资源简介

15.1图形的轴对称 同步分层训练
一、夯实基础
1．下列由字母A与B的创意图形结合产生的图形中，为轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，连接CD．则∠BCD等于（　　）
A．40° B．20° C．30° D．70°
3．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC＝8cm，且△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为(　　)
A．15cm B．18cm C．22cm D．25cm
4．如图，在△ABC中，∠C=84°，图中所作直线MN与射线BD交于点D，点D在AC边上，根据图中尺规作图痕迹，可得∠ABD的度数是 (　　)
A．30° B．31 ° C．32° D．33°
5．如图，Rt中，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形.其作法错误的是（　　）
A． B．
C． D．
6．下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
7．用直尺和圆规作的中线，作图正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，在矩形中，对角线、相交于点O，于E，若，，则的长为　 　 ．
9．如图，在中，已知，，边的垂直平分线交于E，交于D，且，则的长是　 　．
10．写出命题“平行四边形的对边相等”的逆命题：　 　，该逆命题是　 　命题（填“真”或“假”）．
二、能力提升
11．如图，P为内一点，过点P的线段分别交、于点M、N，且M、N分别在、的中垂线上．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
12．如题图，在中，BC=10，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10
13．现实世界中，对称现象无处不在，我国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
14．如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且∠ABC=∠EDC=72°，∠AEB=112°，则∠EBD的度数为（　　）
A．168° B．158° C．148° D．138°
15．如图，依据尺规作图的痕迹，计算α=(　　)
A．56° B．68° C．28° D．34°
16．如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点D，连接，若，则的长为　 　．
17．剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一.如图是一张组含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点A 与点 B 对称，点C 与点D对称，将其放置在直角坐标系中， 点 A， B， C的坐标分别为（3，0).（5，0). （1， 4)，则点 D的坐标为　 　.
18．如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，连接BP，CP.
（1） 求证： BD=CE：
（2）若AB=6cm，Ac=10cm，求AD的长.
19． 如图， 在△ABC 中， DE 是AC 的垂直平分线， AE=3，△ABD 的周长为13. 求△ABC 的周长.
20．如图，在中，，于点，交于点，，连接.
（1）如图1，当在内部时，求证：；
（2）如图2，当的边，分别在外部和内部时，求证：.
21． 综合与实践
（1） 某数学小组用尺规作图在内求作一点P，使得.
①经过讨论，得到如下两种作法，补全表格中的证明过程和依据.
方法一 方法二
作 图 步 骤 1. 在OA上任取一点C，作. 2. 在射线CE'上作. 点P即为所求. 1.在OA和OB上分别取点C，D，使得. 2. 作OD的垂直平分线EF. 3. 作 OC 的垂直平分线 MN，与直线 EF 交于点 P. 点 P 即为所求.
图 示
理 由 证明：∵，（已作） ∴，（▲） ∴▲. ∵，（已作） ∴▲， ∴. 证明：连接PC，PD. ∵EF垂直平分OD，（已作） ∴OP=▲， 同理可得OP=PC， ∴PC=PD. 又∵OC=OD（已作），PO=PO， ∴，（▲） ∴.
②请你用不同于上面的尺规作图方法在图1中求作点P（保留作图痕迹，不写作法），并说明作法的正确性.
（2） 在制作万花筒时，可以先将两面镜子的背面用胶带粘贴形成一个可以自由开合的“镜子门”.如图2，设两面镜子的夹角，物体Q在的角平分线上，则在镜子中一共形成　 　个物体Q的像.
三、拓展创新
22． 如图， △ABC的外角∠CBG的角平分线与AC边的中垂线交于点E， 过E作 ED⊥BC于点D，则AB、BC、BD三条线段之间的数量关系为　 　．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的定义，沿某条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合的图形为轴对称图形。
对各选项逐一验证：选项B、C、D均无法找到满足条件的直线，因此不属于轴对称图形；选项A存在一条竖直对称轴，沿该直线折叠后两侧图形完全重合，属于轴对称图形。
故答案为：A
【分析】本题考查轴对称图形的概念识别。解题时先明确轴对称图形的判定标准，即一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，则该图形为轴对称图形，再对四个选项的图形分别验证是否存在符合要求的对称轴，排除不存在对称轴的选项后即可得到结果。
2．【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠A＝40°，AB＝AC
∴
∵DE垂直平分AC
∴DA=DC
∴∠ACD=∠A=40°
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=30°
故答案为：C
【分析】根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠ABC=∠ACB=70°，根据垂直平分线性质可得DA=DC，根据等边对等角可得∠ACD=∠A=40°，再根据角之间的关系即可求出答案.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，
∵△ABD的周长为14cm，∴AB+BD+AD＝14cm，
∴AB+BD+CD＝14cm，即AB+BC＝14cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝22cm，
故选C.
【分析】
先依据线段垂直平分线的性质推出对应线段相等，再结合已知三角形的周长推导待求三角形的周长，最终得到答案.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：由作图可得，DM垂直平分AB，BE平分∠ABC
∴∠A=∠ABD，∠ABC=2∠ABD
∴∠ABC=2∠A
∵∠C=84°
∴∠A+∠ABC=180°-∠C=96°，即3∠A=96°
∴∠A=32°
∴∠ABD=32°
故答案为：C
【分析】由作图可得，DM垂直平分AB，BE平分∠ABC，则∠A=∠ABD，∠ABC=2∠ABD，即∠ABC=2∠A，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：A、根据图可得AD=AC，
∴△ACD是等腰三角形，故选项A不符合题意；
B、根据图可得所作直线是线段BC的垂直平分线，
∴不能推出△ACD和△ABD是等腰三角形，故选项B符合题意；
C、根据图可得所作直线是线段AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴△ABD是等腰三角形，故选项C不符合题意；
D、∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
根据图可得AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=30°=∠B，
∴DB=DA，
∴△ABD是等腰三角形，故选项D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】作法知AD=AC可得A中存在等腰三角形；由作法知所作直线是线段BC的垂直平分线，不能找出B中的等腰三角形；由作法知，所作性质是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得DA=DB，可得C中存在等腰三角形；由作法知AD是∠BAC的平分线，推得∠BAD=∠B，根据等角对等边得到DB=DA，可得D中存在等腰三角形.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形；不是中心对称图形，不符合题意；
B是轴对称图形；是中心对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形；不是中心对称图形，不符合题意；
D、是中心对称图形；不是轴对称图形，不符合题意．
故答案为：B.
【分析】中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转180°，能够与自身重合的图形；轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.依据定义判断即可.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：A、由图可知：是的中线，故符合题意；
B、由图可知：不是的中线，故不符合题意；
C、由图可知：不是的中线，故不符合题意；
D、由图可知：不是的中线，故不符合题意；
故选：A．
【分析】根据线段垂直平分线，垂线以及角平分线的尺规作图，结合三角形中线的定义逐项进行判断，即可得出答案.
8．【答案】
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据矩形的性质得相等，等于，根据垂直，相等，得垂直平分，即可得等于2，即可得等于4，再利用勾股定理得等于即可得答案.
9．【答案】
【解析】【解答】解：边的垂直平分线交于点，交于点，
，
∵，，
，，
，
．
故答案为：．
【分析】根据线段垂直平分线的性质求出AD=BD，再求出，最后计算求解即可。
10．【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形；真
【解析】【解答】解：“平行四边形的对边相等”的逆命题是：“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，它是真命题．
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，真．
【分析】利用逆命题的定义及真命题的定义及书写格式分析求解即可.
11．【答案】C
【解析】【解答】解：∵，∴，
∵M、N分别在、的中垂线上，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故选C．
【分析】根据垂直平分线性质可得，则，，再根据角之间的关系即可求出答案.
12．【答案】D
【解析】【解答】解： ∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC
∴BE=AE，AG=CG
∵的周长 =AE+EG+AG
∴的周长 =BE+EG+CG=BC=10
故答案为：10。
【分析】利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得到BE=AE，AG=CG，再根据周长等于= =AE+EG+AG，等量代换即可得到的周长 =BE+EG+CG=BC=10。
13．【答案】D
【解析】【解答】解：轴对称图形定义：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.
A 、“健”：找不到直线使得折叠后两边重合，不是轴对称图形，A不符合题意；
B 、“康”：找不到直线使得折叠后两边重合，不是轴对称图形，B不符合题意；
C、“第”：找不到直线使得折叠后两边重合，不是轴对称图形，C不符合题意；
D、“一”：沿水平中线或者竖直中线折叠，两边可以完全重合，是轴对称图形，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】 本题考查轴对称图形的概念. 判断方法就是看能不能找到一条对称轴，把图形分成左右（或上下）完全一样的两部分. 逐个检验四个汉字，只有 “一” 满足轴对称图形的条件.
14．【答案】C
【解析】【解答】解：连接CE，如图所示：
∵线段AB，DE的垂直平分线交于点C，
∴CA＝CB，CD＝CE，
∴∠BAC＝∠ABC＝72°，∠DEC＝∠EDC＝72°，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠CBD＝∠CAE＝72°＋∠BAE，
∵∠AEB＝112°，
∴∠ABE＝180° ∠AEB ∠BAE＝180° 112° ∠BAE＝68° ∠BAE，
∴∠EBD＝360° ∠CBD ∠ABC ∠ABE＝360° （72°＋∠BAE） 72° （68° ∠BAE）＝148°，
故答案为：C．
【分析】先由线段垂直平分线的性质得CA＝CB，CD＝CE，得到∠BAC＝∠ABC＝72°，∠DEC＝∠EDC＝72°，再证△BCD≌△ACE（SAS），得∠CBD＝∠CAE＝72°＋∠BAE，然后由三角形内角和定理得∠ABE＝88° ∠BAE，进而得出答案．
15．【答案】A
【解析】【解答】由尺规作图痕迹可知：平分，直线，即；
，；
由平行线内错角相等，得；
平分，；
中，；
与为对顶角，
。
故答案为：A
【分析】本题融合尺规作图识别、平行线性质、直角三角形内角关系三类知识点，先从作图痕迹提炼角平分线、垂线两个关键条件，借助双直角推出平行线，利用内错角换算角度，结合角平分线均分角算出，再利用直角三角形两锐角互余、对顶角相等完成求解。
16．【答案】6
【解析】【解答】解：∵线段的垂直平分线交于点D，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
在直角三角形中，，，
∴，
∴．
故答案为：6．
【分析】根据垂直平分线性质可得，根据等角对等边可得，根据等边对等角及三角形内角和定理可得，根据角之间的关系可得∠DBC，再根据含30°角的直角三角形性质可得CD，再根据边之间的关系即可求出答案.
17．【答案】(7，4)
【解析】【解答】解：∵点A与点B对称
∴对称轴为：x=4
∵C（1， 4)于点D对称
∴点D的坐标为(7，4)
故答案为：(7，4)
【分析】根据对称性质即可求出答案.
18．【答案】（1）证明：连接，，
平分，
，
垂直平分，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：设，
，
，
由（1）知，在和中，
，
，
，
，
，
，
解得，
.
【解析】【分析】（1）连接，，即可得到，进而推理得到，利用全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）设，得到，即可得到，进而得到，利用列方程，解方程即可求解．
19．【答案】解：∵ DE 是AC 的垂直平分线 ，
∴DC=AD，EC=AE=3；
∴AC=6，
∵ △ABD 的周长为13 ，
即AB+BD+AD=13，
∴AB+BD+DC=13，
∴ AB+BD+DC+AC=13+6=19.
∴ △ABC 的周长为19.
【解析】【分析】根据垂直平分线的性质来突破本题.
20．【答案】（1）证明：如图，在上截取，连接.
∵，
∴，.
又∵，
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
在和中，
∴.
∴.
∴.
（2）证明：如图，在的延长线上截取，连接.
∵，
∴，.
又∵，
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
在和中，
∴.
∴.
∵，
∴.
【解析】【分析】（1） 从问题入手，三条线段不在一个三角形或一条边上，想办法等量代换，如果在EF找到一点将EF的分成两段，与等号另一边两线段分别相等就可以证得结论了，结合已知的等边等角条件，故想到在EF上找到一点H，令EH=BH，连接AF作辅助线；接下来需要证明FH=FC，要证明两线段相等，通常可先尝试证明线段所在的三角形全等，整理已知条件，可以用由SAS定理证明全等，至此整理思路即可；
（2）基本思路同（1），观察需要证明的等式，作辅助线找到线段BE的2倍，故想到在FE的延长线上找到一点N，令EN=BE，连接AN，则需要证明CF=NF，同样要证明两线段相等，先证明线段所在的三角形全等，整理已知条件，可以用由SAS定理证明全等，至此整理思路写出证明过程。
21．【答案】（1）解：①方法一：证明：∵，（已作）
∴，（同位角相等，两直线平行）
∴.
∵，（已作）
∴，
∴.
方法二：证明：连接PC，PD.
∵EF垂直平分OD，（已作）
∴OP=PD，
同理可得OP=PC，
∴PC=PD.
又∵OC=OD（已作），PO=PO，
∴，（SSS）
∴.
②解：如图，连接PC，PD，
由作图痕迹可知：OC=OD，PC=PD，
在和中
，
（2）5
【解析】【解答】解：（2）如图2中，一共形成5个物体Q的像．
故答案为：5
【分析】（1）①方法一：根据同位角相等，两直线平行得到，则，再等量代换即可求解；方法二：连接PC，PD，根据垂直平分线的性质得到OP=PD，同理可得OP=PC，再根据三角形全等的判定与性质（SSS）证明得到；
②连接PC，PD，根据作图得到OC=OD，PC=PD，再根据三角形全等的判定与性质（SSS）证明即可得到，从而即可求解；
（2）根据轴对称的性质结合题意画出图形，进而即可求解。
22．【答案】AB +2BD =BC
【解析】【解答】解：过点E作EH⊥AG于点G。连接AE，EC，
∵BE平分∠GBC，ED⊥BC，
∴EG=ED，∠BHE=∠BDE=∠BDC=90°，
又∵EB=EB，
∴Rt△BEH≌Rt△BED，
∴BH=BD，
又∵BF垂直平分AC，
∴AE=CE，
∴Rt△AEH≌Rt△CED，
∴CD=AH，
∴BC=BD+CD=BD+AB+BE=AB+2BD，
故答案为：AB +2BD =BC.
【分析】过点E作EH⊥AG于点G。连接AE，EC，先根据角平分线的性质得到EG=ED，然后根据HL得到Rt△BEH≌Rt△BED，即可得到BH=BD，再根据垂直平分线的性质得到AE=CE，即可证明Rt△AEH≌Rt△CED，进而得到CD=AH，然后根据线段的和差解答即可.

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