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27.3 实际问题与反比例函数（3）
第二十七章 反比例函数
人教版（2024）九年级数学
数学建模与反比例函数
1.能通过实验数据、散点图识别反比例函数关系，会建立反
比例函数模型；
2.掌握利用多组数据求参数k平均值的方法，能代入解析式求
值，解决实际问题；
3.通过气体压强与体积的探究，提升数据分析能力。
学习目标
任务一：探究实际问题与反比例建模
某物理实验小组研究气体压强p（单位：kPa）与体积V（单位：mL）的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到6组数据，如下表：
问题1：气体的压强P与体积V是否存在一定的函数关系？如果存在，请你建立函数模型，并估计当压强为132kPa时，气体的体积为多少（结果保留小数点后两位）
活动1：确定函数模型
序号 1 2 3 4 5 6
体积V/mL 20 18 16 14 12 10
压强p/kPa 100 112 123 145 163 201
第一步：建立平面直角坐标系，横轴代表气体体积V（单位：mL），纵轴代表压强p（单位：kPa）。
第二步：将6组实验数据逐一在坐标系中描出对应散点。
第三步：观察散点分布，绘制平滑曲线，使曲线尽可能靠近所有散点。
观察结果：曲线呈单调下降趋势，形态近似反比例函数的双曲线一支。
V/mL 20 18 16 14 12 10
p/kPa 100 112 123 145 163 201
k=p·V 2000 2016 1968 2030 1956 2010
计算k的平均值，得到函数模型
根据散点图的曲线形态，我们假设压强p与体积V满足反比例函数关系，设函数解析式为：
问题2：怎样检验模型是否正确？
体积 V/mL 20 18 16 14 12 10
实验实测 p/kPa 100 112 123 145 163 201
模型预测 p/kPa 99.85 110.9 124.8 142.6 166.4 199.7
结论：预测值与实测值偏差极小，函数模型与实际数据基本吻合，可用于解决实际问题。
活动2：检验模型
问题3：当压强为132 kPa时，气体的体积是多少？
解：将p=132代入，得
活动3：用建模解决问题
任务一 评价量规（自我评价） 摘星榜
1.能够确定函数模型并画出散点图。 （+3颗星）
我获得了 颗星
2.能正确计算模型预测数值并检验模型是否正确。 （+3颗星）
我获得了 颗星
3.能用数学建模解决实际问题。 （+3颗星）
我获得了 颗星
摘星时刻
任务二：反比例建模的应用
活动1：用矩形“画”双曲线
10
5
6
7
8
9
10
活动2：用简易密度计测量密度
液体 汽油 煤油 植物油 水 饱和盐水 蜂蜜
ρ/(g·cm-3) 0.70 0.80 0.90 1.00 1.15 1.40
h/cm 10.29 9 8 7.2 6.25 5.14
k 7.203 7.20 7.20 7.20 7.1875 7.196
解：设深度h与密度ρ的关系式为
摘星时刻
任务二 评价量规（自我评价） 摘星榜
1.能用数学建模的方法正确完成活动1。 （+3颗星）
我获得了 颗星
2.能用数学建模的方法正确完成活动2。 （+3颗星）
我获得了 颗星
3.本节课能够认真听讲，积极回答问题。 （+2~6颗星）
我获得了 颗星
学以致用
(1)k1=2200, k2=2198 , k3=2205 , k4=2208 , k5=2187
学以致用
课堂小结
主要知识：
如何发现并建立反比例函数模型解决问题.
核心素养：
模型观念
应用意识
建立函数模型解决实际问题的一般步骤：
实际问题
收集、整理数据
直观分析数据
建立函数模型
检验函数模型
应用函数模型
先画散点图，
根据图象初步
确定函数模型
作业布置
3.1
3.3
2.5
4.5
2.4
4.0
4
2.2
5
2.0
体积
密度ρ/( )
1.基础题：教材P80 第4,6题。
2.拓展题：在一个可以改变体积的密闭容器内，装有一定质量的二氧化碳.一定条件下，当改变容器的体积V（单位： ）时，气体的密度ρ（单位： ）也会随之改变.在一次实验中，收集数据如下表所示：
（1）试确定二氧化碳的密度ρ关于容器体积V的函数解析式；
（2）估计容器体积为5.5 时，二氧化碳的密度.
3.实践操作题：在电压是定值的条件下，记录若干组电流和电阻的数据，用数学建模的方法确定他们之间的函数关系，并写出解析式。
综合与实践：生物生长规律的模型研究．
如图1，砗磲（chēqú）是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄x（单位：岁）与平均日生长速率y（单位：μm/天）的数据如下表：
【模型构建】
(1)数学小组观察表格中数据，发现数据中x与y的乘积分别为 ， ，
， ，猜想当 时y与x符合反比例关系，设解析式为 ．为减少偏差，取 ，求反比例函数解析式．
（2）请计算砗磲样本35岁时的平均日生长速率．
课堂练习
x 10 15 20 25
y 14.0 9.5 7.0 5.5
【实验操作】
将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如表：
【探索发现】
(1)通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越 （填“高”或“低”）；
(2)请你根据上表中的数据在图中描点、连线．观察图象，从振动频率y与吸管长度x之间的关系可以近似用 函数模型反映（从初中所学函数选择），并求出该函数表达式．
(3)根据下表，判断这批吸管制作的排箫能否吹出低音区的Do音，若能，请求出对应吸管长度，若不能，请说明理由．（精确到1mm）
长度x(mm) 200 150 120 100 80 60 50
振动频率y(Hz) 435 580 725 870 1087.5 1450 1740
高
Thanks!
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