资源简介

13.2与三角形有关的线段 同步分层训练
一、夯实基础
1．等腰三角形的周长是30，其中一条边长为6，则等腰三角形的腰长为（　　）
A．18 B．6或12 C．12 D．6
2．画中边上的高，下列画法中正确的是　　．
A． B．
C． D．
3．如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（　　）
A．中线，角平分线，高线 B．角平分线，高线，中线
C．角平分线，中线，高线 D．高线，中线，角平分线
4．等腰三角形的两边长分别是4和8．则它的周长为（　　）
A．16 B．20 C．20或16 D．24
5．运动会上的射击项目，如10米气步枪和10米气手枪，射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是（　　）
A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线 D．三角形具有稳定性
6．安装空调外机一般会采用如图所示的方法固定，其根据的几何原理是（　　）
A．垂线段最短 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性
7．如图，在中，如果的面积与的面积相等，则图中线段应该是的（ ）
A．角平分线 B．中线 C．高线 D．以上都不是
8．已知，，为的三条边，化简：=　 　．
二、能力提升
9．如图，在锐角中，为边上的中线，则（　　）
A． B． C． D．
10．若一个三角形三边长分别为3，7，a，则a的值可以是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是(　　)
A．两点确定一条直线 B．三角形的稳定性
C．两点之间线段最短 D．垂线段最短
12．若一个三角形的两边长分别为3和5，则第三边长可以是（　　）
A．2 B．4 C．8 D．10
13．若一个等腰三角形中有两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为　 　．
14．以下4个命题：
①三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分；
②三角形的三条高所在的直线的交点一定在三角形的内部；
③直角三角形两锐角互余；
④△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，则△ABC为直角三角形.
其中真命题的个数是　 　.
15． 如图是直三棱柱的表面展开图，其中，，的长为整数，则　 　，　 　．
16．已知，，是的三边长
（1）已知，，求的取值范围；
（2）若，，且的周长不超过24，求的取值范围．
三、拓展创新
17．已知三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长可以是　 　.
18．如图，在中，D是的中点，，则　 　．
19．如图，是的中线，是的中线，于点F．若，，则长为　 　．
20．阅读下面的内容．
比较与的大小 “嘉嘉”的思路： 将，两个式子分别平方后，再进行比较． “淇淇”的思路： 以、，为三边构造一个，再利用三角形的三边关系进行比较．
请利用嘉嘉、淇淇的思路分别进行说明．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：当底边为时，可得出腰长为12，这时三边长为
∴能构成三角形，
当腰长为时，则底边长为，这时三边长为
∴不能构成三角形，
∴等腰三角形腰长为.
故答案为：．
【分析】当底边为时，可得出腰长为12，能构成三角形，当腰长为时，则底边长为，不能构成三角形，即可得等腰三角形腰长为.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：A、AD不是的高，故不符合题意；
B、AD不是的高，故不符合题意；
C、AD不是的高，故不符合题意；
、AD中边上的高，故符合题意；
故答案为：．
【分析】根据三角形的高的定义（过三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，这个点与垂足之间的线段叫做三角形的高）分析求解即可.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：由图的折叠方式可知，，
∴是的角平分线；
由图的折叠方式可知，，
∵，
∴，
∴，
∴是的高线；
由图的折叠方式可知，，
∴是的中线，
故答案为：．
【分析】
图 ：根据折叠的性质可得， 可判定是的角平分线； 图 ：根据折叠的性质可得，再根据平角的计算可得； 图 ：根据折叠的性质可得，可判定是的中线， 由此可解答.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：分两种情况：
当4为腰长，8为底边长时，
∵，不符合三角形三边关系，
∴该三角形不存在；
当8为腰长，4为底边长时，
∵，符合三角形三边关系，
∴该三角形周长为：；
故选：B．
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，计算时需要分情况讨论验证能否构成三角形：若腰长为4、底边长为8，此时不满足三角形三边关系，对应的三角形不存在；若腰长为8、底边长为4，符合三角形三边关系，在此基础上即可计算得到该等腰三角形的周长.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：“射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形”利用了三角形的稳定性，使自身更稳定，不受外力干扰，所以D说法符合题意．
故选：D．
【分析】根据三角形具有稳定性即可求出答案.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：安装空调外机一般会采用如图所示的方法固定，其根据的几何原理是三角形的稳定性，
故选：D．
【分析】根据三角形的稳定性进行解答即可．
7．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，作于点E，
∵的面积与的面积相等，
∴
∴，
∴是的中线，故选：B．
【分析】根据两个三角形边和边上的高相等，利用三角形面积公式得到，由此可得答案．
8．【答案】
【解析】【解答】解：，，为的三条边，，故答案为：．
【分析】本题考查三角形的三边关系和绝对值的性质，根据三角形的三边关系，，再根据绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）去掉绝对值符号，化简之后利用整式的加减运算进行计算即可．
9．【答案】B
【解析】【解答】解：在锐角中，为边上的中线，
，
故答案为：B.
【分析】利用三角形中线的定义解题．
10．【答案】D
【解析】【解答】解：由三角形三边关系定理得：，
∴，
∴a的值可以是5．
故答案为：D．
【分析】根据三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边计算即可.
11．【答案】B
【解析】【解答】解： 这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，
故答案为：A .
【分析】钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性.
12．【答案】B
【解析】【解答】根据三角形的三边关系，得
第三边应大于，而小于，
故第三边的长度，
这个三角形的第三边长可以是4．
故答案为：B．
【分析】要解决这个问题，我们可以依据三角形的三边关系：三角形中任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边，先求出第三边的取值范围，就可以得到对应结果了。
13．【答案】15
【解析】【解答】解：①当3为底时，其它两边都为6，3、6、6可以构成三角形，周长为15；
②当3为腰时，其它两边为3和6，∵，∴不能构成三角形，故舍去，
故填：15
【分析】分两种情况，当3为底时或者是当3为腰时，分别求解即可.
14．【答案】2
【解析】【解答】解：①三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分，正确，是真命题；
②锐角三角形的三条高所在的直线的交点一定在三角形的内部，原命题错误，是假命题；
③直角三角形两锐角互余，正确，是真命题；
中， 若∠
则
则 不是直角三角形，原命题错误，是假命题；
真命题有①③，
故答案为：2.
【分析】利用三角形的中线的性质、三角形的高的性质、直角三角形的性质及直角三角形的判定分别判断后即可确定正确的答案.
15．【答案】8；4
【解析】【解答】解：由直三棱柱表面展开图性质可知，折叠后AB=BP，CP=CD=2．
∵AD=AB+BC+CD=10，
∴BP+BC+2=10，整理得BC+BP=8．
在△BCP中，根据三角形三边关系：
将BC=8-BP，CP=2代入，
8-BP+2>BP，移项合并同类项，得BP<5，
BP+2>8-BP，移项合并同类项，得BP>3，
∴3∵BP的长为整数，
∴BP=4．
故答案为：8；4．
【分析】先根据直三棱柱展开图折叠之后对应棱相等得到AB=BP，CP=CD=2，结合线段总长AD=10直接求出BC+BP=8，再设BC=8-BP代入三角形三边不等式，求出BP取值范围316．【答案】（1）解：∵，，是的三边长，
根据三角形的三边关系可知：b-a＜c＜a+b，
当a=3，b=5时，可得：5-3＜c＜3+5，
即 .
（2）解：根据题意可知：a+b+c≤24，
∴a+（2a-1）+（a+5）≤24，
解得：a≤5，
∵b-c=（2a-1）-（a+5）=a-6＜0，
∴b＜c，
根据三角形的三边关系可知，c-b＜a＜c+b，
∴（a+5）-（2a-1）＜a＜（a+5）+2a-1），
即6-a＜a＜3a+4
解得：a＞3，
∴a的取值范围是．
【解析】【分析】（1）由三角形三条边的关系即可得出答案；
（2）根据题意列出不等式求得的取值范围，再根据三角形三条边的关系进一步求得的取值范围即可得出答案．
（1）解：∵，，是的三边长，
∴，
即，
∴；
（2）解：∵，，且的周长不超过24，
∴，
解得：，
则，
∴，
∵，，是的三边长
∴，
即，
解得：且，
即，
∵，
∴．
17．【答案】6(答案不唯一)
【解析】【解答】解：设第三边长为x
则5-2∴x可以取6
故答案为：6(答案不唯一)
【分析】根据三角形三边关系即可求出答案.
18．【答案】2
【解析】【解答】解：∵D是的中点，，
，
故答案为：2．
【分析】利用三角形中线的定义（三角形的顶点与底边中点的连线）和性质（三角形的中线平分三角形的面积）分析求解即可.
19．【答案】3
【解析】【解答】解：∵是的中线，
∴，
∴等底同高，即，
同理，，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：3．
【分析】
根据三角形中线的性质进行求解：由三角形中线的定义可知，和是等底同高的两个三角形，因此它们的面积相等，即；同理可推得，同时三角形面积满足公式，代入相关数据即可完成求解。
20．【答案】解：“嘉嘉”的思路：∵，，
∴，
∴，
“淇淇”的思路：
∵，
∴以、，为三边构造的为直角三角形，
∴．
【解析】【分析】“嘉嘉”是通过比较两个数的平方的大小，从而得出这两个数的大小；“淇淇”是以、，为边构成三角形，进而根据勾股定理的逆定理得出为直角三角形，然后根据三角形三边之间的关系，即可得出答案。

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