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专题 10 等边三角形与含30°角的直角三角形 2026-2027学年人教版数学八年级上册专题复习
一、【巩固训练】
1．下列各命题中，假命题的个数为（　　）
①相等的角形是对顶角；②两个角相等的三角形是等边三角形；③三角形的内角和是；④两直线平行，内错角相等．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，等边的顶点、分别在直线，上，且，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
3． 如图，在等边△ABC中，DE⊥BC且BE=EF，HG垂直平分DE，下列结论中错误的是 (　　)
A．△DHE 是等腰三角形 B．△BDF是等边三角形
C．∠AHG=60° D．AD=HD
4．如图所示为小张同学的尺规作图，其具体作法如下：①在射线AD上顺次截取；②分别以点B，C为圆心，以为半径作圆弧，两弧相交于点；③连结AE，BE，CE下列说法中，错误的是（　　）
A．△BCE为等边三角形 B．的面积为
C． D．
5．如图，直线，等边的顶点在直线上，直线交边于点．若，则的度数为　 　．
6．如图，在中，，，于点D，若，则的长为　 　．
7．如图，在四边形中，，，点E在的延长线上，连接．若，平分，求证：为等边三角形．
8．如图，在中，，垂直平分，连接．
（1）证明：．
（2）若，，求的长．
二、【强化训练】
9．如图，，平分，且，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10． 如图，等腰的顶点在圆上，点A在圆外，于点，若，则圆的半径为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．如图，，平分，于，交于．若，则　 　，　 　．
12．如图，是等边三角形的中线，以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点，连接，则的度数是　 　．
13．数学活动中，小伟同学利用一张正方形纸片作如下操作：①如图，先对折正方形，使与重合，得到折痕，把纸片展平；②再一次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕和线段．若线段，则线段　 　．
14．如图，在等边中，点D，E分别在边，上，且，过点E作，交的延长线于点F．
（1）判断，的数量关系，并说明理由；
（2）若，，求的长．
15．在等边三角形ABC中，点E在B边上，点D在 CB的延长线上，且DE=EC.
（1）如图1，当E为AB中点时，求证。CB=2BD：
（2）如图2，若AB=12，AE=2，求CD的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：①相等的两个角不一定是对顶角，故原说法错误，是假命题；
②两个角相等的三角形不一定是等边三角形，故原说法错误，是假命题；
③三角形的内角和是，正确，是真命题；
④两直线平行，内错角相等，正确，是真命题；
∴假命题的个数为2，
故选：B．
【分析】
本题主要考查了对几何命题的真假判断，涉及到对顶角的性质、等边三角形的判定条件、三角形的内角和定理以及平行线的性质，解题时根据基本概念和定理，选出假命题即可．
2．【答案】A
【解析】【解答】解：如图：
是等边三角形，
，
，
，
；
故选：A
【分析】
根据等边三角形的性质，再结合三角形外角的定义与性质，可以推出，最后借助平行线的性质就可以得到最终答案.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵ △ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C = 60°.
∵ HG 是 DE 的垂直平分线，
∴DH=EH，
∴△DHE是等腰三角形，故 A选项正确；
B、∵DE⊥BF，BE=EF，
∴DF=DB，
又∵∠B=60°，
∴△BDF是等边三角形，故B 选项正确；
C、∵DE⊥BC，∠B= 60°，
∴ ∠BDE = 30°，
∵ HG⊥DE，
∴∠HGA=60°，
又∵∠A=60°，
∴∠AHG=60°，故C选项正确；
D、∵∠ADH>∠AGH=60°，
∴ ∠AHD<60°，
∴∠AHD<∠A，
∴AD≠HD，故D选项错误.
【分析】根据等边三角形的性质和垂直平分线的性质可判断A；根据垂直平分线的性质得到DF=DB，利用∠B=60°可判断B；根据直角三角形两锐角互余计算可判断C；根据角度的大小关系比较可判断D；逐一判断即可解答.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：∵，BE=CE=a，
∴，
∴为等边三角形，故A正确；
∵为等边三角形，
∴S△BCE=，
∵，
∴S△ACE=2S△BCE=，故B错误；
∵为等边三角形，
∴，
∵AB=BE，
∴∠BAE=∠AEB.
∵∠CBE是的一个外角，
∴，
∴，∴，故C正确；
∵，，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，故D正确.
故答案为：B.
【分析】（1）通过说明三角形BCE的三边相等，来证明它是等边三角形；
（2）先求出的面积，再求出的面积；
（3）先求出，再求出它的正弦值；
（4）先求出的度数，再找出它与的关系.
5．【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴∠β=∠ABC，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
.
故答案为：．
【分析】根据平行线的性质可得∠β=∠ABC，再根据等边三角形的性质可得，最后根据角的和差即可得出答案.
6．【答案】6
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴∠ADC=90°，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：6．
【分析】由直角三角形两锐角互余得∠A=60°，∠ACD=30°，然后由含30°角直角三角形的性质得出AC=2AD=4，AB=2AC=8，最后根据BD=AB-AD可算出答案.
7．【答案】证明：∵，
∴=∠D，
∴，
∵，平分，
∴，
∴∠BCD=120°，∠B=60°，
的三个角都是60°，
∴为等边三角形．
【解析】【分析】首先利用“两直线平行、同位角相等”，即可得出，此时利用“内错角相等、两直线平行”即可得出，然后利用角平分线和平行线性质，可以得出的三个角都是60°，此时即可得出等边三角形证明结果。
8．【答案】（1）解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴。
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）首先根据垂直平分线的性质得到，然后根据等边对等角得到，然后利用三角形外角的性质得到，即可证明出；
（2）首先根据三角形内角和定理求出，然后求出，利用含角直角三角形的性质求出，进而求解即可．
（1）∵垂直平分，
∴
∴
∵
∴；
（2）∵，
∴
∴
∴
∵，
∴
∴．
9．【答案】A
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠CAB，
∵CA平分∠DCB，
∴∠DCA=∠ACB，
∴∠CAB=∠ACB，
又∵∠B=110°，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠CAB=∠ACB，再根据三角形的内角和定理即可求出∠A．
10．【答案】C
【解析】【解答】解：过点A作于点E，连接、，如图所示：
∵，，
∴，，
∴垂直平分，
∵，
∴点O在上，
∵，
∴设，则，
根据勾股定理得：，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得：，故C正确．
故选：C．
【分析】本题考查垂直平分线的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质．过点A作于点E，连接、，根据等腰三角形性质可推出垂直平分，根据，得出点O在上，根据三角函数可求出，，，利用线段的运算可求出，根据勾股定理求出，据此可求出答案．
11．【答案】10；5
【解析】【解答】解： ∵OP平分∠AOB，
∴∠AOP=∠BOP，
∵PC∥OB，
∴∠CPO=∠BOP，
∴∠CPO=∠AOP，
∴PC=OC，
∵PC=10，
∴OC=PC=10，
过P作PE⊥OA于点E，如图：
∵PD⊥OB，OP平分∠AOB，
∴PD=PE，
∵PC∥OB，∠AOB=30°，
∴∠ECP=∠AOB=30°，
在Rt△ECP中，，
∴PD=PE=5，
故答案为：10，5.
【分析】根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线得出∠AOP=∠BOP，根据两直线平行，内错角相等得出∠CPO=∠BOP，推得∠CPO=∠AOP，根据等角对等边得出OC=PC=10，过P作PE⊥OA于点E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等得出PD=PE，根据两直线平行，同位角相等得出∠ECP=30°，根据直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半得出PE=5，即可求解.
12．【答案】
【解析】【解答】解：是等边三角形，
，
是的中线，
，
由题意得：，
，
故答案为：．
【分析】根据等边三角形性质可得，，根据等边对等角及三角形内角和定理即可求出答案.
13．【答案】
【解析】【解答】解：如图，取的中点，连接，
根据折叠的性质，得，，，，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】取的中点，连接，由折叠的性质得，，，，根据直角三角形斜边上的中线性质推出，从而得证为等边三角形，得出，进而求出，然后根据正方形性质得，利用含30°的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，于是得，最后再利用勾股定理求出．
14．【答案】（1）解：，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∵且，
∴
∴，
∴，
∴.
（2）解：∵是等边三角形，∴，
∴，
由（1）可知，
又，
∴是等边三角形，
∴，
由（1）可知，，
∴．
【解析】【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质．（1）根据是等边三角形可知，根据平行线的性质可知，根据直角三角形的性质可知，进而可得，，再根据等角对等边可证结论成立；
（2）由是等边三角形可得，进而可得，证明是等边三角形，则可得，再根据角所对的边等于斜边一半可得．
（1）解：，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是直角三角形，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，在中，，
∴．
15．【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形， E为AB中点 ，
∴∠ABC=∠A=∠ACB=60°，CE⊥AB，CE平分∠ACB，
∴∠BEC=90°，∠BCE=30°，
∴CB=2BE，
∵ DE=EC ，
∴∠D=∠BCE=30°，
∴∠DEB=∠ABC-∠D=30°，即∠DEB=∠D，
∴BD=BE，
∴ CB=2BD
（2）解：过点E作EF∥BC交AC于点F，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠AFE=∠ABC=∠ACB=60°，△AEF为等边三角形，
∴∠EFC=∠EBD=120°，EF=AE，
∵DE=EC ，EF∥BC，
∴∠EDB=∠ECB，∠ECB=∠FEC，
∴∠EDB=∠FEC，
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD=EF，
∴AE=BD，
∴CD=BC+BD=12+2=14
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形三线合一的性质可得CE⊥AB，CE平分∠ACB，利用含30°角的直角三角形的性质可得CB=2BE，再利用等腰三角性质的性质可推出∠DEB=∠D，从而得出BD=BE，继而得解；
（2）过点E作EF∥BC交AC于点F，可得△AEF为等边三角形，再证△BDE≌△FEC（AAS），可推出BD=EF=AE，利用CD=BC+BD即可求解.

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