资源简介

14.1全等三角形及其性质 同步分层训练
一、夯实基础
1．如图，图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么的值是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，△ABC≌△DEC，∠A=70°，∠ACB=80°，则∠E的度数为（　　）
A．70° B．30° C．60° D．50°
3．下列命题的逆命题成立的是（　　）．
A．全等三角形的对应角相等
B．若三角形的三边满足，则该三角形是直角三角形
C．对顶角相等
D．同位角互补，两直线平行
4．如图，，且，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．5 D．6
5．如图，点C在线段BD上，且△ABC≌△DBE，若AB=7，BE=3，则CD的长为（　　）.
A．3 B．4 C．5 D．10
6．下列各选项中的两个图形属于全等形的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图所示，两个三角形全等，则x=　 　.
8．已知，，，则　 　．
9．如图，，，的延长线交于点若，，，则的周长为　 　．
10．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE．
（1）若∠ADB=40°，求∠E的度数．
（2）若AB=3，CE=5，求AE的长．
11．（1）先化简，再求值：，其中，．
（2）如图，点E、F分别是矩形的边、上的一点，且．求证：．
二、能力提升
12．下列命题中是假命题的是（　　）
A．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
B．全等三角形的面积相等
C．在同一平面内， 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．一个角的补角大于这个角本身
13．如图，已知△ABC≌△ABE≌△ADC，若∠1=131°，则∠α的度数为（　　）。
A．89° B．88° C．98° D．109°
14．已知等腰三角形的周长为，，与全等，则的边（　　）
A．2 B．5或8 C．2或5或8 D．2或7或8
15．如图．两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到的位置，，平移距离为6，则阴影部分的面积为　 　．
16．如图，，，，则　 　．
17．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A(0，m)、B(n，0)，且|m﹣n﹣3|+＝0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P的运动时间为t秒．
(1)求OA、OB的长；
(2)连接PB，设△POB的面积为S，用t的式子表示S；
(3)过点P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
三、拓展创新
18．下列命题中，假命题是（　　）
A．面积相等的两个三角形全等
B．等腰三角形的两底角相等
C．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
D．直角三角形的两个锐角互余
19．如图，在中，、、分别是、、上的点，且，．若．则的度数　 　．
20．如图直角坐标系中为原点、、坐标分别为、，且，点从出发，以每秒个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒．
（1）_____，_____；
（2）当的面积等于时，求的值；
（3）过作垂直于直线交于，交轴于．在点运动的过程中，是否存在这样的点，使与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：∵图中的两个三角形是全等三角形，是长为的边所对的角，
∴，
故选：C．
【分析】根据“全等三角形的对应边相等、对应角相等”，则图中两个三角形长为的边所对的角相等，根据图中已知两角的度数，结合三角形的内角和为，计算即可.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：，，
，
≌，
，
故答案为：
【分析】先根据∠A和∠ACB的度数，结合三角形内角和定理得到∠B的度数，再根据三角形全等的性质（全等三角形对应角相等）结合题意即可求解。
3．【答案】B
【解析】【解答】解：A、全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的两三角形全等，此逆命题为假命题；
B、若三角形的三边满足，则该三角形是直角三角形的逆命题为若a、b、c为直角三角形的三边，则满足，此逆命题为真命题；
C、对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，此逆命题为假命题；
D、两条直线平行，同位角互补的逆命题为同位角互补，两条直线平行，此逆命题为假命题．
故选：B．
【分析】分别写出四个命题的逆命题，再根据全等三角形的性质、勾股定理、对顶角的定义、平行线的性质逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故选：C
【分析】
根据全等三角形的性质可知全等三角形的对应边相等、对应角相等。即，。，所以。
5．【答案】B
【解析】【解答】
解： ∵△ABC≌△DBE，AB=7， BE=3
∴BD=AB=7， BC=BE=3
∴CD=BD-BC=4
故答案为：B
【分析】根据全等三角形的性质得到BD=AB=7， BC=BE=3，再计算线段的和差即可解答.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：A选项两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意；
B选项两个图形大小不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
C选项两个图形大小形状都不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
D选项两个图形大小形状都不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
故选：A
【分析】根据全等图形的概念，“两个图形能够完全重合，就是全等图形”，逐个判断即可．
7．【答案】60°
【解析】【解答】解：∵三角形内角和为180°，
∴第一个三角形第三个内角：180°-45°-75°=60°，
∵两个三角形全等，边长为3.6的边对应相等，这条边所对的角互为对应角，
∴x=60°．
故答案为：60°．
【分析】先根据三角形内角和定理算出第一个三角形未知内角为60°；再依据全等三角形对应边，对应角相等，找到边长3.6这条边所对的角，得到x=60°．
8．【答案】
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据三角形内角和定理求得∠C的度数，根据全等三角形的性质即可求解．
9．【答案】6
【解析】【解答】解：，
，，
，
，
，
的周长．
故答案为：．
【分析】由全等三角形的对应边相等，推出，，由线段和差求出CE=2，然后根据三角形周长计算公式、等量代换及线段和差将△CDE的周长转化为EB+CE，从而代值计算可得答案.
10．【答案】（1）解：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AD=BC，∠ABC=∠BAD=90°，
∵AB=BA，
∴△ABC≌△BAD，
∴∠ACB=∠ADB=40°，
∵BD=CE，
∴AC=CE，
∴∠E=∠CAE，
∵∠ACB=∠E+∠CAE，
∴∠E=20°；
（2）解：由（1）得：AC=CE=5，∠ABC=90°，
∵AB=3，
∴，
∴BE=BC+CE=9，
∴．
【解析】【分析】（1）连接AC，根据矩形性质可得AC=BD，AD=BC，∠ABC=∠BAD=90°，根据全等三角形判定定理可得△ABC≌△BAD，则∠ACB=∠ADB=40°，再根据等边对等角可得∠E=∠CAE，再根据三角形外角性质即可求出答案.
（2）根据勾股定理可得BC，根据边之间的关系可得BE，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AD=BC，∠ABC=∠BAD=90°，
∵AB=BA，
∴△ABC≌△BAD，
∴∠ACB=∠ADB=40°，
∵BD=CE，
∴AC=CE，
∴∠E=∠CAE，
∵∠ACB=∠E+∠CAE，
∴∠E=20°；
（2）解：由（1）得：AC=CE=5，∠ABC=90°，
∵AB=3，
∴，
∴BE=BC+CE=9，
∴．
11．【答案】（1）解：
，
当，时，
原式；
（2）证明：∵四边形是矩形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）括号内，先由完全平方式展开，在根据平方差公式进行计算，最后合并同类项即可，最后把a、b的值代入求出结果；（2）由矩形性质，得到， 继而证明 ，得到 。
12．【答案】D
【解析】【解答】解：A、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，正确，是真命题，不符合题意；
B、全等三角形的面积相等，正确，是真命题，不符合题意；
C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题，不符合题意；
D、一个角的补角大于这个角本身，错误，如果这个角为锐角，则补角大于这个角本身，如果这个角为钝角，则补角小于这个角本身，如果这个角为直角，则补角等于这个角本身，故是假命题，符合题意，
故答案为： D.
【分析】根据三角形的外角定理，全等三角形的性质，补角的定义，垂直公理分别判断即可.
13．【答案】C
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△ABE
∴∠BAE=∠1=131°
∴∠CAE=360°-∠BAE-∠1=98°
∵△ABE≌△ADC
∴∠E=∠ACD
∴∠CFE=∠α+∠E=∠α+∠ACD
∵∠CFE=∠CAE+∠ACD
∴∠α+∠ACD=∠CAE+∠ACD
∴∠α=∠CAE=180°
故答案为：C
【分析】根据全等三角形性质，结合角之间的关系即可求出答案.
14．【答案】C
【解析】【解答】解：需要分情况讨论等腰三角形 ABC 的边长，再结合全等三角形的性质来确定 DE 的可能值。确定△ABC 的边长已知等腰△ABC 周长为 18，BC = 8，分两种情况：情况一：BC 为腰：
则两腰长为 8，底边长 = 18 - 8×2 = 2。
三边长为 8、8、2，满足三角形三边关系。
情况二：BC 为底边：
则腰长 = (18 - 8) ÷ 2 = 5。
三边长为 5、5、8，满足三角形三边关系。
结合全等三角形性质因为△ABC 与△DEF 全等，对应边相等。DE 作为△DEF 的一边，与△ABC 的任意一边都可能是对应边。因此，DE 的可能值为 2、5 或 8。
故答案为：C。
【分析】先根据等腰三角形的性质，分 “BC 是腰” 和 “BC 是底边” 两种情况，算出△ABC 的所有可能边长为 8、8、2 或 5、5、8。再利用全等三角形对应边相等的性质，得出 DE 的可能值为 2、5 或 8。
15．【答案】39
【解析】【解答】解：由平移的性质知，BE＝6，DE＝AB＝8，△ABC≌△DEF，
∴PE＝DE DP＝8 3＝5，且S△ABC＝S△DEF，
∴S△ABC-S△PEC＝S△DEF-S△PEC，
∴S梯形PDFC＝S梯形ABEP＝（AB＋PE） BE＝（8＋5）×6＝39，
故答案为：39．
【分析】本题先先根据平移的性质，得出BE＝6，DE＝AB＝8，S△ABC＝S△DEF，然后计算求出PE=5，接着结合图中信息，面积作差即可得出S梯形PDFC＝S梯形ABEP，最后求梯形PDFC的面积即可。
16．【答案】45°
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据三角形内角和定理可得∠BAC，再根据全等三角形性质即可求出答案.
17．【答案】解：（1）∵，
∴，
解得：，
∴，
∴；
（2）
(2)连接PB，
t秒后，AP＝t，OP＝|6﹣t|，
∴S＝OP OB＝|6﹣t|；(t≥0)
(3)作出图形，
∵∠OAB+∠OBA＝90°，∠OAB+∠APD＝90°，∠OPE＝∠APD，
∴∠OBA＝∠OPE，
∴只要OP＝OB，即可求证△EOP≌△AOB，
∴AP＝AO﹣OP＝3，或AP'＝OA+OP'＝9
∴t＝3或9．
【解析】【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负性质即可求得m、n的值，即可解题；
（2）连接PB，t秒后，可求得OP＝6﹣t，即可求得S的值；
（3）作出图形，易证∠OBA＝∠OPE，只要OP＝OB，即可求证△EOP≌△AOB，分两种情形求得t的值，即可解题．
18．【答案】A
【解析】【解答】解：A、面积相等的两个三角形不一定全等，为假命题；
BCD、说法均正确，为真命题；
故答案为：A.
【分析】全等三角形是形状和大小都相同的三角形，面积相等不一定全等.
19．【答案】
【解析】【解答】解：在和中，
，
，
，
∵是的外角，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】
先推导证明，根据全等的性质得到对应角相等，即，之后结合三角形外角的性质计算出的度数，最后依据三角形内角和定理，就可以求出的度数。
20．【答案】（1），
（2）解：由（1）可得，，
当点在线段上时，，
则，
解得，，
当点在线段的延长线上时，，
则，
解得，，
当或时，的面积等于；
（3）解：如图1，当点在线段上时，
，
，即，
解得，，
如图，当点在线段的延长线上时，
，
，即，
解得，，
当或时，与全等．
【解析】【解答】（1）解：，，，
，，
，，
解得，，，
故答案为：；；
【分析】（1）根据绝对值，偶次方的非负性即可求出答案.
（2）分情况讨论：当点在线段上时，，当点在线段的延长线上时，，根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
（3）分情况讨论：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，根据相似三角形性质建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：，，，
，，
，，
解得，，，
故答案为：；；
（2）由（1）可得，，
当点在线段上时，，
则，
解得，，
当点在线段的延长线上时，，
则，
解得，，
当或时，的面积等于；
（3）如图1，当点在线段上时，
，
，即，
解得，，
如图，当点在线段的延长线上时，
，
，即，
解得，，
当或时，与全等．

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