的角均为∠ABC，∴．同理：．
又∵F是劣弧BD的中点，∴．∴．
∴弧AC的度数=180°÷4=45°．∴∠B=×45°=22.5°．∴所在的范围是；故选：B．
3．（2025·浙江杭州·一模）如图，等腰内接于，，将折叠至，使点D落在上．若过点O，则 ．
【答案】/
【详解】解：连接、，如图所示：
∵，∴，根据折叠可知：，，，
∴，∴，即，
∵，∴，∴，∵为的直径，∴，
∴，∴，∵，∴为等腰直角三角形，
∴，设，，则，，，
∵，∴，整理得：，
∴，∴．
4.（2025·河南·模拟预测）如图，为的直径，C为上一点，连接，将沿弦翻折，翻折后经过圆心O．若的半径为2，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【详解】解：如解图，作点O关于弦的对称点D，
由对称性知，D在上，连接，交于点E，连接．则．
又∵，∴为等边三角形．∴．
∵，，∴．∴．
∴是等边三角形．∴．∴四边形是菱形．
∵,∴，连接，
∵，∴ ∴．
∴．故答案为：．
5．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）是的两条弦，且．
(1)如图，若弦的延长线相交于点，求证：
小明同学：从垂径定理的角度联想到辅助线：过点作，，垂足为．
小华同学：从全等三角形的角度联想到辅助线；连接．
小刚同学：从等角对等边的角度联想到辅助线：连接．
请你从上面三位同学提供的方法选择一种完成证明．
(2)如图，若的半径为，将沿着折叠，若折叠后的过点，求的长．
(3)如图，若的半径为，，将沿着折叠，若此时，请直接写出折叠后上的一点到最小值．
【答案】(1)证明见解析(2)(3)
【详解】（1）证明：小明同学：过点作，，垂足为，连接，
∵，，，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，即；
小华同学：连接，则由圆周角定理得，
∵，∴，∴，即，∴，
∵，∴，∴；
小刚同学：连接，
∵，∴，∴，即，
∴，即，∴；
（2）解：连接，过点作交于点，则，，
∵过点，∴点与点关于对称，∴，
∵，∴，∴；
（3）解：连接，∵，，∴，
∵，∴，
∴，∴点三点共线，点三点共线，，
∵，∴，∴四边形是正方形，
过点作直线于，交折叠后于点，交折叠前于点，交于点，则，由图可知线段的长为出折叠后上的一点到最小值，
∵四边形是正方形，∴，，∴由正方形性质可得，，
∵，，∴为等腰直角三角形，
∴，∴，，
根据折叠可知，，∴，
∴，∴折叠后上的一点到最小值为．
38．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）探究圆中折叠．
如图1，是圆的直径，是圆上一点（不与，重合），连接，沿着把翻折交于点，连接，．
(1)小浩发现并展示了两种思维方式，请帮他补充完整：
依据：同弧或等弧所对的弦相等
思维方式1 思维方式2
对于，所对两个圆中的弧分别是和______，所以，所以． 如图2，找到点折叠前的对应点，由折叠的性质可知，，所以=______，即可证．
(2)如图3，E是的中点．①若的半径为，连接，的长度是否改变，若不改变，求出的长度，若改变，请说明理由．②连接，若的最小值为，求的半径．
【答案】(1)，(2)①的长度不变，为②的半径为
【详解】（1）解：思维方式1：对于，所对两个圆中的弧分别是和，所以，所以．
思维方式2：如图2，找到点折叠前的对应点，由折叠的性质可知，，所以，即可证．故答案为：，；
（2）①的长度不会改变，如图3，作交于点，作交于点，连接，，，由（1）知：是的中点，
∵是的中点，是直径，∴，
∵，∴，由折叠得：；
②如图4，连接，中，，当，，三点共线时，有最小值，
设的半径为，则，，
∵，∴，解得，（舍去），∴的半径为．
1．（2026·湖北黄石·模拟预测）如图，为半圆O的直径，C为半圆弧上一动点，将弧沿弦折叠，折叠后的弧与交于点D，E为折叠后的弧的中点，连接，若，则线段CE的长为（　　）

A． B． C． D．点C、O、E共线时，CE的长最大
【答案】B
【详解】解：设的弧度为，∴的弧度为：，
∵，∴的弧度为：，
由折叠得，的弧度为，∴的弧度为：，
∵点E为弧中点，∴的弧度为：，
∴的弧度为：，即所对圆心角为90°，
∵，∴⊙O半径为2，∴．故选：B．
2．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，已知是的直径，点C为圆上一点．将沿弦翻折，交于D，把沿直径翻折，交于点E，作，若点E恰好是翻折后的的中点，则的值为 __________．
【答案】/
【详解】解：∵、、所在的圆是等圆，、、所对的圆周角都是，
∴，∵点E恰好是翻折后的的中点，∴，∴，
又∵，∴，∴，
如图所示，连接，在上截取，连接，∴，
∵的度数为，∴∴，
∵，∴都是等腰直角三角形，∴，
设，则，∴，
∴，故答案为：．
3．（2025·河南漯河·三模）如图，以为直径的半圆中，，点为半圆上一点，，以为对称轴将弧折叠得到弧，点的对应点为点，连接交半圆于点，则图中阴影部分面积为 ．
【答案】
【详解】解：如图所示，连接，过点D作于H，
∵为半圆O的直径，∴，
由轴对称的性质可得，∴，
又∵，∴，∴，
∴，∴是等边三角形，∴，
∵，∴是等边三角形，∴，
∵和是边长相等的等边三角形，∴，，
∴，∴，∵，∴，
∴，∴，故答案为：．
4．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，已知扇形中，圆心角，半径，点为．上一点，将沿翻折后交于点，点分别为中点，过点作与翻折后的弧线交于点，则的最小值为 ．
【答案】/
【详解】解：作关于的对称点，在上，可得，过点作，交延长线于点，连接，，
∵是的中点，，∴，∴，，
∵，∴，
∴，∵，∴为等边三角形，∴，
∵，，∴，，
∵，∴，∴，
∴为等边三角形，∴，，∴，
∵，∴，∴，
∵是的中点，∴，∴，
∵在和中，∴，∴，
∵，∴最小值为．故答案为：．
5．（25-26·河北承德·九年级校考期末）如图，的直径，是弦，沿折叠劣弧，记折叠后的劣弧为．(1)如图1，当与相切于时．
①为画出所在圆的圆心，请选择你认为正确的答案 ．
甲：在上找一点，连、并分别作它们的中垂线，交点为；
乙：分别以、为圆心，以为半径作弧，除外两弧另一个交点即为圆心．
A．甲正确 B．乙正确 C．甲乙都正确 D．都不正确
②选择合适的方法做出圆心，求的长；直接写出此时的度数．
(2)如图2，当经过圆心时，求的长；
(3)如图3，当覆盖圆心且与直径交于点，若，直接写出的度数．
【答案】(1)①C②，(2)(3)
【详解】（1）①甲：在上找一点，连、并分别做它们的中垂线，即做的外心，故甲正确；乙：由切线长定理可知，为切线，且，故也为的切线，易知为正方形（证明见②），故乙正确；故选：C；
②如图，连接、，∵，∴四边形为菱形，而，
∴四边形为正方形，∴，；
（2）作于，交劣弧于，如图，
∵沿折叠劣弧，记折叠后的劣弧为，即∴，
∵，∴，在中，，，
∴，∴；
（3）连接，作关于的对称轴点在上，并连接、，如图，
∵是的直径，∴，又∵，∴，
由圆内接四边形的性质得到，
可得：，∴21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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