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2026秋九年级数学上册期中测试卷
满分：120分　考试时间：120分钟
一、选择题
本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　）
A. B.
C. D.
2. 一元二次方程 的根的情况是（　　）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断
3. 若 ，且相似比为 ，则它们的面积比为（　　）
A. B. C. D.
4. 在 中， ， ， ，则 的值为（　　）
A. B. C. D.
5. 已知 的半径为 ，点 到圆心 的距离为 ，则点 与 的位置关系是（　　）
A. 点 在圆内 B. 点 在圆上
C. 点 在圆外 D. 无法判断
6. 用配方法解方程 ，配方后得到的方程是（　　）
A. B.
C. D.
7. 若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（　　）
A. B. 且
C. D. 且
8. 如图， 是 的直径，点 在 上， ，则 的度数为（　　）
A. B. C. D.
9. 一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是（　　）
A. B. C. D.
10. 某商品原价为200元，经过两次相同百分率的降价后售价为162元。设每次降价的百分率为 ，则可列方程为（　　）
A. B.
C. D.
11. 如图，在 中， ， ， ， ，则 的长为（　　）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
12. 如图， 、 是 的切线，切点分别为 、 ， ， ，则 的长为（　　）
A. 2 B. 4 C. D.
二、填空题
本大题共6小题，每小题4分，共24分。
13. 若 是方程 的一个根，则 ________。
14. 若 ，则 ________。
15. 在 中， ， ， ，则 ________。
16. 已知扇形的半径为 ，圆心角为 ，则该扇形的面积为 ________。结果保留 。
17. 一元二次方程 的两个根分别为 、 ，则 ________。
18. 如图， 中， 、 分别是 、 上的点，且 。若 ， ，则 ________。
三、解答题
本大题共7小题，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19. 解方程：每小题4分，共8分
（1）.
（2）.
20. 计算：本题6分
计算：。
21. 本题8分在一个不透明的袋子中装有2个红球、3个黄球和1个白球，它们除颜色外完全相同。从袋中随机摸出一个球。
（1）. 求摸到红球的概率；
（2）. 若再向袋中放入2个红球，求此时摸到红球的概率。
22.（ 本题8分）如图，在 中，、 分别是边 、 上的点，且 。已知 ，，。
（1）. 求证： ；
（2）. 求 的长。
23. 本题8分某商店销售一种文具，每件进价为20元。当售价为每件30元时，每天可售出100件；售价每降低1元，每天可多售出10件。设每件降价 元，每天获得的利润为 元。
（1）.求 与 之间的函数关系式；
（2）. 当每件降价多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
24. 本题10分如图， 是 的直径，点 在 上， 于点 。已知 ，。
（1）. 求 的长；
（2）. 求 的长。
25. （本题12分）如图，在 中，，，。点 从点 出发，沿 向点 匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时点 从点 出发，沿 向点 匀速运动，速度为每秒2个单位长度。设运动时间为 秒，且 。
1. 用含 的代数式表示 和 的长；
2. 当 为何值时， 的面积为 ？
3. 是否存在某一时刻 ，使 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由。
参考答案
一、选择题
1. B 2. B 3. C 4. B 5. A 6. A 7. D 8. C 9. C 10. B 11. C 12. B
二、填空题
13.
14.
15.
16.
17.
18.
三、解答题
19.（1）
所以 ，。
（2）.
所以 ，。
20. ，，。
原式 。
21.（1）袋中共有 个球。
摸到红球的概率为：
（2）. 再放入2个红球后，红球有 个，总球数为 个。
此时摸到红球的概率为：
22.（1）. 因为 ，所以 ， 。
又 ，所以 。
（2）因为 ，
所以：
。
所以：
解。
23.
（1）.
每件降价 元，则售价为 元，每件利润为：
每天销售量为
所以：
即：
（2）. 。
因为 ，所以当：时，
取得最大值。
最大利润为：
所以当每件降价 元时，每天利润最大，最大利润为 元。
24.
（1）. 因为 是 的直径，点 在 上，所以 。在
中：
（2）. 由面积相等可得：
即：
所以：
25.
（1）. 点 从 出发，速度为每秒1个单位长度，所以 ，则：
点 从 出发，速度为每秒2个单位长度，所以：
（2）. 因为 ，
所以：
令：
即：
解得：
因为 ，所以 。
即当 秒时， 的面积为 。
（3） 若 ，
因为 为公共角，
所以只需对应边成比例：
即：
化简得：
两边同乘 ：
因为 ，符合题意。所以存在这样的时刻，当 秒时，
。

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