资源简介

15.3等腰三角形 同步分层训练
一、夯实基础
1． 如图，为等腰三角形，，点D是延长线上的一点，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，平面直角坐标系中，点A 在y轴上，点 B(2m-3，0)，点C(1-m，0)在x轴上，且AB=AC，则m的值是(　　)
A．-2 B．0 C．1 D．2
3．如图，在等边中，，为上任意一点（不与端点，重合），过点分别作于点，点．若，则的长为（　　）
A．3 B． C． D．
4．如图，在中，若，，垂直平分，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在Rt△中，，，，于点，是的中点，则的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分线，点D是OC上的一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为E，且直线DE交OB于F，若DE=2，则DF=　 　 .
7．如图，中，，，请依据尺规作图的作图痕迹，计算　 　．
8．如图，中，分别是和的平分线，过O点的直线分别交于点D、E，且．若，则的周长为　 　．
9．如图，在△ABC中， AB=AC， ∠BAC=120°， AD⊥BC于点 G，且 AD=AB， E， F分别是边 AB， AC上的点，且∠EDF=60°.
（1）求证： △ABD是等边三角形；
（2）若 AB=AC=10， AE=7，求 AF的长.
10．如图，在△ABC中，AB=AC，点D为AC上一点，且满足AD=BD=BC.点F在BC延长线上，连接FD并延长，交AB于点E，连接AF.
（1）求∠BAC和∠ACB的度数.
（2）若点E是AB的中点，求证：△ABF是等腰三角形.
二、能力提升
11． 如图， 在△ABC中， ∠C=90°， ∠A=30°， AB的垂直平分线交AC于点D， 交AB 于点E， 若CD=3，则AC等于（　　）
A．5 B．6 C．8 D．9
12．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=14，BC=DC，∠A=60°，点E在AD上，连接BD，CE相交于点F，CE∥AB.若CE=12，则CF的长为(　　)
A．9 B．6 C．7 D．10
13．如图，P为内一点，过点P的线段分别交、于点M、N，且M、N分别在、的中垂线上．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
14．如图，中，， 的垂直平分线分别交， 于点 D，E，连接， 则的大小为　 　．
15．如图，在中，，，的面积为，的垂直平分线分别交，边于点，，若为边的中点， 为线段上一动点，则的最小值为　 　．
16．如图，在中，，，，点是上的动点，连接，以为边作等边，连接，则点在运动过程中，线段长度的最小值是　 　．
17．如图，在等腰三角形中，，点E，F在等腰三角形的内部，连接，使，且平分．若，，则　 　 ．
18．已知：任意一个三角形的三条角平分线都交于一点．如图，在△ABC中，BC、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线分别交AB、AC于点E、F，若AE=AF，解答下列问题：
（1）证明：DE=DF；
（2）若∠A=60°，AB=8，BC=7，AC=5，求EF的长
19．已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN，点B、D分别在AN、AM上．
（1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之；
（2）如图，若∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
20．综合与实践
（1）问题提出：
如图1，点E为等腰内一点，，若另有一个以、为腰的等腰且，求证：．
（2）尝试应用：
如图2，点D为等腰外一点，，，过点A的直线分别交的延长线和的延长线于点N、M，与交于K，若，．求证：．
（3）问题拓展：
如图3，P是内一点，，D在边上，连接，，过P作，垂足为E，若，，求的长．
21．综合与实践：
数学课上，白老师出示了一个问题：已知等腰直角三角形和等腰直角三角形，，，，连接，，如图1．
独立思考：
（1）如图1，求证：；
实践探究：在原有条件不变的情况下，白老师把旋转到了特殊位置，增加了新的条件，并提出了新的问题，请你解答：
解决问题：
（2）如图2，在绕着点C旋转到某一位置时恰好有，．
①求的度数；
②线段与线段交于点F，求的值．
22．【综合与探究】
已知，在中，，．请解答以下问题：
（1）如图1，点A，B的坐标分别为，点在第二象限，过点作轴于点，可求得点的坐标为____________；
（2）如图2，点在轴上，交轴于点，取的中点，连接、．若轴，求证：；
（3）如图3，点为线段延长线上的动点，点在边上（不与点重合），连接，过点作，且，连接．在点运动的过程中，的度数是否为定值？请证明你的结论．
三、拓展创新
23．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则为（　　）
A． B． C． D．
24．如图，在△ABC中， AB=BC， ∠ABC=120°，过点C作CD⊥BC，交∠ABC的平分线于点D，BD交AC于点E.若点F是CD的中点，连接FE，延长交AB于点G，则 的值是(　　)
A． B． C． D．
25． 如图， 四边形ABCD中， ∠ °， E， F 分别是BC， DC上的点， 当△AEF 的周长最小时， ∠EAF=　 　.
26．综合与实践。情境：△ABC是等边三角形，点D 是直线AC上一点（不与A，C重合)，点E在BC射线上（不与B， C重合)，且AD =CE，连接DE.
“兴趣小组”提出的问题是：探究BD与DE的数量关系.
（1）特例探究：从特殊到一般是研究几何的一般思路，如图1，当点D在边AC的中点时，请你直接写出线段BD与DE的数量关系　 　；
（2）数学思考：如图2，当点 D是边AC上任意一点时（不是中点)，同学们讨论发现结论依然成立，可以通过作平行线构造全等来证明.请你证明：
（3）类比延伸：进一步猜想：当点 D在CA或AC的延长线上时，仍存在使得线段BD与DE的数量关系与第（1）问结论相同的情况，请你任意选择一种在图3画出并证明.
（4）如下图，点M在等边ΔABC的边BC上，∠AMN = 60°， MN与等边三角形外角平分线CN所在的直线相交于点N，过N作ND⊥BC于D，请写出CM，CA，CD的数量关系并证明。
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠ACD=110°
∴∠ACB=180°-110°=70°
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=70°
∴∠A=180°-70°-70°=40°
故答案为：C .
【分析】由邻补角的性质求出∠ACB=70°，由等腰三角形的性质得到∠B=∠ACB=70°，由三角形内角和定理即可求出∠A的度数.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：∵点A在y轴上，AB=AC，
∴AO垂直平分BC（等腰三角形三线合一），
∴OB=OC，
∵点B(2m-3，0)，点C(1-m，0)，
∴OB=|2m-3|，OC=|1-m|，
∵B，C在原点两侧，且关于y轴对称
∴2m-3=-(1-m)，解得m=2．
故答案为：D．
【分析】先根据点A在y轴上且AB=AC，利用等腰三角形三线合一的性质，得到OB=OC；再结合点B(2m-3，0)，点C(1-m，0)在x轴上的坐标特征，列出等式2m-3=-(1-m)；最后解这个一元一次方程求出m的值为2．
3．【答案】D
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵于点，于点，
∴∠PDB=∠PEC=90°，
∴，
∴ BP=2BD，PC=2CE，
∵PC2=CE2+PE2，
∴
解得CE=2，
∴PC=2CE=4，
∴BP=BC-PC=6，
∴BD=3，
∴．
故答案为：D．
【分析】由等边三角形性质得∠B=∠C=60°，BC=AB=10，由直角三角形两锐角互余得出∠DPB=∠EPC=30°，根据含30°角直角三角形的性质得出BP=2BD，PC=2CE，在Rt△PEC中，利用勾股定理建立方程求解得出CE的长，进而得出PC的长，然后根据线段和差算出BP的长，进而得到BD的长，最后再根据勾股定理算出PD即可.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：，，
．
垂直平分，
，
．
故答案为：．
【分析】首先根据三角形内角和及等腰三角形的性质可得出∠ACB=75°，再根据线段垂直平分线的性质得出∠ACD=30°。即可得出∠BCD=45°。
5．【答案】A
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是AB中点，AB=8，
∴，
∵∠A=30°，
∴∠B=180°-90°-30°=60°，
∵BE=CE=4，
∴△CBE为等边三角形，
∵CD⊥AB，
∴D为BE中点，
∴．
故答案为：A．
【分析】先根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，求出CE=BE=4，再算出∠B=60°，判定△CBE是等边三角形，最后根据等边三角形三线合一，得到点D平分BE，求出DE长度为2．
6．【答案】4
【解析】【解答】解：过点D作DM⊥OB，垂足为M，如图所示.
∵OC是∠AOB的平分线，
∴DM=DE=2.
在Rt△OEF中， ∠OEF=90°， ∠EOF=60°，∴∠OFE=30°，即∠DFM=30°.
在Rt△DMF中， ∠DMF=90°， ∠DFM=30°，∴DF=2DM=4.
故答案为4.
【分析】过点D作DM⊥OB，垂足为M，则DM=DE=2，在Rt△OEF中，利用三角形内角和定理可求出∠DFM=30°，在Rt△DMF中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出DF的长，此题得解.
7．【答案】
【解析】【解答】解：由作法可知，是的平分线， 是线段的垂直平分线，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
故答案为：．
【分析】结合图中作图痕迹得出，是的平分线， 是线段的垂直平分线，然后利用三角形内角和计算出，从而根据角平分线的定义计算出，结合垂直平分线的性质得出，从而“等边对等角”得出，结合三角形外角计算出，最后利用三角形内角和计算出。
8．【答案】18
【解析】【解答】解：∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴
，
∴三角形的周长为．
故答案为：．
【分析】先利用角平分线定义和平行线性质，证明△DBO 和△ECO 为等腰三角形，得到 DB=DO、EC=EO，再通过线段等量代换，将△ADE 的周长转化为 AB+AC 的长度进行计算。
9．【答案】（1）证明：△ABC中， AB=AC， ∠BAC=120°， AD⊥BC于点 G，
在△ABD中， AD=AB， ∠BAD=60°，
∴△ABD 是等边三角形
（2）解：因为AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，
所以∠BAD=∠CAD=60°.
由(1)知△ABD是等边三角形，
所以BD=AD，∠ABD=∠ADB=60°，
所以∠ABD=∠DAF=60°。
因为∠EDF=60°，
所以∠BDE+∠EDA=∠EDA+∠ADF=60°，
所以∠BDE=∠ADF。
在△BDE和△ADF中：∠DBE=∠DAF，BD=AD，∠BDE=∠ADF
所以△BDE≌△ADF(ASA)，
所以BE=AF。
因为AB=10，AE=7，
所以BE=AB-AE=10-7=3，
所以AF=3
【解析】【分析】(1)本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，首先根据等腰三角形三线合一，AD⊥BC可平分顶角∠BAC，算出∠BAD=60°；又已知AB=AD，有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形，即可得证；
(2)先推导角相等，证明△BDE≌△ADF，得到BE=AF；用AB-AE算出BE长度，就得到AF长.
10．【答案】（1）解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵AD=BD=BC，
∴∠BAD=∠ABD，∠BCD=∠BDC，
∵∠BDC=∠BAC+∠ABD=2∠BAC，
∴∠ABC=∠ACB=2∠BAC，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BAC+2∠BAC+2∠BAC=180°，
∴∠BAC=36°，∠ACB=2∠BAC=72°.
（2）证明：∵AD=BD，E是AB的中点，
∴DE垂直平分AB，
∴FA=FB，
∴△ABF是等腰三角形.
【解析】【分析】（1）由等边对等角得∠ABC=∠ACB，∠BAD=∠ABD，∠BCD=∠BDC，由三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠BDC=∠BAC+∠ABD=2∠BAC，则∠ABC=∠ACB=2∠BAC，最后根据三角形内角和定理建立方程可求出∠BAC的度数，从而可得∠ACB的度数；
（2）由到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上及两点确定一条直线得DE垂直平分AB，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得FA=FB，从而根据等腰三角形判定得出结论.
11．【答案】D
【解析】【解答】解：连接BD，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BD=AD，
∴∠ABD=∠A=30°
∴∠CBD=180°-90°-30°×2=30°
∴∠CBD=∠ABD
∴DE=CD=3
又∵∠C=90°，∠A=30°
∴AD=2DE=2×3=6，
∴AC=AD+CD=6+3=9
故答案为：D.
【分析】连接BD，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BD=AD，再根据等边对等角求出∠ABD=∠A=30°，然后求出∠CBD=30°，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等求出DE=CD，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AD，即可得解.
12．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，连接AC交BD于点O，
∵AB=AD=14，BC=DC，∠A=60°
∴AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形，，
∴∠ADB=60°
∵CE//AB，
∴∠BAD=∠DEF=60°，∠CAB=∠ACE=∠CAD=30°
∴△DEF是等边三角形，△AEC是等腰三角形
∴AE=CE=12，DE=EF=AD-AE=14-12=2，
∴CF=CE-EF=12-2=10.
故答案为：D.
【分析】连接AC交BD于点O，由题意可证AC垂直平分BD，△ABD，△DEF是等边三角形，△AEC是等腰三角形、作差计算即可.
13．【答案】C
【解析】【解答】解：∵，∴，
∵M、N分别在、的中垂线上，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故选C．
【分析】根据垂直平分线性质可得，则，，再根据角之间的关系即可求出答案.
14．【答案】
【解析】【解答】解：∵线段的垂直平分线交于D，交于E，
∴，
∴，
∵
∴．
故答案为：．
【分析】由线段的垂直平分线（线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等）交于D，交于E，可得，继而求得的度数，再由三角形的外角性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）则可求得答案．
15．【答案】10
【解析】【解答】解：如图，连接，，
∵是等腰三角形，点是边的中点，
∴，
∴，
于是解得：，
又∵是线段的垂直平分线，
∴点关于直线的对称点为点，
则，
当点在线段上时，的值为最小，
∴的长为的最小值
故答案为：．
【分析】连接AD，AM，又由于是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD上BC，再根据三角形的面积公式可以求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论。
16．【答案】
【解析】【解答】解：如图，取的中点，连接，，
∴，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
，
当时，的值最小，
在中，
，，
，
的最小值为．
故答案为：。
【分析】做辅助线后，先求出，然后结合直角三角形锐角互余以及等边三角形的判定，推出是等边三角形，从而得出；此时利用SAS证明，并得出，根据垂线段最短得出，当时，的值最小，然后放到中，利用“含30°直角三角形的性质”即可计算出，从而得出答案。
17．【答案】8
【解析】【解答】解：延长交于点G，延长交于点D，
∵，
∴是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∵，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：8．
【分析】
通过作辅助线延长交于点G，延长交于点D，构造出等边三角形和直角三角形，从而利用线段间的数量关系求出AB的长.
18．【答案】（1）证明：连接AD，
∵BC、CD分别平分∠ABC、∠ACB，
∴AD平分∠BAC，
又∵AE=AF，
∴DE=DF；
（2）解：在BC上截取BM = BE， CN =CF，连接DM， DN，
∵∠A=60°， AE = AF，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=AF=EF， ∠AEF =∠AFE =60°，
∴∠BED=∠CFD=120°，
∵BD， CD分别平分∠ABC， ∠ACB，
∴∠ABD=∠CBD， ∠ACD=∠BCD，
在△BDE和△BDM中
，
∴△BDE≌△BDM (SAS)，
∴DE=DM， ∠BED=∠BMD=120°，
∴∠DMN=60°，
同理可得， ∠DNM =60°， DN = DF，
∴△DMN是等边三角形，
∴DM=DN=MN=DE，
∵AB=8， BC=7， AC=5，
∴AE+BE=EF+BE=8，
AF+CF=EF+CF=5，
，
∴EF=4.
【解析】【分析】(1)由等腰三角形的性质可得结论；
(2)由“SAS”可证 可得DE 可证 是等边三角形，可得DM=DN=MN=DE，由线段的和差关系可求解.
19．【答案】（1）解：AD、AB、AC之间的关系是AD+AB=AC，
证明： ∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，
∴∠CAD=∠CAB=60°，
又∵∠CDA=∠CBA=90°，
∴∠ACD=∠ACB=30°，
AC=2AD， AC=2AB，
∴AD+AB=AC；
（2）解：AD+AB=AC仍然成立，
证明：过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F，
∵AC平分∠MAN ∴CF=CE，
∠ABC+∠ADC=180°，∠CDE+∠ADC=180°，
∴∠CDE=∠ABC，∠CEA=∠CFB，
∴△BCF≌△DCE，
∴ED=BF，
AD+AB=AE-ED+AF+FB=AE+AF，
由(1)知AE+AF=AC，
∴AD+AB=AC.
【解析】【分析】(1)得到后再可以证得 从而，证得结论；
(2)过点 C分别作 AM、AN的垂线，垂足分别为E，F，证得后即可得到AD+AB=AE+AF，从而证得结论。
20．【答案】（1）证明：∵是以、为腰的等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴。
（2）证明：延长至G，使，连接，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴。
（3）解：如图，延长交于点F，连接，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∵，
在中，∠AEF=∠CEF=90°，EF=EF，，
∴，
∴，。
【解析】【分析】（1）先结合等腰三角形的性质得出，然后结合图形进行角度计算得出，最后利用证即可；
（2）做辅助线，结合条件逐步推出，此时利用SAS证明，从而得出；然后结合直角三角形锐角互余，列示推出，利用“含30°直角三角形的特点”得出，最后计算即可；
（3）做辅助线，结合平角的特点以及三角形内角和，推出，再结合等腰三角形判定及性质综合得出，此时利用SAS证明，得出，，；再利用ASA证明，即可得出答案．
（1）证明：∵是以、为腰的等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：延长至G，使，连接，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，延长交于点F，连接，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∵，
可证，
∴，，
21．【答案】（1）证明：在等腰直角三角形和等腰直角三角形中，
，，，
，
．
在和中，，
，
；
（2）解：①，
．
，
．
，
；
②如图，连接，
由（1）知，
，．
，
．
由①知，
在和中，，
，
．
，
，
是等边三角形，
．
，
，
在中，，
．
【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形和等腰直角三角形，得，，，等角代换得，则（SAS），由全等三角形的性质，得；
（2）①由，由两直线平行，内错角相等，得，再加上有两个直角和，则；
②如图，连接，
由（1）得，则（SAS），BD=BE，则是等边三角形， 为30度的直角三角形，所对的直角边等于斜边的一半，得。
22．【答案】（1）
（2）证明：如图2，过点A作，交y轴于N，
由题意可得：轴，
则
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵∵E是的中点，
∴，
∴
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：在点F运动的过程中，的度数为定值，是，理由如下：
如图3，过点F作于F，交的延长线于K，如下图：
则，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在点F运动的过程中，的度数为定值，是．
【解析】【解答】（1）解：∵点A，B的坐标分别为，
∴，，
∵轴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵点C在第二象限，
∴点C的坐标为，
故答案为：；
【分析】（1）通过AAS证明得到，，即可解答；
（2）过点A作，交y轴于N，通过ASA证明以及通过SAS，即可得结论；
（3）过点F作于F，交的延长线于K，证明是等腰直角三角形，得，再证明，即可解答．
（1）解：∵点A，B的坐标分别为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵点C在第二象限，
∴点C的坐标为，
故答案为：；
（2）证明：如图2，过点A作，交y轴于N，
∵轴，
∴轴，
同理得：，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：在点F运动的过程中，的度数为定值，是，理由如下：
如图3，过点F作于F，交的延长线于K，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在点F运动的过程中，的度数为定值，是．
23．【答案】B
【解析】【解答】解：∵是正方形，
∴，，
∵三角形是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴．
故选：B．
【分析】根据正方形性质可得，，根据等边三角形性质可得，，再根据等边对等角及三角形内角和定理即可求出答案.
24．【答案】B
【解析】【解答】解：
∵BD平分
∵F是CD的中点，
是等边三角形，
故选： B.
【分析】由等腰三角形的性质推出 C，AE=CE，判定 是等边三角形，推出EF=CE， 由含30度角的直角三角形的性质推出 即可求出 值.
25．【答案】80°
【解析】【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A'，A"，连接A'A"，交BC于E，交CD于F，则A'A"即为△AEF的周长最小值，作DA延长线AH，
∵∠C=50°，∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠DAB=360°-∠ABC-∠ADC-∠C=130°
∴∠HAA'=180°-∠DAB=50°，
∴∠AA'E+∠A"=∠HAA'=50°，
由轴对称的性质可得：∠EA'A=∠EAA'，∠FAD=∠A"，
∴∠EAA'+∠A"AF=50°
∵∠AFE=∠FAD+∠A"，∠AEF=∠EA'A+∠EAA'
∴∠AEF+∠AFE=2(∠AA'E+A") =100°
∴∠EAF=180°-∠AEF-∠AFE-80°，
故答案为：80°.
【分析】根据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A'，A''，即可得出∠AA'E+∠A''=∠HAA'=58°，进而得出∠AEF+∠AFE=2(∠AA'E+∠A")，即可得出答案.
26．【答案】（1）BD=DE
（2）证明： 如图2， 过点D作DF∥BC， 交AB于点F，
∴∠AFD =∠ABC=60°， ∠ADF=∠ACB=60°，
∴∠AFD =∠ADF=60°，
∴△AFD是等边三角形， ∴AD=DF=AF，
∵AB = AC，
∴AB-AF=AC-AD， ∴FB=CD，
∵AD =CE，
∴DF=CE，
又∵∠AFD =∠ACB=60°，
在△FBD和△CDE中，
∴△ FBD≌△CDE(SAS)，
∴DB = DE；
（3）解：只需要一种情况即可
①如图3，过点D 作BC的平行线，交BA的延长线于点 F，
由 (2) 得△ADF是等边三角形， ∠F =∠C=60°，
∴AD = DF = AF，
∵AB =AC，
∴AB + AF=AC + AD， ∴FB = CD，
∵AD =CE，
∴DF =CE，
在△FBD和△CDE中，
∴△FBD≌△CDE(SAS)，
∴DB=DE；
②如图4，过点D 作BC的平行线，交AB的延长线于点 F，
由(2)得△ADF是等边三角形， ∠F =∠ACB =∠DCE=60°，
∴AD=DF=AF，
∵AB =AC，
∴AF-AB =AD-AC， ∴FB =CD，
∵AD=CE，
∴DF =CE，
在△FBD和△CDE中，
∴△FBD≌△CDE(SAS)，
∴DB =DE；
（4）解：CA=CM+2CD
证明：过M作MF//AC交AB于F，
由(2)得ΔABC是等边三角形，ΔBMF是等边三角形，
∴BF=BM，AB=BC=AC
∴AB-BF=BC-BM， ∴AF =CM
∵∠AMC =∠AMN+∠NMC =∠MAF+∠B， ∠AMN = 60°=∠B =60°
∴∠NMC =∠MAF
∵CN是ΔABC外角平分线， ∴∠ACN =∠DCN =60°，
∴∠MCN =∠ACN +∠ACB =120°，∠AFM =180°-∠BFM =120°，
∴∠MCN =∠AFM
在ΔAFM与ΔMCN中，
∴△AFM≌△MCN(ASA)，
∴FM =CN =BM；
∵∠DCN =60°，∠NDC =90°，
∴CN =2CD =MB； ∴CA=CB=CM+MB=CM+2CD
【解析】【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵点D是AC中点
∴AD=CD，∠CBD=30°
∵AD=CE
∴CE=CD
∴∠E=∠EDC
∵∠ACB=∠E+∠EDC
∴2∠E=60°
∴∠E=∠CBD=30°
∴BD=DE.
【分析】（1）利用等边三角形性质“三线合一”得到∠CBD=30°；再结合AD=CE得到△ECD是等腰三角形，利用外角的性质得到∠E=30°，最后根据“等角对等边”可证BD=DE；
（2）根据提示作出辅助线，推出△ADF是等边三角形，进而根据等边三角形性质推出FB=CD，DF=CE，∠DFB=∠ECD，证明△FBD与△CDE全等，即可推出BD=DE；
（3）当点D在CA或AC的延长线上时，分两种情况证明：①当点D在CA的延长线上时，依然如第（2）问，作出平行线，根据△ADF是等边三角形推出△FBD与△CDE全等的条件即可证明；②当点D在AC的延长线上时，同①证明△FBD≌△CDE即可；
（4）作出辅助线过M作MF//AC交AB于F，利用△ABC与△BFM是等边三角形得到AF=CM；结合∠AMN=60°，得到∠NMC =∠MAF；结合CN是△ABC外角平分线，得到∠MCN =∠AFM，即可证明△AFM≌△MCN，推出FM=CN=BM，最后结合含30°的直角三角形得到2CD=MB，根据线段的和差关系即可得到CA=CM+2CD.

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