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哈九中 2024 级高三 10 月阶段性考试数　学　试　卷
（时间 120 分钟，满分 150 分）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求
1．已知复数 ，则 的模为（　　）
A． B．
C． D．
2．设集合 ，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数 的值为（　　）
A． B．
C． D．
3．若平面向量 满足 ，则 在 上的投影向量为（　　）
A． B．
C． D．
4．《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”.意思是一个长方体沿对角面斜解（图 1），得到一模一样的两个堑堵（图 2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图 2），得一个四棱锥称为阳马（图 3），一个三棱锥称为鳖臑（图 4）．若长方体的体积为 ，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为 ，则下列等式错误的是（　　）
A． B．
C． D．
5．已知定义域为 的奇函数 满足 ，在 单调递增，且 ，则不等式 的解集为（　　）
A． B．
C． D．
6．已知实数 使得 对任意 恒成立，且 ，则 的最小值为（　　）
A． B．
C． D．
7．四棱柱 的底面 是菱形， 平面 ，，，点 为 的中点，则二面角 的余弦值为（　　）
A． B．
C． D．
8．已知函数 是 上的单调递增函数，且恒有 ，其导函数为 ，其中 是自然对数的底数．当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．下列结论正确的有（　　）
A．过点 且在 轴， 轴上的截距相等的直线方程为
B．若点 ，过点 的直线 与线段 有公共点，则 的斜率 的取值范围为
C．当点 到直线 的距离最大时， 的值为
D．直线 与 相交于点 ，则过点 的直线方程为
10．已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，等差数列 满足 ，下列选项正确的是（　　）
A．
B．
C．，使得
D．
11．正方体 棱长为 ， 为 中点， 为平面 上的动点（在四边形 内部及其边界）且满足 平面 ，则下列正确的是（　　）
A．动点 的轨迹长度为
B．三棱锥 的体积范围为
C．三棱锥 的体积为定值
D．当三棱锥 的体积最小时，其外接球的表面积为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．若函数 有两个极值点，则实数 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿．
13．已知直线 ，直线 ，则直线 关于直线 的对称直线方程是＿＿＿＿＿．
14．已知正三棱锥的高为 ，且各顶点都在同一球面上．若该球的体积为 ，
则三棱锥体积的最大值是＿＿＿＿＿＿．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．如图，四边形 是圆柱 的轴截面，点 在底面圆 上，，点 是线段 的中点
（1）证明： 平面 ；
（2）若直线 与圆柱底面所成角为 ，求点 到平面 的距离．
16．已知函数 ，且 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ．
（1）求 函数解析式；
（2）求 在 上的单调递增区间；
（3）设 ，若对任意的 ，，都有 ，求实数 的取值范围．
17．如图 1 所示，在平行四边形 中，，垂足为 ，，将 沿 折到 的位置，使得二面角 的大小为 ，如图 2 所示，点 为棱 的中点．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）证明：；
（3）若点 在棱 上，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的值．
18．已知 为数列 的前 项和， 为数列 的前 项和， 为数列 的前 项和；；
，且 ；；
（1）求 的通项公式；
（2）若 ，求 的最大值；
（3）证明：
19．已知 ，函数 ．
（1）若 ，求 的图象在点 处的切线方程；
（2）若 在定义域上只有 1 个零点，求 的取值范围；
（3），证明不等式：
一、单选题：CCDBABBD
二、多选题：9.BCD　　10.ACD　　11.BCD
三、填空题：12.　　13.　　14.
四、解答题：
15．(1)证明：取 中点 ，连接 ，如图所示，
为 中点，则 ，又 ，得 ，
由 ，，得 ，
所以四边形 为平行四边形，，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
（2）
16.（1）　，
=
=
=
相邻对称轴距离 ，，
即 ．
（2）解不等式 ，
可得 ，，
或 ，与 求交集：
递增区间为 ，．
（3）对于任意的 ，，都有 ，
等价于 ，
，，，
不等式转化为 ，
=，
=
令 ，，
，开口向下，对称轴 ，
当 时，最大值 ，
代入 解不等式，得 ，
当 时，最大值 ，
代入 解不等式，得 ，
当 时，最大值 ，
代入 解不等式，得 ，
综上，．
17．（1）由题意可知，图 2 中 ，，，
平面 ，
所以 平面 ．
又 面 ，所以平面 平面 ．
（2）解法一：由平面几何知识可知 ，在图 2 中取 中点 ，
连接 ，，
因为 为 中点，所以 ，，
因为 ，，所以 为二面角 的平面角，
所以 ，则 为等边三角形，所以 ．
又平面 平面 ，交线为 ，所以 平面 ，所以 ．
又 ，且 平面 ，所以 平面 ．
又 平面 ，所以 ．
解法二：因为 ，，所以 为二面角 的平面角，所以 ，
以 为原点，， 所在直线为 ， 轴，平行于 的直线为 轴，建立空间直角坐标系．
则 ，，，，，，
则 ，，
所以 ，
所以 ．
（3）以 为原点，， 所在直线为 ， 轴，平行于 的直线为 轴，建立空间直角坐标系．
则 ，，，，，，
设 （），面 的法向量为 ，，
，
则 ，取 ，则 ．
又 ，所以
因为直线 与平面 所成角的正弦值为 ，所以
解得 ，（），，
当 时，直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
18．（1），得 ，所以数列 为等差数列，
则 ，所以 ，又 ，所以 ，
设 的公差为 ，则 ，解得 ，
所以 的通项公式是 ．
（2）由（1）知 ，所以 ，
，
=，
令 ，得 ，
设 ，则数列 是递增数列，
又 ，，
所以 的最大值为 ．
（3），
所以
=，所以 ．
19．（1）由 ，得 ，所以 的定义域为 ．
当 时，，
，
所以 ，．
所以 的图象在点 处的切线方程为 ．
（2）因为 ，所以当 在定义域上只有 1 个零点时， 在 上没有非零零点．
的定义域为 ．
．
①若 ，则 ，
则当 时，， 单调递减；
当 时，， 单调递增．
又 ，所以 只有 1 个零点，即 ，符合题意；
②若 ，令 ，得 或 ，
因为 ，
所以当 时，， 单调递增；
当 时，， 单调递减；
当 时，， 单调递增．
又 时 ，且 ，
所以在 上存在唯一的 ，使得 ，
所以 有 2 个零点，即 ，与已知矛盾；
③若 ，则 恒成立，所以 单调递增，则 只有 1 个零点 ，符合题意；
④若 ，令 ，得 或 ，
因为 ，
所以当 时，， 单调递增；
当 时，， 单调递减；
当 时，， 单调递增．
又 时 ，且 ，所以在 上存在唯一的 使得 ，
所以 有 2 个零点，与已知矛盾；
综上所述，若 在定义域上只有 1 个零点，则 ．
(3)取 ，由（2）可知 时 ，
即 ．
取 ，可得 ，
所以 ，，…，，
累加得 ，
即 ，得证．

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