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2026—2027学年九年级数学上册期中测试卷
考试时间：100分钟 满分：120分
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题意）
1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A. B.
C. D.
2. 方程 的两个根分别是（　　）
A. B.
C. D.
3. 关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 正五边形
5. 将抛物线 向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为（　　）
A. B.
C. D.
6. 已知二次函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
（图：开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴）
A. B.
C. D.
7. 某商品原价为200元，经过两次降价后售价为128元，若每次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（　　）
A. 10% B. 15% C. 20% D. 25%
8. 若关于 的一元二次方程 的两根之和为3，两根之积为2，则 的值分别为（　　）
A. B.
C. D.
9. 如图，在平面直角坐标系中，将 绕原点 旋转180°后得到 ，若点 的坐标为 ，则点 的坐标为（　　）
A. B. C. D.
10. 已知二次函数 ，当 时， 的最大值和最小值分别为（　　）
A. 最大值4，最小值0 B. 最大值4，最小值-1
C. 最大值3，最小值0 D. 最大值3，最小值-1
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 方程 的解为________。
12. 若关于 的方程 有两个相等的实数根，则 ________。
13. 抛物线 的顶点坐标为________。
14. 已知点 与点 关于原点对称，则 ________。
15. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出 个小分支，则可列方程为________。
16. 如图，二次函数 的图象与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，则该二次函数的解析式为________。
三、解答题（共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（8分）解下列方程：
（1）（用配方法）
（2）（用公式法）
18.（8分）已知关于 的一元二次方程 。
（1）求证：无论 取何值，该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的一个根为2，求 的值及另一个根。
19.（8分）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为 、、。
（1）将 向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得到 ，请画出 并写出点 的坐标；
（2）将 绕原点 顺时针旋转90°，得到 ，请画出 并写出点 的坐标。
20.（8分）某商店购进一批商品，每件进价为30元。经市场调查发现，当售价为40元时，每天可售出100件；若售价每提高1元，每天销量减少5件。设每件商品售价为 元（），每天的销售利润为 元。
（1）求 与 之间的函数关系式；
（2）当售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
21.（10分）如图，已知二次函数 。
（1）用配方法求该抛物线的顶点坐标和对称轴；
（2）求该抛物线与 x 轴的交点坐标；
（3）当 取何值时，？
22.（10分）阅读材料，回答问题。
材料：对于任意实数 ，都有，当且仅当 时等号成立。
例如：求 （）的最小值。
解：因为 ，所以 ，当且仅当
，即 时等号成立。所以 的最小值为4。
根据上述材料，解决下列问题：
（1）当 时，求 的最小值；
（2）当 时，求 的最小值；
（3）用材料中的结论证明：对于任意实数 ，都有 。
23.（10分）某商场销售一种商品，进价为每件20元。销售过程中发现，该商品的月销售量 （件）与销售单价
（元）之间满足一次函数关系
（）。
（1）求月销售利润 （元）与销售单价 （元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？
（3）若商场规定该商品的销售单价不低于30元，且月销售量不少于100件，求月销售利润的最大值。
24.（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过 、、 三点。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设点 是抛物线上位于第一象限内的动点，过点 作 轴于点 ，交直线 于点 。求线段 的最大值；
（3）在（2）的条件下，当 取得最大值时，在 轴上是否存在点 ，使得以
为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
参考答案
一、选择题
1. D 2. A 3. A 4. C 5. A 6. B 7. C 8. B 9. A 10. A
二、填空题
11.
12. 9
13.
14. 1
15.
16.
三、解答题
17.（1）x1=1, x2=5 （2）
18.（1）证明：，所以无论 取何值，方程总有两个实数根；
（2），另一个根为1
19.（1）A；（2）
20.（1）；
（2）售价定为45元时，最大利润为1125元
21.（1）顶点坐标 ，对称轴为直线 ；
（2） 和 ；
（3） 或
22.（1）最小值为6；（2）最小值为3；（3）证明略（利用
）
23.（1）；
（2）销售单价定为35元时，最大利润为2250元；
（3）当 时， 最大为2000元
24.（1）；（2） 的最大值为 ；
（3）存在，点 的坐标为 或 或 （具体计算过程略）

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