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专题 15 乘法公式与因式分解的综合应用 2026-2027学年人教版数学八年级上册专题复习
一、【巩固训练】
1．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
2．若，则k的值是（　　）
A．10 B． C． D．14
3．小颖利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．若多项式能因式分解为，则　 　.
6．将下列各式分解因式：
⑴x2+4x+3．
解：
⑵2x2-5x-3．
解：
∴2x2-5x-3=(2x+1)(x-3)．
请你仿照上面的做法，将下列各式分解因式：
（1）x2+3x +2．
（2）x2-7x +6．
7．先化简，再求值：，其中，．
8．因式分解
（1）3x-12x3；
（2）
9．已知：整式，，t为任意有理数．
（1）的值可能为负数吗？请说明理由；
（2）请通过计算说明：当t是整数时，的值一定能被32整除．
二、【强化训练】
10． 已知多项式可分解为，则k的值为（　　）.
A．1 B．-1 C．5 D．-5
11．对任意整数，都能（　　）
A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除
12．下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（　　）
A． B． C． D．
13．下列因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
14．计算 的结果是（　　)。
A．0 B．1 C．2 D．
15．计算：　 　．
16．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程：
解：设，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的______（填序号）．
A. 提取公因式 B. 平方差公式
C. 两数和的完全平方公式 D. 两数差的完全平方公式
（2）该同学在第四步将用所设中的的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？______（填“是”或“否”），如果否，直接写出最后的结果______．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
17．本学期第四章，我们学习了因式分解，知道了 可以用平方差公式因式分解为，善于思考的小聪提出了这样一个问题： 可以因式分解吗 它的结果是什么 以下为小聪的部分推导过程：
（1）请帮小聪完善推导的过程；
（2） 若a-b=3， 求 的值；
（3）你能模仿小聪的方法对 因式分解吗
18．如图， 4 个长为 、宽为 的小长方形围成了一个大正方形，请用不同方法计算阴影部分的面积。你能得到怎样的等式？请验证它的正确性。
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A、左边是两个整式的乘积，右边是一个多项式，这个变形是整式乘法，和因式分解的方向正好相反，因此不是因式分解，故A不符合题意 ；
B、右边的表达式是与的和，不是几个整式的积的形式，因此不是因式分解，故B不符合题意 ；
C、右边的表达式是与的和，不是几个整式的积的形式，因此不是因式分解，故C不符合题意 ；
D、左边是一个多项式，右边是和这两个整式的乘积，完全符合因式分解的定义，因此是因式分解，故D符合题意 ；
故答案为：D。
【分析】判断一个变形是否为因式分解，核心是看它是否满足因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式。我们可以逐一对照选项，检查其变形是否符合这两个关键条件。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：
∴，
解得：，
故选：B．
【分析】
把等号右边利用多项式乘以多项式法则展开，再根据对应系数相等求解．
3．【答案】B
【解析】【解答】解：根据题图可得大长方形是由2个边长为b的正方形，3个长为b宽为a的长方形和1个边长为a的正方形组成，
∴大长方形的面积为，
另外大长方形可以看作一般长为宽为的长方形组成，
∴大长方形的面积为，
∴可以得到一个因式分解的等式为，故B正确．
故选：B．
【分析】
通过两种不同的方式表示这个大长方形的面积，根据面积相等就可以得到对应结论.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：A．，故A正确，符合题意；
B．无法分解因式，故B错误，不符合题意；
C．，故C错误，不符合题意；
D．，故D错误，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】
根据因式分解的概念，对选项逐个判断即可，因式分解是把一个多项式化为几个整式乘积的形式．
5．【答案】
【解析】【解答】解：根据题意可知：=，
∵=，
即=，
∴a=-1.
故答案为：-1.
【分析】根据题意可知：=，而=，即可得出=，进而即可求出a的值.
6．【答案】（1）解：
∴ x2+3x +2 =（x+1）（x+2）
（2）解：
∴ x2-7x +6 =（x-1）（x-6）
【解析】【分析】(1)将常数项分解成1和2，与x交叉相乘得到3x；
(1)将常数项分解成-1和-6，与x交叉相乘得到-7x.
7．【答案】解：原式
，
当，时，原式．
【解析】【分析】去小括号，合并同类项化简中括号，再根据多项式除单项式化简，再将a，b值代入即可求出答案.
8．【答案】（1）解：3x-12x3
=3x（1-4x2）
=3x（1-2x）（1+2x）；
（2）解：a2-2ab+b2-1
=（a-b）2-1
=（a-b+1）（a-b-1）．
【解析】【分析】（1）提公因式，结合平方差公式进行因式分解即可求出答案.
（2）根据完全平方公式及平方差公式进行因式分解即可求出答案.
（1）解：3x-12x3
=3x（1-4x2）
=3x（1-2x）（1+2x）；
（2）解：a2-2ab+b2-1
=（a-b）2-1
=（a-b+1）（a-b-1）．
9．【答案】（1）解：不可能，
理由如下： ，
∵ ，
∴ ，
∴原式不可能为负数．
（2）解： ，
∴当t是整数时， 的值一定能被32整除．
【解析】【分析】（1）将代数式，代入计算可得4t2+2，再求解即可；
（2）将代数式，代入可得32t，再求解即可.
（1）解：不可能，理由如下：
，
∵ ，
∴ ，
∴原式不可能为负数．
（2）解： ，
∴当t是整数时， 的值一定能被32整除．
10．【答案】C
【解析】【解答】解：计算，与比较，可得
，因此；
故答案为：C.
【分析】本题的解题关键是根据两个多项式对应项系数相等，将因式分解后的式子用多项式乘法法则展开得到，将展开后的式子和原多项式的同次项系数进行对比，即可得出结果.
11．【答案】B
【解析】【解答】∵，
∴故一定能被4整除，
故选B．
【分析】
利用平方差公式对原式进行因式分解，再根据分解结果做出判断.
12．【答案】A
【解析】【解答】解：A：m2-4=(m+2)（m-2），能用平方差公式进行因式分解，选项符合题意；
B： =-(m2+4)，不能用平方差公式进行因式分解，选项不符合题意；
C：，不能用平方差公式进行因式分解，选项不符合题意；
D： ，不能用平方差公式进行因式分解，选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】本题考查平方差公式因式分解，熟悉平方差公式是解题关键。a2-b2=（a+b）（a-b），对选项逐一判定，可得答案。
13．【答案】B
【解析】【解答】解：A、，该项错误，故A项不符合题意；
B、，该项正确，故B项符合题意；
C、，不是因式分解，此选项错误，故C项不符合题意；
D、，无法分解因式，此选项错误，故D项不符合题意；
故选：B．
【分析】直接利用提取公因式法和公式法分解因式，即可求得．
14．【答案】B
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】先将括号里两项通分，再利用平方差公式与外面的数相乘。
15．【答案】7
【解析】【解答】解：．
故答案为：7．
【分析】
先根据平方差公式，再根据乘方运算法则和二次根式混合运算法则，进行计算即可．
16．【答案】（1）C
（2）否；
（3）解：设
原式
．

【解析】【解答】（1）解：该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式，
故答案为：C；
（2）解：否，最后结果求解如下：
原式，
，
，
故答案为：否，．
【分析】（1）根据两数和的完全平方公式填空；
（2）根据两数差的完全平方公式．
（3）仿照例题用换元法进行因式分解．
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式，
故选：C；
（2）否，最后结果求解如下：
原式，
，
，
故答案为：否，．
（3）解：设
原式
．
17．【答案】（1）ab)
所以，
（2）已知
将其代入 中，可得： +ab)
由 可得ab=
将 代入可得： ，
将ab=-2代入 中，可得： ，
所以， 的值为9。
（3）因为
所以，
【解析】【分析】（1）提取公因式(a-b)分解因式即可；
（2）根据完全平方公式的变形求出ab的值，然后整体代入（1）终结论计算即可；
（3）仿照题目中小聪的推导过程解答即可.
18．【答案】解：方法一：S阴影=（a+b）2-（a-b）2；方法二：S阴影=4ab；
∴可得等式：（a+b）2-（a-b）2=4ab；
证明：（a+b）2-（a-b）2=a2+2ab+b2-（a2-2ab+b2）=4ab.
【解析】【分析】利用不同的表达式表示阴影部分的面积可得等式（a+b）2-（a-b）2=4ab；再利用完全平方公式的计算方法分析求解即可.

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