资源简介

三年模拟练
应用实践
1.(2025江苏百校联考)二维码与生活息息相关,我们使用的二维码主要是21×21大小的,含有441个像素点.根据0和1的二进制编码,一共有2441种不同的码.假设我们1秒钟用掉1万个二维码,1万年约为3×1011秒,那么所有这种大小的二维码大约可以用(参考数据:lg 2≈0.3,lg 3≈0.5)(　　)
A.10117万年　　　　B.117万年
C.10205万年　　　　D.205万年
2.(2026广东深圳外国语学校期中)深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法,它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中,指数衰减的学习率模型为L=L0,其中L表示每一轮优化时使用的学习率,L0表示初始学习率,D表示衰减系数,G表示训练迭代轮数,G0表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5,衰减速度为18,且当训练迭代轮数为18时,学习率为0.4,则学习率衰减到0.2以下(不含0.2)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据:lg 2≈0.3)(　　)
A.72　　　　B.73　　　　C.74　　　　D.75
3.(2026江苏淮安高中协作体联考)若logab+logba=,ab=ba,则ab=(　　)
A.6　　　　B.7　　　　C.8　　　　D.9
4.(2026江苏南京第二十九中学期中)已知a>0,b>0,log9a=log6b=log4(a-b),则=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
5.(2026山东名校考试联盟检测)已知X>0,Y>0,Xln X·Yln Y=,XY=e,则Xln YYln X=(　　)
A.e　　　　B.　　　　C.1　　　　D.
6.(2025江苏泰州兴化调研)6lg 40×5lg 36=　　　　.
迁移创新
7.(2025江苏泰州检测)(1)因为210=1 024∈(103,104),所以210的位数为4(一个自然数数位的个数,叫作位数),试判断2 0222 023的位数;(参考数据:lg 2 022≈3.306)
(2)围棋和魔方都是能锻炼思维的益智游戏,围棋复杂度的上限约为M=3361,二阶魔方复杂度的上限约为N=560×38,甲、乙两名同学都估算了的近似值,甲认为是10160,乙认为是10165.现有一种定义:若实数x,y满足|x-m|<|y-m|,则称x比y接近m,试判断哪名同学的近似值更接近,并说明理由.(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48,lg 7≈0.85)
答案与分层梯度式解析
三年模拟练
1.A 2.B 3.C 4.C 5.B
1.A　由题意知,所有这种大小的二维码大约可以用万年.
易知lg=lg=lg 2441-lg(3×1015)=441lg 2-lg 3-15≈441×0.3-0.5-15≈117,所以=10117,即大约可以用10117万年.
2.B　由题意得L0=0.5,G0=18,所以L=0.5.又当G=18时,L=0.4,所以0.4=0.5,解得D=0.8,所以L=0.5×0..
令L<0.2,即0.5×0.<0.2,得0.<0.4,
所以>==≈=4,所以G>4×18=72,
所以学习率衰减到0.2以下(不含0.2)所需的训练迭代轮数至少为73.
3.C　因为logab+logba=,所以logab+=,所以2(logab)2-5logab+2=0,解得logab=或logab=2,所以b=或b=a2.
当b=时,由ab=ba得=()a,所以=,又a>0,所以a=4,所以b=2,所以ab=8.
当b=a2时,由ab=ba得=(a2)a,所以a2=2a,又a>0,所以a=2,所以b=4,所以ab=8.
综上,ab=8.
4.C　令k=log9a=log6b=log4(a-b),
则a=9k,b=6k,a-b=4k,
所以
由②得--1=0,解得=,
所以=.
5.B　因为Xln XYln Y=,XY=e,
所以ln(Xln XYln Y)=(ln X)2+(ln Y)2=ln=,ln(XY)=ln X+ln Y=ln e=1,
所以(ln X+ln Y)2=+2ln Xln Y=1,
所以ln Xln Y=,
所以ln(Xln YYln X)=2ln Xln Y=,
所以Xln YYln X=.
6.答案　216
解析　设6lg 40=x,5lg 36=y,则lg 40=log6x,lg 36=log5y,即lg 40=,lg 36=,
所以lg x=lg 40×lg 6,lg y=lg 36×lg 5,
所以lg x+lg y=lg 40×lg 6+lg 36×lg 5=lg 40×lg 6+2lg 6×lg 5=lg 6×(lg 40+lg 52)=3lg 6=lg 63,即lg xy=lg 63,所以xy=63=216,所以6lg 40×5lg 36=xy=216.
7.解析　(1)解法一:设10k<2 0222 023<10k+1,k∈N*,则k∴k<2 023lg 2 022∴k<2 023×3.306∴6 687.038∵k∈N*,∴k=6 688,∴k+1=6 689,
∴2 0222 023的位数为6 689.
解法二:设2 0222 023=N(N>0),
则2 023lg 2 022=lg N,
∴2 023×3.306≈lg N,∴lg N≈6 688.038,
∴N=106 688.038=100.038×106 688.
∵1<100.038<10,
∴106 688<106 688×100.038<106 689,
故2 0222 023的位数为6 689.
(2)乙同学的近似值更接近.理由如下:
∵M=3361,N=560×38,
∴==,
∴lg=lg 3353-lg 560=353lg 3-lg 7-3lg 2-1≈353×0.48-0.85-0.9-1=166.69,∴=10166.69,
∵|10165-10166.69|<|10160-10166.69|,
∴乙同学的近似值更接近.
素养评析
本题第(1)问考查逻辑推理、数学运算的核心素养,要求学生能够在关联的情境中进行指数式与对数式的互化;第(2)问考查数学抽象、数学运算的核心素养,要求学生能够根据新定义进行计算、判断.五年高考练
考点1　指数式与对数式的恒等变形
1.(2021天津,7)若2a=5b=10,则+=(　　)
A.-1　　　　B.lg 7　　　　
C.1　　　　D.log710
2.(2022天津,6)化简(2log43+log83)·(log32+log92)=(　　)
A.1　　　　B.
C.2　　　　D.
3.(2022浙江,7)已知2a=5,log83=b,则4a-3b=(　　)
A.25　　　　B.5　　　　
C.　　　　D.
4.(2024全国甲理,15)已知a>1且-=-①,则a=　　　　.
①心中有“数”　换底公式,对数的运算性质
考点2　指数、对数的实际应用
5.(2021全国甲理,4)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　)
A.1.5　　　　B.1.2　　　　
C.0.8　　　　D.0.6
6.(2025北京,9)一定条件下,某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间T=klog2N(单位:h),其中k为常数.在此条件下,已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时,训练时间增加20 h;当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加(　　)
A.2 h　　　　B.4 h　　　　
C.20 h　　　　D.40 h
7.(多选题)(2023新课标Ⅰ,10)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级:
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60~90
混合动力汽车 10 50~60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则(　　)
A.p1≥p2　　　　B.p2>10p3
C.p3=100p0　　　　D.p1≤100p2
学科竞赛
8.(2025全国中学生数学奥林匹克竞赛预赛暨全国高中数学联合竞赛)若log3(9x)+log27(3x)=2log9(27x), 则正数 x 的值为　　　　.
9.(2025全国中学生数学奥林匹克竞赛江苏赛区预赛)方程=的解集为　　　　.
强基计划
10.(2025山东大学强基计划)已知a,b,c,d∈N*,logab=,logcd=,a-c=9,则b-d=　　　　.
11.(2024福建厦门大学强基计划)[x]表示不超过x的最大整数,则[lg k]+=　　　　.
答案与分层梯度式解析
五年高考练
1.C 2.C 3.C 5.C 6.B
7.ACD
1.C　∵2a=10,∴a=log210,则=lg 2,同理可得=lg 5,∴+=lg 2+lg 5=1.
2.C　原式=·=log23×log32=2.
3.C　由log83=b,得8b=23b=3,
所以4a-3b====.
4.答案　64
思路点拨
　　注意4和8都是与2有关的数,且8在底数的位置,4在真数的位置,所以考虑利用公式logaMn=nlogaM和logab=将等式转化为关于log2a的方程,进而求解.
解析　易得-=-log2a=-,整理,得(log2a)2-5log2a-6=0,解得log2a=-1或log2a=6.因为a>1,所以log2a=6=log226,所以a=26=64.
5.C　将L=4.9代入L=5+lg V,得4.9=5+lg V,即lg V=-0.1=-=lg 1,
∴V=1=≈≈0.8,
∴其视力的小数记录法的数据约为0.8.
6.B　设三次训练的时间分别为T1 h,T2 h,T3 h.
由题意得T1=klog2106,T2=klog21.024×109=k(log21 024+log2106)=k(log2106+10),两式相减得T2-T1=10k=20,解得k=2,则T3-T2=2log24.096×109-2(log2106+10)=2(log2106+12)-2(log2106+10)=4.
7.ACD　p0,p1,p2,p3均大于0,∵-=20×lg -20×lg =20×lg ≥0,
∴≥1,∴p1≥p2,故A正确;
∵-=20×lg ≥10,∴lg ≥,∴≥,∴p2≥p3,故B错误;
∵=20×lg =40,∴=100,∴p3=100p0,故C正确;
∵-=20×lg≤90-50=40,
∴lg≤2,∴≤100,∴p1≤100p2,故D正确.
8.答案　9
解析　设k=log3x,
则log3(9x)=log39+log3x=2+k,
log27(3x)===.
log9(27x)===
.
因为log3(9x)+log27(3x)=2log9(27x),
所以2+k+=2×,解得k=2,
所以k=log3x=2,所以x=9.
9.答案　{2,8}
解析　因为=,
所以log4x=logx,
所以由换底公式得===,
整理,得(ln x)2-4ln 2ln x+3(ln 2)2=0,
所以(ln x-ln 2)(ln x-3ln 2)=0,
解得ln x=ln 2或ln x=3ln 2=ln 8,
所以x=2或x=8,
所以原方程的解集为{2,8}.
10.答案　93
解析　因为logab=,logcd=,
所以b==()3,d==()5.
设a=m2,c=n4(m,n∈N*),则a-c=m2-n4=9,即(m+n2)(m-n2)=9.
因为a,b,c,d∈N*,所以有以下两种可能:
①m+n2=3,m-n2=3,此时m=3,n=0(舍去);
②m+n2=9,m-n2=1,此时m=5,n=2.
所以b=()3=125,d=()5=32,所以b-d=93.
11.答案　-2 020
解析　若x是整数,则[x]+[-x]=x+(-x)=0;
若x不是整数,则x-[x]∈(0,1),所以1-x+[x]∈(0,1).
易知-[x]-1是整数,-x=-[x]-1+(1-x+[x]),所以由1-x+[x]∈(0,1),知[-x]=-[x]-1,即[x]+[-x]=-1.
记ak=[lg k]+=[lg k]+[-lg k].
对于1≤k≤ 2 024,当k∈{1,10,100,1 000}时,lg k是整数,所以ak=0.
当k {1,10,100,1 000}时,lg k不是整数,所以ak=-1.
所以[lg k]+
=([lg k]+[-lg k])=ak=-1×(2 024-4)=-2 020.

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