资源简介

14.3角的平分线 同步分层训练
一、夯实基础
1．如图，为给金源学子提供良好的阅读环境，金源学校有一块三角形小树林，需要在小树林里建一图书角供同学们使用，要使图书角到小树林三条边的距离相等，图书角的位置应选在（　　）
A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高所在直线的交点 D．三边的中垂线的交点
2．如图，在平行四边形中，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，若，，则的长为（　　）
A．2 B． C．3 D．4
3．如图，中，是角平分线，是的中线，若的面积是，则的面积是（　　）
A．5 B．6.8 C．7.5 D．8
4．如图，，平分，于点D，交于点C，若，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，在 ABCD中， AC⊥AB， BE平分∠ABC分别交AC， AD于点F， E，若CF=2AF=4，则 DE的长为(　　)
A． B．3 C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴负半轴于点M，交y轴负半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第三象限交于点P．若点P的坐标为，则a与b的数量关系为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在中，是角平分线，于，于，，，则的面积为　 　．
8．如图，在∠ABC中，以点B为圆心，适当长为半径画弧交AB、BC于点M、N，分别以M、N为圆心，大于 MV为半径画弧交于点P，作射线BP. D为BP上一点， DE∥BC交AB于点E， 若∠1=62°， 则∠2的度数为　 　.
9．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为　 　度．
10．如图，，和分别平分和，过点且与垂直．若，则点到的距离是　 　．
11．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB，于点E
（1）求证：△ACD≌△AED；
（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．
二、能力提升
12．如图，已知，以下是小聪通过尺规作图解决问题的部分过程：
①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F；
②以点E为圆心，长为半径画弧，两弧交于点M；
③作射线，与延长线父于点P，点D为延长线上一点．
根据以上作法，下列结论不成立的是（　　）
A． B．
C． D．
13．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（　　）
A．∠ACD=∠B B．CH=HD C．CH=CE D．AC=AF
14．三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　）
A．三条高线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
15．如图，在中，其内角和外角的角平分线，交于点，过点作，交的延长线于点，连接，若，则的度数为　 　．
16．
（1）如图1，四边形ABCD中，若连接CA，则CA平分，某数学小组成员通过观察、实验，提出以下想法：延长CD到点E，使得DE=BC，连接AE，利用三角形全等的判定和等腰三角形的性质可以证明.请你参考他们的想法，写出完整的证明过程.
（2）借助上一问的尝试，继续探究：如图2所示，在五边形ABCDE中，，连接CA，CA平分吗 请说明理由.
17．【问题初探】
（1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，平分，求证：．如图2，小颖同学尝试构造“手拉手”模型，给出一种解题思路：过作，交于点，以此来证明阴影部分的三角形全等，得到．
请你参考小颖的解题思路写出证明过程．
【类比分析】
（2）张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答：如图3，，平分，求证：．
【学以致用】
（3）如图4，在中，，，D是边的中点，，与边相交于点与边相交于点．请直接写出线段的值：___________．
三、拓展创新
18．如图，在△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于点D，下列四个结论：①EF=BE+CF；②∠BOC=90°+∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD=m，AE+AF=n则，其中正确的有（　　）。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
19．如图，，的平分线交于点，，线段上有一点，满足，过点作．若在直线上取一点，使，则的值为　 　．
20．如图，已知AB∥CD，P为直线AB，CD外一点，BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，BF的反向延长线交DE于点E，若∠FED＝a，试用a表示∠P为　 　．
21． 【探究与证明】
【新定义】顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”.
（1）如图1， △ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点.则∠BAD　 　∠CAE(填 “>”、“<” 或 “=” ) ；
（2） 如图2， △ABC 和△ADE 互为“兄弟三角形”，点 A为重合的顶角顶点，连接BD、CE，试猜想线段BD、CE 的大小关系，并证明你的结论；
（3） 如图3， △ABC和△ADE 互为“兄弟三角形”， 点A为重合的顶角顶点， 点 D、点E均在△ABC外， 连接BD、CE交于点M， 连接AM， 求证： MA平分∠BME.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴使图书角到小树林三条边的距离相等，则图书角的位置应选在三条角平分线的交点，
故答案为：．
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可求解.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由作图方法可知，平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A。
【分析】根据平行四边形的性质，可得，根据题干中的作图方法，可知，是的角平分线，根据平行线的性质与角平分线的定义，可得，进而可得，根据线段间的关系，可得，代入数据即可求解。
3．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，
过点作，垂足分别为，
∵是角平分线，
∴，设，
∵的面积是，是的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选∶D．
【分析】
首先依据三角形中线的性质，推导出；再根据角平分线的性质，得到，进一步推出，最终即可得到对应结论.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，过点P作，垂足为E，
∵平分，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
；
∴，
∵在中，，
∴；
故答案为：D．
【分析】根据角平分线的性质求出，，再根据平行线的性质求出，，最后计算求解即可.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：过F作BC于H，
BE平分
的面积 的面积 H，
令AB=x，则BC=2x，
由勾股定理得到：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∵BE平分
故选： C.
【分析】过F作于H，根据角平分线的性质得到FH=FA，根据三角形的面积公式可得 令AB=x，在Rt△ABC中根据勾股定理求出 即可得到 然后根据平行线的性质和角平分线的定义推理得到 分局等角对等边得到 再根据线段的和差解答即可.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：根据作图方法可得点P在第三象限角平分线上；点P到x轴、y轴的距离相等；
∴a-b=0．
故答案为：C．
【分析】根据作图方法可得点P在第三象限角平分线上，可得点P到x轴、y轴的距离相等，且横、纵坐标化为相反数可得a-b=0，从而得解。
7．【答案】4
【解析】【解答】解：因为是角平分线，于，于，
所以，
所以的面积．
故答案为：4．
【分析】由角平分线上的点到角的两边距离相等，得DF=DE=2，进而再根据三角形面积公式列式计算即可得出答案.
8．【答案】31°
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
由作图可得是的角平分线，
∴，
∴．
故答案为：31°.
【分析】根据尺规作图得到是的角平分线，根据平行线的性质得到，，然后根据角平分线的定义解答即可．
9．【答案】108
【解析】【解答】解：如图，连接、，
，为的平分线，
，
又，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
为的平分线，，
，
点在的垂直平分线上，
又是的垂直平分线，
点是的外心，
，
将沿在上，在上）折叠，点与点恰好重合，
，
，
在中，，
故答案为：108．
【分析】连接、，根据角平分线定义可得，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠ABC，根据垂直平分线性质可得，根据等边对等角可得，根据角之间的关系可得∠OBC，再根据角平分线性质可得，根据三角形外心性质可得，再根据折叠性质可得，根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
10．【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
，
，
和分别平分和，且，，，
，，
，
，
故答案为：．
【分析】本题主要考查了两直线平行同旁内角互补，角平分线的性质定理等知识．过点作于点，根据角平分线的性质定理可得，结合AD=8可求出PE的长.
11．【答案】解：（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°．
∵在Rt△ACD和Rt△AED中，，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）．
（2）∵Rt△ACD≌Rt△AED ，CD=1，
∴DC=DE=1．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°．
∵∠B=30°，
∴BD=2DE=2．
【解析】【分析】（1）根据角平分线性质求出CD=DE，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得DC=DE=1，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
12．【答案】C
【解析】【解答】解：连接，过点作于点，于点，
由作图得，，
又，
∴，
∴，
∴，
故选项A正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴，
故选项B正确，不符合题意；
无法判断，
故选项C符合题意；
∵，，，
∴，
又，
∴，
故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
【分析】结合基本作图、三角形全等的判定定理以及角平分线的性质定理对应的知识点，逐个分析每个选项就能得到结论.
13．【答案】B
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，
∴∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠CDB=90°
∵∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°
∴∠ACD=∠B，
故A正确；
作HL⊥AC于点L，则CH>HL，
∵∠BAC的平分线AE交CD于H，HD⊥AB，HL⊥AC，
∴HD=HL，
∴CH>HD
故B不正确
∵∠ACD=∠B，∠CAE=∠BAE
∴∠CHE=∠ACD+∠CAE=∠B+∠BAE=∠CEH，
∴CH=CE，
故C正确；
∵EF⊥AB于F，
∴∠ACE=∠AFE=90°
在△ACE和△AFE中，
∴△ACE≌△AFE (AAS)，
∴AC=AF，
故D正确；
故答案为：B.
【分析】由Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，得∠ACB=∠ADC=∠CDB=90°，由∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，推导出∠ACD=∠B，可判断A正确；作HL⊥AC于点L，则CH>HL，由角平分线的性质得HD=HL，则CH>HD，可判断B不正确；由∠ACD=∠B，∠CAE=∠BAE，推导出∠CHE=∠CEH，则CH=CE，可判断C正确；再证明△ACE≌△AFE，得AC=AF，可判断D正确，于是得到问题的答案.
14．【答案】C
【解析】【解答】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点．
故选：C．
【分析】本题考查三角形特殊交点的性质，核心需求是找到“到三角形三个顶点距离相等的点”。根据垂直平分线的性质——垂直平分线上的任意一点到线段两端的距离相等，要同时满足到A、B、C三点距离相等，该点必须在AB、BC、AC三边的垂直平分线上，即三边垂直平分线的交点；而三条高线的交点是垂心，三条中线的交点是重心，三条角平分线的交点是内心（到三边距离相等），均不符合要求。
15．【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点，设，
∵平分，，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴点在在的角平分线上，即平分，
∴，
∴，
即的度数为．
故答案为：．
【分析】
过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点。设，结合角平分线的定义与性质，可以推出，，同时还有，。进一步得到，，以及外角，证明是的角平分线，因此可得，最后借助三角形外角的性质，就可以得到关系：.
16．【答案】（1）证明：∵∠B+∠ADC=180°，∠ADE+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADE，
∴在和中，
，
∴≌（SAS），
∴∠ACB=∠E，AC=AE，
∴为等腰三角形，
∴∠ACE=∠E，
∴∠ACB=∠ACE，
∴CA平分∠BCD.
（2）证明：延长CB，使BP=DE，连接AP，AD.
∵∠B+∠AED=180°，∠B+∠ABP=180°，
∴∠AED=∠ABP，
∴在和中，
，
∴≌（SAS），
∴AP=AD，BP=DE，
又CD=BC+DE=BC+BP=CP，
即CD=CP，
∴在和中，
，
∴≌（SSS），
∴∠ACP=∠ACD，
∴CA平分∠BCD.
【解析】【分析】(1)运用同角的补角相等得出∠B=∠ADE，运用三角形全等的判定（边角边）可证明≌，根据三角形全等的性质及等量代换得到∠ACB=∠ACE，由角平分线的定义即证明得到CA平分∠BCD，由角平分线的定义即可证明CA平分∠BCD.
（2）延长CB，使BP=DE，连接AP，AD.运用同角的补角相等得出∠AED=∠ABP，运用三角形全等的判定（边角边）可证明≌，根据三角形全等的性质及等量代换得到AP=AD，CD=CP，再次运用三角形全等的判定（边边边）可证明≌，根据三角形全等的性质得∠ACP=∠ACD，由角平分线的定义即可证明CA平分∠BCD.
17．【答案】（1）证明过程如下： 过作，交于点，
∴∠OCF=∠OCE+∠ECF=90°，
又∵∠DCE=∠DCO+∠OCE=90°，
∴∠ECF=∠DCO，
又∵∠ADC+∠CDO=180°，∠CDO+∠CEO+∠DOC+∠DCE=360°，，
∴∠CDO=∠CEF，
又∵OC 平分，∠AOB=90°，
∴ ∠AOC=∠BOC=45°，
又∵∠OCF=90°，
∴△OCF为等腰直角三角形，
∴CO=CF，
∴△CDO≡△CEF（AAS），
∴ .
（2）证明：如图所示，过点作，，垂足分别为，，
，CM=CN，
又∵，
∴∠DCE=60°，
∴∠AOB+∠DCE=180°，
在四边形中，，
∴∠CDO+∠CEO=180°，
又，
，
，
.
【解析】【解答】（3）取中点，连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
点、分别是、边上的中点，
，
∴GB=BD=DC，
又∵∠B=60°，
是等边三角形，
，，
，，
∴∠GDC=180°-∠BDG=120°，
即 ∠GDF+∠FDC=120°，
，
，
在△EDF和△FDC中，
，
，
，，，
，
又∵BG=，AB=BC，
∴．
故答案为：8
【分析】（1）根据图形，利用所给条件推出CO=CF以及∠COD=∠CFE、∠OCD=∠ECF，再通过证明，得出即可；
（2）通过作图，得到，再由角平分线的性质可得，再根据四边形内角和定理，推出，最后由“”可证，可得；
（3）取中点，连接，证明是等边三角形并利用边、角特点继续证明是等边三角形，再通过等边、等角的代换，最后根据证，得，即可得证，据此求解即可．
18．【答案】C
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
，
∴∠BOC =180°-(∠OBC+∠OCB)=90°+ 故②正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC =∠OBE， ∠OCB=∠OCF，
∵EF∥BC，
∴∠OBC =∠EOB， ∠OCB =∠FOC，
∴∠EOB =∠OBE， ∠FOC =∠OCF，
∴BE=OE， CF=OF，
∴EF =OE+OF = BE+CF，
故①正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，
∵在 中， 和 的平分线相交于点O，
故④错误；
∵在 中， 和 的平分线相交于点O，
∴点O到各边的距离相等，故③正确.
故答案为：C.
【分析】由在 中， 和 的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得 正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出 和 是等腰三角形得出EF=BE+CF故①正确；由角平分线的性质得出点O到各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③设OD=m，AE+AF=n，则 故④错误.
19．【答案】或
【解析】【解答】如图，当在下方时，
设，
，
，，
，
，，
的平分线交于点，
，
，
，
，
，
，，
；
如图，当在上方时，
同理得：，，
；
综上所述，的值为或，
故答案为：或．
【分析】这道题主要考查角平分线的定义、平行线的性质以及角的和差计算，解题的核心是要对相关位置进行分类讨论。我们设，由此可以得到，，同时推出。接下来我们按照点M的不同位置分两种情况讨论：第一种是点在下方的情况，第二种是点在上方的情况，我们只需要根据角的和差关系，分别表示出和的度数，就可以计算得到最终结果了。
20．【答案】∠P＝360°﹣2a
【解析】【解答】解：延长AB交PD于点G，延长FE交CD于点H，
∵BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠5，∠6＝∠PDC＝2∠3，
∵∠PBG＝180°﹣2∠1，
∴∠PBG＝180°﹣2∠5，
∴∠5＝90°﹣∠PBG，
∵∠FED＝180°﹣∠HED，∠5＝180°﹣∠EHD，∠EHD＋∠HED＋∠3＝180°，
∴180°﹣∠5＋180°﹣∠FED＋∠3＝180°，
∴∠FED＝180°﹣∠5＋∠3，
∴∠FED＝180°﹣（90°﹣∠PBG）＋∠6＝90°＋（∠PBG＋∠6）＝90°＋（180°﹣∠P）＝180°﹣∠P，
∵∠FED＝a，
∴a＝180°﹣∠P
∴∠P＝360°﹣2a．
故答案为：∠P＝360°﹣2a．
【分析】
首先由角平分线的性质，可以得到∠1＝∠2，∠3＝∠4；再结合平行线的性质，可推出∠1＝∠5，∠6＝∠PDC＝2∠3。之后利用三角形内角和定理，分别求出∠5\)与∠FED的度数，进而整理得到∠P和a的数量关系，最终就可以用含a的式子表示出∠P.
21．【答案】（1）=
（2）解：猜想BD=CE
证明如下：
∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴BD=CE
（3）解：过点A作AG⊥BD于G，AH⊥CE于H，则∠AGB=∠AHC=90°，
∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠ABD=∠ACE，
在△AGB和△AHC中，
∴△AGB≌△AHC(AAS)
∴AG=AH
又∵AG⊥BD，AH⊥CE，
∴MA平分∠BME
【解析】【解答】（1）解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC ∠DAC＝∠DAE ∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
故答案为：＝.
【分析】（1）利用角的运算方法及等量代换可得∠BAD＝∠CAE；
（2）先利用角的运算求出，再利用”SAS“证出，最后利用全等三角形的性质可得；
（3）过点作于，于，先利用”SAS“证出，可得，再利用”AAS“证出，可得，最后结合，，即可证出平分.

展开更多......

收起↑