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三年模拟练
应用实践
1.(2025福建莆田第六中学期中)已知集合A={a2+8|a∈N},B={b2+29|b∈N},若A∩B=P,则P中的元素有(　　)
A.0个　　　　B.1个　　　　C.2个　　　　D.至少3个
2.(2026江苏淮安调研)已知集合A={八,校,联,盟},若集合B1,B2,B3,…,Bk是集合A的k个不同子集,且B1∪B2∪B3∪…∪Bk A,则k的最大值是(　　)
A.2　　　　B.4　　　　C.6　　　　D.8
3.(多选题)(2025江苏苏州中学月考)对任意的A,B R,记A B={x|x∈A∪B,x A∩B},并称A B为集合A,B的对称差.例如:若A={1,2,3},B={2,3,4},则A B={1,4}.下列说法正确的是(　　)
A.若A,B R且A B=B,则A=
B.若A,B R且A B= ,则A=B
C.若A,B R且A B A,则A B
D.存在A,B R,使得A B≠( UA) ( UB)
4.(2026北京八一学校月考)已知集合M={2 025,π,-1,0,28},设M的所有非空子集Mi(i=1,2,…,31)中所有元素的乘积为mi(i=1,2,…,31),则m1+m2+…+m31=　　　　.
5.(2026湖北武汉第二中学检测)已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|qx2+px+1=0},且A∩B≠ ,A∩( RB)={-2},其中p,q均为不等于零的实数,则p+q=　　　　.
6.(2026江苏南京第二十九中学期中)已知集合M={x∈N|6≤x≤29},集合A,B,C满足:①每个集合中恰有8个元素;②A∪B∪C=M.若集合P中元素的最大值与最小值之和称为P的幸运数,记作X(P),则X(A)+X(B)+X(C)的最大值与最小值之和为　　　　.
7.(2025江苏兴化中学月考)已知集合A=x,B={2,3},且A≠ ,A∩B=A.
(1)若n=0,求实数m的值;
(2)若A=B,求实数m,n的值;
(3)若C={x|ax-3>0},且实数m的所有可能取值构成的集合为D,集合C∩D中恰有2个元素,求实数a的取值范围.
迁移创新
8.(2026浙江强基联盟联考)对于集合M,N,记M N={x|x∈M∪N且x M∩N},M-N={x|x∈M且x N},|M|为集合M中元素的个数.
(1)若M={x|0≤x≤6},N={x||x-1|≤2},求M N,M-N;
(2)判断M N=(M-N)∪(N-M)是否成立,若成立,给出证明;若不成立,请举出反例;
(3)已知有限集A,B,C满足|A B|+|B C|=|A C|,试用含A,C的式子表示满足条件的集合B的个数.
答案与分层梯度式解析
三年模拟练
1.C　由a2+8=b2+29,得21=a2-b2=(a-b)(a+b).
因为a,b∈N,所以a>b且a-b所以或
解得或
所以P=A∩B={33,129},
所以P中的元素有2个.
2.D　集合A的子集有 ,{八},{校},{联},{盟},{八,校},{八,联},{八,盟},{校,联},{校,盟},{联,盟},{八,校,联},{八,校,盟},{八,联,盟},{校,联,盟},{八,校,联,盟}.
因为B1∪B2∪B3∪…∪Bk A,且k的值最大,所以三元素子集最多有一个,不妨取{校,联,盟},则剩余的集合只能是{校,联,盟}的真子集,即 ,{校},{联},{盟},{校,联},{校,盟},{联,盟},所以k的最大值为8.
3.AB　对于A,因为A,B R且A B=B,所以B={x|x∈A∪B,x A∩B},所以A B,且B中元素不能出现在A∩B中,所以A= ,故A正确.
对于B,因为A,B R且A B= ,所以 ={x|x∈A∪B,x A∩B},所以A∪B与A∩B是相同的,所以A=B,故B正确.
对于C,因为A B A,所以{x|x∈A∪B,x A∩B} A,所以B A,故C错误.
对于D,易得( UA) ( UB)={x|x∈( UA)∪( UB),x ( UA)∩( UB)},又( UA)∪( UB)= U(A∩B),( UA)∩( UB)= U(A∪B),所以( UA) ( UB)={x|x∈ U(A∩B),x U(A∪B)}={x|x∈A∪B,x A∩B},而A B={x|x∈A∪B,x A∩B},所以A B=( UA) ( UB),故D错误.
4.答案　-1
解析　①含元素0的子集有24=16,这些子集中所有元素的乘积为0.
②不含元素0,含元素-1,且含有其他元素的子集有23-1=7个.
③不含元素0,不含元素-1,含有其他元素的子集有23-1=7个,而②③中除-1外元素是一一对应的,则所有元素的乘积互为相反数,故mi的和为0.
④只含有元素-1的子集只有一个,此时mi=-1.
所以m1+m2+…+m31=-1.
5.答案　-1或5
解析　设x0∈A,则x0≠0,+px0+q=0,
即q+p·+1=0,所以∈B.
由A∩B≠ 知,存在x0∈A,使得∈B且x0=,解得x0=±1.
由A∩( RB)={-2},得-2∈A,-2 B,则A={1,-2}或A={-1,-2}.
若A={1,-2},则B=,此时解得所以p+q=-1.
若A={-1,-2},则B=,此时解得所以p+q=5.
综上,p+q=-1或5.
6.答案　210
解析　当集合A,B,C中元素的最小值分别是6,7,8,最大值分别为29,22,15时,X(A)+X(B)+X(C)最小,此时A={6,23,24,25,26,27,28,29},B={7,16,17,18,19,20,21,22},C={8,9,10,11,12,13,14,15},所以X(A)=6+29=35,X(B)=7+22=29,X(C)=8+15=23,所以X(A)+X(B)+X(C)的最小值为35+29+23=87.
当集合A,B,C中元素的最小值分别是6,13,20,最大值分别为29,28,27时,X(A)+X(B)+X(C)最大,此时A={6,7,8,9,10,11,12,29},B={13,14,15,16,17,18,19,28},C={20,21,22,23,24,25,26,27},所以X(A)=6+29=35,X(B)=13+28=41,X(C)=20+27=47,所以X(A)+X(B)+X(C)的最大值为35+41+47=123.
所以X(A)+X(B)+X(C)的最大值与最小值之和为87+123=210.
7.解析　(1)当n=0时,A=,又A≠ ,所以m≠0,所以A=.
因为A∩B=A,所以A B,所以=2或=3,解得m=12或m=-12.
(2)因为A=B,B={2,3},所以A={2,3},所以2和3为方程nx2-mx+-6=0的两个实数根,所以n≠0.
由根与系数的关系得=5,=6,解得m=,n=,此时Δ=(-m)2-4n×=-4××=>0,所以m=,n=.
(3)因为A∩B=A,所以A B.
①当n=0时,若m=0,则A= ,与题意不符;若m≠0,则由(1)得m=12或m=-12.
②当n≠0时,若Δ=0,则(-m)2-4n·=0(*).
当2∈A时,4n-2m+-6=0,与(*)联立解得m=4,n=1,此时A={2},满足A B.
当3∈A时,9n-3m+-6=0,与(*)联立解得m=6,n=1,此时A={3},满足A B.
若Δ>0,即(-m)2-4n>0,则A=B,由(2)得m=,n=.
所以D=.
由题意知a≠0.
当a>0时,C=,所以≤<6,解得当a<0时,C=,所以4<≤,无解.
综上,实数a的取值范围为.
8.解析　(1)易得N={x|-2≤x-1≤2}={x|-1≤x≤3}.
又M={x|0≤x≤6},
所以M-N={x|3所以M N={x|-1≤x<0或3(2)M N=(M-N)∪(N-M)成立.
证明如下:
由题意得,M-N={x|x∈M且x N},N-M={x|x∈N且x M},
所以(M-N)∪(N-M)={x|x∈M∪N且x M∩N},
所以M N=(M-N)∪(N-M).
(3)如图,将A∪B∪C划分成Ni(i=1,2,3,…,7)个没有交集的集合,每一个集合中的元素个数为|Ni|=ni(i=1,2,3,…,7).
由图可知,|A B|=n1+n3+n5+n6,|B C|=n2+n5+n3+n7,|A C|=n1+n2+n6+n7.
因为|A B|+|B C|=|A C|,所以n1+n3+n5+n6+n2+n5+n3+n7=n1+n2+n6+n7,
化简得n3+n5=0,所以n3=n5=0,即N3=N5= .
由N3= 可知(A∩C) B,
由N5= 可知B (A∪C),
所以(A∩C) B (A∪C).
不妨设集合B=(A∩C)∪D,其中集合D∩(A∩C)= ,D (A∪C).
易知A C={x|x∈A∪C且x A∩C},所以 D A C,
所以满足条件的集合B的个数等于满足条件的集合D的个数,为2|A C|.
素养评析
本题第(1)问主要考查数学抽象的核心素养,需根据题中定义进行相应求解;第(2)问除了考查数学抽象的核心素养外,还考查了逻辑推理的核心素养,需先通过归纳推理初步猜想结论,再通过演绎推理进行严格证明;第(3)问考查了数学抽象、数学建模的素养,将题中条件通过题中定义转化为关于集合交集中元素个数的等量关系,体现了数学建模中“抽象问题具体化、符号化”的思想,进而通过分析数量关系得到集合间的关系,从而对满足题意的集合B进行计数,这体现了抽象概括能力.五年高考练
考点1　集合的运算
1.(2025全国一卷,2)已知集合U={x|x是小于9的正整数},A={1,3,5},则 UA中元素的个数为(　　)
A.0　　　　B.3　　　　
C.5　　　　D.8
2.(2025全国二卷,3)已知集合A={-4,0,1,2,8},B={x|x3=x},则A∩B=(　　)
A.{0,1,2}　　　　B.{1,2,8}　　　　
C.{2,8}　　　　D.{0,1}
3.(2025北京,1)已知集合M={x|2x-1>5},N={1,2,3},则M∩N=(　　)
A.{1,2,3}　　　　B.{2,3}
C.{3}　　　　D.
4.(2024北京,1)已知集合M={x|-3A.{x|-1≤x<1}　　　　B.{x|x>-3}
C.{x|-35.(2024新课标Ⅰ,1)已知集合A={x|-5A.{-1,0}　　　　B.{2,3}　　　　
C.{-3,-1,0}　　　　D.{-1,0,2}
6.(2024全国甲理,2)已知集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A}①,则 A(A∩B)②=(　　)
A.{1,4,9}　　　　B.{3,4,9}　　　　
C.{1,2,3}　　　　D.{2,3,5}
①关键点拨　集合A中的元素平方后可得集合B
②心中有“数”　补集、交集的运算
7.(2023全国甲理,1)设全集U=Z,集合M={x|x=3k+1,k∈Z},N={x|x=3k+2,k∈Z},则 U(M∪N)=(　　)
A.{x|x=3k,k∈Z}
B.{x|x=3k-1,k∈Z}
C.{x|x=3k-2,k∈Z}
D.
8.(2023全国乙理,2)设全集U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1A. U(M∪N)　　　　B.N∪( UM)
C. U(M∩N)　　　　D.M∪( UN)
考点2　集合的运算的应用
9.(全国Ⅰ理,2)设集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},则a=(　　)
A.-4　　　　B.-2　　　　
C.2　　　　D.4
10.(2023新课标Ⅱ,2)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A B①,则a=(　　)
A.2　　　　B.1　　　　
C.　　　　D.-1
①关键点拨　集合A中的元素都是集合B中的元素,集合中的元素具有互异性
学科竞赛
11.(2025全国中学生奥林匹克竞赛预赛)设集合A={a2|a∈Z,a2≥2 025},B={2b|b∈Z,9≤b≤14},则A∩B中的元素个数为　　　　.
12.(2024全国中学生数学奥林匹克竞赛广西赛区选拔赛)设A为数集{1,2,3,…,2 024}的n元子集,且A中的任意两个数既不互素又不存在整除关系,则n的最大值为　　　　.
13.(2024全国高中数学联赛北京赛区预赛)设整数集合A={a1,a2,a3,a4,a5},若A的所有三元子集中三个元素之积组成的集合为B={-30,-15,-10,-6,-5,-3,2,6,10,15},则集合A=　　　　　　.
14.(2024全国中学生奥林匹克竞赛浙江赛区初赛)设集合S={1,2,3,…,997,998},集合S的k个499元子集A1,A2,…,Ak满足:对S中任一2元子集B,均存在i∈{1,2,…,k},使得B Ai,则k的最小值为　　　　.
答案与分层梯度式解析
五年高考练
1.C 2.D 3.D 4.C 5.A
6.D 7.A 8.A 9.B 10.B
1.C　由题意知,U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5},则 UA={2,4,6,7,8},共有5个元素.
2.D　∵x3=x,
∴x=0或x=±1,即B={0,1,-1},
又A={-4,0,1,2,8},∴A∩B={0,1}.
3.D　易得M={x|x>3},故M∩N= .
4.C
5.A　因为5<23=8,(-3)3=-27<-5,所以2 A,-3 A,排除B,C,D.
6.D
真题降维
关键信息 信息处理
B={x|∈A} 代表元素为x,∈A,而不是x∈A,即都是A中的元素,则A中的元素平方后可得集合B
A(A∩B) 全集为集合A; A∩B表示选取A,B中的共同元素; A(A∩B)表示求A∩B在集合A下的补集
解析　易得B={1,4,9,16,25,81},
所以A∩B={1,4,9},
所以 A(A∩B)={2,3,5}.
7.A　由已知得M∪N={x|x=3k+1或x=3k+2,k∈Z},∴ U(M∪N)={x|x=3k,k∈Z}.
思维提升
全集U为整数集,集合M表示被3除余1的整数,集合N表示被3除余2的整数,所以 U(M∪N)表示整数集中除去上述两类整数的整数,即被3整除的整数.
8.A　由题意得M∪N={x|x<2},M∩N={x|-1-1},M∪( UN)={x|x<1或x≥2}.
9.B　由已知可得A={x|-2≤x≤2},B=,又∵A∩B={x|-2≤x≤1},∴-=1,∴a=-2.
10.B
真题降维
①A B表示集合A为集合B的子集,即A中的元素均在集合B中,所以0∈B,-a∈B;②从0∈B入手,分a-2=0和2a-2=0两种情况讨论,再结合集合中元素的互异性和A B对结果进行取舍.
解析　∵A B,
∴0∈B.
当a-2=0,即a=2时,A={0,-2},B={1,0,2},不满足A B,舍去;
当2a-2=0,即a=1时,A={0,-1},B={-1,0,1},满足A B.
综上,a=1.
11.答案　2
解析　由题意得B={29,210,211,212,213,214},
而29,211,213都不是平方数,210=1 024<2 025,212=642∈A,214=1282∈A,
所以A∩B中的元素个数为2.
12.答案　506
解析　由A中的任意两个数不互素可知,存在素数p,使得A中的每个数均能被p整除,所以在数集{1,2,3,…,2 024}的n元子集中,使得任意两个数不互素的元素最多的子集是偶数构成的子集{2,4,…,2 024},共有1 012个元素,而其中有的元素存在整除关系,注意到1 012的2倍是2 024,所以集合A={1 014,1 016,…,2 024},其中任意两个数既不互素又不存在整除关系,此时A中有506个元素.若从{2k|1≤k≤506,k∈Z}中任取一数,则它与A中的某个数存在整除关系,所以n的最大值为506.
13.答案　{-2,-1,1,3,5}
解析　易得A的所有三元子集共有10个,所以A中的每个元素在这些三元子集中均出现了=6次,所以(a1a2a3a4a5)6=(-30)×(-15)×(-10)×(-6)×(-5)×(-3)×2×6×10×15,所以|a1a2a3a4a5|=30.
因为集合B中的元素有6个负数、4个正数,所以集合A中的元素有2个负数、3个正数或1个负数、4个正数,所以a1a2a3a4a5=±30.
不妨设|a1|≤|a2|≤|a3|≤|a4|≤|a5|.
由三个元素之积的绝对值最大为30,可得a3a4a5=-30,此时a1a2=-1或a1a2=1(舍去),又A为整数集合,所以a1=1,a2=-1或a1=-1,a2=1.
由三个元素之积的绝对值最小为2,
可得a1a2a3=2,又a1a2=-1,
所以a3=-2,a4a5=15.
由上述分析知,集合A中的元素有2个负数、3个正数,
所以a4,a5均为正整数,所以a4=3,a5=5,
所以A={-2,-1,1,3,5}.
考场速解
由题意得,B中元素为A中三个元素的乘积,所以可从B中元素的因数入手.
考虑到-5,-3,2的因数较少,所以从这三个元素入手.
由2=1×(-1)×(-2),可得-1,-2,1∈A,
由-3=-1×1×3,可得3∈A,
由-5=-1×1×5,可得5∈A,
∴A={-2,-1,1,3,5}.
14.答案　6
解析　一方面,对m∈{1,2,3,…,997,998},假设含有m的Ai(i=1,2,…,k)不超过两个.
由于每个Ai(i=1,2,…,k)至多包含498个含有m的2元子集,所以至多有996个含有m的2元子集包含于某个Ai(i=1,2,…,k),但含有m的2元子集有997个,所以说明存在一个含有m的2元子集不包含于任何Ai(i=1,2,…,k),与已知矛盾,所以至少存在三个Ai(i=1,2,…,k)含有m,所以全体Ai(i=1,2,…,k)中的元素个数之和至少是3×998=2 994.而每个Ai(i=1,2,…,k)中的元素个数都是499,所以499k≥2 994,解得k≥6.
另一方面,设L={1,2,3,4,5,6},A={7,8,9,…,253,254},M={255,256,257,…,501,502},C={503,504,505,…,749,750},D={751,752,753,…,997,998},则L,A,M,C,D两两的交集为空集,且全体并集是S={1,2,3,…,997,998}.
令A1={1,2,4}∪A∪M,A2={2,3,5}∪C∪D,A3={3,4,6}∪A∪D,A4={1,4,5}∪M∪C,A5={2,5,6}∪A∪C,A6={1,3,6}∪M∪D,则对于x,y∈S(x综上,k的最小值为6.专题专项练
思想方法练1
一、分类讨论思想在集合问题中的应用
1.(2026江苏苏州大学附属中学月考)已知集合A={x|x≤-1或x≥1},B={x∈R|12.(2026四川德阳第五中学期中)已知集合A={x|x2+2 024x+2 025=0},B={x|(x2+ax)(x2+4ax+4)=0},记非空集合S中的元素个数为n(S),若|n(A)-n(B)|=1,记实数a的所有可能取值构成集合M,则M的非空子集的个数是　　　　.
3.(2026江苏靖江高级中学月考)已知集合A={x|x2+ax+12=0},B={b+5,3-b,2b+1},且A∩B={2}.
(1)求a,b的值;
(2)若集合C={x|x2-2(m+1)x+m2+3=0},A∩C=C,求实数m的取值范围.
二、数形结合思想在集合问题中的应用
4.(2026江苏南京师范大学附属中学月考)已知全集U={1,2,3,4,5},A,B是U的子集,且A∩B={2},( UA)∩B={1,5},则A∪( UB)=(　　)
A.{3,4}　　　　B.{1,2,5}
C.{2,3,4}　　　　D.不能确定
5.(2025江苏苏州实验中学调研)某校高二(1)班共有学生50人,每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生都至少有20人,这三门课程都不选的有10人,这三门课程都选的有10人,在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人,在物理、化学、生物中单独选物理、化学中一门的学生都至少有6人,那么同时选择物理和化学这两门课程的学生人数至多为(　　)
A.16　　　　B.17　　　　C.18　　　　D.19
6.(2025江苏泰州第二中学月考)已知集合A={x|-2(1)若m=3,全集U=A∪B,求A∩( UB);
(2)若A∩B= ,求实数m的取值范围;
(3)若A∩B=A,求实数m的取值范围.
三、转化与化归思想在集合问题中的应用
7.(2025天津经济技术开发区第一中学月考)已知集合P={x|38.(2025江苏苏州田家炳实验高级中学月考)已知集合A=,B={x|m+1≤x≤2m-1},U=R.
(1)若A∪( UB)=U,求实数m的取值范围;
(2)若A∩B≠ ,求实数m的取值范围.
答案与分层梯度式解析
专题专项练
思想方法练1
1.答案　[-1,1]
解析　(对a与0的大小关系进行分类讨论)
当a=0时,B= ,满足题意.
当a>0时,B=,所以需满足≥1或≤-1,所以0当a<0时,B=,所以需满足≤-1或≥1,所以-1≤a<0.
综上,实数a的取值范围为[-1,1].
2.答案　31
解析　对于x2+2 024x+2 025=0,有Δ=2 0242-4×2 025>0,所以集合A={x|x2+2 024x+2 025=0}中有两个元素,即n(A)=2.
因为|n(A)-n(B)|=1,
所以n(B)=1或n(B)=3.
(依据集合B中元素的个数进行分类讨论)
对于(x2+ax)(x2+4ax+4)=0,易知x=0必是方程的一个解.
当n(B)=1时,B={0},所以x2+ax=0有两个相等的实数根,且x2+4ax+4=0无解,
则解得a=0.
(当集合B中元素的个数为3时,因为x=0是方程(x2+ax)(x2+4ax+4)=0的根,所以还需要对x2+ax=0和x2+4ax+4=0的根的情况分类讨论)
当n(B)=3时,若x2+ax=0有两个相等的实数根,则由上述分析可知x2+4ax+4=0无解,不满足题意;
若x2+ax=0有两个不相等的实数根,x2+4ax+4=0有两个相等的实数根,
则解得a=-1或a=1.
若x2+ax=0有两个不相等的实数根,x2+4ax+4=0也有两个不相等的实数根,且其中一根为-a时,a2-4a2+4=0,解得a=±.综上,M=,所以M的非空子集的个数为25-1=31.
3.解析　(1)因为A∩B={2},所以2∈A,2∈B.
由2∈A,得22+2a+12=0,解得a=-8,
所以集合A={x|x2-8x+12=0}={2,6}.
(依据元素属于某集合,则该元素可能与集合中的任一元素相等进行分类讨论)
由2∈B,得b+5=2或3-b=2或2b+1=2.
当b+5=2时,b=-3,此时B={2,6,-5},A∩B={2,6}≠{2},与题意不符.
当3-b=2时,b=1,此时B={6,2,3},A∩B={2,6}≠{2},与题意不符.
当2b+1=2时,b=,此时B=,满足A∩B={2}.
综上,a=-8,b=.
(2)由A∩C=C得C A.
(对集合C分 ,{2},{6},{2,6}四种情况进行讨论)
当C= 时,Δ=4(m+1)2-4(m2+3)=8m-8<0,解得m<1.
当C={2}时,
解得m=1.
当C={6}时,
无解.
当C={2,6}时,
解得m=3.
综上,实数m的取值范围为{m|m≤1或m=3}.
思想方法
　　分类讨论的关键是确定逻辑划分的标准,通过对问题分类依次求解(或证明),综合各类结论,进而得到问题的解.在本章中主要是对集合是不是空集、方程与不等式的最高次项系数是不是0、方程的解与不等式的解集的情况、元素与集合之间的关系等进行讨论.
4.C　根据题意作出Venn图,如图所示.
由图可知,A={2,3,4},B={1,2,5},所以 UB={3,4},所以A∪( UB)={2,3,4}.
5.C　把50名学生看成一个集合U,选择物理课程的学生组成集合A,选择化学课程的学生组成集合B,选择生物课程的学生组成集合C,
(将选择不同科目的学生视为不同的集合,作出相应的Venn图,使用数形结合的思想求解)
要使同时选择物理和化学这两门课程的学生人数最多,且满足物理、化学、生物这三门课程都不选的有10人,这三门课程都选的有10人,则其他几个选择的人数均为最少,
只选物理的最少有6人,只选化学的最少有6人,三门课程中只选化学、生物的最少有3人,只选物理、生物的最少有3人,只选生物的最少有4人,作出Venn图,如图所示:
所以三门课程中只选物理、化学的学生至多有8人,所以同时选择物理和化学这两门课程的学生人数至多为10+8=18.
6.解析　(1)当m=3时,B={x|x<3}.
(将集合A,B表示在数轴上,直观得到全集U及 UB,进而得到A∩( UB))
将集合A,B在数轴上表示,如图1.
由图1得,U=A∪B={x|x<4},
所以 UB={x|3≤x<4},
所以A∩( UB)={x|3≤x<4}.
(2)易知B={x|x(在数轴上表示出满足A∩B= 的集合A,B,进而列出与m有关的关系式)
因为A∩B= ,所以集合A,B在数轴上的表示如图2所示,
由图2知,m≤-2,即实数m的取值范围为{m|m≤-2}.
(3)因为A∩B=A,所以A B,所以集合A,B在数轴上的表示如图3所示,
由图3知,m≥4,即实数m的取值范围为{m|m≥4}.
思想方法
数形结合思想在集合问题中的应用主要有两种:一种是借助数轴求解,另一种是借助Venn图求解.
7.答案　(6,9]
解析　(将集合间的运算关系转化为两集合间的关系,进而列关系式求解)
因为Q (P∩Q),所以P∩Q=Q,所以Q P,所以解得68.解析　A==x-≤x-≤={x|-2≤x≤5}.
(1)因为A∪( UB)=U,所以B A.
当B= 时,m+1>2m-1,解得m<2.
当B≠ 时,需满足
解得2≤m≤3.
综上,实数m的取值范围是(-∞,3].
(2)解法一:由A∩B≠ ,得B≠ ,
则或
解得2≤m≤4或2≤m≤3,
所以实数m的取值范围为[2,4].
解法二:(利用补集思想,将求A∩B≠ 时实数m的取值范围转化为求A∩B= 时实数m的取值范围,再求其补集)
当A∩B= 时,需分B= 和B≠ 两种情况进行讨论.
当B= 时,m+1>2m-1,解得m<2.
当B≠ 时,需满足或解得m>4.
综上,当A∩B= 时,实数m的取值范围为(-∞,2)∪(4,+∞),
所以当A∩B≠ 时,实数m的取值范围为[2,4].
思想方法
转化与化归思想在集合问题中的应用主要体现在集合运算与集合关系的转化以及补集思想的应用等方面.专题专项练
易混易错练1
易错点1　忽略集合中元素的含义致错
1.(2026湖北襄阳第四中学月考)已知集合M={y|y=x2-2x-2},N={x|y=},则M∪N=(　　)
A. 　　　　B.{x|-3C.{x|-3≤x≤1}　　　　D.R
2.(2026河北邢台第一中学月考)已知集合A=,B=,则(　　)
A.集合A与集合B没有包含关系
B.集合A是集合B的真子集
C.集合B是集合A的真子集
D.A=B
3.已知全集U=R,集合A={x|x=3a+4b,a,b∈Z},B={x|x=4a-3b,a,b∈Z},则(　　)
A.A∩B= 　　　　B.A∩( UB)≠ 　　　　
C.A=B　　　　D.B A
易错点2　忽略集合中元素的互异性致错
4.(2026江苏苏州黄埭中学月考)已知集合A={x||x|≤3,x∈N},B={2m-1,m,m2},C={3,m,3m-2},若B=C,则A∩B的子集个数为(　　)
A.2　　　　B.4　　　　C.7　　　　D.8
5.(2026北京顺义第一中学月考)设非空数集M同时满足条件:①M中不含元素-1,0,1;②若a∈M,则∈M.下列结论正确的是(　　)
A.集合M中至多有2个元素
B.集合M中至多有3个元素
C.集合M中至少有4个元素
D.集合M中至少有5个元素
易错点3　忽略对空集的讨论致错
6.(多选题)(2025江苏徐州第三中学调研)已知集合A={x|x2-6x+5=0},B={x|ax2-2ax-1=0},且B A,则实数a的可能取值是(　　)
A.-　　　　B.0　　　　C.-1　　　　D.
7.已知全集U=R,集合A={x|a+1≤x≤2a+1},B={x|-2≤x≤5}.
(1)当a=3时,求( UA)∩B;
(2)若　　　　,求实数a的取值范围.
在①A∩B=A;②A∪B=B;③A∩B= 这三个条件中任选一个,补充到本题第(2)问的横线处,并按照你的选择求解问题(2).
易错点4　忽略对端点值的取舍致错
8.(2025江苏连云港灌南高级中学月考)已知集合A={x|x≥4或x<-5},B={x|a+1≤x≤a+3,a∈R},若B A,则实数a的取值范围是　　　　　　.
9.(2026河北部分高中联考)已知集合A={x|-2≤x≤3},B={x|3a(1)若( RC)∪B=R,求实数a的取值范围;
(2)若A∩B=B,求实数a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
专题专项练
易混易错练1
1.D 2.A 3.C 4.B 5.C
6.ABC
1.D　易知y=x2-2x-2=(x-1)2-3≥-3,所以M={y|y≥-3}.
易知N={x|y=}={x|1-x≥0}={x|x≤1},所以M∪N=R.
易错警示
本题中集合M,N的代表元素不同,集合M中的代表元素是y,集合N中的代表元素是x,解题时不要默认为是y.虽然代表元素不同,但关键是弄清代表元素所代表的数.
2.A　当x=2时,==6;当x=3时,==3;当x=4时,==2;当x=7时,==1,所以A={6,3,2,1},B={2,3,4,7},所以集合A与集合B没有包含关系.
3.C　若m∈A,则存在a,b∈Z,使得m=3a+4b=4b-3(-a)∈B,
同理,若n∈B,则存在a,b∈Z,使得n=4a-3b=3(-b)+4a∈A,因此A=B.
易错警示
　　集合中公共属性的表达式不同,但是A,B两集合中元素的意义是相同的,即“一个整数的3倍与另一个整数的4倍之和组成的集合”,理解集合的含义是解题的基础.
4.B　易得集合A={-3,-2,-1,0,1,2,3}.
因为B=C,所以2m-1=3或2m-1=3m-2.
当2m-1=3时,m=2,此时集合B={2,3,4},C={2,3,4},满足题意.
当2m-1=3m-2时,m=1,此时集合B,C中的元素不满足互异性,故舍去.
所以A∩B={2,3},其子集个数为22=4.
易错警示
　　当集合中的元素含有参数时,求出参数的值后,一定要代回检验,确保满足集合中元素的互异性.
5.C　当a∈M时,∈M,所以=-∈M,所以=∈M,所以=a∈M.
因为M中不含元素-1,0,1,所以a≠-1,0,1,此时a,,-,中任意两个都不相等,所以集合M中至少有4个元素.
6.ABC　易得A={1,5}.
当B= 时,a=0或
所以-1当B={1}时,
所以a=-1.
当B={5}时,无解.
当B={1,5}时,无解.
综上,实数a的取值范围为[-1,0].
结合选项,实数a的可能取值是-,0,-1.
易错警示
空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,因此当含参数的集合是一个确定集合的子集或真子集时,要考虑含参数的集合是空集的特殊情况.
7.解析　(1)当a=3时,A={x|a+1≤x≤2a+1}={x|4≤x≤7},则 UA={x|x<4或x>7},
又B={x|-2≤x≤5},
所以( UA)∩B={x|-2≤x<4}.
(2)选①:A∩B=A.
因为A∩B=A,所以A B.
当A= 时,a+1>2a+1,即a<0,满足A B;
当A≠ 时,若A B,则
解得0≤a≤2.
综上,实数a的取值范围为{a|a≤2}.
选②:A∪B=B.
因为A∪B=B,所以A B.
以下同选①.
选③:A∩B= .
因为A∩B= ,A={x|a+1≤x≤2a+1},B={x|-2≤x≤5},所以当A= 时,a+1>2a+1,即a<0,满足A∩B= ;
当A≠ 时,若A∩B= ,则或所以a>4.
综上所述,实数a的取值范围为{a|a<0或a>4}.
易错警示
空集与任何集合的交集都是空集,没有公共元素的两个集合的交集也是空集,因此解决两集合的交集为 的问题时,要注意根据题意判断是否存在集合是空集的特殊情况.
8.答案　{a|a<-8或a≥3}
解析　易知a+3>a+1,所以B≠ ,利用数轴表示B A,如图所示,
或
则a+3<-5或a+1≥4,解得a<-8或a≥3,所以实数a的取值范围是{a|a<-8或a≥3}.
易错警示
　　在进行集合运算或求集合中参数的取值范围时,要特别注意在区间的端点(边界)处能否取等号,以免增解或漏解,通常可结合数轴进行分析.
9.解析　(1)因为集合C={x|-3因为( RC)∪B=R,所以将集合 RC与集合B表示在数轴上,如图1所示.
由图1可知,需满足解得-2≤a≤-1,所以实数a的取值范围为{a|-2≤a≤-1}.
(2)因为A∩B=B,所以B A.
当B= 时,3a≥1+a,解得a≥.
当B≠ 时,将集合A,B表示在数轴上,如图2所示.
由图2可知,需满足
解得-≤a<.
综上,实数a的取值范围是aa≥-.

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