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东莞市松山湖实验中学
2026-2027学年第一学期第一次教学质量自查试卷
(九年级数学)
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.
1.方程4x2-2x+1=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为()
A.4、2、1B.4、2、-1C.4、-2、-1D.4、-2、1
答案：D
解析：一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0,4x2-2x+1=0,二次项系数4，一次项系数-2，常
数项1。
2.若关于x的一元二次方程x2+mx-3=0的一个根是x=1,则m的值为()
A.1B.-1C.2D.-2
答案：C
解析：把x=1代入方程x2+mx-3=0,得1+m-3=0,解得m=2。
3.将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（)
A.y=2(x+2)2+3B.y=2x-2)2+3
C.y=2(x-22-3D.y=2(x+22-3
答案：B
解析：抛物线平移口诀：左加右减自变量，上加下减常数项。
y=2x2向上平移3个单位得：y=2x2+3;再向右平移2个单位得：y=2(x-2)2+3。
4.用配方法解方程x2-2x-1=0时，配方后所得的方程为()
A.(x+12=0B.(X-1)2=0C.(x+12=2D.(x-1)2=2
答案：D
解析：x2-2x-1=0
移项：x2-2x=1
配方：x2-2x+1=1+1,
即(x-1)2=2。
5.一元二次方程x2-x+1=0的根的情况为（)
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
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C.无实数根D.只有一个实数根
答案：C解析：△=b2-4ac=(-1)2-4×1×1=1-4=-3<0,方程无实数根。
6.“少年强，则国强”，为进一步推动学校体育活动的健康发展，2026年东莞市中学生篮球赛如期进行.若
首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题
意，下面所列方程正确的是（)
A.x(x+1)=28
B.x(X-1)=28
C.xx+)=28D.3xx-1)=28
答案：D
解析：单循环赛；每两个队只赛一场，公式为x(x-1),即总场次：x(x-1)=28。
7.关于y=2x-3)2+2的图象，下列叙述正确的是()
A.顶点坐标为(-3,2)
B.对称轴为直线y=3
C.当x>3时，y随x增大而增大D.与y轴交于点(O,2)
答案：C
解析：y=2(x-3)2+2,顶点坐标为(3,2)，对称轴直线x=3,.a=2>0,∴.抛物线开口向上，
当x3时y随x增大而增大：当x=0时，y=2×9+2=20,.与y轴交于(0,20)。
8.若二次函数y=-x2+6x+c的图象经过点A(-1,y),B(2,y),C(5,y),则y1,2,y的大小关系正确
的为()
A.y>y3>y2 B.y2>y3>y C.yi>y2>y3 D.y3>yi>y2
答案：B
解析：y=-x2+6x+c,a=-1<0,开口向下，对称轴为直线x=3。
A(-1,y)到对称轴距离：-1-3=4：
B(2,y2)到对称轴距离：|2-3=1：
C(5,y3)到对称轴距离：|5-3=2：
,开口向下，点离对称轴越近y越大，.y2>y3>y1,故选B。
9.一次函数y1=mx+n(m≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则不等式ax2+b-m)x
+c2026-2027学年第一学期第一次教学质量自查试卷
（九年级数学）
一、选择题：本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分.
1. 方程 4x - 2x + 1 = 0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）
A．4、2、1 B．4、2、-1 C．4、-2、-1 D．4、-2、1
2. 若关于 x的一元二次方程 x + mx - 3 = 0的一个根是 x = 1，则m的值为（）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
3. 将抛物线 y = 2x 向上平移 3个单位长度，再向右平移 2个单位长度，所得到的抛物线为（）
A．y = 2(x + 2) + 3 B．y = 2(x - 2) + 3
C．y = 2(x - 2) - 3 D．y = 2(x + 2) - 3
4. 用配方法解方程 x - 2x - 1 = 0时，配方后所得的方程为（）
A．(x + 1) = 0 B．(x - 1) = 0 C．(x + 1) = 2 D．(x - 1) = 2
5. 一元二次方程 x - x + 1 = 0的根的情况为（）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
6. “少年强，则国强”，为进一步推动学校体育活动的健康发展，2026年东莞市中学生篮球赛如期进行．若
首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排 28场比赛，设共有 x个队参赛，根据题
意，下面所列方程正确的是（）
A．x(x + 1) = 28 B．x(x - 1) = 28
C． x(x + 1) = 28 D． x(x - 1) = 28
7. 关于 y = 2(x - 3) + 2的图象，下列叙述正确的是（）
A．顶点坐标为(-3, 2) B．对称轴为直线 y = 3
C．当 x > 3时，y随 x增大而增大 D．与 y轴交于点(0, 2)
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8. 若二次函数 y = -x + 6x + c的图象经过点A(-1, y )，B(2, y )，C(5, y )，则 y ，y ，y 的大小关系正确
的为（）
A．y > y > y B．y > y > y C．y > y > y D．y > y > y
9.一次函数 y = mx + n(m ≠ 0)与二次函数 y = ax + bx + c(a ≠ 0)的图象如图所示，则不等式 ax + (b - m)
x + c < n的解集为（）
A．x < -1 B．x > 4 C．-1 < x < 4 D．x < -1或 x > 4
10.如图，正方形 ABCD的边长为定值，点 E、F、G、H分别是正方形 ABCD边 AB、BC、CD、DA
上的点．且 AE = BF = CG = DH，设 A，E两点间的距离为 x．四边形 EFGH的面积为 y，则 y与 x的
函数图象可能为（）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共 5小题，每小题 3分，共 15分。
11. 方程 x = 4的解是__________．
12. 若抛物线 y = kx - 2x + 1与 x轴有两个交点，则 k的取值范围为__________．
13. 已知m，n是一元二次方程 x + x - 2026 = 0的两个实数根，则代数式m + 2m + n的值等于
__________．
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14. 二次函数 y = ax + bx + c的自变量 x与函数 y的部分对应值如表：
x的值 … -2 -1 0 1 2 …
y的值 … -22 -7 2 5 2 …
当 x = 3时，函数 y的值是__________．
15. 已知线段AB，点M、N在线段AB上（如图）.点M为线段AB的一个黄金分割点，满足AM = BM·
AB；同时点 N为线段 AB的另一个黄金分割点，满足 BN = AN·AB，当线段 AB = 2时，线段MN的
长为__________．
三、解答题（一）：本大题共 3小题，每小题 8分，共 24分。
16. 解方程：
（1）x - 2x - 6 = 0； （2）3x(x - 1) = 2x - 2．
17. 若关于 x的一元二次方程 x - 2(k + 1)x + k + 2 = 0有两个不相等的实数根．
（1）求 k的取值范围；
（2）已知方程的两个实数根分别为α，β，且(α + 1)(β + 1) = 13，求 k的值．
18. 已知二次函数 y = -x + bx + c的图象经过(-1, -2)，(1, 6)两点．
(1) 求该抛物线的表达式；
(2) 求该二次函数的对称轴和顶点坐标；
四、解答题（二）：本大题共 3小题，每小题 9分，共 27分。
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19. 如图，二次函数的图象经过点(1, 0)，顶点坐标为(-1, -4)．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当-5 < x < 0时，y的取值范围为__________；
（3）将该抛物线向上平移________个单位后，所得抛物线与坐标轴有两个公共点．
20. 某超市以每个 30元的价格购进 A种商品，销售数据表明：当每个 A种商品售价为 40元时，平均
每月售出 600个；若售价每下降 1元，其月销售量就增加 200个．
（1）若售价下降5元，每月能售出_______个A种商品，若售价下降x元(x > 0)，每月能售出____________
个 A种商品；
（2）若本月有 1210个 A种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为 8400元，求每个 A种商
品的售价；
（3）经销商月获利能否达到 9600元？说明理由．
21. 如图，点 P是抛物线 y = -x 在第四象限内的一点，点 A的坐标是(2, 0)，设点 P的坐标是(x, y)．
(1)求△POA的面积 S关于变量 x的关系式；
(2)当 PO = PA时，求△POA的面积；
(3)当△POA的面积为 2时，求点 P的坐标．
五、解答题（三）：本大题共 2小题，每小题 12分，共 24分。
22.数学活动课上，同学们对三角形点阵中前 n行的点数计算进行探究活动：
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如图 1是一个三角形点阵，从上到下有无数行，其中第一行有 1个点，第 2行有 2个点…第 n行有 n
个点…
【发现问题】在探究的过程中，容易发现 10是三角形点阵前 4行的点数和，但遇到较大的点数，逐个
数数很繁琐．
【提出问题】前多少行的点数和是 120？
【分析问题】数形结合是解决数学问题的重要思想．下表分别从数和形两个角度探究前 n行的点数和．
从数的角度看 从形的角度看
通过具体的数字，想到了一种计算方法——倒序相加法． 利用图形的特征进行计算．如图 2，将一
例如：求前 10行的点数和，S = 1 + 2 + 3 + …+ 10①， 个正立的三角点阵倒立，再与正立的原图
由①式倒序：S = 10 + 9 + …+ 2 + 1②， 形的三角点阵拼成一个平行四边形点阵，
①+②，得：2S = (10+1)+(9+2)+…+(10+1) = 11×10 = 110， 三角形点阵点数和为平行四边形点阵数量
所以 S = 55，即前 10行的点数和为 55个． 的一半．
【解决问题】
（1）请根据材料，类比“从数的角度看”的计算方法，求出前 n行的点数和；
（2）前______行的点数和是 120；
【拓展应用】
（3）如果把图 1中的三角点阵中各行的点数依次换为 2，4，6，…，2n，…，你能探究出前 n行的点
数之和的规律吗？请说明理由．
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23.【综合与实践】
数形结合是一种重要的数学学习方法，在学习一元二次方程的过程中有很多几何图形问题根据其等量
关系均可列得一元二次方程加以求解，爱做数学探究的小文发现有这样一个具有一元二次方程关系的
几何模型：如图 1，在四边形 ACDE中，a,b,c是 Rt△ABC和 Rt△BED边长，小文运用勾股定理推可
得 AE = ，这时小文就把关于 x的形如 的一元二次方程称为“弦系一元二次方
程”．
请解决下列问题：
【模型感知】
（1）请你写出一个“弦系一元二次方程”：________________；
【初步探究】
（2）求证：关于 x的“弦系一元二次方程” 必有实数根；
（3）如图 1若 x = -1是“弦系一元二次方程” 的一个根，且四边形 ACDE的周长是
6 ，求△ABC面积．
【模型拓展】
（4）如图 2，△ABC的三边分别为 a,b,c，∠BCA = 60°，且 2b > a.求证：关于 x的一元二次方程
必有实数根.

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