资源简介

14.2全等三角形的判定 同步分层训练
一、夯实基础
1．如图，某桥梁的钢架结构中，△ABC和△DEF 的顶点B，C，E，F在同一直线上．已知AB∥DE，且AB=DE， 同时点C是BE的中点， 点E是CF的中点．则判定△ABC≌△DEF 的依据是 (　　)
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
2．小明利用全等三角形的知识测量河流的宽度，设计了如图所示的方案．在河边选了一点，然后在的延线上找一点，使，在点沿与河边垂直的方向直走到点，观察到A，O，D，三点在同一直线上．测得的长，就是河流的宽度，小明这种测量方法的原理是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（　　）
A． B． C． D．
4． 如图，点A、D在线段BC的同侧，连接AB、AC、DB、DC，已知∠ABC＝∠DCB，老师要求同学们补充一个条件使△ABC≌△DCB．以下是四个同学补充的条件，其中错误的是（　　）
A．AC＝DB B．AB＝DC
C．∠A＝∠D D．∠ABD＝∠DCA
5．如图，过边长为a的等边三角形的边AB上一点P，作于点E，Q为延长线上一点，当时，交于D，则的长为（　　）
A． B． C． D．不能确定
6．如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定的是（　　）
A． B． C． D．
7．王师傅不小心将一块瓷砖摔碎了，摔成如图所示的三块，现要去瓷砖生产厂切割一块完全一样的瓷砖，只需携带　 　即可(填“①”“②”“③”).
8．如图，在△ABC中，∠A=70°，点D，E分别在边AC，BC上，且AD=ED，AB=EB，若∠ABD=30°，则∠C的度数为　 　.
9．如图，在 ABCD中，点E为边BC上一点，连接AE.
（1）请用无刻度的直尺和圆规作 ∠DCM，使∠DCM＝∠BAE，且射线CM交边AD于点F（保留作图痕迹，不写作法）.
（2）判断线段BE与（1）中得到的线段DF 的数量关系，并给出证明.
10．如图，两车从路段AB的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时间后分别到达C，D两地. C，D 两地到路段AB 的距离CE，DF 相等吗 为什么
二、能力提升
11．在课堂上，陈老师发给每人一张印有Rt△ABC（如图①)的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A'B'C'，使得Rt△A'B'C'≌Rt△ABC.小赵和小刘同学先画出了∠MBN=90°之后，后续画图的主要过程分别如图②所示.
对这两种画法的描述正确的是（　　)
A．小刘同学作图判定 的依据是ASA
B．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的是线段A'C'
C．小赵同学作图判定 的依据是 HL
D．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的是线段B'C'
12．如图是嘉嘉为参加手工比赛制作燕子风筝的骨架图，已知AC=AD，AB=AE，∠BAD=∠EAC，∠D=35°，则∠C的度数为 (　　)
A．30° B．35° C．40° D．45°
13．如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点，，，，均在小正方形方格的顶点上，线段，交于点，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
14．如图，，可以判定的依据是（　　）
A． B． C． D．
15．如图，在中，、、分别是、、上的点，且，．若．则的度数　 　．
16．如图，在△ABC 中，∠BAC=36°，AD 平分∠BAC，AE⊥AD 交BC 的延长线于点 E，若CE=BA+AC，求∠B的度数.
17．学习了三角形全等的判定与性质后，我们得到角平分线的性质定理及其逆定理.
（1）【理解定理】如图1，已知AD平分∠CAB，DC⊥AC于C，DB⊥AB于B，若CD=1，则DB=　 　.
（2）【问题解决】如图2，点B，D，C分别是AF，AG和AE上的一点，且满足BD=CD，∠ABD+∠ACD=180°.
求证：AD平分∠BAC.
（3）【变式应用】如图3，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D为BC的中点，E，F分别为AB，AC上一点，且∠BED=∠AFD.
求△BDE和△CDF的面积和.
三、拓展创新
18． 如图，在 中，， 的角平分线 ， 相交于点 O，过点 O 作 交BC的延长线于点 E，交 AC于点 G，下列结论：
①；②；③。其中正确的结论是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
19．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，为等腰直角三角形，，则点B的坐标为（　　）
A． B． C． D．
20．【问题提出】如图1，在四边形中，，E是的中点，平分，平分，试判断和之间的数量关系．
【问题解决】小李为解决该问题画出了如下辅助线：如图2，延长，与的延长线相交于点F．
请你结合小李所画的辅助线，回答下面的问题，并将推理过程补充完整：
和之间的数量关系为 ．理由如下：
【拓展延伸】如图3，已知是的中线，，，°，试判断线段与的数量关系，并加以证明．
21．【问题背景】
定义：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是直线BC、直线CD上的点。若∠BAD=2∠EAF，则称四边形ABCD是△AEF的“等腰倍角四边形”。如图1，四边形ABCD是△AEF的“等腰倍角四边形”，△AEF在四边形ABCD内部，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系。
（1）小慧同学探究此问题所用的方法如下：延长FD到点G，使DG=BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，她的结论应是　 　。
（2）【探索延伸】
如图2，四边形ABCD是△AEF的“等腰倍角四边形”，△AEF有一部分在四边形ABCD的外部，上述结论是否仍然成立 若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的结论。（写出过程）
（3）【实际应用】
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏东60°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏西20°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后舰艇甲向正南方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿南偏东40°的方向以一定速度前进。2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，此时两舰艇之间的距离为280海里，试求舰艇乙前进的速度。
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：∵ AB∥DE，
∴∠B=∠DEF，
∵ 点C是BE的中点， 点E是CF的中点．
∴BC=CE=EF，
在 △ABC和△DEF 中：
∴ △ABC≌△DEF （SAS）
故答案为：A。
【分析】根据证明 △ABC和△DEF全等的条件，即可得出答案。
2．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意，得：，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
故选：C．
【分析】先根据全等三角形的判定方法ASA证明，再根据全等三角形的性质得出结论即可即可．
3．【答案】D
【解析】【解答】解：由作图可知，
在和中，
，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】根据作图可得，，从而得到，用到的方法为SSS，即可求解．
4．【答案】A
【解析】【解答】解：A、补充AC=DB，在△ABC和△DCB中，
SSA不能判定△ABC≌△DCB，故该选项错误；
B、补充AB=DC，在△ABC和△DCB中，
可根据SAS判定△ABC≌△DCB，故该选项正确；
C、补充∠A=∠D，在△ABC和△DCB中，
可根据AAS判定△ABC ≌ △DCB，故该选项正确；
D、补充∠ABD=∠DCA，在△ABC和△DCB中，
可根据ASA判定△ABC ≌ △DCB，故该选项正确.
故选项为：A
【分析】因为∠ABC=∠DCB，BC共边，对选项根据三角形全等的判定逐一分析即可。
5．【答案】A
【解析】【解答】解：过P作交于点F，如图所示
则，
∵是等边三角形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵于E，是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：A．
【分析】
过P作交于点F，根据等边三角形的性质先由AAS证明得到，再通过证明是等边三角形和，推出，即可推出，可得，即可得出的长度，计算即可解答．
6．【答案】A
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴A、添加可用进行判定，故符合题意；
B、添加不能判定，故不符合题意；
C、添加不能判定，故不符合题意；
D、添加不能判定，故不符合题意．
故选：A．
【分析】
先由BF=EC推出BC=EF，再结合=，依据三角形全等判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）即可判断.
7．【答案】①
【解析】【解答】解：因为①中含有两角和夹边，根据ASA可由①得出与原瓷砖完全相同的瓷砖。
故答案为：① .
【分析】根据ASA即可得出答案。
8．【答案】50°
【解析】【解答】
解： ∵AD=ED，AB=EB ，BD=BD
∴
∴∠ABD=∠DBE
∵∠ABD=30°，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBE=60°，
∵∠A=70°，
∴ ∠C =180°-∠A-∠ABC=50°
故答案为：50°
【分析】先根据SSS证明，再根据全等三角形的性质得到∠ABC=60°，再由三角形的内角和定理计算即可解答.
9．【答案】（1）解：如图所示即为所求：
（2）解：BE＝DF.
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴ AB＝CD，∠B＝∠D，
由（1）可知， ∠DCM＝∠BAE，
∴△ABE≌△CDF（ASA）
∴BE＝DF.
【解析】【分析】（1）本题考查作一个角等于已知角，以点 A 为圆心，适当长度画弧，交 AB、AE 于两点；
以点 C 为圆心，相同长度画弧，交 CD 于一点；量取前两处交点弧长，在 C 处弧上截取等长弧，得到交点，连接 C 作出射线 CM，交 AD 于 F，即满足∠DCM=∠BAE.
（2）根据平行四边的性质：两组对边分别相等，两组对角分别相等，可得AB=CD，∠B=∠D，再由（1）中所作相等角的关系，可证BE、DF所在三角形全等，进而证得BE与DF的数量关系.
10．【答案】解： CE=DF，理由如下：
由题意得：A C = B D ， ∠ A E C = ∠ B F D = 90 ，
∵ A C ∥ B D ，
∴ ∠ C A E = ∠ D B F
在 △ A C E 与 R △ B D F 中：
∠ C A E = ∠ D B F
∠ A E C = ∠ B F D
A C = B D
∴ △ A C E △ B D F （AAS），
∴ C E = D F ，即C、D到AB的距离相等，
【解析】【分析】先根据题意得：A C = B D ， ∠ A E C = ∠ B F D = 90 ，再利用平行线得性质得到∠ C A E = ∠ D B F，根据AAS判定 △ A C E △ B D F，再根据全等三角形的性质即可解答.
11．【答案】C
【解析】【解答】解：A、小刘同学作图判定Rt△A'B'C'≌Rt△ABC的依据的SAS，错误；
B、小刘同学第一步作图是用圆规截取的线段A'B'=AB，错误；
C、小赵同学作图判定Rt△A'B'C'≌Rt△ABC的依据是HL，正确；
D、小赵同学第二步作图是用圆规截取的线段A'C'=AC，错误.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查全等三角形的判定方法以及尺规作图的原理.小刘同学先画直角，再在两条直角边上分别截取与原三角形两直角边相等的线段，由此可以判断选项A、B；小赵同学画好直角后，先在一条直角边上截取与原三角形一条直角边相等的线段，再以这条直角边的端点为圆心、以原三角形斜边长为半径画弧，与另一条直角边相交，从而确定第三个顶点，由此可以判断选项C、D.
12．【答案】B
【解析】【解答】解：∵ ∠BAD=∠EAC，
∴ ∠BAD+∠CAD=∠EAC+∠CAD，即∠BAC=∠EAD.
在△ABC与△AED中
∴△ABC≌△AED（SAS）
∴∠C=∠D=35°.
故答案为：B
【分析】根据角之间的关系可得∠BAC=∠EAD，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
13．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，
由图可知：，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】本题结合图形，利用SAS证明，然后利用全等三角形性质得到，接着利用“两直线平行、内错角相等”得出，然后根据三角形外角的性质列式计算即可逐步推出答案。
14．【答案】D
【解析】【解答】解：在和中，
故选：D．
【分析】
根据已知==90°，AC=AD可证明两个三角形为直角三角形，再根据全等三角形的判定定理即可解答.
15．【答案】
【解析】【解答】解：在和中，
，
，
，
∵是的外角，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】
先推导证明，根据全等的性质得到对应角相等，即，之后结合三角形外角的性质计算出的度数，最后依据三角形内角和定理，就可以求出的度数。
16．【答案】解： 延长BA至M， 使AM = AC， 连接EM，
∵∠ACE是△ABC的外角， ∠BAC =36°，
∴∠ACE =∠B+∠BAC =36°+∠B，
∵∠BAC=36°， AD平分∠BAC，
∴∠BAD =∠CAD =18°，
∵AE⊥AD，
∴∠DAE=90°，
∴∠MAE=180°-∠BAD-∠DAE=180°-18°-90°= 72°，
∠CAE=∠DAE-∠DAC=90°-18°= 72°，在△AME与△ACE中：
∴△AME≌△ACE(SAS)，
∴∠M =∠ACE=36°+∠B， CE= ME，
∵CE =BA+AC， AC = AM，
∴CE= AB+AM = BM，
∴ME= BM，
∴∠B=∠BEM，
∵∠M +∠B+∠BEM =180°，
∴36°+∠B+∠B+∠B=180°，
解得： ∠B=48°.
【解析】【分析】延长BA至M，使AM=AC，连接EM，证明 从而得. 即可得ME=BM，则 在 中利用内角和定理得方程 即可求得的值.
17．【答案】（1）1
（2）证明：过 D 作 DP⊥AC 于 P，过 D 作 DQ⊥AB 于 F，
∵∠ABD+∠ACD=180°
∴∠DCP=∠DBQ
∵BD=CD， ∠DPC=∠DQB=90°
∴△DCP≌△DBQ（AAS）
∴DP=DQ
∵DP⊥AC，DQ⊥AB
∴AD 平分∠EAB
（3）解：连结 AD，过 D 作 DH⊥AB 于 H，DG⊥AC 于 G
∵AB=AC ，D 为 BC 的中点
∴ AD⊥BC，DA 平分∠BAC
∵ DH⊥AB，DG⊥AC，DA 平分∠BAC
∴DH=DG
∵∠BED=∠AFD，DH=DG，DH⊥AB，DG⊥AC
∴△DHE≌△DGF（AAS）
∴DE=DF
可证△BDH≌△CDG
由 可得
和 的面积和 的面积 .
【解析】【解答】解：(1) AD平分∠CAB，DC⊥AC，DB⊥AB， CD=1
.
故答案为：1.
【分析】(1)角平分线上的点到角两边的距离相等.
(2)作 DP⊥AC ，DQ⊥AB，可得∠DPC=∠DQB=90° ，由补角的性质可得∠DCP=∠DBQ，进而通过AAS判定△DCP≌△DBQ得到DP=DQ，即可证得AD 平分∠EAB.
(3) 作 DH⊥AB，DG⊥AC，利用等腰三角形的性质可得DA 平分∠BAC，进而证得DH=DG，再通过AAS判定△DHE≌△DGF，证得DE=DF，利用HL可判定△BDH≌△CDG，故 和 的面积和 的面积，然后通过等面积法求得DH的长度，再由勾股定理计算出BH的长度，即可求得△BDE和△CDF的面积和.
18．【答案】D
【解析】【解答】解：①∵△ABC的角平分线AD、BE相交于点O，
∴，，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°
∴∠ABC+∠BAC=180°-∠ACB=180°-90°=90°
∴
=45°
∴∠BOD=∠ABO+∠BAO=45°，故①正确；
②∵∠BOD+∠BOA=180°，∠BOD=45°，
∴∠BOA=180°-∠BOD=180°-45°=135°
∵OF⊥AD，
∴∠DOF=90°
∴∠BOF=∠BOD+∠DOF=45°+90°=135°
∴∠BOA=∠BOF
在△BOA和△BOF中，
∴△BOA≌△BOF (ASA)，故②正确；
如图所示，延长FO交AB于H，
∴∠AOG=∠AOH=90°
在△AOH和△AOG中，
∴△AOH≌△AOG (ASA)，
∴AG=AH， OG=OH，
∴∠BOH=180°-∠BOD-∠DOF=45°
∴∠BOH=∠BOD=45°
在△BOD和△BOH中，
∴△BOD≌△BOH(ASA)，
∴BD= BH， OH=OD，
∴AB=AH+BH=AG+BD， 即BD+AG=AB， 故③正确；
综上所述，其中正确的结论是①②③.
故答案为：D.
【分析】利用三角形的角平分线、三角形的内角和定理及其外角性质可判断①；推导出∠BOA=∠BOF可证明△BOA≌△BOF(ASA)，进而可判断②；延长FO交AB于H，分别证明△AOH≌△AOG(ASA)和△BOD≌△BOH(ASA)，利用全等三角形的对应边相等可判断③，进而可得答案.
19．【答案】B
【解析】【解答】解：分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，如图，
点坐标为，
，，
轴，轴，
，
，，
，
为等腰直角三角形，且，
，
在与中，
，
，
∴点B的坐标为，
故选：B．
【分析】
分别过点A、点B作x轴的垂线，垂足依次为C、D，即可证明，进而可以得到点B的坐标.
20．【答案】【问题解决】解：理由如下：
∵AB∥DC，
∴∠ABE=∠F.
∴E是AD中点，
∴AE=DE，
又∠AEB=∠DEF（对顶角相等），
∴△ABE≌△DFE（AAS），
∴AB=DF.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE.
又∵∠ABE=∠F，
∴∠CBE=∠F，
∴BC=CF.
∵CF=CD+DF，AB=DF，
∴BC=CD+AB．
故答案为：BC=CD+CB.
【拓展延伸】数量关系：EF=2AD.
证明：延长AD至G，使DG=AD，连接CG.
∵AD是中线，
∴BD=CD.
又∠ADB=∠GDC，
∴△ABD≌△GCD（SAS），
∴AD=GD，AB=CG，∠BAD=∠G.
∵AB=AE，
∴AE=CG.
∵∠BAE=∠CAF=90°，
∴∠EAF+∠BAC=180°．
∵∠BAD=∠G.
∴AB∥CG，
∴∠BAC＝∠GCA，
∴∠EAF=∠GCA.
在△AEF和△CGA中，
∴△AEF≌△CGA（SAS），
∴EF=AG.
∵AD=GD，即AG=2AD，
∴EF=2AD．
【解析】【分析】【问题解决】先根据平行线的性质和线段的中线，证明△ABE≌△DFE（AAS），进而求出AB＝DF；再根据角平分线的性质，得出∠ABE=∠CBE；接着通过角度的等量代换，得出∠CBE=∠F，从而根据等角对等边，求出BC＝CF；最后根据边的等量代换，即可证明BC=CD+CB.
【拓展延伸】先通过作辅助线，得出DG＝AD，结合中线的性质，证明△ABD≌△GCD（SAS）；再根据全等三角形的性质，得出AB=CG，∠BAD=∠G，并结合已知条件AB=AE，得出AE=CG；接着根据已知条件∠BAE=∠CAF=90°，利用平行线的性质证明∠EAF=∠GCA，从而证明△AEF≌△CGA（SAS），从而得出EF=AG；最后通过边的等量代换，即可证明EF=2AD.
21．【答案】（1）EF=BE+FD
（2）解：结论EF=BE+FD不成立，结论：EF=BE-FD。
理由如下：如图，在DF上截取DG=BE，连接AG。
∵四边形ABCD是△AEF的“等腰倍角四边形”，
∴∠ABC+∠D=180°，
又∵∠ABE+∠ABC=180°，
∴∠ABE=∠D。
在△ABE和△ADG中，
∴△ABE △ADG(SAS)。
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∴∠BAF+∠DAG=∠BAF+∠BAE=∠EAF。
又∵∠EAF=∠BAD，
∴∠GAF=∠EAF。
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF △AGF(SAS)。
∴EF=GF，
∴FD=GF+DG=EF+BE，
∴EF=BE-FD
即此时结论为EF=BE-FD。
（3）解：如图，连接EF，将AE，BF延长相交于点C。
由方向角可得
∠AOB=(90° 60°)+90°+20°=140°，∠A=60°，∠B=180° 20° 40°=120°，
∴∠A+∠B=180°
又∵∠EOF=70°，
∴OB=OA，
∴四边形OACB是△OEF的“等腰倍角四边形”，且△OEF在四边形OACB内部，符合（1）中的条件。
根据（1）的结论可知
EF=BF+AE。
已知舰艇甲的速度为60海里/小时，行驶2小时，则
AE=60×2=120海里，
又∵EF=280海里。
∴BF=EF AE=280 120=160海里。
舰艇乙行驶时间为2小时，那么舰艇乙前进的速度为160÷2=80海里/时。
【解析】【解答】（1）解：∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，
∴∠B=∠ADG。
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE △ADG(SAS)。
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG。
又∵∠BAE+∠DAF=∠BAD=∠EAF，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠EAF。
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF △AGF(SAS)。
∴EF=GF，
又∵GF=DG+FD=BE+FD，
∴EF=BE+FD。
【分析】（1）由∠ADC+∠ADG=180°，结合已知 ∠B+∠D=180° ，根据同角的补角相等得到∠B=∠ADG，再结合AB=AD，BE=DG，根据全等三角形判定定理（SAS）证明△ABE △ADG，得到AE=AG，∠BAE=∠DAG。再结合∠BAE+∠DAF=∠BAD=∠EAF推出∠GAF=∠EAF，进而利用（SAS）证明△AEF △AGF，得出EF=GF，从而得到EF与BE、FD的数量关系；
（2）同（1）在DF上截取DG=BE构造全等三角形△ABE和△ADG，进而得到边和角的等量关系，再通过角度的推导证明△AEF和△AGF全等，最后根据线段之间的等量代换得出EF、BE、FD之间的数量关系；
（3）连接EF，并将AE，BF延长相交于点C，利用方向角的条件，计算出∠AOB=(90° 60°)+90°+20°=140°，∠A=60°，∠B=180° 20° 40°=120°，∠A=60°，∠B=180° 20° 40°=120°，进而得到∠A+∠B=180°，又已知∠EOF=70°，由此判断四边形OACB是△EOF的“等腰倍角四边形”，且∠OEF在四边形OACB内部，符合之前（1）中所给的条件。根据（1）的结论，直接得出EF=BF+AE。
已知舰艇甲的速度为60海里/小时，行驶2小时，根据路程=速度×时间，可得AE=60×2=120海里，又已知EF=280海里，通过BF=EF AE计算出BF=280 120=160海里。然后根据速度=路程÷时间，得出舰艇乙前进的速度。

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