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专题专项练
易混易错练3
易错点1　不能正确使用不等式的性质致错
1.(多选题)(2026江苏苏州实验中学期中)下列命题是真命题的为(　　)
A.若a>b>0>c>d,则ab>cd
B.若ac2>bc2,则a>b
C.若a>b>0且c<0,则>
D.若a>b且>,则ab<0
2.(2026江苏苏州第三中学校月考)设x,y为实数,满足2≤xy2≤3,3≤≤4,则的取值范围为　　　　.
易错点2　忽略基本不等式的应用条件致错
3.(多选题)下列结论正确的是(　　)
A.函数y=的最小值是2
B.若a,b∈R且ab>0,则+≥2
C.若x∈R,则x2+3+的最小值为3
D.函数y=2+x+(x<0)的最大值为0
4.(2025江苏扬州中学检测)已知a>b>0,则a++的最小值为(　　)
A.　　　　B.4　　　　
C.2　　　　D.3
易错点3　忽略二次项系数的符号致错
5.(2026江苏无锡市北高级中学检测)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2A.　　　　B.
C.　　　　D.
6.(2026江苏无锡辅仁高级中学期中)已知存在x∈(1,+∞),使mx2-2x+3≤0成立,则实数m的取值范围是(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
易错点4　解含参的不等式时分类不全面致错
7.(2025山东青岛第九中学阶段检测)已知不等式2≤ax2+bx+c≤3的解集为{x|2≤x≤3}.
(1)若a>0,且不等式ax2+(b-3)x-c≤0有且仅有10个整数解,求a的取值范围;
(2)若a为非零实数,解关于x的不等式ax2+(b-1)x+5<0.
答案与分层梯度式解析
专题专项练
易混易错练3
1.BCD 3.BD 4.D 5.A 6.B
1.BCD　对于A,取a=2,b=1,c=-1,d=-2,满足a>b>0>c>d,但ab=cd,故A错误.
对于B,因为ac2>bc2,所以c2>0,所以a>b,故B正确.
对于C,-=,因为a>b>0,所以b2-a2<0,a2b2>0,又c<0,所以c(b2-a2)>0,所以-=>0,所以>,故C正确.
对于D,-=,因为a>b,所以b-a<0,又>,所以ab<0,故D正确.
2.答案　[9,32]
解析　设=(xy2)m=xm+2ny2m-n,
则解得
所以=(xy2)-1.
因为2≤xy2≤3,3≤≤4,
所以≤(xy2)-1≤,27≤≤64,
所以9≤≤32.
易错警示
利用几个代数式的范围求某一个代数式的范围时,不可将不等式相除,否则容易改变范围.可以使用整体代换的思想或用待定系数法求解代数式的取值范围问题.3.BD　对于A,当x<0时,y<0,故A错误;对于B,当ab>0时,>0,>0,所以+≥2,当且仅当a=b=1或a=b=-1时取等号,故B正确;
对于C,x2+3+=x2+2++1≥3,当且仅当x2+2=时取等号,但x2+2=无解,故C错误;
对于D,当x<0时,x+≤-2,当且仅当x=-1时取等号,故函数y=2+x+(x<0)的最大值为0,故D正确.
易错警示
利用基本不等式求最值时,要注意以下几点:(1)各项必须都是正数;(2)求最大(小)值时,不等式的一边必须是常数(量),即和为定值或积为定值;(3)注意验证等号成立的条件.
4.D　因为a>b>0,所以a+b>0,a-b>0,
所以a++=(a+b)++(a-b)+(寻找a与a+b,a-b间的关系)≥2+2=2+=3,当且仅当(a+b)=且(a-b)=,即a+b=2且a-b=,即a=,b=时取等号,所以a++的最小值为3.
易错警示
多次或连续应用基本不等式求最值时,要注意各不等式取等号时条件是否一致,若不能同时取等号,则用基本不等式是求不出最值的,此时要对原式进行适当拆分或合并,直到取等号的条件成立.
5.A　由题意可知,2,3是关于x的方程ax2+bx+c=0的两个实数根,且a<0,则解得b=-5a,c=6a,
则不等式bx2+ax+c<0可化为-5ax2+ax+6a<0,即5x2-x-6<0,即(5x-6)(x+1)<0,解得-1所以不等式bx2+ax+c<0的解集为.
易错警示
解一元二次不等式时要注意二次项系数是不是正数,若不是,则先化为正数再求解.
6.B　当m=0时,不等式为-2x+3≤0,解得x≥,满足题意.
当m≠0时,函数y=mx2-2x+3的图象的对称轴为直线x=.
若m>0,则需满足Δ=4-12m≥0,所以0若m<0,则函数的图象开口向下,且<0,所以必存在x∈(1,+∞),使mx2-2x+3≤0成立.
综上,实数m的取值范围为.
7.解析　(1)因为a>0,不等式2≤ax2+bx+c≤3的解集为{x|2≤x≤3},
所以ax2+bx+c≤3的解集为{x|2≤x≤3},且ax2+bx+c≥2的解集为R,
所以方程ax2+bx+c=3的两个根为2和3,故化简得b=-5a,c=6a+3,
又ax2+bx+c=ax2-5ax+6a+3≥2的解集为R,即ax2-5ax+6a+1≥0恒成立,
所以Δ=25a2-4a(6a+1)≤0,
所以0不等式ax2+(b-3)x-c≤0等价于ax2-(5a+3)x-(6a+3)≤0,即(x+1)(ax-6a-3)≤0,所以-1≤x≤6+,
由题意得8≤6+<9,解得1综上所述,a的取值范围为a1(2)若a>0,由(1)得b=-5a,则不等式ax2+(b-1)x+5<0可化为ax2+(-5a-1)x+5<0,即(ax-1)(x-5)<0.
当0当a=时,不等式(ax-1)(x-5)<0的解集为 ,
当若a<0,不等式2≤ax2+bx+c≤3的解集为{x|2≤x≤3}等价于ax2+bx+c≥2的解集为{x|2≤x≤3}且ax2+bx+c≤3的解集为R,所以方程ax2+bx+c-2=0的两个根为2和3,
故化简得
又不等式ax2+bx+c=ax2-5ax+6a+2≤3的解集为R,即ax2-5ax+6a-1≤0恒成立,所以Δ=25a2-4a(6a-1)≤0,
所以-4≤a<0.
不等式ax2+(b-1)x+5<0可化为ax2+(-5a-1)x+5<0,即(ax-1)(x-5)<0,解得x<或x>5.
综上,当-4≤a<0时,不等式ax2+(b-1)x+5<0的解集为xx<或x>5;
当0当a=时,不等式ax2+(b-1)x+5<0的解集为 ;
当易错警示
对于含参数的一元二次不等式问题,要注意分类讨论:①二次项系数是不是0;②两根的大小关系能否确定;③分类讨论要做到“既不重复又不遗漏”.三年模拟练
应用实践
1.(2026江苏南京金陵中学月考)若a>|b|>0,c∈R,则下列结论一定成立的是(　　)
A.a2b>ab2　　　　B.>
C.a3c-b
2.(2026广东佛山部分学校月考)若不等式(ax-1)(x-b)≥0对任意的x∈R恒成立,则4a+b的最小值为　　(　　)
A.2　　　　B.4　　　　
C.5　　　　D.4
3.(2026江苏盐城七校联盟检测)已知不等式 ax2+bx+1>0的解集为, 若 x∈[4,+∞),不等式 bx2-mx-2a≥0成立,则实数m的最大值为(　　)
A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.8
4.(多选题)(2025福建福鼎第一中学月考)若x,y满足(x+y)2-xy=2,则(　　)
A.y-x≥-　　　　B.y-x<2
C.xy>　　　　D.xy≥-
5.(多选题)(2026江苏南通中学检测)已知a>0,b>0,ab+2(a+b)=14,则下列说法正确的是(　　)
A.ab的最大值为11-6
B.+的最小值为
C.(a+1)b的最大值为8
D.2a+b的最大值为6
6.(2026江苏百校联考)已知方程x2+2mx+m+2=0的两根x1,x2满足x1<04,则实数m的取值范围为　　　　.
7.(2026江苏无锡锡山高级中学阶段测试)已知m>0,n<0,m+=8n++5,则m-8n的最小值为　　　　.
8.(2025辽宁沈阳五校协作体联考)若a>1,且不等式x2-x+4<0的解集中有且仅有四个整数,则实数a的取值范围是　　　　.
9.(2026江苏泰州中学月考)定义区间(m,n)、[m,n]、(m,n]、[m,n)的长度均为n-m,其中n>m.
(1)求不等式-x2-2x+8>0的解集对应的区间的长度;
(2)若不等式组的解集对应的各区间的长度和等于6,求实数k的范围;
(3)若实数a>b,求不等式+≥1的解集对应的各区间长度之和.
10.(2026江苏南通如东一中检测)为了响应国家号召,某企业计划加大对芯片研发部的投入,据了解,该企业研发部原有200名技术人员,年人均投入a万元(a>0),现把原有技术人员分成技术人员和研发人员两部分,其中技术人员x名(x∈N且90≤x≤150),调整后研发人员的年人均投入增加(2x)%,技术人员的年人均投入调整为a万元.
(1)要使这(200-x)名研发人员的年总投入不低于调整前200名技术人员的年总投入,调整后的技术人员的人数最多为多少
(2)为了激励芯片研发人员的热情和保持各技术人员的工作积极性,在资金投入方面需要同时满足以下两个条件:①技术人员的年人均投入始终不减少;②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.是否存在这样的实数m,使得技术人员在已知范围内调整后,满足以上两个条件 若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.
迁移创新
11.(2026江苏无锡南菁高级中学阶段考试)当a(1)计算区间(a,b)(0(2)若0(3)给定实数ω∈(0,1),若对于任意区间(a,b)(a答案与分层梯度式解析
三年模拟练
1.B 2.B 3.C 4.ABD 5.BC
1.B　若b<0,则a2bb3,故A,C错误.
对于B,若b<0,则由上述分析知>;若b>0,则-==>0,即>,故B正确.
对于D,不妨设c=a,b<0,则a-c2.B　解法一:若不等式(ax-1)(x-b)≥0,即ax2-(ab+1)x+b≥0恒成立,
则
所以ab=1且a>0,b>0,
所以4a+b≥2=4,当且仅当4a=b且ab=1,即a=,b=2时,等号成立,所以4a+b的最小值为4.
解法二:当a=0时,原不等式即为x-b≤0,显然不可能对任意的x∈R恒成立.
当a<0时,y=(ax-1)(x-b)的图象开口向下,不满足题意,所以a>0.
令(ax-1)(x-b)=0,得x1=,x2=b.
若不等式(ax-1)(x-b)≥0对任意的x∈R恒成立,则=b,即ab=1且a>0,b>0,
所以4a+b≥2=4,当且仅当4a=b且ab=1,即a=,b=2时,等号成立,
所以4a+b的最小值为4.
3.C　由题意得,a<0,且-和1为方程ax2+bx+1=0的两根,
所以解得
所以不等式bx2-mx-2a≥0即为x2-mx+4≥0.
易知二次函数y=x2-mx+4的图象开口向上,对称轴方程为x=,
所以或
解得m≤5,
所以实数m的最大值为5.
4.ABD　对于A,B,令y-x=t,则y=x+t,将其代入(x+y)2-xy=2,得x2+tx+(t2-2)=0,所以Δ=t2-3(t2-2)≥0, 解得-≤t≤,故A,B正确.
对于C,D,对(x+y)2-xy=2变形,得x2+y2=xy+2.
易知-≤xy≤,所以--1≤xy≤+1,解得-≤xy≤,故C错误,D正确.
5.BC　对于A,因为a>0,b>0,所以ab+2(a+b)≥ab+2×2=ab+4,当且仅当a=b时等号成立,
又ab+2(a+b)=14,所以ab+4≤14,
即+4-14≤0,
所以0<≤-2+3,
所以0对于B,因为ab+2(a+b)=14,
所以ab+4+2(a+b)=(a+2)(b+2)=18,
所以+=3×=(a+2+b+2)≥×2=×=,当且仅当a+2=b+2,即a=b=-2+3时等号成立,故B正确;
对于D,14=ab+2(a+b)=b(2a+2)+b+2a≤+b+2a,当且仅当b=2a+2时等号成立,整理得(b+2a)2+12·(b+2a)-108≥0,即(b+2a+18)(b+2a-6)≥0,所以b+2a≥6,当且仅当b=2a+2,即a=1,b=4时等号成立,故D错误;
对于C,14=ab+2(a+b)=ab+b+2a+b=b(a+1)+2a+b,
由D选项的分析可知,b(a+1)=14-(2a+b)≤14-6=8,故C正确.
6.答案　(-∞,-2)
解析　因为x1<0由根与系数的关系,得x1+x2=-2m,x1x2=m+2,所以m+2<0,解得m<-2.
因为x1<04,
又x2-x1=,所以>4,整理得m2-m-6>0,即(m-3)(m+2)>0,解得m>3或m<-2.
综上,实数m的取值范围为(-∞,-2).
7.答案　
解析　由m+=8n++5得m-8n=-+5,
所以(m-8n)2=(m-8n)+5(m-8n).
因为m>0,n<0,
所以(m-8n)=17++≥17+2=25,当且仅当=,即m=-2n时取等号,
所以(m-8n)2=(m-8n)+5(m-8n)≥25+5(m-8n).
设m-8n=x,则x>0,x2-5x-25≥0,解得x≥或x≤(舍去),
所以m-8n的最小值为,此时m=,n=-.
8.答案　(4,5]
解析　由x2-x+4<0,
可得(x-a)<0,
当1若满足解集中有且仅有四个整数:2,3,4,5,则5<≤6,解得≤a<,与1当a=2时,不等式为(x-2)2<0,其解集为 ,不符合题意;
当a>2时,a>,不等式的解集为,
若满足解集中有且仅有四个整数,则四个整数可能为2,3,4,5或1,2,3,4,
当四个整数为2,3,4,5时,1≤<2,且5当四个整数为1,2,3,4时,0<<1,且4综上,实数a的取值范围是(4,5].
9.解析　(1)解不等式-x2-2x+8>0,得-4(2)由3≤2x-1≤x+7得所以2≤x≤8,此时不等式的解集对应的区间的长度为6.
设2x2-11kx+15k2≥0的解集为C.
因为不等式组的解集对应的各区间的长度和等于6,所以[2,8] C.
由2x2-11kx+15k2≥0得(2x-5k)(x-3k)≥0.
当k=0时,C=R,[2,8] C显然成立.
当k>0时,C=∪[3k,+∞),所以8≤或3k≤2,所以k≥或0当k<0时,C=(-∞,3k]∪,所以≤2,解得k≤,所以k<0.
综上,实数k的范围是∪.
(3)当x>a或x令y=x2-(a+b+2)x+(a+b+ab).
易知当x=a时,y=b-a<0;当x=b时,y=a-b>0.
设x2-(a+b+2)x+(a+b+ab)=0的两根为x1,x2(x1当b所以原不等式的解集对应的区间的长度之和为x2+x1-a-b.
又由根与系数的关系得x1+x2=a+b+2,所以原不等式的解集对应的区间的长度之和为2.
10.解析　(1)由题意得,调整后研发人员的年人均投入为[1+(2x)%]a万元,则(200-x)[1+(2x)%]a≥200a,化简并整理,得x2-150x=x(x-150)≤0,解得0≤x≤150.
因为x∈N且90≤x≤150,所以调整后的技术人员的人数最多为150.
(2)由条件①得a≥a,解得m≥+1.
由条件②得(200-x)[1+(2x)%]a≥xa,两边同时除以ax,得≥m-,所以m≤++3.
所以+1≤m≤++3.
因为++3≥2+3=7,当且仅当x=100时,等号成立,所以m≤7.
因为90≤x≤150,x∈N,所以当x=150时,y=+1取得最大值7,所以m≥7.
综上所述,m=7.
11.解析　(1)当λ=时,x=a+b=,则为区间(a,b)的-内点.
当λ=时,x=·a+b=,则为区间(a,b)的-内点.
-=
=.
因为0所以(a-b)2>0,a+b>0,
所以<0,即<.
(2)证明:若x是区间(a,b)(a则x=λa+(1-λ)b=(a-b)λ+b∈(a,b).
若x∈(a,b),取λ=,则x=λa+(1-λ)b,且0<<=1,
所以x是区间(a,b)(a所以x∈(a,b)的充要条件是存在λ∈(0,1),使得x是区间(a,b)的λ-内点.
因为-==>0,所以>.
因为-=>0,所以>.
所以∈,
所以存在λ∈(0,1),使得是区间的λ-内点.
(3)证明:因为x1是区间(a,b)的λ1-内点,所以x1=λ1a+(1-λ1)b,所以[λ1a+(1-λ1)b]2≤ωa2+(1-ω)b2恒成立,即(ω-)a2-2(λ1-)ab+(-+2λ1-ω)b2≥0恒成立.
当ω-≤0时,上式不可能恒成立,
所以ω->0,
所以Δ=4(λ1-)2b2-4(ω-)(-+2λ1-ω)b2≤0,即(λ1-ω)2≤0,所以λ1=ω.
同理,因为x2是区间(a,b)的λ2-内点,所以x2=λ2a+(1-λ2)b,所以[λ2a+(1-λ2)b]2≤(1-ω)a2+ωb2恒成立,即(1-ω-)a2-2(λ2-)ab+(-+2λ2+ω-1)b2≥0恒成立.
当1-ω-≤0时,上式不可能恒成立,所以1-ω->0,
所以Δ=4(λ2-)2b2-4(1-ω-)·(-+2λ2+ω-1)b2≤0,即(λ2-1+ω)2≤0,所以λ2=1-ω.所以λ1+λ2=1.
素养评析
本题第(1)(2)问考查了数学抽象、数学运算的核心素养,需根据题中定义求解、证明内点,并利用作差法比较大小;第(3)问考查了数学抽象、逻辑推理的素养,首先根据题中定义列式,然后解决一元二次不等式在实数集上的恒成立问题.五年高考练
考点1　不等式的解法
1.(2023新课标Ⅰ,1)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},则M∩N=(　　)
A.{-2,-1,0,1}　　　　B.{0,1,2}
C.{-2}　　　　D.{2}
2.(2025全国二卷,4)不等式≥2的解集是(　　)
A.{x|-2≤x≤1}　　　　B.{x|x≤-2}　　　　
C.{x|-2≤x<1}　　　　D.{x|x>1}
考点2　基本不等式及其应用
3.(2025北京,6)已知a>0,b>0,则(　　)
A.a2+b2>2ab　　　　B.+≥　　　　
C.a+b>　　　　D.+≤
4.(多选题)(2022新高考Ⅱ,12)若x,y满足x2+y2-xy=1①,则(　　)
A.x+y≤1　　　　B.x+y≥-2
C.x2+y2≤2　　　　D.x2+y2≥1
①关键点拨　同构变形
5.(2025上海,8)设a,b>0,a+=1,则b+的最小值为　　　　.
6.(2021天津,13)若a>0,b>0,则++b的最小值为　　　　.
考点3　不等式的实际应用
7.(课标全国Ⅰ,4)古希腊时期,
人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是≈0.618,称为黄金分割比例,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是(　　)
A.165 cm　　　　B.175 cm　　　　C.185 cm　　　　D.190 cm
8.(北京高考,14)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.
①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付　　　　元;
②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为　　　　.
强基计划
9.(2024福建厦门大学强基计划)已知a,b,c∈[0,2],则y=++的最大值为　　(　　)
A.3　　　　B.2+　　　　
C.3　　　　D.以上全错
10.(2024清华大学强基计划)已知f(a,b,c)=++(a,b,c≥0),则f(a,b,c)的最小值为　　　　　.
11.(2025北京清华大学强基计划)已知正数x,y,z满足3x2+y2+z2=1,则的最小值为　　　　.
学科竞赛
12.(2025全国高中数学联赛吉林赛区预赛)设a<-1,变量x满足x2+ax≤-x,且函数y=x2+ax的最小值为-,则a=　　　　.
13.(2024全国中学生奥林匹克竞赛浙江赛区初赛)设a,b,c∈(0,2],b≥3a或a+b≤,则max{b-a,c-b,4-2c}的最小值为　　　　.
答案与分层梯度式解析
五年高考练
1.C 2.C 3.C 4.BC 7.B
9.B
1.C　因为M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0}={x|x≤-2或x≥3},所以M∩N={-2}.
一题多解
取x=0,不满足x2-x-6≥0,排除A,B;再取x=-2,可知-2∈N,故C正确.
2.C　由≥2,得≥0,即≤0,所以解得-2≤x<1,所以原不等式的解集为{x|-2≤x<1}.
3.C　对于A,取a=1,b=1,则a2+b2=2ab,故A错误;
对于B,取a=,b=,则+<,故B错误;
对于C,因为a>0,b>0,所以a+b≥2且>0,所以2>,故a+b>,故C正确;
对于D,取a=2,b=1,则+>,故D错误.
4.BC　真题降维
关键信息 信息处理 链接教材
选项A,B均包含x+y 将题干中x2+y2-xy转化为x+y的形式 a2+b2≥;ab≤
选项C,D均包含x2+y2 将题干中x2+y2-xy转化为x2+y2的形式 ab≤
解析　对于A,B,x2+y2-xy=1≥-=,当且仅当x=y时取等号,所以(x+y)2≤4,解得-2≤x+y≤2,当且仅当x=y=-1时,x+y=-2;当且仅当x=y=1时,x+y=2,故A错误,B正确.
对于C,D,x2+y2-xy=1≥x2+y2-=,所以x2+y2≤2,当且仅当x=y=±1时取等号,又x2+y2=1+xy,且x,y∈R,所以当xy<0时,x2+y2<1,故C正确,D错误.
5.答案　4
解析　易知b+==ab++2≥2+2=4,当且仅当ab=1,即a=,b=2时等号成立,所以b+的最小值为4.
6.答案　2
解析　因为a>0,b>0,所以++b≥2+b=+b≥2=2,当且仅当即a=b=时等号成立,故++b的最小值为2.
7.B　解法一(估算法):(估算是数学非常重要且基本的方法,根据题目的设计需要找出过剩近似值和不足近似值)
由人体特征可知,头顶至咽喉的长度应小于头顶至脖子下端的长度,故咽喉至肚脐的长度应小于≈42 cm,可得到此人的身高应小于26+42+≈178 cm;
同理,肚脐至足底的长度应大于腿长105 cm,故此人的身高应大于105+105×0.618≈170 cm,结合选项可知,只有B选项符合题意.
解法二:用线段代替人,画出示意图,以形助数,然后设未知数,列不等式组.
已知==≈0.618,c<26,b>105,c+d=a.
设此人的身高为h cm,则a+b=h,
由得a>64.89,
由得d<42.07,
所以c+d<26+42.07=68.07,即a<68.07.
由得b<110.15,
所以64.89+105即169.89名师点津
　　此题以著名的雕塑“断臂维纳斯”为背景,探讨人体黄金分割之美,此题不属于“偏、难、怪”题,是将简单的比例问题放置到了“维纳斯身高”这一陌生情境中.此题注重实际背景,考查学生理解和分析题意的能力,以及合情推理和数学运算的核心素养.
8.答案　①130　②15
解析　①x=10时,一次购买草莓和西瓜各1盒,共140元,由题可知顾客需支付140-10=130元.
②设每笔订单金额为m元,则只需考虑m≥120时的情况.
根据题意得(m-x)80%≥m×70%,
所以x≤,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x≤,而m≥120,所以=15,
所以x≤15.所以x的最大值为15.
9.B　不妨设a≥b≥c,
则y=++.
易知+≤=,当且仅当=时取等号,所以y≤(+1).
因为a,b,c∈[0,2],所以≤,所以y≤2+,当且仅当a=2,b=1,c=0时取等号,所以y=++的最大值为2+.
10.答案　2
解析　①若a,b,c中没有0,由基本不等式得=≥=,
同理,≥,≥,故f(a,b,c)≥2,
当且仅当时,等号成立,又a,b,c中没有0,所以该方程组无实数解,故f(a,b,c)>2;
②若a,b,c中有0,则至多有一个0(若有两个或三个为0,则存在被开方分式的分母为0,分式无意义的情况),不妨设c=0,此时f(a,b,c)=+≥2,当且仅当a=b,c=0时, f(a,b,c)取得最小值2.
综上,当a,b,c中有一个为0,另两个相等且均大于0时, f(a,b,c)取得最小值2.
11.答案　8
解析　=·≥·=·=≥=8,当且仅当y=,x=z=时取等号,所以的最小值为8.
12.答案　-
解析　由a<-1及x2+ax≤-x得0≤x≤-(a+1).
y=x2+ax=-.
若-(a+1)<-,即-2若-(a+1)≥-,即a≤-2,则ymin=-,所以-=-,解得a=±(舍去).
综上,实数a=-.
13.答案　
解析　令t=max{b-a,c-b,4-2c},则t≥b-a,t≥c-b,t≥4-2c.
当b≥3a时,3t+2t+t≥3(b-a)+2(c-b)+4-2c=b-3a+4≥4,所以t≥.
当a+b≤时,t+2t+t≥b-a+2(c-b)+4-2c=4-(a+b)≥,所以t≥.
当a=,b=1,c=时,b-a=c-b=4-2c=.
综上,max{b-a,c-b,4-2c}的最小值为.专题专项练
思想方法练3
一、分类讨论思想在解不等式中的应用
1.(2026江苏淮安涟水第一中学月考)已知关于x的不等式x2-(1+3a)x+3a<0的解集中不含有整数,则实数a的取值范围为(　　)
A.(0,1)　　　　B.∪
C.　　　　D.[0,1]
2.设函数y=mx2-mx-1.
(1)若对于一切实数x,y<0恒成立,求m的取值范围;
(2)解不等式:y<(m+1)x-3.
二、数形结合思想在三个“二次”问题中的应用
3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点(x1,0)与(x2,0),其中x1A.mC.x14.(2025安徽黄山屯溪第一中学期中)若对任意的实数b,关于x的方程ax2+b(x+1)-2=x均有两个实数根,则实数a的取值范围是(　　)
A.0C.-1≤a<0　　　　D.-1≤a≤1且a≠0
5.若关于x的不等式mx2-mx-1<0对x∈{x|1≤x≤3}恒成立,则实数m的取值范围为　　　　.
6.已知关于x的方程x2-2x+a=0,当a为何值时:
(1)方程的一个根大于1,另一个根小于1
(2)方程的一个根大于-1且小于1,另一个根大于2且小于3
(3)方程的两个根都大于0
三、转化与化归思想在解不等式中的应用
7.(2026江苏苏州吴县中学月考)若命题“ x∈[1,3],使不等式x2-ax+4<0成立”是假命题,则实数a的取值范围是　　　　.
8.(2025江苏无锡南菁高级中学调研)已知正数x,y满足2x+y-xy=0,若x(y+2)-4>m2+5m恒成立,则实数m的取值范围为　　　　.
9.(2026江苏宿迁一高月考)已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(-1,2),则关于x的不等式(c-a)x2+(b-a)x+a<0的解集为　　　　;的最小值为　　　　.
答案与分层梯度式解析
专题专项练
思想方法练3
1.C　由x2-(1+3a)x+3a<0得(x-1)(x-3a)<0.
(不等式对应方程的根的大小情况不确定,所以要对两根的情况进行讨论)
若1<3a,即a>,则解不等式得1若1=3a,即a=,则不等式的解集为 ,此时解集中不含整数,满足题意.
若1>3a,即a<,则解不等式得3a综上,实数a的取值范围为.
2.解析　(1)(二次项系数含有参数,要分二次项系数为0与不为0两种情况讨论)
当m=0时,y=-1<0恒成立,满足题意;
当m≠0时,由题意得
解得-4综上所述,m的取值范围是{m|-4(2)不等式y<(m+1)x-3,即mx2-mx-1-(m+1)x+3<0,即(mx-1)(x-2)<0.
(解二次项系数含有参数的不等式时,首先要对二次项系数为正、为负、为0进行分类讨论)
当m=0时,原不等式为x-2>0,解得x>2.
当m<0时,<2,原不等式可化为(x-2)>0,解得x<或x>2.
当m>0时,原不等式可化为(x-2)<0,
与2都是正数,要对它们的大小进行分类讨论
若m=,则=2,原不等式为(x-2)2<0,无解;
若02,解原不等式得2若m>,则0<<2,解原不等式得综上所述,当m<0时,原不等式的解集为;当m=0时,原不等式的解集为{x|x>2};当0时,原不等式的解集为.
思想方法
在本章中,分类讨论思想主要应用于解含参数的不等式,有以下几种情况:
(1)二次项系数含参数且没有给出具体范围时,要分二次项系数大于0,等于0,小于0三种情况讨论;
(2)对应方程的根无法判断大小时,要分类讨论;
(3)若判别式含参数,则在确定解的情况时需分Δ>0,Δ=0,Δ<0三种情况进行讨论.
3.C　方程ax2+bx+c+a=0的两根为m,n,即ax2+bx+c=-a的两根为m,n,且m(可转化为y=ax2+bx+c的图象与直线y=-a的交点的横坐标为m,n,且m当a>0时,如图1,则x1当a<0时,如图2,则x1综上,x14.B　由ax2+b(x+1)-2=x,得ax2+(b-1)x+b-2=0.
因为对任意的实数b,方程ax2+(b-1)x+b-2=0均有两个实数根,
所以
即对任意的实数b恒成立,
所以
即解得05.答案　
解析　(结合二次函数的图象分类讨论不等式恒成立的条件)
①当m=0时,mx2-mx-1=-1<0,显然恒成立;
②当m>0时,函数y=mx2-mx-1的图象开口向上,且对称轴为直线x=,如图1,
若x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立,则需满足解得m<,此时0③当m<0时,函数y=mx2-mx-1的图象开口向下,且对称轴为直线x=,如图2,
若x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立,则需x=1时的函数值为负,m<0符合题意.
综上,实数m的取值范围是.
6.解析　(1)(一元二次方程在某区间内仅有一根,根据根的分布画出函数图象,结合图象确定区间端点函数值的符号)
由方程的一个根大于1,另一个根小于1,结合二次函数y=x2-2x+a的图象(如图1)知,当x=1时,函数值小于0,即1-2+a<0,解得a<1.因此a的取值范围是{a|a<1}.
(2)由方程的一个根大于-1且小于1,另一个根大于2且小于3,结合二次函数y=x2-2x+a的图象(如图2)知,x取-1,3时函数值为正,x取1,2时函数值为负,
即解得-3因此a的取值范围是{a|-3(3)(一元二次方程在某区间内有两根,根据根的分布画出函数图象,结合图象确定:①区间端点函数值的符号;②判别式的符号;③对称轴的位置与所给区间的关系)
由方程的两个根都大于0,结合二次函数y=x2-2x+a的图象(如图3)知,判别式不小于0,图象的对称轴在y轴右侧,且当x=0时,函数值为正,即解得0因此a的取值范围是{a|0思想方法
数形结合思想在本章中主要体现在三个“二次”的应用中,在解题时要充分利用二次函数的图象研究一元二次不等式的解集与一元二次方程的根.
7.答案　(-∞,4]
解析　由题意得“对任意的x∈[1,3],不等式x2-ax+4≥0恒成立”是真命题.
因为x∈[1,3],
所以由x2-ax+4≥0得a≤x+.
(分离参数,转化不等式)
所以a≤,1≤x≤3.
(进一步将不等式恒成立问题转化为求函数的最小值问题)
又x+≥2=4,当且仅当x=,即x=2时取等号,所以a≤4,
故实数a的取值范围是(-∞,4].
8.答案　(-6,1)
解析　(将不等式恒成立问题转化为与最值有关的问题)
x(y+2)-4>m2+5m恒成立,即[x(y+2)-4] min>m2+5m.
由2x+y-xy=0得x=.
∵x>0,y>0,∴y-2>0,
∴x(y+2)=(y+2)==y-2++6≥4+6,当且仅当y-2=,即y=2+2时取“=”,
∴x(y+2)-4≥6,
∴6>m2+5m,即m2+5m-6=(m+6)(m-1)<0,解得-6∴实数m的取值范围为(-6,1).
9.答案　(-∞,-1)∪;4-7
解析　(将不等式的解集的端点转化为对应一元二次方程的根)
由题意得a>0,且-1和2是方程ax2+bx+c=0的两个实数根,
所以-=-1+2=1,=-1×2=-2,
所以b=-a,c=-2a,
所以不等式(c-a)x2+(b-a)x+a<0可化为3x2+2x-1>0,解得x>或x<-1,
所以不等式(c-a)x2+(b-a)x+a<0的解集为(-∞,-1)∪.
利用b,c与a的关系,将转化为关于a的式子,进而求出其取值范围
====4(a+1)+-7.
因为a>0,所以a+1>1,所以4(a+1)+-7≥2-7=4-7,
当且仅当4(a+1)=,即a=-1时,等号成立,
所以的最小值为4-7.
思想方法
转化与化归思想在本章中的应用主要体现在不等式恒(能)成立问题与最值之间的转化,一元二次不等式与二次方程、二次函数之间的转化,多元变量与一元变量之间的转化等.专题专项练
专题强化练1　利用基本不等式求含条件的最大(小)值
1.(2026江苏无锡梅村高级中学检测)已知实数a>0,b>0,+=1,则2a+3b的最小值为(　　)
A.2　　　　B.3+2　　　　
C.5+2　　　　D.3+2
2.(2026湖南部分学校联考)已知a>b>0,则6a2+的最小值为(　　)
A.6　　　　B.　　　　
C.2　　　　D.4
3.(2026江苏丹阳质量检测)已知a≥0,b≥0,ab+a+b=2,则a+3b的最小值为(　　)
A.2　　　　B.3　　　　
C.2　　　　D.9-3
4.(2025江苏南通第一中学月考)已知x>0,y>0,x+y=1,则的最小值为(　　)
A.4　　　　B.　　　　
C.+2　　　　D.2+1
5.(2026江苏常州高级中学月考)已知a,b,c均为正实数,ab+ac=4,则++的最小值是(　　)
A.6　　　　B.4　　　　
C.3　　　　D.2
6.(多选题)(2026江苏丹阳质量检测)已知a,b∈(0,+∞),a2+b=4,则下列一定正确的是(　　)
A.a的最大值为2
B.+a的最大值为2
C.a2(b+4)的最大值为16
D.+的最小值为1
7.(2025福建师范大学附属中学月考)设正数a,b满足a++3=16,则+的最大值是　　　　.
8.(2025江苏扬州高邮第一中学月考)已知a>0,b>0,且ab=1,不等式++≥4恒成立,则正实数m的取值范围是　　　　.
9.(2026江苏苏州国裕外语学校检测)若x>,y>,且+=20,则+的最大值为　　　　.
10.(2026江苏盐城中学月考)已知正数a,b满足+=1.
(1)求+的最小值;
(2)求2a2+b2-4a-2b的最小值.
答案与分层梯度式解析
专题专项练
专题强化练1　利用基本不等式求含条件的最大(小)值
1.A 2.D 3.A 4.D 5.B
6.ABD
1.A　2a+3b=2(a+1)+3(b+1)-5=[2(a+1)+3(b+1)]·-5=2+3++-5=+≥2=2,当且仅当=且+=1,即a=,b=时取等号,所以2a+3b的最小值为2.
2.D　∵a>b>0,∴a-b>0,
∴b(a-b)≤=,
∴6a2+≥6a2+=6a2+≥2=4,
当且仅当时,等号成立.
故6a2+的最小值为4.
3.A　解法一:由ab+a+b=2得a=,
所以a+3b=+3b=-1++3b=+3b+3-4≥2-4=2,
当且仅当=3b+3,即a=2,b=0时,等号成立,所以a+3b的最小值为2.
解法二:由ab+a+b=2得ab+a+b+1=3,即(a+1)(b+1)=3,
(积(a+1)(b+1)为定值,求和a+3b的最小值,关键是将a+3b用a+1和b+1表示,然后利用基本不等式求解)
所以a+3b=(a+1)+3(b+1)-4≥2=6-4=2,当且仅当a+1=3(b+1),即a=2,b=0时,等号成立,所以a+3b的最小值为2.
4.D　因为x>0,y>0,x+y=1,
所以===++1≥2+1=2+1,当且仅当=且x+y=1,即x=-1,y=2-时取等号,
所以的最小值为2+1.
方法总结
目标式是分母为单项式的分式,可利用条件配凑为齐次分式,再进行变形化为可用基本不等式的形式,进而求出最值.
5.B　因为ab+ac=4,所以a(b+c)=4.
设a=x,b+c=y,则x>0,y>0且xy=4,
所以++=++=+=(x+y)+
≥2=4,当且仅当即x=y=2时,等号成立,
所以++的最小值是4.
6.ABD　对于A,a≤==2,当且仅当a=,即a=,b=2时,等号成立,
所以a的最大值为2,故A正确.
对于B,(+a)2=a2+b+2a=4+2a,
由A可知a≤2,所以4+2a≤4+2×2=8,所以+a≤2,当且仅当a=,b=2时,等号成立,所以+a的最大值为2,故B正确.
对于C,a2(b+4)=a2(8-a2)≤=16,当且仅当a2=8-a2,即a=2时,等号成立,又0对于D,+=+=≥=1,当且仅当b=4-b,即a=,b=2时,等号成立,所以+的最小值为1,故D正确.
7.答案　18
解析　因为a>0,b>0,所以16=(a+3b)+≥2=2,
所以+≤18,当且仅当a+3b=+=8时取等号,故+的最大值是18.
8.答案　[8,+∞)
解析　因为a>0,b>0,且ab=1,所以++=+=+,又++≥4,所以m≥4(a+b)-.设x=a+b,则x≥2=2(当且仅当a=b=1时,等号成立),
m≥4x-x2=-(x-4)2+8,
所以m≥=8.
9.答案　7
解析　设m=,n=,
则m>0,n>0,且m+n=20.
由m=,n=,
得x=,y=,
所以+=+
=+
=8-6+
=8-[(m+3)+(n+1)]·+
=8-2++
≤8-=7,
当且仅当即
即x=,y=时,等号成立,
所以+的最大值为7.
10.解析　(1)因为+=1,
所以a+b=ab,即(a-1)(b-1)=1.
因为a,b是正数,所以a-1>0,b-1>0,
所以+=4++9+=13++≥13+2=25,
当且仅当=时,等号成立,
所以+的最小值为25.
(2)2a2+b2-4a-2b=2(a2-2a)+(b2-2b)=2(a2-2a+1)+(b2-2b+1)-3
=2(a-1)2+(b-1)2-3.
由(1)知(a-1)(b-1)=1且a-1>0,b-1>0,所以2(a-1)2+(b-1)2≥2=2,当且仅当2(a-1)2=(b-1)2时,等号成立,
所以2(a-1)2+(b-1)2-3≥2-3,
所以2a2+b2-4a-2b的最小值为2-3.专题专项练
专题强化练2　三个“二次”的综合应用
1.(2026江苏苏州第十中学校月考)已知函数y=(m2+4m-5)x2+4(1-m)x+3对任意实数x,函数值恒大于零,则实数m的取值范围是(　　)
A.(1,19)　　　　B.[1,19)　　　　C.[1,19]　　　　D.(1,19]
2.(2026江苏盐城东台第一中学检测)已知关于x的方程x2+(m-2)x+5-m=0有两个大于2的相异实数根,则实数m的取值范围是(　　)
A.{m|-5B.{m|-5C.{m|-5D.{m|-54}
3.(多选题)(2026江苏扬州大学附属中学月考)已知函数y=-x2+ax+b(a,b∈R)有且只有1个零点,若关于x的不等式-x2+ax+b>c-1的解集为(m-4,m+1),则下列说法正确的是(　　)
A.a2+4b=0
B.a=m-3
C.c=-
D. m∈Z,使得∈Z
4.(2026江苏无锡第三高级中学月考)已知关于x的不等式a≤x2-3x+4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b},则实数b的值为(　　)
A.4　　　　B.　　　　C.　　　　D.
5.(2026江苏苏州昆山第一中学月考)若关于x的不等式(ax-1)2A.∪
B.∪
C.∪
D.∪
6.(2025江苏常州调研)已知关于x的不等式x2-mx+n<0(m,n均为实数)的解集为(x1,x2),且+=x1x2+3,则实数m的取值范围为　　　　　　.
7.(2026江苏丹阳质量检测)已知二次函数y=ax2+bx+c,其中a,b,c∈R.
(1)若关于x的不等式y>0的解集为(-1,2),解关于x的不等式bx2+4ax-6c≤0;
(2)当b≠0时,若不等式y≥ax+b对x∈R恒成立.
(i)求的取值范围;
(ii)求的最小值.
答案与分层梯度式解析
专题专项练
专题强化练2　三个“二次”的综合应用
1.B 2.B 3.ACD 4.A 5.B
1.B　当m2+4m-5=0时,m=1或m=-5.
若m=-5,则y=24x+3,其对任意实数x不可能恒大于0.
若m=1,则y=3,其对任意实数x恒大于0.
当m2+4m-5≠0时,需满足
解得1综上,实数m的取值范围是[1,19).
2.B　设方程x2+(m-2)x+5-m=0的两个实数根为x1,x2,
则由题意得
又由根与系数的关系得x1+x2=-(m-2),x1x2=5-m,
所以
解得-53.ACD　对于A,因为函数y=-x2+ax+b(a,b∈R)有且只有1个零点,所以方程-x2+ax+b=0只有一个实数根,所以Δ=a2+4b=0,故A正确.
对于B,因为不等式-x2+ax+b>c-1,即x2-ax-b+c-1<0的解集为(m-4,m+1),所以m-4,m+1为方程x2-ax-b+c-1=0的两根,所以a=m-4+m+1=2m-3,故B错误.
对于C,由上述分析知a2+4b=0,a=2m-3,所以b=-,m=.
由B中分析知,m-4,m+1为方程x2-ax-b+c-1=0的两根,所以(m-4)(m+1)=c-b-1,即m2-3m-4=c-b-1,所以-3·-4=c+-1,整理得c=-,故C正确.
对于D,易得=,显然当2m-3=1,即m=2时,为整数,故D正确.
4.A　作出函数y=x2-3x+4=(x-2)2+1的图象,如图.
由图可知,ymin=1.
当a>1时,不等式a≤x2-3x+4≤b的解集不是{x|a≤x≤b},与题意不符.
当a≤1时,由题意得,a,b是方程x2-3x+4=b的两根,所以
由b2-3b+4=b,得b=或b=4.
当b=时,由a2-3a+4=,得a=或a=,不满足a≤1;
当b=4时,由a2-3a+4=4,得a=0或a=4(舍去).
综上,实数b的值为4.
5.B　不等式(ax-1)2当a=1时,不等式为2x-1>0,解得x>,与题意不符.
当a=-1时,不等式为2x+1<0,解得x<-,与题意不符.
当a>1时,不等式为<0,解得当-10,解得x<或x>,与题意不符.
当a<-1时,不等式为x-·<0,解得综上,实数a的取值范围为-,-∪.
6.答案　(-2,2)
解析　由题意得,方程x2-mx+n=0的两根为x1,x2,所以x1+x2=m,x1x2=n.
因为+=x1x2+3,
所以(x1+x2)2-3x1x2-3=0,
所以m2-3n-3=0,
所以n=.
又Δ=m2-4n>0,所以m2-4·>0,
解得-27.解析　(1)由题意得a<0,且-1,2为方程ax2+bx+c=0的两根,所以由根与系数的关系得所以
所以不等式bx2+4ax-6c≤0,即-ax2+4ax+12a≤0(a<0),即x2-4x-12≤0,
解得-2≤x≤6,故不等式bx2+4ax-6c≤0的解集为{x|-2≤x≤6}.
(2)不等式y≥ax+b对x∈R恒成立,即ax2+(b-a)x+c-b≥0对x∈R恒成立,所以
即4ac≥b2+a2.
(i)因为a>0,所以4ac≥b2+a2的两边同时除以4a2,得≥=
=+>,
故的取值范围为.
(ii)因为4ac≥b2+a2,
所以≥=.
令t=,则t>,====++≥+2=1,当且仅当=,即t=2时取等号,所以的最小值为1.专题专项练
单元整合练1　不等式在集合、逻辑关系及二次函数中的应用
1.(2025江苏盐城八校开学考试)已知p:-1A.(-∞,2)　　　　B.(-1,+∞)
C.(-1,2)　　　　D.[2,8]
2.(2026江苏无锡锡山高级中学阶段测试)已知关于x的不等式<0的解集为S,若2∈S且6 S,则实数m的取值范围为(　　)
A.4B.2≤m<4或6C.2D.2≤m<4或63.(2026福建莆田第十中学期中)若正实数x,y满足4x+y=xy,且存在x,y使不等式x+A.-1C.m<-4或m>1　　　　D.m<-3或m>0
4.(2025江苏盐城部分学校联考)已知集合A={x|x2+2x-3>0},B={x|x2-2ax-1≤0,a>0},若A∩B中恰有一个整数,则实数a的取值范围是(　　)
A.　　　　B.　　　　
C.　　　　D.(1,+∞)
5.(多选题)(2026江苏扬州大学附属中学月考)已知m>0,n>0,关于x的不等式(2m+t)x2-(n-t)x-1<0的解集为,则下列结论正确的是(　　)
A.2m+n=1
B.mn的最大值为
C.+的最小值为4
D.+的最小值为3+2
6.(2026江苏无锡梅村高级中学阶段测试)若命题p: x∈R,ax2-ax<-1为假命题,则实数a的取值范围为　　　　.
7.(2025江苏扬州期中)已知非空集合A={x|m8.(2026江苏昆山柏庐高级中学月考)当x>0时,关于x的不等式(ax-1)(x2+bx-4)≥0恒成立,则b+的最小值为　　　　.
9.(2026江苏昆山巴城高级中学月考)对于二次函数y=mx2+nx+t(m≠0),若存在x0∈R,使得m+nx0+t=x0成立,则称x0为二次函数y=mx2+nx+t(m≠0)的不动点.
(1)求二次函数y=x2-x-3的不动点;
(2)若二次函数y=2x2-(3+a)x+a-1有两个不相等的不动点x1,x2,且x1,x2>0,求+的最小值;
(3)若对任意的实数b,二次函数y=a1x2+(b+1)x+(b-1)(a1≠0)恒有不动点,求实数a1的取值范围.
答案与分层梯度式解析
专题专项练
单元整合练1　不等式在集合、逻辑关系及二次函数中的应用
1.C 2.D 3.C 4.B 5.ABC
1.C　解x2-(2a+1)x+a2+a≤0,得a≤x≤a+1,所以q:a≤x≤a+1.
因为p是q的必要不充分条件,
所以{x|a≤x≤a+1} {x|-1所以解得-12.D　由2∈S,可得<0,即(2m-12)·(4-m)<0,解得m<4或m>6;
由6 S,得≥0或36-m=0,
即或m=36,
解得2≤m<36或m=36,即2≤m≤36.
综上所述,2≤m<4或63.C　因为存在x,y使不等式x+.
由4x+y=xy,得+=1,所以x+==2++≥2+2=4,当且仅当=,即x=2,y=8时,等号成立,所以x+的最小值为4,所以m2+3m>4,
解得m<-4或m>1.
4.B　解不等式x2+2x-3>0,得x<-3或x>1,所以A={x|x<-3或x>1}.
解不等式x2-2ax-1≤0,得a-≤x≤a+,所以B={x|a-≤x≤a+}.
因为a>0,所以a+1>,
所以-1因为A∩B中恰有一个整数,
所以2≤a+<3,
即即
解得≤a<.
5.ABC　因为关于x的不等式(2m+t)x2-(n-t)x-1<0的解集为,所以-1和是关于x的方程(2m+t)x2-(n-t)x-1=0的两根且2m+t>0,
所以所以
所以2m+n=1,故A正确;
因为m>0,n>0,所以2m+n=1≥2,解得mn≤,当且仅当2m=n,即m=,n=时取等号,所以mn的最大值为,故B正确;
+=+=2++
≥2+2=4,
当且仅当=,即m=n=时取等号,所以+的最小值为4,故C正确;
因为2m+n=1,所以2(m+1)+n+2=5,
所以+=[2(m+1)+(n+2)]=
≥=,
当且仅当=,即m=4-,n=5-7时取等号,所以+的最小值为,故D错误.
6.答案　[0,4]
解析　因为命题p: x∈R,ax2-ax<-1为假命题,所以命题 x∈R,ax2-ax≥-1为真命题,即ax2-ax+1≥0在x∈R上恒成立.
当a=0时,不等式为1≥0,在x∈R上恒成立,符合题意.
当a≠0时,需满足a>0且Δ=(-a)2-4a≤0,即a(a-4)≤0,解得0综上,实数a的取值范围为[0,4].
7.答案　-3
解析　因为A为非空集合,所以m所以B==={x|(x-m)(x-n)<0}={x|m因为A=B,所以m<(x2-3x+3)min,
所以m<.
易知m,n是方程x2-3x+3=n的两个不相等的实数根,所以m+n=3,mn=3-n,所以m=0,n=3或m=2,n=1(舍去),所以m-n=-3.
8.答案　4
解析　易知a≠0.
当a<0时,由x>0可得ax-1<0,所以(ax-1)(x2+bx-4)≥0,即x2+bx-4≤0,易知函数y=x2+bx-4的图象开口向上,所以x2+bx-4≤0不恒成立,不满足题意;
当a>0时,若x>,则ax-1>0,若0时,x2+bx-4≥0,当09.解析　(1)令x2-x-3=x,则x2-2x-3=0,
即(x-3)(x+1)=0,解得x=-1或x=3,
所以二次函数y=x2-x-3的不动点为-1和3.
(2)由题意得,方程2x2-(3+a)x+a-1=x有两个不相等的正实数根x1,x2,即方程2x2-(4+a)x+a-1=0有两个不相等的正实数根,所以
解得a>1,
易得+==
=-2=-2
=-2=-2
=-2
=++3.
因为a>1,所以a-1>0,
所以++3
≥2+3=8,
当且仅当=,即a=6时,等号成立,所以+的最小值为8.
(3)由题意得,对任意的实数b,方程a1x2+(b+1)x+(b-1)=x(a1≠0)有解,即方程a1x2+bx+(b-1)=0有解,所以Δ=b2-4a1(b-1)≥0,即b2-4a1b+4a1≥0.
又b是任意实数,所以Δ'=(-4a1)2-16a1≤0,即a1(a1-1)≤0,解得0≤a1≤1,又a1≠0,所以0所以实数a1的取值范围是(0,1].

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