资源简介

三年模拟练
应用实践
1.(2026河北保定十八校联考)已知命题p: x≥0,x≥,命题q: x,y∈R,x+yA.p和q都是真命题
B. p和q都是真命题
C.p和 q都是真命题
D. p和 q都是真命题
2.(2025江苏如皋部分学校诊断)设x1A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
3.(2025江苏常州北郊高级中学调研)已知命题p:x∈A={x|x<-1或x≥3},命题q:x∈B={x|ax+1≤0},若p是q的必要条件,则实数a的取值范围是(　　)
A.
B.
C.(-∞,-1)∪[0,+∞)
D.∪(0,1)
4.(多选题)(2026河南省实验中学月考)将有限集合S中元素的个数记作card(S),设A,B都为有限集合,则下列命题是真命题的是(　　)
A.A∩B= 的充要条件是card(A∪B)=card(A)+card(B)
B.A B的一个必要不充分条件是card(A)C.A B的一个充分不必要条件是card(A)≤card(B)-1
D.A=B的充要条件是card(A)=card(B)
5.(2025辽宁凤城第二中学月考)已知命题p:“方程ax2+2x+1=0至少有一个负实数根”,若p为真命题的一个必要不充分条件是a≤m+1,则实数m的取值范围是　　　　.
6.(2026江苏苏州实验中学月考)已知命题p:实数x满足命题q:实数x满足m≤x≤3m(其中m>0).
(1)若m=1,且p和q至少有一个为真命题,求实数x的取值范围;
(2)若 p是 q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
7.(2026广东五十校联考)已知集合A={x|1(1)若命题r是真命题,求实数a的取值范围;
(2)若命题“p和q有且仅有一个是真命题”是假命题,求实数a的取值范围.
迁移创新
8.(2026河北邢台卓越联盟月考)已知M是正实数集的一个子集,定义运算 ,使其满足下列四个条件:① x,y∈M,“x=y”的充要条件是“x y=1”;② x,y∈M,“x>y”的充要条件是“x y>1”;③ x,y∈M,“x(1)设集合{a,a2} M,若a2 a>1,求实数a的取值范围;
(2)设x,y∈M,证明:“x y=y x”的充要条件是“x=y”;
(3)设x,y,z∈M,且x z>y z,证明:x y>1.
答案与分层梯度式解析
三年模拟练
1.B 2.D 3.A 4.AB
1.B　当x=时,=,不满足x≥,所以p是假命题,所以 p是真命题.
当x=y=-1时,满足x+y综上, p和q都是真命题.
2.D　取x=0,x1=,x2=,x3=,满足x1但(x-x1)(x-x2)(x-x3)=-≠0,故充分性不成立;
取x=x1=1,x2=2,x3=3,满足x1所以“|x-x1|+|x-x2|+|x-x3|=2”是“(x-x1)(x-x2)(x-x3)=0”的既不充分也不必要条件.
3.A　因为p是q的必要条件,所以B A.
当a<0时,B={x|ax+1≤0}=,所以-≥3,解得-≤a<0,所以-≤a<0;
当a=0时,B={x|ax+1≤0}= ,满足B A;
当a>0时,B={x|ax+1≤0}=,所以-<-1,解得0综上,实数a的取值范围为.
4.AB　对于A,当A∩B= 时,card(A∩B)=0,又card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B),所以card(A∪B)=card(A)+card(B),故A中命题为真命题.
对于B,card(A)对于C,card(A)≤card(B)-1只是说明集合A和集合B中元素个数的关系,不能得到A B;故充分性不成立,故C中命题是假命题.
对于D,因为A=B,所以card(A)=card(B),但两个集合的元素个数相同时,两集合并不一定相等,如A={0,1},B={2,3},card(A)=2,card(B)=2,A≠B,故D中命题是假命题.
5.答案　m>0
解析　当a=0时,2x+1=0,所以x=-,符合题意.
当a≠0时,设方程ax2+2x+1=0的两根为x1,x2.
当a<0时,Δ=4-4a>0,且x1+x2=->0,x1x2=<0,此时方程ax2+2x+1=0有一个正实数根和一个负实数根,符合题意.
当a>0时,由Δ=4-4a=0,解得a=1,此时方程为x2+2x+1=(x+1)2=0,解得x=-1(二重根),符合题意.
由Δ=4-4a>0,解得a<1,又a>0,所以00,所以方程ax2+2x+1=0有两个负实数根,符合题意.
综上所述,当命题p为真命题时,实数a的取值范围是(-∞,1].
因为p为真命题的一个必要不充分条件是a≤m+1,所以m+1>1,所以m>0.
6.解析　(1)由解得2≤x≤8,所以p:2≤x≤8,则 p:x<2或x>8.
当m=1时,q:1≤x≤3,则 q:x<1或x>3.
当p和q都为假命题时, p和 q都为真命题,故x<1或x>8.
所以p和q至少有一个为真命题时,
1≤x≤8,
所以实数x的取值范围是1≤x≤8.
(2)由(1)知,p:2≤x≤8.
因为 p是 q的充分不必要条件,
所以q是p的充分不必要条件,
所以或解得2≤m≤,
所以实数m的取值范围是2≤m≤.
7.解析　(1)因为命题r是真命题,所以A∩B≠ ,所以B≠ ,所以a>0,所以B={x|-因为A∩B≠ ,所以>1,所以a>1.
(2)当命题p为真命题时,A B.
因为A≠ ,所以B≠ ,所以a>0,
所以B={x|-因为A B,所以>2,所以a>4.
当命题q为真命题时,若a=0,则2x+1=0,解得x=-,满足题意;若a≠0,则Δ=4-4a≥0,解得a≤1,所以a≤1且a≠0.
综上可得,实数a的取值范围为a≤1.
因为命题“p和q有且仅有一个是真命题”是假命题,所以p,q同真或同假.
当p,q同真时,无解;
当p,q同假时,解得1综上,实数a的取值范围为18.解析　(1)因为M是正实数集的一个子集,{a,a2} M,所以a>0.
因为a2 a>1,所以a2>a,所以a>1,
所以实数a的取值范围为a>1.
(2)证明:充分性:若x=y,则y=x,则由①可知x y=y x=1,故充分性成立.
必要性:设x y=y x=m.
若m>1,则由x y=m得x>y,由y x=m得y>x,矛盾.
若m=1,则由x y=m得x=y,由y x=m得y=x.
若0所以由x y=y x可得x=y,必要性成立.
综上,“x y=y x”的充要条件是“x=y”.
(3)证明:由④可知x z= z=·(y z).
因为x z>y z,所以·(y z)>y z.
设y z=n,则n>0,
所以由·(y z)>y z得>1.
又x>0,y>0,所以x>y,所以x y>1.
素养评析
本题第(1)问主要考查数学抽象的核心素养,需根据题中新定义中的条件②进行相应求解;第(2)(3)问除考查数学抽象的核心素养外,还需要结合题中对新定义的要求,探索推理论证的思路,特别是充分性与必要性的推理上,避免推理的方向性错误.五年高考练
考点1　充分条件与必要条件
1.(2022天津,2)“x为整数”是“2x+1为整数”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2023天津,2)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.(2023北京,8)若xy≠0,则“x+y=0”是“+=-2”的　　(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
考点2　含有量词的命题的真假判断
4.(2024新课标Ⅱ,2)已知命题 p: x∈R,|x+1|>1①;命题q: x>0,x3=x②.则(　　)
A.p和q都是真命题
B. p③和q都是真命题
C.p和 q④都是真命题
D. p和 q都是真命题
①关键点拨　举反例
②关键点拨　举正例
③④关键点拨　命题与命题的否定的关系:一真一假
答案与分层梯度式解析
五年高考练
1.A 2.B 3.C 4.B
1.A　当x为整数时,2x+1为整数,故充分性成立;当x=时,2x+1为整数,但x不是整数,故必要性不成立.故“x为整数”是“2x+1为整数”的充分不必要条件.
2.B　因为a2=b2 a=b或a=-b,a2+b2=2ab (a-b)2=0 a=b,所以a2+b2=2ab a2=b2,但是a2=b2 / a2+b2=2ab,所以“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件.
3.C　解法一:充分性:因为xy≠0,且x+y=0,所以x=-y,所以+=+=-1-1=-2,所以充分性成立;
必要性:因为xy≠0,且+=-2,所以x2+y2=-2xy,即x2+y2+2xy=0,即(x+y)2=0,所以x+y=0,所以必要性成立.
所以“x+y=0”是“+=-2”的充要条件.
解法二:充分性:因为xy≠0,且x+y=0,
所以+=====-2,所以充分性成立;
必要性:因为xy≠0,且+=-2,所以+====-2=-2,所以=0,所以(x+y)2=0,所以x+y=0,所以必要性成立.
所以“x+y=0”是“+=-2”的充要条件.
4.B
真题降维
关键信息 信息处理 思维方法
x∈R, |x+1|>1 全称量词命题,判断真假的方法:全真为真,一假则假 通过举反例判定命题为假命题
x>0, x3=x 存在量词命题,判断真假的方法:全假为假,一真则真 通过举例判定命题为真命题
p, q 命题的否定 命题的否定与原命题的真假性相反
解析　对于命题p,当x=0时,|x+1|=1,不满足|x+1|>1,所以p为假命题,所以 p为真命题.
对于命题q,当x=1时,x3=x,所以q为真命题,所以 q为假命题.
综上, p和q都是真命题.专题专项练
思想方法练2
一、分类讨论思想在常用逻辑用语问题中的应用
1.(2026辽宁名校联盟联考)已知集合A={x|-1≤x≤5},B={x|2m+1≤x≤4-m},若x∈A是x∈B的必要不充分条件,则实数m的取值范围为(　　)
A.{m|m>-1}　　　　B.{m|m≤1}
C.{m|-1≤m≤1}　　　　D.{m|-12.(2025广东广州北培高级中学月考)已知p:x<-3或x>1,q:x<3m+1或x>m+2.若q的一个充分不必要条件是p,则实数m的取值范围为　　　　　　　　.
3.(2026江苏扬州大学附属中学月考)已知命题p: x∈R,x2+ax+a<0,命题q:方程x2-x-a=0有两个不相等的正实数根.
(1)若命题p为真命题,求实数a的取值范围;
(2)若命题p,q中有且仅有一个为真命题,求实数a的取值范围.
二、转化与化归思想在常用逻辑用语问题中的应用
4.设a∈R,命题p: x∈,x2-a>0,命题q: x∈R,x2+ax+1>0.
(1)若命题p是真命题,求实数a的取值范围;
(2)若命题 p与q至少有一个为假命题,求实数a的取值范围.
5.(2026福建福鼎第四中学月考)设全集U=R,集合A={x|1≤x≤5},B={x|-1-2a≤x≤a-2},p:x∈A,q:x∈B.
(1)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围;
(2)若命题“ x∈R,p与q同时成立”是假命题,求实数a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
专题专项练
思想方法练2
1.A　因为x∈A是x∈B的必要不充分条件,所以B A.
(对集合B是不是 进行讨论)
当B= 时,2m+1>4-m,解得m>1.
当B≠ 时,
或解得-1综上,实数m的取值范围为{m|m>-1}.
2.答案　m-≤m≤-1或m>
解析　设A={x|x<-3或x>1},B={x|x<3m+1或x>m+2}.
因为q的一个充分不必要条件是p,
所以A是B的真子集.
(对集合B是不是R进行讨论)
①当B=R时,满足题意,则3m+1>m+2,解得m>;
②当B≠R时,3m+1≤m+2,解得m≤.
若A是B的真子集,则或解得-≤m≤-1.
综上所述,实数m的取值范围是m-≤m≤-1或m>.
3.解析　(1)若命题p为真命题,则Δ=a2-4a>0,解得a<0或a>4.
所以实数a的取值范围是a<0或a>4.
(2)若命题q为真命题,设方程x2-x-a=0的两个不相等的正实数根为x1,x2,
则解得-因为命题p,q中有且仅有一个为真命题,所以命题p,q一真一假.
(命题p,q一真一假分为p真q假和p假q真两种情况)
若p真q假,则
解得a≤-或a>4.
若p假q真,则无解.
综上,实数a的取值范围是a≤-或a>4.
思想方法
　　本章中常涉及命题真假的讨论以及将逻辑用语转化为集合之间的关系求参数的取值范围时对集合的讨论.
4.解析　(1)命题p: x∈,x2-a>0为真命题,等价于a(将与存在量词有关的问题转化为有解问题)
所以在x∈上,a<(x2)max,
所以a<1.
(2)若命题q: x∈R,x2+ax+1>0为真命题,则Δ=a2-4<0,解得-2若命题 p与q至少有一个为假命题,
则命题 p与q不能同时为真命题.
(将至少有一个为假命题的问题转化为都为真命题的问题求解,再求其补集)
当命题 p与q同时为真命题时,解得1≤a<2,
所以命题 p与q至少有一个为假命题时,a<1或a≥2.
5.解析　(1)因为p是q的充分不必要条件,所以A B,
(将p与q间用逻辑用语表示的关系转化为对应的集合A,B间的关系)
所以或解得a≥7.
所以实数a的取值范围为[7,+∞).
(2)因为命题“ x∈R,p与q同时成立”是假命题,所以其否定“ x∈R,p与q不同时成立”为真命题,所以A∩B= .
(将存在量词命题转化为全称量词命题,利用它们的真假性的对立关系求解)
当B= 时,-1-2a>a-2,解得a<.
当B≠ 时,需满足或解得≤a<3.
综上,实数a的取值范围为(-∞,3).
思想方法
　　转化与化归能把同一种数学意义的内容从一种数学语言形式等价转化为另一种数学语言形式,从而使复杂问题简单化.本章主要体现在充分条件、必要条件、充要条件与集合之间关系的等价转化以及命题的真假与相关知识的转化,即利用集合、方程、不等式等知识求解参数的值或取值范围.专题专项练
易混易错练2
易错点1　混淆充分条件与必要条件致错
1.(2026浙江强基联盟联考)已知命题p:1A. 　　　　B.m≥
C.-22.命题“ x∈{x|-1≤x≤},x2+m2-3m≤0”是真命题的一个必要不充分条件是 (　　)
A.0≤m≤3　　　　B.1≤m≤2
C.1≤m≤3　　　　D.-13.(多选题)(2026江苏南京师范大学附属中学月考)下列说法正确的有(　　)
A.“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件
B.设x,y∈R,则“x+y≥4”是“x≥2且y≥2”的充分不必要条件
C.“a<1”是“方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
D.已知A,B是全集U的子集,则“A∪( UB)=U”是“B A”的充要条件
4.(2025广东肇庆广信中学月考)设a,b,c分别为△ABC的三边BC,AC,AB的长,证明:关于x的方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共实数根的充要条件是∠A=90°.
易错点2　对含有量词的命题的否定不准确致错
5.(2026湖南新高考教学教研联盟检测)命题“ x∈R, n∈N*,使得n>|x+1|-|x+2|”的否定是(　　)
A. x∈R, n∈N*,使得n≤|x+1|-|x+2|
B. x∈R, n∈N*,都有n≤|x+1|-|x+2|
C. x∈R, n∈N*,使得n≤|x+1|-|x+2|
D. x∈R, n∈N*,都有n≤|x+1|-|x+2|
6.(2025广东广雅中学月考)命题“ x∈{x|-3≤x≤-2},mx>12”是假命题的一个充分不必要条件是(　　)
A.m<-4　　　　B.m>-4
C.m<-6　　　　D.m≥-6
7.(2026山东青岛检测)已知命题p: x∈R,kx2+kx-2≥0,命题q: x∈R,x2+2kx+3k=0.
(1)当命题p为假命题时,求实数k的取值范围;
(2)若命题p和q中有且仅有一个是假命题,求实数k的取值范围.
答案与分层梯度式解析
专题专项练
易混易错练2
1.D 2.D 3.CD 5.D 6.B
1.D　设集合P={x|1因为p是q的充分不必要条件,
所以P Q,
所以解得m≤-2.
易错警示
解决与充分条件、必要条件有关的问题时,如果不能正确区分谁是条件,谁是结论,那么就会将集合间的包含关系倒置,从而出现推理方向性错误.
2.D　因为命题“ x∈{x|-1≤x≤},x2+m2-3m≤0”是真命题,所以m2-3m≤(-x2)max,-1≤x≤,则m2-3m≤0,解得0≤m≤3.
要求命题“ x∈{x|-1≤x≤},x2+m2-3m≤0”是真命题的一个必要不充分条件,设满足题意的m的取值集合为M,则{m|0≤m≤3} M,结合选项可知选D.
3.CD　对于A,当x≠1时,取x=-1,得x2=1,所以充分性不成立;当x2≠1时,x≠1且x≠-1,所以必要性成立,所以“x≠1”是“x2≠1”的必要不充分条件,故A错误.
对于B,取x=1,y=3,满足x+y≥4,但得不到x≥2且y≥2,所以充分性不成立;当x≥2且y≥2时,x+y≥4,故必要性成立,所以“x+y≥4”是“x≥2且y≥2”的必要不充分条件,故B错误.
对于C,当方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根时,设其两根为x1,x2,则解得a<0,所以“a<1”是“方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件,故C正确.
对于D,任取x∈B,则x UB,若A∪( UB)=U,则x∈A,所以B A,故充分性成立.
设x∈U,则x∈B或x∈ UB,当x∈B时,因为B A,所以x∈A,所以x∈A∪( UB),即A∪( UB)=U;当x∈ UB时,x∈A∪( UB),所以A∪( UB)=U,故D正确.
易错警示
判断充分条件、必要条件时要牢记口诀:“推出”即充分,“被推出”即“必要”,“推不出”即“不充分”,“不被推出”即“不必要”.
4.证明　充分性:因为∠A=90°,
所以b2+c2=a2,即b2=a2-c2,(*)
将(*)式代入方程x2+2ax+b2=0,得x2+2ax+a2-c2=0,即(x+a-c)(x+a+c)=0.
将(*)式代入方程x2+2cx-b2=0,得x2+2cx+c2-a2=0,即(x+c-a)(x+c+a)=0,
所以两方程有公共实数根x=-(a+c),充分性成立.
必要性:设方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共实数根x0,则+2ax0+b2=0,+2cx0-b2=0,
两式相减并整理,得(a-c)x0+b2=0.
因为b≠0,
所以a-c≠0,
所以x0=,将其代入+2ax0+b2=0,得b2+c2=a2,所以∠A=90°,必要性成立.
所以关于x的方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共实数根的充要条件是∠A=90°.易错警示
证明p是q的充要条件时要严格从p q(充分性)和p q(必要性)两方面进行论证,一般情况下,会出现两种错误:一是忽视步骤,两个步骤合二为一;二是分不清充分性和必要性.
5.D
易错警示
在对含量词的命题进行否定时,不能只否定结论而忘记改变量词,也不能只改变量词而忘记否定结论.6.B　因为命题“ x∈{x|-3≤x≤-2},mx>12”是假命题,所以其否定“ x∈{x|-3≤x≤-2},mx≤12”是真命题.
当m=0时,mx=0≤12.
当m≠0时,(mx)min≤12,x∈[-3,-2].
若m>0,则-3m≤12,解得m≥-4,所以m>0;
若m<0,则-2m≤12,解得m≥-6,所以-6≤m<0.
综上,原命题是假命题的充要条件为m≥-6.
结合选项,命题是假命题的一个充分不必要条件是m>-4.
7.解析　(1)当命题p为假命题时,命题 p: x∈R,kx2+kx-2<0为真命题.
当k=0时,-2<0,满足题意;
当k≠0时,需满足
解得-8综上,实数k的取值范围为(-8,0].
(2)由(1)知,命题p为假命题时,实数k的取值范围为(-8,0],所以当命题p为真命题时,实数k的取值范围为(-∞,-8]∪(0,+∞).
当命题q为真命题时,(2k)2-12k≥0,解得k≥3或k≤0,所以当命题q为假命题时,实数k的取值范围为(0,3).
当命题p为假命题,命题q为真命题时,-8当命题p为真命题,命题q为假命题时,0综上,实数k的取值范围为(-8,3).

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