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高一数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．已知全集，集合，，则（　　）
A． B．
C． D．
2．命题，的否定是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
3．不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
4．设，则“”是“”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式
的解集是（　　）
A． B．
C． D．
6．已知集合，，若，则所有的取值构成的集合为（　　）
A． B．
C． D．
7．若方程有两个不相等的实数根，且仅有一个根在区间内，则实数的
取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
8．已知命题：“，”，命题：“，”．若两个命题
中全称量词命题是假命题，另一个命题是真命题，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
9．下列命题为假命题的是（　　）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．若，，则
C．方程有两个负根的充要条件是
D．已知集合，且，则的取值构成的集合为
10．设正实数，满足，则（　　）
A．有最大值为
B．有最小值为
C．有最大值为
D．有最小值为
11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函
数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，
，高斯函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“高斯函数”进
行计费，以下关于“高斯函数”的描述，正确的是（　　）
A．不等式的解集为
B．若，恒成立，则实数
C．不等式的解集为
D．若不等式的解集为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．不等式的解集为，则________．
13．不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围为________．
14．对于实数，，，记为，，中的最大者，例如：，
，．设实数，，，且或，则
的最小值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）（1）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；
（2）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
16．（15分）计算下列各式的值．
（1）；
（2）；
（3）已知，，为正实数，，，求的值．
17．（15分）已知集合，集合．
（1）若，求的取值范围；
（2）在中有且仅有两个整数，求的取值范围．
18．（17分）（1）已知，且，求的最小值；
（2）已知，若，求的最大值．
19．（17分）若集合，其中，，…，为非空集合，
，则称集合为集合的一个划分．
（1）写出集合的所有不同的2划分；
（2）设为有理数集的一个2划分，且满足对任意，任意，都有，判断命
题“中的元素存在最大值，中的元素存在最小值．”的真假，并说明理由；
（3）设集合，对于集合的任意一个3划分，证明：存在，存
在，，使得．
一、单选题
1．A
2．A
3．A
4．B
5．B
6．D
7．D
8．B
二、多选题
9．ACD
10．ABD
11．BD
12．
13．
14．
15．【详解】（1）因为对一切恒成立
①当时，恒成立，所以符合题意
②当时，，则
综上，的取值范围为． 6分
（2）因为不等式对一切恒成立
所以对一切恒成立
令，则
，
所以或
所以的取值范围为． 13分
16．【详解】（1）
； 5分
（2）． 10分
（3），，为正实数，，
设，
由指数与对数的互换，结合换底公式化简可知
，所以，
，所以，
，所以，
因为，
则，即，
所以，
即． 15分
17．【详解】（1）由，所以．
由，
因为，所以，
当时，即时，不等式为，显然该不等式解集为空集，
即，显然成立；
当时，即时，，
要想，只需，而，所以；
当时，即时，，
要想，只需，而，所以，
综上所述：的取值范围为； 7分
（2）由（1）可知：当时，，此时不符合题意；
由（1）可知：当时，，
要想中有且仅有两个整数，只需，或，
由，显然，所以，
由，
所以；
由（1）可知：时，，
要想中有且仅有两个整数，只需，或，
由，而，即，
由，
所以，
综上所述：的取值范围为． 15分
18．【详解】（1） 8分
（2）因为，所以，
所以，，
解得或，
因为，所以，
所以，所以， 12分
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为． 17分
19．【答案】（1），， 4分1个1分，写全得4分
（2）该命题为假命题，理由如下：
假设命题为真，则不妨设中元素的最大值为，中元素的最小值为，由题可知：，所以
，
因为为中元素的最大值，所以，
因为为中元素的最小值，所以，
因为，所以，
这与矛盾，所以假设不成立，即命题不可能成立； 10分
（3）由于集合中有16个元素，所以，，中至少有一个集合至少包含6个元素，
不妨设中至少包含6个元素，
设，，，，，，且，
假设对任意，对任意，，都有，
那么，，，，，
又因为，，，，，
所以，，，，
则，中必有一个集合至少包含，，，，中的3个元素，
不妨设这3个元素为，，，，
由假设可知：，，，对任意，，存在，
，
都有，
又因为，，，而，与假设矛盾，
所以假设不成立，即存在，存在，，使得． 17分

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