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专题05 圆中的重要模型之圆中的全等三角形模型
圆中全等三角形，区别于普通全等，它的相等边角都由圆的性质推导而来：同圆或等圆中，等弧对等弦、等弧对等圆周角、同弧所对圆周角相等、半径全部相等。它是圆综合解答题核心基础模型，圆中证明线段相等、角度相等的常用手段。常和圆周角模型、切线模型、圆翻折模型组合成大题，学会圆内全等的倒角逻辑，能够打通圆板块的证明思路，是从基础圆计算迈向圆综合大题的关键一步。掌握圆中等弧、等弦、圆周角相等的转化关系，能够利用圆的性质找到全等条件（SAS/AAS），快速识别圆内几类全等结构，规范圆内全等证明书写格式。
模型来源 1
知识储备 2
例讲模型 2
模型1、切线长模型 2
模型2、燕尾模型与蝴蝶模型 6
模型3、手拉手（旋转）模型 11
模型4、对角互补模型 16
易错点与方法总结 22
模型运用 23
A组（基础题） 23
B组（能力提升题） 29
C组（综合压轴题） 38
圆中的全等模型在几何学发展史中源远流长，其历史脉络可追溯至古代文明，并在不同时期得到深化与扩展。首先古埃及工程师利用圆的性质进行土地测量与金字塔建造，通过经验发现全等三角形的拼接可形成稳定结构；然后欧几里得 （约公元前300年）在《几何原本》中首次系统化几何理论：提出全等三角形公设（如SSS判定法），为圆中全等模型奠定逻辑基础；接着阿基米德 （前212年）在著作中记录弦切角、垂径性质等命题，隐含全等证明思想；最后在近现代数学教育中形成了一些重要的全等模型。圆的全等模型从经验实践到公理体系，历经文明交融与数学革命，至今仍是连接古典几何与现代科技的纽带。
1）同圆半径相等；垂径定理可以平分弧、平分弦，创造相等条件；
2）圆心角、弧、弦三者关系：等圆心角 等弧 等弦；圆全等的转化关系：弧 圆心角 圆周角 弦；
3）圆周角定理：同弧所对圆周角相等；
4）全等判定：SAS、AAS、ASA；
5）圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。
模型1.切线长模型
【模型提炼与证明】
1-1切线长模型1
条件：如图1，P为外一点，PA，PB是的切线，切点分别为A，B。
结论：①△OAP≌△OBP；②∠AOB+∠APB=180°；③OP垂直平分AB；
图1 图2
1-2切线长模型2
条件：如图2，AD，CD，BC是的切线，切点分别为A，E，B。
结论：①△AOD≌△EOD；②△BOC≌△EOC；③AD+BC=DC；④∠DOC=90°；
由于证明过程相对简单，故略去相关证明（主要运用切线长定理和圆中相关性质定理证明即可）。
【模型运用】
【典例1】（25-26·福建·九年级校考期末）如图，已知，是圆的两条切线，，为切点，线段交圆于点．下列说法不正确的是（ ）
A． B． C．平分 D．
【典例2】（2026·河南·校考二模）阅读下列材料，完成相应任务：古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”，它的完美来自对称，其中切弦（chordofcontact）亦称切点弦，是一条特殊弦，从圆外一点向圆引两条切线，连接这两个切点的弦称为切弦．此时，圆心与已知点的连线垂直平分切弦．
(1)任务一：为了说明切弦性质的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图1，P是外一点，__________________________________________．
求证：__________________________________________．
证明：
(2)任务二：如图2，在任务一的条件下，CD是的直径，连接AD、BC，若，，，求OP的长．
【典例3】（2025·湖北校考模拟预测）如图所示，AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，CD与⊙O有公共点E，且AD＝DE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝12，BC＝4，求AD的长．

【典例4】（2025·湖北·一模）如图，，分别与相切于E，F两点，点G是圆上一点，直线过点G，且，交于C点，且．(1)求证：是的切线；(2)若，，求图中阴影部分的面积（保留根号和）．
模型2.燕尾模型与蝴蝶模型
【模型提炼与证明】
1）.燕尾模型
条件：如图1，OA，OB是的半径，OC=OD。 结论：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC；
图1 图2
2）蝴蝶模型
条件：如图2，OA，OE是的半径，AD⊥OE，EB⊥OA。结论：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB；
由于证明过程比较简单，故略去相关证明。
【模型运用】
【典例1】（24-25九年级上·江苏泰州·期中）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设是已知点，小圆为已知圆．具体作法是：以为圆心，为半径作大圆，连接交小圆于点，过作，交大圆于点，连接，交小圆于点，连接，则是小圆的切线．(1)为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程；
已知：如图，点，和点，分别在以为圆心的同心圆上，______．求证：______．证明：______
(2)如图1，长不变，改变小圆的半径，延长交大圆于点，延长线交大圆于点，当经过圆心时，求的值；(3)在（2）中，若改变小圆的半径时，与小圆相切，直接写出的度数．

【典例2】（2025·安徽合肥·模拟预测）在中，为弦，为直径，于于．(1)如图1，若过圆心，求的度数；(2)如图2，若与相交于，求的半径．
【典例3】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的半径，分别交小圆于点，，连接，，交点为，连接并延长，交于点，交大圆于点．
(1)求证：；(2)与有怎样的位置关系？请说明理由．
【典例4】（25-26九年级下·江西赣州·期中）已知线段、为的弦，且，求证：．
【典例5】（24-25九年级上·重庆巴南·阶段练习）在学习了圆这一章后，小明对“在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对圆心角相等”产生了浓厚兴趣，进行了拓展性的研究，有了新的发现，在中，A、B、C、D是圆上四点，且，过圆心O作，垂足为E点，他猜想圆心O到弦、弦的距离相等．他的解决思路是证明对应垂线段所在三角形全等从而得出结论．请根据他的思路完成以下作图与填空：(1)用直尺和圆规，过点O作，垂足为F点，（只保留作图痕迹）
(2)已知：如图，在中，A、B、C、D是圆上四点，且，于点E，于点F．求证：．
证明：∵在中，A、B是圆上两点，于点E，∴，同理可证：．
∵∴①_________________．
∵于E点，于点F∴②_________________
在与中∴．∴．
通过小明研究发现，在等圆中也有此结论．请你依照题意完成下面命题：
在同圆或等圆中，④__________________________________________．
【典例6】（2026·山西吕梁·二模）阅读与思考
下面是小宜同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
弦心距【概念理解】弦心距是从圆心到圆内某条弦的垂线段的长度，即圆心到弦的最短距离．如图1，是的一条弦，，垂足为，那么的长度即弦的弦心距． 【性质探究】 在同圆或等圆内，如果弦心距相等，那么它们所对的弦相等 如图2，，是的两条弦，于点，于点．如果，那么． 证明思路：连接和，易证，可得到；再由圆的轴对称性得，，因此． 【问题解决】如图3，是的一条弦，，垂足为，点是圆内一点，且．请过点作弦，使． 如图4，具体作法：第一步：以为圆心，的长为半径画弧，与交于点；第二步：以为圆心，的长为半径画弧；以为圆心，的长为半径画弧；两弧交于点； 第三步：作直线，与交于点和点，弦即为所求．
任务：(1)在同圆或等圆内，如果弦心距相等，那么它们所对的弦相等，弦所对的 也相等．
(2)请推理说明图4中小宜作法的正确性．
(3)如图5，是的一条弦，，垂足为，点是圆外一点，请在图5中过点作弦，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
模型3.手拉手（旋转）模型
【模型提炼与证明】
条件：如图，是△ABD的外接圆，且AD=BD，∠ADB=，C为圆O上一点。
结论：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形；
特别地，当=60°时，CD=CA+CB； 当=90°时，CD=CA+CB；
【模型运用】
【典例1】（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在圆内接四边形中， ，为直径，若四边形的面积是S，的长是x，则S与x之间的数关系式是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2025·山东·校考一模）如图1，在⊙O中，弦AD平分圆周角∠BAC，我们将圆中以A为公共点的三条弦BA，CA，DA构成的图形称为圆中“爪形A”，弦BA，CA，DA称为“爪形A”的爪．
（1）如图2，四边形ABCD内接于圆，AB＝BC，①证明：圆中存在“爪形D”；②若∠ADC＝120°，求证：AD＋CD＝BD；（2）如图3，四边形ABCD内接于圆，其中BA＝BC，连接BD．若AD⊥DC，此时“爪形D”的爪之间满足怎样的数量关系，请直接写出结果．
【典例3】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．
(1)如图1，若四边形是圆美四边形，求美角的度数．
(2)在（1）的条件下，若的半径为8．①求的长．②如图2，在四边形中，若平分，试求四边形面积的最大值．(3)在（1）的条件下，如图3，若是的直径，请用等式表示线段、之间的数量关系______．（直接写答案）
【典例4】（2025·广东广州·模拟预测）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．
【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角．
①的度数为_________；②连接，若的半径为5，求线段的长；
【拓展提升】（2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，若的半径为6，求的最大值是多少？
模型4.对角互补模型
【模型提炼与证明】
条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB。结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC。
证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，
又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°，
∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，
∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。
又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC。
【模型运用】
【典例1】（2025九年级下·广东深圳·学业考试）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，D为劣弧的中点，过点D作的切线交的延长线于点E，连接．若，则的半径为（ ）
A．5 B． C．2 D．1
【典例2】（2025·湖南·模拟预测）【感知】如图①，为等边三角形的外接圆．为的直径，线段与交于点，探究线段，，的数量关系．
小明同学的做法：过点作的垂线交延长线于点，连接．易证．进而得出，．则线段，，的数量关系是；
【探究】如图②，等腰三角形中．，为的外接圆，为弧上一点，于点，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
【应用】如图③，是的外接圆，是直径，．点在上，且点与点位于线段两侧，过点作线段的垂线，交线段于点，若点为的三等分点，则的值为 ．
【典例3】（2025九年级下·江苏南京·专题练习）小敏在查阅资料时得知：已知一个四边形各边长均为定值，当它的四个顶点在同一个圆上时，四边形的面积最大．
【从特殊验证】已知四边形的各边长依次为7，15，20，24，它的面积S何时最大？
小敏的演算纸 综上所述，s的最大值为……
（1）探索情形Ⅰ：①求证：点A，B，C，D在同一个圆上．②S的值为______．
（2）探索情形Ⅱ：说明此时S的值小于情形Ⅰ中S的值．
【向一般进发】（3）已知四边形的各边长依次为6，8，8，12，借助已有结论对它展开探索，求它的面积S的最大值．
模型常见易错点
1）跳过弧，直接默认角相等
错误：直接写两角相等，没有用 “同弧所对圆周角相等” 作为依据，逻辑断裂，扣分。
正解：圆内证角相等，必须以弧为过渡条件。
2）混淆 “弦相等” 与 “圆周角相等”，乱用逆命题
只有同圆 / 等圆中，等弧才能推等角，任意两条弦相等，不能直接推出圆周角相等。
3）把圆周角当成圆心角，角度条件用错
审题看清角的顶点在圆心还是圆周，选用对应定理。
4）全等对应顶点书写顺序混乱，对应边找错
圆内三角形顶点都在圆上，字母较多，书写全等时顶点顺序必须一一对应。
5）忽略 “同圆或等圆” 大前提
不同圆中，弧相等不能推出弦相等，不可随意套用性质。
解题方法总结
1）观察图形，找出相等的弧（已知条件或垂径 / 折叠得到）；
2）由等弧转化为相等的圆周角 / 圆心角，得到一组等角；
3）利用半径相等或者等弧对等弦，得到一组等边；
4）补齐第二个角或者第二条边，凑齐 SAS/AAS；
5）写出全等，推导对应边、对应角相等。
终极原理总结
圆中证全等，弧是中间桥；弧等角也等，半径自带边；凑齐边角条件，全等自然出现。
1.（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，已知，是圆的两条切线，，为切点，线段交圆于点．下列说法不正确的是（ ）
A． B． C．平分 D．
2.（25-26九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，四边形圆内接四边形，已知，，若，则四边形的面积为多少 ．
3.（2025·河北唐山·二模）如图，将半径为10的扇形，绕点逆时针旋转得到扇形．
(1)求证：；(2)当为直径时，，求的值及优弧的长．
4．（24-25·江苏南京·九年级统考期中）如图，和分别是⊙上的两条弦，圆心到它们的距离分别是和．如果，求证：．
5．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的弦，分别以点为圆心，同样长度为半径画圆弧交圆内于点，连接并延长交于点，连接，．
(1)求证：；(2)若，，，求的长．
6．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦，与小圆相切于点D．求证：与小圆相切．
1．（2026·山东潍坊·校考一模）如图，内切于四边形，，分别连接．下列结论正确的是（ ）

A． B． C． D．A，O，C三点共线
2.（2025·广东·校考一模）如图，为的切线，A为切点，过点A作，垂足为点C，交于点B，延长与的延长线交于点D．
(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．
3．（2026·浙江·模拟预测）已知是圆的内接四边形的两条对角线，相交于点，且．(1)如图，求证：．(2)在图中找出一组全等的三角形，并给出证明．
(3)如图，圆的半径为，弦于点，当的面积为时，求的长．
4.（2025·河南·校考一模）小倩用橡皮泥做了一个不倒翁如图所示，小倩从正面看发现、分别切于点、，直径所在的直线经过点，连接．
(1)小倩发现垂直平分，请说明理由；(2)若的半径为，①当______时，四边形为菱形；②当______时，四边形为正方形．
5.（24-25·浙江绍兴·九年级校考期中）如图1，在中，弦平分圆周角，我们将圆中以A为公共点的三条弦构成的图形称为圆中“爪形A”，如图2，四边形内接于圆，，
(1)证明：圆中存在“爪形D”；(2)若，求证：
6．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）已知：为圆上两定点，点C在该圆上，为所对的圆周角．知识回顾（1）如图①，中，位于直线异侧，．
①求的度数；②若的半径为5，，求的长；
逆向思考（2）如图②，P为圆内一点，且．求证：P为该圆的圆心；
拓展应用（3）如图③，在（2）的条件下，若，点C在位于直线上方部分的圆弧上运动．在上找一点D，使点D满足，请证明．
1.（24-25九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，是圆的直径，为圆的弦，且平分，若，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
2.（24-25·河南许昌·九年级校考期末）已知，点、、、是圆上的四个点，
(1)如图1，如果，判断的形状，并证明．(2)如果是等边三角形，点在圆上运动，连接、、，请直接写出这三条线段的数量关系．(3)如图2，如果是等边三角形，圆半径为2，当点在弧上运动时，四边形周长最大值为______．
3．（24-25·江苏盐城·九年级统考期中）（1）如图所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、，求证：．
（2）[初步探索]小明同学思考如下：将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题：根据小明的思路，请你完成证明．若圆的半径为，则的最大值为______．
（3）类比迁移：如图所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与、重合），连接、、，若圆的半径为，试求周长的最大值．
（4）拓展延伸：如图所示，等腰，点A、在圆上，，圆的半径为连接，试求的最小值．
4．（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）【问题背景】小初同学在学习圆周角时了解到：圆内接四边形的对角互补．如图①，点、、、均为上的点，，则有______°；
【问题探究】爱思考的小初同学发现：如图②，点，，，均为上的点，若，点为弧上任意一点（点不与点、重合），若点在运动的过程中始终保持，则的度数恒为．下面是小初的证明过程：
证明：延长至点使，连接．缺失（1）
在与中，，∴．∴，，，
又，∴，∴，∴为等边三角形． 缺失（2）
请你补全缺失的证明过程．
【结论应用】如图③，点，，，均为上的点，若，点为弧上任意一点（点不与点、重合），且，的半径为2，当点在运动的过程中，四边形的周长的最大值为______．
5．（25-26九年级上·山西长治·期末）阅读与思考
下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务．
关联弦【概念理解】． 如图1，A，B，C为上的三点，连接，若平分，我们把此时的两条弦和称为圆上顶点关联弦． 【特例研究】通过观察和测量，发现． 证明：如图1，过点O分别作，则． ∵平分，∴．∵，∴ ① ∵，∴，∴ ② ，∴． 【概念、特性拓展】如图2，B，C为上的两点，点A在外，与交于点F，与交于点G，连接．若平分，我们把此时的两条弦和称为圆外顶点关联弦，观察发现． 证明：……
任务：(1)填空：“①”处空缺的内容为______，“②”处空缺的内容为______．(2)将“……”处证明过程补充完整．(3)如图3，点M在上，点A在外，与交于点P．若点N为上的点，与交于点Q，且与为圆外顶点关联弦，请利用无刻度直尺和圆规确定弦NQ的位置．（不写作法，保留画图痕迹）
6．（2026·江苏盐城·校考一模）【提出问题】小聪同学类比所学的“圆心角”与“圆周角”的概念，将顶点在圆内（顶点不在圆心）的角命名为圆内角．如图1中，∠AEC，∠BED就是圆内角，所对的分别是、，那么圆内角的度数与所对弧的度数之间有什么关系呢？
【解决问题】小聪想到了将圆内角转化为学过的两种角，即圆周角、圆心角，再进一步解决问题：
解：连接BC，OA，OC，OB，OD． 如图2，在△BCE中，， ∵，， ∴∠AEC＝∠AOC+∠BOD＝（∠AOC+∠BOD） 即：∠AEC的度数＝（的度数+的度数）
(1)如图1，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，若弧的度数是65°，弧的度数是40°，则∠AED的度数是 　 　．
(2)【类比探究】顶点在圆外且两边与圆相交的角，命名为圆外角．
如图3，在⊙O中，弦AB，CD的延长线相交于点E，试探索圆外角∠E的度数与它所夹的两段弧、的度数之间的关系．
【灵活运用】(3)如图4，平面直角坐标系内，点A（，1）在⊙O上，⊙O与y轴正半轴交于点B，点C，点D是线段OB上的两个动点，满足AC＝AD．AC，AD的延长线分别交⊙O于点E、F．延长FE交y轴于点G，试探究∠FGO的度数是否变化．若不变，请求出它的度数；若变化，请说明理由．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题05 圆中的重要模型之圆中的全等三角形模型
圆中全等三角形，区别于普通全等，它的相等边角都由圆的性质推导而来：同圆或等圆中，等弧对等弦、等弧对等圆周角、同弧所对圆周角相等、半径全部相等。它是圆综合解答题核心基础模型，圆中证明线段相等、角度相等的常用手段。常和圆周角模型、切线模型、圆翻折模型组合成大题，学会圆内全等的倒角逻辑，能够打通圆板块的证明思路，是从基础圆计算迈向圆综合大题的关键一步。掌握圆中等弧、等弦、圆周角相等的转化关系，能够利用圆的性质找到全等条件（SAS/AAS），快速识别圆内几类全等结构，规范圆内全等证明书写格式。
模型来源 1
知识储备 2
例讲模型 2
模型1、切线长模型 2
模型2、燕尾模型与蝴蝶模型 6
模型3、手拉手（旋转）模型 11
模型4、对角互补模型 16
易错点与方法总结 22
模型运用 23
A组（基础题） 23
B组（能力提升题） 29
C组（综合压轴题） 38
圆中的全等模型在几何学发展史中源远流长，其历史脉络可追溯至古代文明，并在不同时期得到深化与扩展。首先古埃及工程师利用圆的性质进行土地测量与金字塔建造，通过经验发现全等三角形的拼接可形成稳定结构；然后欧几里得 （约公元前300年）在《几何原本》中首次系统化几何理论：提出全等三角形公设（如SSS判定法），为圆中全等模型奠定逻辑基础；接着阿基米德 （前212年）在著作中记录弦切角、垂径性质等命题，隐含全等证明思想；最后在近现代数学教育中形成了一些重要的全等模型。圆的全等模型从经验实践到公理体系，历经文明交融与数学革命，至今仍是连接古典几何与现代科技的纽带。
1）同圆半径相等；垂径定理可以平分弧、平分弦，创造相等条件；
2）圆心角、弧、弦三者关系：等圆心角 等弧 等弦；圆全等的转化关系：弧 圆心角 圆周角 弦；
3）圆周角定理：同弧所对圆周角相等；
4）全等判定：SAS、AAS、ASA；
5）圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。
模型1.切线长模型
【模型提炼与证明】
1-1切线长模型1
条件：如图1，P为外一点，PA，PB是的切线，切点分别为A，B。
结论：①△OAP≌△OBP；②∠AOB+∠APB=180°；③OP垂直平分AB；
图1 图2
1-2切线长模型2
条件：如图2，AD，CD，BC是的切线，切点分别为A，E，B。
结论：①△AOD≌△EOD；②△BOC≌△EOC；③AD+BC=DC；④∠DOC=90°；
由于证明过程相对简单，故略去相关证明（主要运用切线长定理和圆中相关性质定理证明即可）。
【模型运用】
【典例1】（25-26·福建·九年级校考期末）如图，已知，是圆的两条切线，，为切点，线段交圆于点．下列说法不正确的是（ ）
A． B． C．平分 D．
【答案】D
【详解】∵，是圆的两条切线∴
∵∴（）∴，故A正确，不符题意；
∴，故C正确，不符题意；
∵∴在中，故B正确，不符题意；
若，连接，∵，∴∴是等边三角形，
∴，显然不一定成立，故D错误，符合题意；故选D
【典例2】（2026·河南·校考二模）阅读下列材料，完成相应任务：古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”，它的完美来自对称，其中切弦（chordofcontact）亦称切点弦，是一条特殊弦，从圆外一点向圆引两条切线，连接这两个切点的弦称为切弦．此时，圆心与已知点的连线垂直平分切弦．
(1)任务一：为了说明切弦性质的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图1，P是外一点，__________________________________________．
求证：__________________________________________．
证明：
(2)任务二：如图2，在任务一的条件下，CD是的直径，连接AD、BC，若，，，求OP的长．
【答案】(1)见解析(2)
【解析】(1)任务一：已知：如图①，P是⊙O外一点，PA、PB与⊙O分别相切于点A、B，连接AB、OP，
求证：OP垂直平分AB．
证明：连接OA、OB，
∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、B，∴，
∵OA＝OB，OP＝OP，∴，∴，
∵OA＝OB，∴OP垂直平分AB；
(2)任务二：连接OA、OB，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，由（1）得，，
∵，，∴．
【典例3】（2025·湖北校考模拟预测）如图所示，AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，CD与⊙O有公共点E，且AD＝DE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝12，BC＝4，求AD的长．

【答案】（1）见解析；（2）9
【详解】（1）证明：连接OD，OE，∵AD切⊙O于A点，AB是⊙O的直径，∴∠DAB＝90°，

∵AD＝DE，OA＝OE，OD＝OD，∵△ADO≌△EDO（SSS），∴∠OED＝∠OAD＝90°，∴CD是⊙O的切线；
（2）过C作CH⊥AD于H，∵AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，
∴∠DAB＝∠ABC＝∠CHA＝90°，∴四边形ABCH是矩形，∴CH＝AB＝12，AH＝BC＝4，
∵CD是⊙O的切线，∴AD＝DE，CE＝BC，∴DH＝AD﹣BC＝AD﹣4，CD＝AD+4，
∵CH2+DH2＝CD2，∴122+（AD﹣4）2＝（AD+4）2，∴AD＝9．
【典例4】（2025·湖北·一模）如图，，分别与相切于E，F两点，点G是圆上一点，直线过点G，且，交于C点，且．(1)求证：是的切线；(2)若，，求图中阴影部分的面积（保留根号和）．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：连接，
，是的切线，，，，
，，．
在和中，，，，，
是的半径，是的切线；
（2）解：，是的切线，平分，平分，
，，，
．，，．
在中，，在中，，
，．
模型2.燕尾模型与蝴蝶模型
【模型提炼与证明】
1）.燕尾模型
条件：如图1，OA，OB是的半径，OC=OD。 结论：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC；
图1 图2
2）蝴蝶模型
条件：如图2，OA，OE是的半径，AD⊥OE，EB⊥OA。结论：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB；
由于证明过程比较简单，故略去相关证明。
【模型运用】
【典例1】（24-25九年级上·江苏泰州·期中）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设是已知点，小圆为已知圆．具体作法是：以为圆心，为半径作大圆，连接交小圆于点，过作，交大圆于点，连接，交小圆于点，连接，则是小圆的切线．(1)为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程；
已知：如图，点，和点，分别在以为圆心的同心圆上，______．求证：______．证明：______
(2)如图1，长不变，改变小圆的半径，延长交大圆于点，延长线交大圆于点，当经过圆心时，求的值；(3)在（2）中，若改变小圆的半径时，与小圆相切，直接写出的度数．

【答案】(1)证明见解析(2)(3)
【详解】（1）已知：如图，点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，
求证：是小圆O的切线
证明：∵点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，∴．
在和中，∴，∴，
∵，∴，∴，∴是小圆O的切线．
（2）由（1）得：，，，
∴，，∴，
∵，∴，∴，∴AO==2∴=．
（3）如图，∵，，都为小圆O的切线，记与小圆O的切点为H，

∴，， ∵，，，
∴，，∴，而，
∴∴．
【典例2】（2025·安徽合肥·模拟预测）在中，为弦，为直径，于于．(1)如图1，若过圆心，求的度数；(2)如图2，若与相交于，求的半径．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：如图，连接，，为直径，，，
，
，过圆心，，，，为等边三角形，；
（2）解：如图，连接，，，，
，，
，，，
设的半径为，则，，，
，，根据勾股定理可得，
即，解得（负值舍去），所以的半径为．
【典例3】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的半径，分别交小圆于点，，连接，，交点为，连接并延长，交于点，交大圆于点．
(1)求证：；(2)与有怎样的位置关系？请说明理由．
【答案】(1)见解析(2)，理由见解析
【详解】（1）证明：，为以点为圆心的大圆半径，
，为等腰三角形，；
（2），为以点为圆心的大圆半径，，为以点为圆心的小圆半径，
，，，即，
在与中，，，
，，即，
在与中，，，，
在与中，，，，
又为等腰三角形，．
【典例4】（25-26九年级下·江西赣州·期中）已知线段、为的弦，且，求证：．
【答案】（1）；（2）见解析
【详解】解：如图，连接，，，，，
在和中，，，．
【典例5】（24-25九年级上·重庆巴南·阶段练习）在学习了圆这一章后，小明对“在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对圆心角相等”产生了浓厚兴趣，进行了拓展性的研究，有了新的发现，在中，A、B、C、D是圆上四点，且，过圆心O作，垂足为E点，他猜想圆心O到弦、弦的距离相等．他的解决思路是证明对应垂线段所在三角形全等从而得出结论．请根据他的思路完成以下作图与填空：(1)用直尺和圆规，过点O作，垂足为F点，（只保留作图痕迹）
(2)已知：如图，在中，A、B、C、D是圆上四点，且，于点E，于点F．求证：．
证明：∵在中，A、B是圆上两点，于点E，∴，同理可证：．
∵∴①_________________．
∵于E点，于点F∴②_________________
在与中∴．∴．
通过小明研究发现，在等圆中也有此结论．请你依照题意完成下面命题：
在同圆或等圆中，④__________________________________________．
【答案】(1)图见解析(2)①；②；③；④如果两弦相等，则圆心到等弦的距离相等
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）证明：∵在中，A、B是圆上两点，于点E，∴，同理可证：．
∵∴．∵于E点，于点F∴
在与中，∴．∴．
∴在同圆或等圆中，如果两弦相等，则圆心到等弦的距离相等．
【典例6】（2026·山西吕梁·二模）阅读与思考
下面是小宜同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
弦心距【概念理解】弦心距是从圆心到圆内某条弦的垂线段的长度，即圆心到弦的最短距离．如图1，是的一条弦，，垂足为，那么的长度即弦的弦心距． 【性质探究】 在同圆或等圆内，如果弦心距相等，那么它们所对的弦相等 如图2，，是的两条弦，于点，于点．如果，那么． 证明思路：连接和，易证，可得到；再由圆的轴对称性得，，因此． 【问题解决】如图3，是的一条弦，，垂足为，点是圆内一点，且．请过点作弦，使． 如图4，具体作法：第一步：以为圆心，的长为半径画弧，与交于点；第二步：以为圆心，的长为半径画弧；以为圆心，的长为半径画弧；两弧交于点； 第三步：作直线，与交于点和点，弦即为所求．
任务：(1)在同圆或等圆内，如果弦心距相等，那么它们所对的弦相等，弦所对的 也相等．
(2)请推理说明图4中小宜作法的正确性．
(3)如图5，是的一条弦，，垂足为，点是圆外一点，请在图5中过点作弦，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
【详解】（1）解：连接，，如图所示：
∵，，，∴，，
∵，，∴，
∴，∴，∴，
∴在同圆或等圆内，如果弦心距相等，那么它们所对的弦相等，弦所对的圆心角也相等；
∵同圆或等圆中，圆的半径相等，∴根据弧长公式可得，相等的圆心角所对的弧也相等；
综上，在同圆或等圆内，如果弦心距相等，那么它们所对的弦相等，弦所对的圆心角、弧也相等；
(2)证明：连接，，
∵，∴，，根据作图可得：，，，
∴，∴，∴，∴，
∵，，∴，∴，∴；
(3)如图，弦即为所求．
证明：如图，连接，，
∵，∴，，根据作图可得：，，，
∴，∴，∴，∴，
∵，，∴，∴，∴．
模型3.手拉手（旋转）模型
【模型提炼与证明】
条件：如图，是△ABD的外接圆，且AD=BD，∠ADB=，C为圆O上一点。
结论：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形；
特别地，当=60°时，CD=CA+CB； 当=90°时，CD=CA+CB；
【模型运用】
【典例1】（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在圆内接四边形中， ，为直径，若四边形的面积是S，的长是x，则S与x之间的数关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，延长到E，使，连接，
四边形是圆内接四边形，∴，，
在和中，∴，，
∴，
即，∴，故选：C．
【典例2】（2025·山东·校考一模）如图1，在⊙O中，弦AD平分圆周角∠BAC，我们将圆中以A为公共点的三条弦BA，CA，DA构成的图形称为圆中“爪形A”，弦BA，CA，DA称为“爪形A”的爪．
（1）如图2，四边形ABCD内接于圆，AB＝BC，①证明：圆中存在“爪形D”；②若∠ADC＝120°，求证：AD＋CD＝BD；（2）如图3，四边形ABCD内接于圆，其中BA＝BC，连接BD．若AD⊥DC，此时“爪形D”的爪之间满足怎样的数量关系，请直接写出结果．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）AD＋CD＝BD
【详解】（1）①证：∵AB＝BC，∴∠ADB＝∠CDB，∴DB平分圆周角∠ADC，∴圆中存在“爪形D”；
②延长DC至点E，使得CE＝AD，连接BE，
∵∠A＋∠DCB＝180° ∠ECB＋∠DCB＝180°∴∠A＝∠ECB
∵CE＝AD，AB＝BC∴△BAD≌△BCE∴∠E＝∠ADB
∵∠ADC＝120°，∴∠E＝∠ADB＝60°，∴△BDE为等边三角形，∴DE＝BD，即AD＋CD＝BD
（2）AD＋CD＝BD ，理由如下：延长DC至点E，使得CE＝AD，连接BE，
∵∠A＋∠DCB＝180° ∠ECB＋∠DCB＝180°∴∠A＝∠ECB
∵CE＝AD，AB＝BC∴△BAD≌△BCE∴∠E＝∠ADB，BD=BE
∵AD⊥DC，∴∠E＝∠ADB＝45°，∴△BDE为等腰直角三角形，∠DBE＝90°，
∴DE＝BD ，即AD＋CD＝BD．
【典例3】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．
(1)如图1，若四边形是圆美四边形，求美角的度数．
(2)在（1）的条件下，若的半径为8．①求的长．②如图2，在四边形中，若平分，试求四边形面积的最大值．(3)在（1）的条件下，如图3，若是的直径，请用等式表示线段、之间的数量关系______．（直接写答案）
【答案】(1)(2)①；②(3)
【详解】（1）解： 四边形是圆美四边形，，
四边形是圆的内接四边形，，，．
（2）①作直径．连接，如图，
为圆的直径，，由（1）知：，，
的半径为8，．．
②延长至点，使，连接，如图，
由（1）知：，，
平分，．，，
四边形是圆的内接四边形，，
，．
在△和△中，，，
，，为等边三角形．
，，．
的面积最大时，四边形面积最大．
当取得最大值时，的面积最大，当为圆的直径时，四边形面积最大．
即时，四边形面积取得最大值的面积的最大值，
四边形面积的最大值．
（3）．理由：延长交的延长线于点，如图，
是的直径，，．
由（1）知：，，，．
，，．故答案为：．
【典例4】（2025·广东广州·模拟预测）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．
【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角．
①的度数为_________；②连接，若的半径为5，求线段的长；
【拓展提升】（2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，若的半径为6，求的最大值是多少？
【答案】（1）①；②；（2）
【详解】解：（1）①∵四边形是圆美四边形，是美角，
∴，∴，解得，故答案为：60．
②作圆的直径，连接，则
∵圆的半径为5，∴，∵，∴.∴．
（2）如图，延长到点M，使得，连接，
∵四边形是圆美四边形，是美角，∴，
∴，解得，∴，
∵平分，∴，∴是等边三角形，
∴，，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴．∵是的一条弦，
∴当是直径时，取最大值，即的最大值是．
模型4.对角互补模型
【模型提炼与证明】
条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB。结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC。
证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，
又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°，
∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，
∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。
又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC。
【模型运用】
【典例1】（2025九年级下·广东深圳·学业考试）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，D为劣弧的中点，过点D作的切线交的延长线于点E，连接．若，则的半径为（ ）
A．5 B． C．2 D．1
【答案】B
【详解】解：如图，连接，∵为的切线，．
∵D为的中点，．，．，．
，；如图，过点D作于点F，
，．，
，．∵D为的中点，，．
∵在和中，，，．
，，，
∴的半径为，故选：B．
【典例2】（2025·湖南·模拟预测）【感知】如图①，为等边三角形的外接圆．为的直径，线段与交于点，探究线段，，的数量关系．
小明同学的做法：过点作的垂线交延长线于点，连接．易证．进而得出，．则线段，，的数量关系是；
【探究】如图②，等腰三角形中．，为的外接圆，为弧上一点，于点，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
【应用】如图③，是的外接圆，是直径，．点在上，且点与点位于线段两侧，过点作线段的垂线，交线段于点，若点为的三等分点，则的值为 ．
【答案】【探究】成立，见解析；【应用】
【详解】解：【探究】成立，证明：过点作的垂线交延长线于点，连接，如图所示：
∵，∴，∵，∴，
∵，∴在和中，，
∴，∴，，
∴在和中，，∴，
∴，∴；
【应用】过点作的垂线交延长线于点，如图所示：
∵是直径，，∴，∴四边形是矩形，
∵四边形是的内接四边形，∴，
∵，∴，∵，
∴在和中，，∴，
∴，，∴四边形是正方形，∴，
∵点为的三等分点，点与点位于线段两侧，∴，
设，则，∴，，
∴．
【典例3】（2025九年级下·江苏南京·专题练习）小敏在查阅资料时得知：已知一个四边形各边长均为定值，当它的四个顶点在同一个圆上时，四边形的面积最大．
【从特殊验证】已知四边形的各边长依次为7，15，20，24，它的面积S何时最大？
小敏的演算纸 综上所述，s的最大值为……
（1）探索情形Ⅰ：①求证：点A，B，C，D在同一个圆上．②S的值为______．
（2）探索情形Ⅱ：说明此时S的值小于情形Ⅰ中S的值．
【向一般进发】（3）已知四边形的各边长依次为6，8，8，12，借助已有结论对它展开探索，求它的面积S的最大值．
【答案】（1）①证明见解析；②234；（2）见解析；（3）
【详解】解：（1）①证明：连接，取的中点O，连接，
，，
又，，，
为的中点，，点A，B，C，D在同一个圆上；
②解：，
故答案为：234；
（2）解：，，，
在中，，在中，，，即；
（3）解：由题意可知，当四边形四顶点共圆时，它的面积最大，
连接，过点C分别作于点E，于点F，
，，，
，，，，，
同理可证，，，，
∵，，，，
，，
即四边形面积S的最大值为
模型常见易错点
1）跳过弧，直接默认角相等
错误：直接写两角相等，没有用 “同弧所对圆周角相等” 作为依据，逻辑断裂，扣分。
正解：圆内证角相等，必须以弧为过渡条件。
2）混淆 “弦相等” 与 “圆周角相等”，乱用逆命题
只有同圆 / 等圆中，等弧才能推等角，任意两条弦相等，不能直接推出圆周角相等。
3）把圆周角当成圆心角，角度条件用错
审题看清角的顶点在圆心还是圆周，选用对应定理。
4）全等对应顶点书写顺序混乱，对应边找错
圆内三角形顶点都在圆上，字母较多，书写全等时顶点顺序必须一一对应。
5）忽略 “同圆或等圆” 大前提
不同圆中，弧相等不能推出弦相等，不可随意套用性质。
解题方法总结
1）观察图形，找出相等的弧（已知条件或垂径 / 折叠得到）；
2）由等弧转化为相等的圆周角 / 圆心角，得到一组等角；
3）利用半径相等或者等弧对等弦，得到一组等边；
4）补齐第二个角或者第二条边，凑齐 SAS/AAS；
5）写出全等，推导对应边、对应角相等。
终极原理总结
圆中证全等，弧是中间桥；弧等角也等，半径自带边；凑齐边角条件，全等自然出现。
1.（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，已知，是圆的两条切线，，为切点，线段交圆于点．下列说法不正确的是（ ）
A． B． C．平分 D．
【答案】D
【详解】∵，是圆的两条切线∴
∵∴（）∴，故A正确，不符题意；
∴，故C正确，不符题意；
∵∴在中，故B正确，不符题意；
若，连接，∵，∴∴是等边三角形，
∴，显然不一定成立，故D错误，符合题意；故选D
2.（25-26九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，四边形圆内接四边形，已知，，若，则四边形的面积为多少 ．
【答案】32
【详解】解：延长到点E，使得，连接，
∵是圆内接四边形，∴，，
又∵，∴，又∵，∴，
∴，，∴，
∴，故答案为：．
3.（2025·河北唐山·二模）如图，将半径为10的扇形，绕点逆时针旋转得到扇形．
(1)求证：；(2)当为直径时，，求的值及优弧的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：由题意可得：，，
由旋转的性质可知，，．由旋转的性质可知，，，
，即，，．
在与中，，．
（2）解：当为直径时，，∵，∴，
∵，∴，∴，
∵为直径，∴，即，
∴，∴优弧的长度为．
4．（24-25·江苏南京·九年级统考期中）如图，和分别是⊙上的两条弦，圆心到它们的距离分别是和．如果，求证：．
【答案】证明见解析.
【详解】证明：如图，连接OC、OA，则OC=OA．∵圆心O到它们的距离分别是OM和ON，
∴∠ONC=∠OMA=90°，CD=2CN，AB=2AM，∵AB=CD，∴CN=AM，
在Rt△ONC和Rt△OMA中，∵OC=OA，CN=AM，∴Rt△ONC≌Rt△OMA（HL），∴OM=ON．
5．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的弦，分别以点为圆心，同样长度为半径画圆弧交圆内于点，连接并延长交于点，连接，．
(1)求证：；(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）解：如图，连接，
以点为圆心，同样长度为半径画圆弧，
又，．
（2）解：，，∴，
∵，∴，解得：，
∵，∴为等腰直角三角形．∵，∴，∴，
∵，∴．
6．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦，与小圆相切于点D．求证：与小圆相切．
【答案】见解析
【详解】连接，过点O作于E，∴，
∵与小圆相切于点D，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，
∴，∴是小圆的半径，∴与小圆相切．
1．（2026·山东潍坊·校考一模）如图，内切于四边形，，分别连接．下列结论正确的是（ ）

A． B． C． D．A，O，C三点共线
【答案】BCD
【详解】解：连接、，、，设切点分别为E、F、G、H，

∵为的切线，∴，，
∵，，∴，∴，
∴是线段的垂直平分线，∵，，∴，
由切线长定理知，，∴，
∵，∴也是线段的垂直平分线，
∴A，O，C三点共线，，故选项B、C、D正确；
的大小是变化的，故选项A错误，故选：BCD．
2.（2025·广东·校考一模）如图，为的切线，A为切点，过点A作，垂足为点C，交于点B，延长与的延长线交于点D．
(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)10
【详解】（1）证明：连接，，，，是的切线，，
在与中，，，
，，是半径，是的切线；
（2）解：，，在中，，
、为的切线，，
在中，，即，
解得，．
3．（2026·浙江·模拟预测）已知是圆的内接四边形的两条对角线，相交于点，且．(1)如图，求证：．(2)在图中找出一组全等的三角形，并给出证明．
(3)如图，圆的半径为，弦于点，当的面积为时，求的长．
【答案】(1)证明见解析；(2)，证明见解析；(3)．
【详解】（1）证明：∵，∴，∴，即，
∴，即，∴；
（2）解：．证明：由（）得，，
在和中，，∴；
（3）解：如图，连接，
∵，∴，同理（）可得，∴为等腰直角三角形，
∴，∴，
∴，设，，
在中，由勾股定理得，∴，
又∵的面积为，∴，∴，∴，
∴，∴．
4.（2025·河南·校考一模）小倩用橡皮泥做了一个不倒翁如图所示，小倩从正面看发现、分别切于点、，直径所在的直线经过点，连接．

(1)小倩发现垂直平分，请说明理由；(2)若的半径为，①当______时，四边形为菱形；②当______时，四边形为正方形．
【答案】(1)见解析(2)①；②
【详解】（1）解：、分别切于点、，，
在和中，，．，
， 垂直半分；
（2）解：当时，四边形为菱形，理由如下：如图，连接，，

的半径为，，切于点，，
，，，，，
，，，
，，，垂直平分，，，
，四边形为菱形，故答案为：；
当时，四边形为正方形，理由如下：
的半径为，，切于点，，
，，，
垂直半分，，，四边形为菱形，
，四边形为正方形，故答案为：．
5.（24-25·浙江绍兴·九年级校考期中）如图1，在中，弦平分圆周角，我们将圆中以A为公共点的三条弦构成的图形称为圆中“爪形A”，如图2，四边形内接于圆，，
(1)证明：圆中存在“爪形D”；(2)若，求证：
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【详解】（1）证明：∵，∴
∴，∴平分圆周角，∴圆中存在“爪形D” ．
（2）证明：如图：延长至点E，使得，连接，
∵ ， ∴
∵ ∴ ∴
∵，∴，∴为等边三角形，∴，即．
6．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）已知：为圆上两定点，点C在该圆上，为所对的圆周角．知识回顾（1）如图①，中，位于直线异侧，．
①求的度数；②若的半径为5，，求的长；
逆向思考（2）如图②，P为圆内一点，且．求证：P为该圆的圆心；
拓展应用（3）如图③，在（2）的条件下，若，点C在位于直线上方部分的圆弧上运动．在上找一点D，使点D满足，请证明．
【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3）见解析
【详解】（1）解：①，，，．
②连接，过作，垂足为，
，，是等腰直角三角形，且，
，，是等腰直角三角形，，
在直角三角形中，，；
（2）证明：延长交圆于点，连接，则，
，，，，，
，，为该圆的圆心；
（3）证明：过作的垂线交的延长线于点，连接，延长交圆于点D，连接，，
，，是等腰直角三角形，，
，，，是直径，，
，，，，
，.
1.（24-25九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，是圆的直径，为圆的弦，且平分，若，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，作交的延长线于，作交于，则，
，
平分，，，，
四边形是圆的内接四边形，，
，，
在和中，，，，
是圆的直径，，平分，，
、是等腰直角三角形，
，，，
，，，，
，故选：D．
2.（24-25·河南许昌·九年级校考期末）已知，点、、、是圆上的四个点，
(1)如图1，如果，判断的形状，并证明．(2)如果是等边三角形，点在圆上运动，连接、、，请直接写出这三条线段的数量关系．(3)如图2，如果是等边三角形，圆半径为2，当点在弧上运动时，四边形周长最大值为______．
【答案】(1)等边三角形，证明见解析(2)见解析(3)
【详解】（1）解：等边三角形，理由是：∵，∴，，
∴，，∴是等边三角形；
（2）当点在劣弧上时，如图，延长到点，使，
为等边三角形，，，
，，，
在和中，，，
，，，为等边三角形，，；
同理：当点在劣弧上时，；当点在劣弧上时，；
（3）由（2）可得：当点在弧上运动时，，
∴四边形周长为，
由于固定不变，则当最大时，即为直径时，周长最大，
连接并延长，交于E，则，
∵是等边三角形，∴， ∴，
∴，∴，
则四边形周长的最大值为．
3．（24-25·江苏盐城·九年级统考期中）（1）如图所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、，求证：．
（2）[初步探索]小明同学思考如下：将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题：根据小明的思路，请你完成证明．若圆的半径为，则的最大值为______．
（3）类比迁移：如图所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与、重合），连接、、，若圆的半径为，试求周长的最大值．
（4）拓展延伸：如图所示，等腰，点A、在圆上，，圆的半径为连接，试求的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）8；（3）；（4）
【详解】（1）证明：由旋转得，，，，
，，
、、三点在同一条直线上，，
是等边三角形，，
，是等边三角形，， ；
（2）是的弦，且的半径为，
当经过圆心，即是的直径时，，此时的值最大，
的最大值是，故答案为：．
（3）类比迁移解：如图，，，
是的直径，且圆心在上，，，
将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，则，，，
，，、、三点在同一条直线上，
，，
当经过圆心，即是的直径时，，此时的值最大，
，的最大值是，
，周长的最大值是．
（4）拓展延伸解：如图，连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，
，，，
连接、，，，
，，，
，，，的最小值为．
4．（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）【问题背景】小初同学在学习圆周角时了解到：圆内接四边形的对角互补．如图①，点、、、均为上的点，，则有______°；
【问题探究】爱思考的小初同学发现：如图②，点，，，均为上的点，若，点为弧上任意一点（点不与点、重合），若点在运动的过程中始终保持，则的度数恒为．
下面是小初的证明过程：
证明：延长至点使，连接．缺失（1）
在与中，，∴．∴，，，
又，∴，∴，∴为等边三角形． 缺失（2）
请你补全缺失的证明过程．
【结论应用】如图③，点，，，均为上的点，若，点为弧上任意一点（点不与点、重合），且，的半径为2，当点在运动的过程中，四边形的周长的最大值为______．
【答案】【问题背景】；【问题探究】见解析；【结论应用】
【详解】解：问题背景：∵点、、、均为上的点，，
∴．故答案为：；
问题探究：证明：延长至点使，连接．
∵四边形为的内接四边形，∴，
又∵，∴．
在与中，，∴．∴，
∵，，，∴，
∴，∴为等边三角形，∴，∵∴，
∵，，∴．
结论应用：延长至点使，连接，．
同理可证，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴．
∵，，∴，∴是直径，
∴，∴．∵四边形的周长，
∴要使四边形的周长最大，则需取得最大值，即取得最大值，
∴当过圆心时，取得最大值，的最大值为，
∴四边形周长的最大为：．故答案为：．
5．（25-26九年级上·山西长治·期末）阅读与思考
下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务．
关联弦【概念理解】． 如图1，A，B，C为上的三点，连接，若平分，我们把此时的两条弦和称为圆上顶点关联弦． 【特例研究】通过观察和测量，发现． 证明：如图1，过点O分别作，则． ∵平分，∴．∵，∴ ① ∵，∴，∴ ② ，∴． 【概念、特性拓展】如图2，B，C为上的两点，点A在外，与交于点F，与交于点G，连接．若平分，我们把此时的两条弦和称为圆外顶点关联弦，观察发现． 证明：……
任务：(1)填空：“①”处空缺的内容为______，“②”处空缺的内容为______．(2)将“……”处证明过程补充完整．(3)如图3，点M在上，点A在外，与交于点P．若点N为上的点，与交于点Q，且与为圆外顶点关联弦，请利用无刻度直尺和圆规确定弦NQ的位置．（不写作法，保留画图痕迹）
【详解】（1）证明：过点O分别作，则．
∵平分，∴．∵，∴，
∵，∴，∴，∴．
(2)证明：如图1，过点O作，，连接，则，．
∵平分，，，∴．
∵，∴，∴，∴．
(3)解：如图2，即为所求（作法不唯一）．
由作图可知：，∴均为等边三角形，∴，
又∵，∴，∴；∴与为圆外顶点关联弦．
6．（2026·江苏盐城·校考一模）【提出问题】小聪同学类比所学的“圆心角”与“圆周角”的概念，将顶点在圆内（顶点不在圆心）的角命名为圆内角．如图1中，∠AEC，∠BED就是圆内角，所对的分别是、，那么圆内角的度数与所对弧的度数之间有什么关系呢？
【解决问题】小聪想到了将圆内角转化为学过的两种角，即圆周角、圆心角，再进一步解决问题：
解：连接BC，OA，OC，OB，OD． 如图2，在△BCE中，， ∵，， ∴∠AEC＝∠AOC+∠BOD＝（∠AOC+∠BOD） 即：∠AEC的度数＝（的度数+的度数）
(1)如图1，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，若弧的度数是65°，弧的度数是40°，则∠AED的度数是 　 　．
(2)【类比探究】顶点在圆外且两边与圆相交的角，命名为圆外角．
如图3，在⊙O中，弦AB，CD的延长线相交于点E，试探索圆外角∠E的度数与它所夹的两段弧、的度数之间的关系．
【灵活运用】(3)如图4，平面直角坐标系内，点A（，1）在⊙O上，⊙O与y轴正半轴交于点B，点C，点D是线段OB上的两个动点，满足AC＝AD．AC，AD的延长线分别交⊙O于点E、F．延长FE交y轴于点G，试探究∠FGO的度数是否变化．若不变，请求出它的度数；若变化，请说明理由．
【答案】(1)127.5°(2)（的度数﹣的度数）(3)不变，30°
【详解】（1）解：连结BC，∵∠AEC是△BEC的外角，∴∠AEC=∠EBC+∠ECB，
∵的度数，的度数，∴∠AEC的度数＝（的度数+的度数），
∴∠AEC＝（65°+40°）＝52.5°，∴∠AED＝180°﹣∠AEC＝180°﹣52.5°＝127.5°，
故答案为：127.5°；
（2）（2）连接OA，OB，OC，OD，BC，
∵∠E＝∠ABC﹣∠BCE＝∠AOC﹣∠BOD＝（的度数﹣的度数），
∴∠E＝（的度数﹣的度数）；
（3）∠FGO的度数不变，连接OA，作AH⊥x轴于H，
∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∴（ 的度数+的度数＝（的度数+的度数），
∴的度数+的度数＝的度数+的度数，∴的度数﹣的度数＝的度数﹣的度数，
由（2）知，∠FGO＝（的度数﹣的度数）＝（的度数﹣的度数），
∵点A（，1），∴OH＝，AH＝1，∴，∴∠AOH＝30°，
∴∠AON＝120°，∠AOB＝60°，∴，∴∠FGO的度数不变，为30°．
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