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专题 11 最短路径问题 2026-2027学年人教版数学八年级上册专题复习
一、【巩固训练】
1．如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，平分，于点，点是射线上一个动点，若，则的最小值为（　　）
A． B．2 C．3 D．
3． 如图， 四边形ABCD中， ∠ °， E， F 分别是BC， DC上的点， 当△AEF 的周长最小时， ∠EAF=　 　.
4．如图，中，，，，于点D，垂直平分，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为　 　．
5．如图，在等腰三角形ABC中，底边BC=3cm，△ABC的面积是6平方厘米，腰AB的垂直平分线EF分别交AB 、AC于点E、F，点D为BC边上的中点，M为EF上的动点．
（1）当△BMD周长的最小时，请在图中作出满足条件的△BMD （保留作图痕迹，不要求写出画法）．
（2）△BMD周长的最小值是　 　．
6．如图，在平面直角坐标系中，，，．
（1）在图中画出关于轴对称的；
（2）在轴上作出一点，使最小，请在图中标出点的位置并直接写出点的坐标．
7．如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．
（1）作出关于直线的轴对称图形三角形；
（2）求的面积；
（3）在直线上找一点，使最小．
二、【强化训练】
8．如图，在平面直角坐标xOy系中，将折线AEB向右平移得到折线CFD，则折线AEB在平移过程中扫过的面积是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．如图， OC平分∠AOB，在OC上取一点P，作PF⊥OB，已知OF=8cm， △FOP的面积为12cm2，点E是射线OA上一动点，则PE长度的最小值为(　　)
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
10．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上，BD＝6，CD＝2，点P'是AB上的动点，则PC+PD的最小值是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
11．如图，是等边三角形，D、M分别是、中点，连接且，在上找一点P，则当最短时，　 　．
12．如图，在平面直角坐标系中．的顶点坐标分别为．
（1）画出关于x轴对称的图形；
（2）在x轴上找一点P．使得的周长最小．
13．如图，在正方形网格上有一个
（1）画 关于直线MN的对称图形(不写画法)；
（2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求 的面积.
（3）在直线MN上求作一点P，使PA+PB最小.
14．如图，在中，，的垂直平分线交于，交于．
（1）若，求的度数．
（2）连接，若，．
①求的周长；
②在直线上是否有在点，使的值最小，若存在，标出点的位置并求的最小值，若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：作点M关于直线l的对称点，连接交直线l于点Q，则，由两点之间线段最短可知，此时管道长度最短．
故答案为：B．
【分析】本题根据轴对称的性质，可以找到M点关于l的对称点，也可以找到N点关于l的对称点，然后依据两点之间线段最短连线即可得出结论．
2．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
过点作于B，
∵平分，，，
∴，
∴的最小值为3．
故选：C．
【分析】
根据角平分线的性质和垂线段最短的性质.角平分线上的点到角两边的距离相等，所以过点P作PB⊥OM于B，则PB=PA=3，又因为垂线段最短，所以PQ的最小值就是PB的长度，即3.
3．【答案】80°
【解析】【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A'，A"，连接A'A"，交BC于E，交CD于F，则A'A"即为△AEF的周长最小值，作DA延长线AH，
∵∠C=50°，∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠DAB=360°-∠ABC-∠ADC-∠C=130°
∴∠HAA'=180°-∠DAB=50°，
∴∠AA'E+∠A"=∠HAA'=50°，
由轴对称的性质可得：∠EA'A=∠EAA'，∠FAD=∠A"，
∴∠EAA'+∠A"AF=50°
∵∠AFE=∠FAD+∠A"，∠AEF=∠EA'A+∠EAA'
∴∠AEF+∠AFE=2(∠AA'E+A") =100°
∴∠EAF=180°-∠AEF-∠AFE-80°，
故答案为：80°.
【分析】根据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A'，A''，即可得出∠AA'E+∠A''=∠HAA'=58°，进而得出∠AEF+∠AFE=2(∠AA'E+∠A")，即可得出答案.
4．【答案】6
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴，
∵垂直平分，点P在EF上，
∴点P到A，B两点的距离相等，
即，
要求最小，即求最小，则A、P、D三点共线，
∴AD的长度即的最小值，
即的最小值为6，
故答案为：6．
【分析】根据三角形的面积公式即可得到AD=6，由垂直平分线的性质得到点A，B关于EF对称，由轴对称的性质得PA=PB，则PB+PD=PA+PD，由两点之间线段最短得A、P、D三点共线时，PA+PD=PD最小，从而即可得出答案.
5．【答案】（1）解： 如图， 即为所求；

（2）5.5
【解析】【解答】解： 点D为BC边上的中点，
的面积是
∵EF是AB的垂直平分线，
D+BD，
周长的最小值是AD+BD=4+1.5=5.5(cm).
故答案为： 5.5cm.
【分析】(1)根据等腰三角形的三线合一即可在图中作出满足条件的
(2)根据垂直平分线的性质得到AM=BM，然后根据三角形的面积求出AD长，即可求出 周长的最小值.
6．【答案】（1）解：如图，即为所求．
；
（2）如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时最小，
由图知，．
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质作出点A，B，C关于y轴的对称点，然后顺次连接即可；
（2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，点P即为所求，再写出点P的坐标即可。
（1）解：如图，即为所求．
；
（2）如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时最小，
由图知，．
7．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：的面积.
（3）解：如图，点为所求．
【解析】【分析】（1）先利用对称的特征找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）利用三角形的面积公式及割补法求出的面积即可；
（3）连接交于点Q，即为所求．
（1）解：如图，即为所求；
（2）的面积；
（3）如图，点为所求．
8．【答案】C
【解析】【解答】解：∵平移折线AEB，得到折线CFD，
∴四边形AEFC和四边形BEFD都为平行四边形，
∴折线AEB在平移过程中扫过的面积=S AEFC+S BEFD
=AO EF+BO EF
=EF（AO+BO）
=EF AB
=[2-（-1）]×[1-（-1）]
=6．
故选：C．
【分析】本题考查了坐标与图形-平移的性质，把一个图形整体沿某一直线移动，得到新图形与原图形的形状和大小完全相同且各组对应点的线段平行且相等，根据题意，利用平移的性质可判断四边形AEFC和四边形BEFD都为平行四边形，利用面积=S AEFC+S BEFD，结合平行四边形的面积公式，进行计算，即可得到答案．
9．【答案】A
【解析】【解答】解：∵，的面积为，，
∴，
∴，
过P点作于H，如图：
∵平分，，，
∴，
∵点E是射线上的动点，
∴的最小值为，
故答案为：A．
【分析】根据三角形的面积求出，过P点作于H，根据角平分线的性质求出，再根据垂线段最短解答即可．
10．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，过点B作D'B⊥BC，使BD'＝6，连接CD'交AB于点P
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°，且BD'⊥BC
∴∠D'BP＝∠DBP＝45°，且BD＝6＝BD'，BP＝BP
∴△BPD≌△BPD'（SAS）
∴DP＝D'P
∴CP+DP＝CP+D'P
∴PC+PD的最小值为D'C，
∵BD＝6，CD＝2
∴BC＝8，
∴D'C＝
∴PC+PD的最小值为10
故答案为：D．
【分析】过点B作D'B⊥BC，且BD'＝6，连接CD'交AB于点P，根据全等三角形判定定理可得△BPD≌△BPD'（SAS），则DP＝D'P，再根据边之间的关系可得PC+PD的最小值为D'C，再根据勾股定理即可求出答案.
11．【答案】2
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，D、M分别是、中点，
∴是的对称轴，，，，
∴如图：点D关于的对称点E在上，连接，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴点E是的中点，
如图：连接，则，
∵，
∴当三点共线时，有最小值，
∵点E是的中点，M中点，
∴点P为的重心，
∴.
故答案为：2．
【分析】点D关于的对称点E在上，连接，连接，则，，先证出当三点共线时，有最小值，求出点P为的重心，最后利用重心的性质求出PM的长即可.
12．【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，连接，交x轴于点P，连接，
此时，为最小值，
∴最小，
即的周长最小，
则点P即为所求．
【解析】【分析】（1）由平面直角坐标系中点关于 x 轴对称的坐标变化规律入手，横坐标不变，纵坐标变为相反数，求出 A、B、C 三点关于 x 轴的对称点A1、B1、C1的坐标；再由得到的坐标在网格中描出这三个对称点，依次连接三点，画出△A1B1C1.
（2）由△ABP的周长表达式AB+AP+BP入手，AB 长度固定不变，要让周长最小，只需要AP+BP的值最小；再由轴对称的性质，作点 A 关于 x 轴的对称点A1，可得AP=A1P，实现线段转化，AP+BP=A1P+BP；最后由两点之间线段最短，连接A1B，这条线段与 x 轴的交点即为点 P，此时A1P+BP最小，△ABP周长最小.
（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，连接，交x轴于点P，连接，
此时，为最小值，
∴最小，
即的周长最小，
则点P即为所求．
13．【答案】（1）解：如图，△ A'B'C"即为所求；
（2）解：△ABC的面积.
（3）解：如图，点P即为所求.
【解析】【分析】(1)先找出点A、点B、点C关于直线MN的对称点，再依次连接对称点即可；
(2)先求出△ABC所在的长方形的面积，再求出长方形里其他三个直角三角形的面积，用长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可；
(3)先找出点A关于直线MN的对称点A'，连接BA'与直线MN相交于点P，即PA+PB的最小值就是线段BA'的长度.
14．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴；
（2）解：①∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴的周长，
②如图，
∵垂直平分，
∴点B关于直线的对称点为点A，
∴要使的值最小，则连接与直线的交点即为点P，
∴当点P与点M重合时，最小值
∴最小值为．
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质求得， 由三角形的内角和定理求得，再利用余角的性质即可求解；
（2） ① 由线段垂直平分线的性质得到， 从而得到的周长，代入数据即可求解；
② 根据线段垂直平分线的性质得到点B关于直线的对称点为点A， 要使的值最小，则连接与直线的交点即为点P， 当点P与点M重合时，最小值 ，此时最小值从而求解.

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