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第五章 二元一次方程组
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分,每小题给出的选项中只有一个选项符合题意)
1.下列各方程中，是二元一次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 若是二元一次方程的解，则的值为（ ）
A. 1 B. C. D.
3.用代入法解二元一次方程组 时,最适宜的变式是 ( )
A. 由①得 B. 由①得
C. 由②得 D. 由②得
4.利用加减消元法解方程组 时,嘉嘉说:“要消去 x,可以将①×3-②×5.”淇 淇说:“要消去 y,可以将①×3+②×2.”关于嘉嘉和淇淇的说法, 下列判断正确的是( )
A. 嘉嘉对, 淇淇不对 B. 嘉嘉不对, 淇淇对
C. 嘉嘉和淇淇都对 D. 嘉嘉和淇淇都不对
5. 老师设计了一个解方程组的接力游戏, 学习小组的四个成员每人做一步, 每人只能看到前一人给的步骤, 并进行下一步计算, 再将结果传递给下一个人, 用合作的方式完成该方程组的解题过程, 过程如图所示, 合作中出现错误的同学是 ( )
A.甲 B.丙 C.乙和丁 D.甲和丙
6. 我国明代数学著作《算法统宗》记载：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤”（注：古秤十六两为一斤，故有“半斤八两”这一成语）．其大意是：隔着墙壁听见客人在分银两，不知人数不知银两的数量，若每人分七两，还多四两：若每人分九两，则还差八两”．若设共有名客人，两银子，可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
7.已知直线 与直线 相交于点 ，则关于 的方程组 的解为 ( )
A. B. C. D.
8.如图,数轴上有若干个点,每相邻两点相距1个单位长度,其中点A,B,C,D对应的数分别是整数a,b,c,d,且d-2a=12,则b+c的值为 ( )
A.-3 B.-1 C.3 D.1
9.“换元法”是解决数学问题的重要思想方法,若方程组 的解是 则方程组 的解为 ( )
A. B. C. D.
10.《乌鸦喝水》的故事我们都听过,聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中,水位上升后,喝到了水.根据如图信息,若放入1个钢珠可以使液面上升 ,当在玻璃桶内同时放入相同数量的小球和钢珠时,水位上升到 ,则 的整数值有 ( )
2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
11.若：，则________.
12.一个二元一次方程组的解是 试写出一个符合要求的方程组：________.
13.对于关于 的二元一次方程组 佳佳通过计算发现,无论 取何值, 的值始终不变,则这个值是________.
14.若 是三元一次方程组 的解，则 k 的值是 ________.
15.小华和爸爸一起玩“掷飞镖”游戏.游戏规则为站在5米外朝飞镖盘扔飞镖,若小华投中1次得5分,爸爸投中1次得3分.结果两人一共投中了20次,经过计算发现爸爸的得分比小华的得分多4分.设小华投中的次数为x,爸爸投中的次数为y,根据题意列出的方程组是________.
16. 定义: 我们把直线 与直线 的交点称为直线 的“不动点”. 例如求直线 的“不动点”: 联立方程 解得 则直线 的“不动点”为点 . 若直线 的“不动点”为点(n-1, 3),则m的值为________,n的值为________.
三、解答题(本大题共6小题,共66分)
17.解方程组：
(1)；
(2)．
18.已知关于x,y的方程组 与 有相同的解.
(1)求这个相同的解；
(2) 求 的值；
(3) 若 (1) 中的解也是关于 的方程 的解, 求 的值.
19.暑假将至,为满足消费者需求,某超市提供了某品牌的冰淇淋和雪糕,每支冰淇淋的进价比每支雪糕的进价多2元,购进10支冰淇淋和购进15支雪糕的价钱相等.
(1)求一支冰淇淋和一支雪糕的进价.
(2)超市购进该品牌的冰淇淋10箱,雪糕20箱,每箱均有10支冰淇淋或雪糕,因为保温不当,在实际运输中导致冰淇淋和雪糕各1箱不能售出,商店决定按进价的150%出售,但出售完3箱冰淇淋和6箱雪糕后发现冰淇淋销量不佳,决定将每支冰淇淋的售价降低a元,最终获利35%,求a的值.
20.如图,直线 和直线 相交于点A,点B,C分别为直线 、直线 与y轴的交点.
(1)求点 A 的坐标;
(2) 求 的面积;
(3)在 轴上有一动点 , 过点 作 轴的垂线, 分别交直线 和直线 于点 , 若 , 求出此时点 的坐标.
21.某生产教具的厂家准备生产正方体教具,教具由塑料棒与金属球组成(一条棱用一根塑料棒,一个顶点由一个金属球镶嵌),并且根据材质优劣分为高档、中档和低档三种档次进行包装.
(1)该厂家的一个车间负责生产正方体教具,该车间共有33名工人,每名工人每天可生产塑料棒100根或者金属球80个,如果你是车间主任,你会如何分配工人成套生产正方体教具
(2)现某中学购买两种档次的正方体教具共100套(价格如表所示),若恰好用了1800元,请问该学校应该如何购买该教具
档次 高档 中档 低档
价格(元/套) 30 20 10
22. 2024年4月,无人快递车在南京市的城市道路上正式“上岗”.现有一条笔直的路上依次有 三个快递网点,其中 两网点相距1000米.甲、乙两无人快递车分别从 两网点同时出发,匀速行驶去往目的地 .图中 分别表示甲、乙两车与 地的距离 (米)与行驶时间 (分)的函数关系图象.
(1)直线 OA 的函数表达式为 ________；
(2)出发后甲无人快递车行驶多长时间,与乙无人快递车相遇 (3)[偏难]甲无人快递车到 P 网点后,再经过 1 分乙无人快递车也到 P 网点,求 P,N 两网点间的距离.
答案及评分细则
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A B B B B A A D C
11.5 　12. (答案不唯一) 　13.1.5　14. 15　 15. 　 16. 2
17.【解】（1）解：，
得：，……(2分)
把代入①得：，……(3 分)
∴方程组的解是；……(4分)
（2），整理为：，……(5分)
得：， ……(6分)
把代入，
∴，……(7分)
∴方程组的解为．……(8分)
18.【解】(1)因为两方程组有相同的解,所以可将两方程组重新组合得到方程组 ① ② 解 ① 得 故这个相同的解为 ……(3分)
将 代入②得 ……(5分)
解得 ……(7分)
将 代入 , 得 , 解得a=1. ……(10分)
19.【解】(1)设一支冰淇淋的进价为 x 元,一支雪糕的进价为 y 元,则由题意得 ……(4 分)
解得 答:一支冰淇淋的进价为6元, 一支雪糕的进价为4元. ……(6分)
根据题意可得, , 解得 . 答: 的值为 1.
……(10分)
20.【解】(1) 解得 所以点A的坐标为(1,3).……(4分)
(2)当 x=0 时, y= x+4=4, 所以点 B 的坐标为 (0,4); 当 x=0 时, y=2x+1=1, 所以点 C 的坐标为 (0,1), 所以 =3, 所以 , 即 的面积为 . ……(8 分)
(3)由题意得, , , 所以 ，解得 a = 7 或 5，所以点 P 的坐标为 (7,0) 或 . ……(12 分)
21.【解】(1)设安排 x 名工人生产塑料棒,则安排 名工人生产金属球.
依题意得 (3分)
解得 x=18, 所以 33 x=33 18=15.
答:应安排 18 名工人生产塑料棒,15 名工人生产金属球. ……(5 分)
因为正方体教具的均价为 (元/套)，所以只有购买高档、低档和购买中档、低档两种情况.……(6分)
当购买高档、低档正方体教具时，设购买高档正方体教具 套，低档正方体教具 套.依题意得 解得
所以学校购买高档正方体教具40套,低档正方体教具60套. ……(8分)
当购买中档、低档正方体教具时，设购买中档正方体教具 m 套，低档正方体教具 n 套. 依题意得 解得
所以学校购买中档正方体教具80套,低档正方体教具20套. ……(10分)
答:该学校应购买高档正方体教具40套,低档正方体教具60套或购买中档正方体教具80套,低档正方体教具20套. ……(12分)
22.【解】(1) 设直线 的函数表达式为 , 将 代入 得 ,
解得 k=200, 所以直线 OA 的函数表达式为 y=200x. 故答案为 y=200x. (4 分)
设直线 的函数表达式为 .
将(0,1 000),(10,0)代入 得
……（6分）
解得 所以直线BC的函数表达式为 . 联立两直线函数表达式组成方程组, 得 ……(8分)
解得
所以出发后甲无人快递车行驶 分,与乙 无人快递车相遇. ……(10 分)
根据题意得 , ……(12分)
解得 x=3, 所以 ,
所以 P, N 两网点间的距离为 1 000 600 = 400(米). ……(14 分)

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