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第七章 命题与证明
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分,每小题给出的选项中只有一个选项符合题意)
1.如图,已知 , 借助量角器判断, 射线 OA 可能经过的点是( )
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
2.下列语句中,属于命题的是 ( )
A. 过点A作AM⊥BC
B. 作∠P的平分线
C. 三角形的内角和等于360°
D. 16的相反数是-16吗
3.如图, ,若 ,则 的度数是 ( )
A. B. C. D.
4.给出下列 5 命题，其中真命题的个数为（ ）
①两个锐角之和一定是钝角；②直角小于平角；③同位角相等，两直线平行；④内错角互补，两直线平行；⑤如果a＜b，b＜c，那么a＜c．
A.4 B. 3 C. 2 D. 1
5. 已知直线 BC, 嘉嘉和琪琪想画出 BC 的平行线, 她们的方法如下:
则下列判断正确的是 ( )
A. 嘉嘉和琪琪的方法都正确
B. 嘉嘉的方法不正确, 琪琪的方法正确
C. 嘉嘉的方法正确, 琪琪的方法不正确
D. 嘉嘉和琪琪的方法都不正确
6. 如图，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，下列结论正确的是（ ）
A. ∠α+∠β ∠γ=90
B. ∠α ∠β+∠γ=180
C. ∠γ+∠β ∠α=90
D. ∠α+∠β+∠γ=180
7.为响应国家新能源建设, 某市公交站装上了太阳能电池板. 当地某一季节的太阳光线 (平行光线) 与水平线最大夹角为 , 如图, 电池板 AB 与最大夹角时刻的太阳光线互相垂直, 此时电池板 CD 与水平线夹角为 , 要使 , 需要将电池板 CD 逆时针旋转 m 度 (0 < m < 90), 则 m =( )
A. 24 B. 20 C. 44 D. 160
8.如图(1)是 的一张纸条,按图(1)→图(2)→图(3)的方式把这张纸条先沿 折叠并压平,再沿 折叠并压平,若图(3)中 ,则图(2)中 的度数为 ( )
图(1) 图(2) 图(3)
A. B. C. D.
9.小明制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度,方法如下:将刻度重新设计的量角器固定在含45°角的三角板上,使量角器的90°刻度线与三角板的底边平行.将用细线和铅锤做成的重锤线顶端固定在量角器中心点O 处,现将三角板底边紧贴被测物体表面,如图所示,此时重锤线在量角器上对应的刻度为 ,那么被测物体表面的倾斜角 为( )
A. B. C. D.
10.某汽车的变速箱有 1~6 号齿轮受电脑程序控制,这些齿轮在工作中的程序如下:
①如果1号转动,那么2号转,5号不转;
②如果2号或者5号转动,那么4号不转;
③3号和4号可以同时转,不能同时不转;
④5号和6号必有一个在转动.
若 1 号齿轮转动,则同时转动的其他三个齿轮是 ( )
A. 2 号、3 号和 6 号 B. 3 号、4 号和 5 号
C. 2 号、4 号和 6 号 D. 2 号、5 号和 6 号
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
11.把命题“同旁内角互补”写成“如果…，那么…．”的形式为 ________ .
12.判断命题“如果 n<1 ，那么 ”是假命题，只需举出一个反例．请你举出一个反例： n=________ .
13.如图,某工程队从A点出发,沿北偏西63°方向修一条公路AD,但在BD路段出现塌陷区,就改变方向,在B点沿北偏东25°的方向继续修建BC路段,到达C点又改变方向,使所修路段CE//AB,则∠ECB=________°.
14.如图,已知 , , CM 平分 , , 则 的度数为________ .
15.如图, , 点F为CD与BE的交点, 点P是BC上一点, 连接PF.
(1) 的度数为 ________;
(2)若 ，则 CE 与 PF ________（填“平行”或“不平行”）.
16.防汛指挥部在长江一危险地带两岸各安置了一探照灯,便于夜间查看江水及两岸河堤的情况,如图,假定这一带长江两岸河堤是平行的,即 ,灯A的光线AG自AM逆时针旋转至AN便立即回转,灯B的光线BH自BP逆时针旋转至BQ便立即回转,两灯不停地照射巡视.灯A转动的速度是4°/秒,灯B转动的速度是1°/秒,若灯B先转动20秒,灯A才开始转动,在灯A的光线AG首次返回到AM之前,灯A转动________秒时,两灯的光线互相平行.
三、解答题(本大题共6小题,共66分)
17.已知:如图, , .求证: .
18.如图,有以下四个条件:①AC//DE;②DC//EF;③CD 平分∠BCA;④EF 平分∠BED.请在以上四个条件中选择三个作为条件,余下的一个作为结论,写出一个真命题,并给予证明.
19.如图,已知B,C,E三点在同一直线上,A,F,E三点在同一直线上, .求证:
(1) ;
(2)
20.如图,已知 .
(1)试判断 AF 与 DE 的位置关系,并说明理由;
(2)若 平分 , 交 于 , 交 的延长线于点 , 且 , 求证: .
21.某次数学竞赛中有五道选择题,每题1分,每道题的A、B、C三个选项中,只有一个是正确的.下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题选择的答案和得分(不完整):
第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 得分
甲 C C A B B 4分
乙 C C B B C 3分
丙 B C C B B 2分
丁 B C C B A
甲同学错的是第________题；
求丁同学的得分；
如果有一个同学得了1分,他的答案可能是________. (写出一种即可)
22.14 分) 如图, , 直线 分别交 于点 , 点 为直线 上的点, 连接 .
【初步探究】
(1)如图(1)，当点 在线段GH上时，请你直接写出 的数量关系；
【深入探究】
(2)如图(2)，当点P在线段HG的延长线上等时，CP交AB于点Q，连接HQ,AC.若 ，求证：AC//EF；
【拓展延伸】
(3)如图(3)，在(2)的条件下，CK平分 平分 ，连接AK.若 ，求 的度数
图(1) 图(2) 图(3)
答案及评分细则
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A B B C B C C A
11. 如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补.
12. ；13. 92；14. 15. (1) ， (2) 平行；16. 或 68.
17.【证明】∵ (已知)，∴ (两直线平行，内错角相等). ……(2分)
∵ BC // EF (已知), ∴ (两直线平行, 同旁内角互补). ……(4分)
∵ (对顶角相等), ……(6分)
∴ (等量代换). ……(8分)
【解】(答案不唯一)真命题:若 , , 平分 , 则 平分 . ……(4 分)
证明: 平分 , . , , .
……(6 分)
, 即 平分 . ……(10 分)
19.【证明】(1)∵∠2=∠E,∴AD∥BC, ∴∠3=∠DAC. ……(4分)
(2)由(1)得 又∵ ∴ ……(6 分)
即 ，……(8分)
(10分)
(1)【解】 ，理由如下：∵ ， ∴ . ……(2 分)
……(5分)
(2)【证明】∵ ……(7 分)
∵ AF // DE, ∴ . ∵ AQ 平分∠FAC,∴∠CAQ=∠FAH=70°. ……(10分)
……(12分)
21.【解】(1)如果甲选错了第一题,那么其余四道题全对,针对于乙来看,第二、四题选对了,得2分,而乙实际得3分,所以此种情况不符合题意.
如果甲选错了第二题,那么其余四道题全对,针对于乙来看,第一、四题选对了,得2分,而乙实际得3分,所以此种情况不符合题意.
如果甲选错了第三题,那么其余四道题全对,针对于乙来看,第一、二、四题选对了,得3分,所以第3题乙也选错了,所以第三题的正确选项是C;针对于丙来看,第二、三、四、五题选对了,得4分,而丙实际得2分,所以此种情况不符合题意.
如果甲选错了第四题,那么其余四道题全对,针对于乙来看,第一、二题选对了,得2分,而乙实际得3分,所以此种情况不符合题意.
如果甲选错了第五题,那么其余四道题全对,针对于乙来看,第一、二、四题选对了,
得 3 分, 所以第五题乙也选错了, 所以第五题的正确选项是 A; 针对于丙来看, 第二、四题选对了, 得 2 分, 所以此种情况符合题意.
故答案为五. ……(5 分)
由(1)知这五道题的正确答案是C、C、A、B、A,所以丁同学答对了第二、四、五题,所以丁同学得3分.……(8分) 　
(3)如果有一个同学得了1分,他的答案可能是C、A、C、C、C.故答案为C、A、C、C、C(答案不唯一).……(12分)
22. (1)【解】 . ……(4分)
如图(1)，过点 P 作
图(1)
【证明】如图(2)，过点 Q 作 ， ……(5分)
……(8分)
图(2)
(3)【解】如图(3).∵CK平分∠ACP,GK平分∠AGP,∴∠1=∠2=21°,∠3=∠4, ……(9 分)
图(3)
∴ 即 解得 ……(11分)
作 . ，即 . 的度数是 . ……(14 分)

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