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浙教版数学七年级上册 5.2 等式的基本性质 三阶训练
一、选择题
1．已知等式，c表示一个数（或式子），根据等式的性质变形不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
2．衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要．青少年迈开人生第一步就要走正道，要严格遵守国家法律法规．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则．例如：下面题目中的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的．
题目：如果，，为实数，且满足．那么．
推理过程如下：
第一步：根据上述题目条件有；①
第二步：根据七年级学过的整式运算法则有，，；②
第三步：把②代入①，可得；③
第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得；④
第五步：把④两边同时除以，得．⑤
请你判断上述推理过程中，第（　　）步是错误的，它违背了数学的基本法则
A．二 B．三 C．四 D．五
3．以下等式变形：①若 则 ②若 ax+b= ay+b，则x=y；③若 则x=y；④若x=y，则 其中正确的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．将等式a=b-1进行变形，其中变形正确的是（　　）
A．a-1=b B．-a=1-b C．a-3=b-2 D．2a=2b-1
5．已知，则代数式的值是（　　）
A．31 B．－31 C．41 D．－41
6．下列各对等式，是根据等式的性质进行变形的，其中错误的是（　　）．
A．4x-1=5x+2→x=-3
B．
C．
D．
7．有五张写有数字的卡片，分别记为①，②，③，④，⑤，将它们按如图所示放置在桌上．下表记录了相邻两张卡片上的数的和．
卡片编号 ①② ②③ ③④ ④⑤ ①⑤
两数的和 52 64 57 69 46
则写有最大数卡片的编号是（　　）
A．② B．③ C．④ D．⑤
8．如果等式ax=b成立，则下列等式恒成立的是（　　）．
A．abx=ab B．x= C．b-ax=a-b D．b+ax=b+b
二、填空题
9．若方程 则代数式 的值是　 　.
10．一段路程分为平路和上坡两段，平路和上坡的路程之比为，总路程为S，汽车在平路和上坡的速度分别为，总用时t可表示为，把这个公式变形为已知，求S，可得　 　．
11．设2016a3＝2017b3＝2018c3，abc＞0，且，则＝　 　
12．在综合实践课上，小聪用一张长为，宽为的长方形纸片进行操作探究，先剪去一个以长方形纸片较短边为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片中再剪去一个以较短边为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形．则的值为　 　．
三、解答题
13．已知a，b，c三种物体如图所示摆放.
回答下列问题：
（1）a，b，c三种物体就单个而言哪个最重
（2）若天平一边放一些物体a，另一边放一些物体c，要使天平平衡，天平两边至少应该分别放几个物体a和物体c
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】等式的基本性质；利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：A、∵，∴，故该选项不符合题意；
B、∵，∴，故该选项不符合题意；
C、∵，∴，故该选项不符合题意；
D、∵，∴，故该选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用等式的性质（ 等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立 ）逐项分析判断即可.
2．【答案】D
【知识点】利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：∵从条件可得，
∴第四步变形得到的等式成立，但第五步两边同时除以时，由于，违背了除数不能为零的数学基本法则，
∴第五步错误．
故答案为：D
【分析】本题考查等式的核心性质，重点关注“除数不能为零”的要求。由第一步条件，可变形得，因此第四步实际是，等式成立。但第五步中，等式两边同时除以，而，违背了“等式两边同时除以的数不能为零”的数学法则，导致错误结论。
3．【答案】C
【知识点】利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：① 若 则 因为1的倒数还是1，所以变形①是正确的；
②根据等式的性质1，可得ax=ay，因为不能确定a≠0，所以不能得到x=y，故变形②是错误的；
③根据等式的性质1，可得 若，因为a≠0，所以利用等式的性质2，可得x=y，所以变形③是正确的；
④因为a2+1>0，所以利用等式的性质2，可得故变形④是正确的.
所以正确的结论有3个，
故答案为： C.
【分析】（1）根据1的倒数为1，即可判断变形①；
（2）根据等式的性质1可得到ax=ay，然后根据等式的性质2判断即可；
（3）根据等式的性质1可得到，然后利用等式的性质2进行判断；
（4）因为a2+1>0，根据等式的性质2进行判断即可；
4．【答案】B
【知识点】利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：A、∵a=b-1，
∴a-1=b-2，故A不符合题意；
B、∵ a=b-1 ，
∴-a=-b+1，故B符合题意；
C、∵a=b-1，
∴a-3=b-1-3=b-4，故C不符合题意；
D、∵ a=b-1
∴2a=2b-2，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用等式的性质1可对A、B、C作出判断，利用等式的性质2，可对D作出判断.
5．【答案】B
【知识点】等式的基本性质；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】∵，
∴，
∴即，
∴，
故答案为：B
【分析】本题考查等式的性质和代数式求值.先将，变形可得：，进而可得：，据此可将代数式化为：，再将代入代数式可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】 A.4x-1=5x+2，根据等式的性质1，两边同时-4x-2得x=-3，正确； B．，等号的左边没变，右边乘以了10，故错误； C.，根据等式的性质2，两边同时乘以了100可得，正确；D.，根据等式的性质2，两边同时乘以了6可得，正确；故答案选：B
【分析】根据等式的性质判断即可，注意分式的分子分母同时乘以不为零的数，分式的值不变.
7．【答案】A
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：①②，②③，③④，④⑤，①⑤ ，
得③①，得⑤③ ．
得⑤①．
得⑤，，得①．
⑤，①．
把⑤①的值代入、、、得②，③，④．
故答案为：A
【分析】先根据等式的性质得到得③①，得⑤③ ，进而得⑤①，再得⑤，，得①，从而即可得到⑤①的值，从而代回即可得到②③④，再比较即可求解。
8．【答案】D
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】由ax=b，根据等式的性质2，两边同时×b，得abx=b2，故A错误； 由ax=b，根据等式的性质2，两边同时÷a(a≠0)才可得x=，B缺少条件，故错误； 由ax=b，根据等式的性质2，两边同时×（-1）得-ax=-b，两边同时+b得b-ax=b-b，故C错误； 由ax=b，根据等式的性质2，两边同时+b得b+ax=b+b，故D正确； 故选D.
【分析】根据等式的性质判断即可.
9．【答案】8
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：∵
∴
即
∴==3+5=8，
故答案为：8.
【分析】根据“”整理得再代入求值即可.
10．【答案】
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：
，
，
，
故答案为：．
【分析】把看作已知量，表示S的值即可解题．
11．【答案】1
【知识点】立方根的性质；利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：，
，
∴，
解得＝ 1
故答案为：1 .
【分析】本题主要考查等式的变形，需要利用立方根的计算。
从问题出发，因此让原式中尽量出现 ，这时可以在的根号里面的式子每个因式变形为，最后变形为；然后再将变形，并结合 2016a3＝2017b3＝2018c3 ，因此得到，最后即可得出等式，从而求出 的值。
12．【答案】或
【知识点】整式的加减运算；等式的基本性质
【解析】【解答】解：第一次操作：剪去边长为的正方形（较短边），剩余长方形的两邻边长分别为：，（由得，则为较长边），
第二次操作：剪去边长为的正方形（较短边），剩余长方形的两邻边长分别为，：
若，即，则第三次操作后剩余长方形的两邻边长分别为，，
∵第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，
∴，
∴，
∴；
若，即，
则第三次操作后剩余两邻边长分别为、，
∵第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的值为或；
故答案为：或．
【分析】本题考查等式性质与整式加减运算。解题步骤为：①计算第一次操作后剩余长方形的两边长
②求第二次操作后的剩余长方形边长
③比较第二次操作后两边长的大小关系
④根据比较结果确定第三次操作后的边长
⑤利用正方形边长相等的性质建立方程求解
关键点在于逐步分析每次操作后的图形变化，并注意操作顺序对结果的影响。最终通过正方形定义（邻边相等）建立等量关系求解。
13．【答案】（1）解：由图可得：3a=4b，3b=4c
∴3a=4b，等式两边同时除以3，得a=43b，
3b=4c，等式两边同时除以4，得34b=c.
∵43b＞b＞34b
∴a＞b﹥c
∴ a，b，c三种物体就单个而言a最重.
（2）解：∵3a=4b，3b=4c
∴b=34a，b=43c
∴34a=43c
∴9a=16c
∴若天平一边放一些物体a，另一边放一些物体c、要使天平平衡，天平一边至少放9个物体a，天平另一边至少放16个物体c
【知识点】等式的基本性质
【解析】【分析】（1）运用等式性质2，可得a=43b，34b=c.运用等式性质4：如果 a=b，b=c，那么 a=c.(传递性)，可得a＞b﹥c.即得答案；
（2）运用等式性质2，可得b=34a，b=43c；运用等式性质4，可得9a=16c.即可以得出答案.
1 / 1浙教版数学七年级上册 5.2 等式的基本性质 三阶训练
一、选择题
1．已知等式，c表示一个数（或式子），根据等式的性质变形不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等式的基本性质；利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：A、∵，∴，故该选项不符合题意；
B、∵，∴，故该选项不符合题意；
C、∵，∴，故该选项不符合题意；
D、∵，∴，故该选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用等式的性质（ 等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立 ）逐项分析判断即可.
2．衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要．青少年迈开人生第一步就要走正道，要严格遵守国家法律法规．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则．例如：下面题目中的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的．
题目：如果，，为实数，且满足．那么．
推理过程如下：
第一步：根据上述题目条件有；①
第二步：根据七年级学过的整式运算法则有，，；②
第三步：把②代入①，可得；③
第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得；④
第五步：把④两边同时除以，得．⑤
请你判断上述推理过程中，第（　　）步是错误的，它违背了数学的基本法则
A．二 B．三 C．四 D．五
【答案】D
【知识点】利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：∵从条件可得，
∴第四步变形得到的等式成立，但第五步两边同时除以时，由于，违背了除数不能为零的数学基本法则，
∴第五步错误．
故答案为：D
【分析】本题考查等式的核心性质，重点关注“除数不能为零”的要求。由第一步条件，可变形得，因此第四步实际是，等式成立。但第五步中，等式两边同时除以，而，违背了“等式两边同时除以的数不能为零”的数学法则，导致错误结论。
3．以下等式变形：①若 则 ②若 ax+b= ay+b，则x=y；③若 则x=y；④若x=y，则 其中正确的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：① 若 则 因为1的倒数还是1，所以变形①是正确的；
②根据等式的性质1，可得ax=ay，因为不能确定a≠0，所以不能得到x=y，故变形②是错误的；
③根据等式的性质1，可得 若，因为a≠0，所以利用等式的性质2，可得x=y，所以变形③是正确的；
④因为a2+1>0，所以利用等式的性质2，可得故变形④是正确的.
所以正确的结论有3个，
故答案为： C.
【分析】（1）根据1的倒数为1，即可判断变形①；
（2）根据等式的性质1可得到ax=ay，然后根据等式的性质2判断即可；
（3）根据等式的性质1可得到，然后利用等式的性质2进行判断；
（4）因为a2+1>0，根据等式的性质2进行判断即可；
4．将等式a=b-1进行变形，其中变形正确的是（　　）
A．a-1=b B．-a=1-b C．a-3=b-2 D．2a=2b-1
【答案】B
【知识点】利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：A、∵a=b-1，
∴a-1=b-2，故A不符合题意；
B、∵ a=b-1 ，
∴-a=-b+1，故B符合题意；
C、∵a=b-1，
∴a-3=b-1-3=b-4，故C不符合题意；
D、∵ a=b-1
∴2a=2b-2，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用等式的性质1可对A、B、C作出判断，利用等式的性质2，可对D作出判断.
5．已知，则代数式的值是（　　）
A．31 B．－31 C．41 D．－41
【答案】B
【知识点】等式的基本性质；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】∵，
∴，
∴即，
∴，
故答案为：B
【分析】本题考查等式的性质和代数式求值.先将，变形可得：，进而可得：，据此可将代数式化为：，再将代入代数式可求出答案.
6．下列各对等式，是根据等式的性质进行变形的，其中错误的是（　　）．
A．4x-1=5x+2→x=-3
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】 A.4x-1=5x+2，根据等式的性质1，两边同时-4x-2得x=-3，正确； B．，等号的左边没变，右边乘以了10，故错误； C.，根据等式的性质2，两边同时乘以了100可得，正确；D.，根据等式的性质2，两边同时乘以了6可得，正确；故答案选：B
【分析】根据等式的性质判断即可，注意分式的分子分母同时乘以不为零的数，分式的值不变.
7．有五张写有数字的卡片，分别记为①，②，③，④，⑤，将它们按如图所示放置在桌上．下表记录了相邻两张卡片上的数的和．
卡片编号 ①② ②③ ③④ ④⑤ ①⑤
两数的和 52 64 57 69 46
则写有最大数卡片的编号是（　　）
A．② B．③ C．④ D．⑤
【答案】A
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：①②，②③，③④，④⑤，①⑤ ，
得③①，得⑤③ ．
得⑤①．
得⑤，，得①．
⑤，①．
把⑤①的值代入、、、得②，③，④．
故答案为：A
【分析】先根据等式的性质得到得③①，得⑤③ ，进而得⑤①，再得⑤，，得①，从而即可得到⑤①的值，从而代回即可得到②③④，再比较即可求解。
8．如果等式ax=b成立，则下列等式恒成立的是（　　）．
A．abx=ab B．x= C．b-ax=a-b D．b+ax=b+b
【答案】D
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】由ax=b，根据等式的性质2，两边同时×b，得abx=b2，故A错误； 由ax=b，根据等式的性质2，两边同时÷a(a≠0)才可得x=，B缺少条件，故错误； 由ax=b，根据等式的性质2，两边同时×（-1）得-ax=-b，两边同时+b得b-ax=b-b，故C错误； 由ax=b，根据等式的性质2，两边同时+b得b+ax=b+b，故D正确； 故选D.
【分析】根据等式的性质判断即可.
二、填空题
9．若方程 则代数式 的值是　 　.
【答案】8
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：∵
∴
即
∴==3+5=8，
故答案为：8.
【分析】根据“”整理得再代入求值即可.
10．一段路程分为平路和上坡两段，平路和上坡的路程之比为，总路程为S，汽车在平路和上坡的速度分别为，总用时t可表示为，把这个公式变形为已知，求S，可得　 　．
【答案】
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：
，
，
，
故答案为：．
【分析】把看作已知量，表示S的值即可解题．
11．设2016a3＝2017b3＝2018c3，abc＞0，且，则＝　 　
【答案】1
【知识点】立方根的性质；利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：，
，
∴，
解得＝ 1
故答案为：1 .
【分析】本题主要考查等式的变形，需要利用立方根的计算。
从问题出发，因此让原式中尽量出现 ，这时可以在的根号里面的式子每个因式变形为，最后变形为；然后再将变形，并结合 2016a3＝2017b3＝2018c3 ，因此得到，最后即可得出等式，从而求出 的值。
12．在综合实践课上，小聪用一张长为，宽为的长方形纸片进行操作探究，先剪去一个以长方形纸片较短边为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片中再剪去一个以较短边为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形．则的值为　 　．
【答案】或
【知识点】整式的加减运算；等式的基本性质
【解析】【解答】解：第一次操作：剪去边长为的正方形（较短边），剩余长方形的两邻边长分别为：，（由得，则为较长边），
第二次操作：剪去边长为的正方形（较短边），剩余长方形的两邻边长分别为，：
若，即，则第三次操作后剩余长方形的两邻边长分别为，，
∵第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，
∴，
∴，
∴；
若，即，
则第三次操作后剩余两邻边长分别为、，
∵第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的值为或；
故答案为：或．
【分析】本题考查等式性质与整式加减运算。解题步骤为：①计算第一次操作后剩余长方形的两边长
②求第二次操作后的剩余长方形边长
③比较第二次操作后两边长的大小关系
④根据比较结果确定第三次操作后的边长
⑤利用正方形边长相等的性质建立方程求解
关键点在于逐步分析每次操作后的图形变化，并注意操作顺序对结果的影响。最终通过正方形定义（邻边相等）建立等量关系求解。
三、解答题
13．已知a，b，c三种物体如图所示摆放.
回答下列问题：
（1）a，b，c三种物体就单个而言哪个最重
（2）若天平一边放一些物体a，另一边放一些物体c，要使天平平衡，天平两边至少应该分别放几个物体a和物体c
【答案】（1）解：由图可得：3a=4b，3b=4c
∴3a=4b，等式两边同时除以3，得a=43b，
3b=4c，等式两边同时除以4，得34b=c.
∵43b＞b＞34b
∴a＞b﹥c
∴ a，b，c三种物体就单个而言a最重.
（2）解：∵3a=4b，3b=4c
∴b=34a，b=43c
∴34a=43c
∴9a=16c
∴若天平一边放一些物体a，另一边放一些物体c、要使天平平衡，天平一边至少放9个物体a，天平另一边至少放16个物体c
【知识点】等式的基本性质
【解析】【分析】（1）运用等式性质2，可得a=43b，34b=c.运用等式性质4：如果 a=b，b=c，那么 a=c.(传递性)，可得a＞b﹥c.即得答案；
（2）运用等式性质2，可得b=34a，b=43c；运用等式性质4，可得9a=16c.即可以得出答案.
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