资源简介

广东省深圳市红岭教育集团2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．我国古代数学家利用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列属于一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图所示是小明的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点，，都在竖格线上.若线段，则线段的长为（　　）
A． B． C． D．
4．用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在中，点分别在边，，上，且，．下列四个判断中，不正确的是（　　）
A．四边形是平行四边形
B．如果，那么四边形是矩形
C．如果平分平分∠BAC，那么四边形 AEDF 是菱形
D．如果AD⊥BC 且 AB＝AC，那么四边形 AEDF 是正方形
6．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗（如图所示）载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度（　　）．
A．4 B．3 C．2 D．1
7．如图，图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液面距离杯口的距离（　　）
A． B．2cm C． D．3cm
8．如图1，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，点运动时的面积随时间变化的关系如图，则的值为（　　）
A． B． C． D．9
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
9．已知，若，且，则　 　．
10．在一个不透明的口袋中有20个球，这些球除颜色外均相同，其中白球个，绿球个，其余为黑球．搅匀后，甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中搅匀，乙从袋中任意摸出一个球，若为黑球则乙获胜，若游戏对甲、乙双方都公平，则的值应为　 　．
11．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点．若AC＝2，则BD＝　 　．
12．关于x的方程有实数根，则m的取值范围是　 　．
13．如图，在中，，，，将它绕着的中点D顺时针旋转一定角度（小于）后得到，恰好使，与交于点E，则的长为　 　．
三、解答题：本题共7小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
14．解下列方程：
（1）；
（2）．
15．如图，的顶点都在网格点上，点A的坐标为．
（1）以点O为位似中心，在第二象限作的位似图形，使的边长放大到原来的2倍，并直接写出点A的对应点的坐标：___________；
（2）如果内部的一点M坐标为，则M的对应点的坐标是___________．
（3）___________．
16．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的部分统计数据：
摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000
摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252
摸到白球的频率 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252
（1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近__________；（精确到0.01）
（2）试估算盒子里白球有__________个；
（3）某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合这一结果的试验最有可能的是__________（填写所有正确结论的序号）；
①从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”；②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”；③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上；④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲
（4）李老师利用这个盒子内的球提出了一个问题，先摸一个球，放回，再摸一个球，两次均摸到白球的概率是多少？小瑞打算直接画树状图求解，发现过于复杂．小璇经过思考设计了一个等价的方法，她计算黑白球的比例后，将转盘平均分成四份，…，按照这种思路，设计出如图所示示意图，请你根据示意图利用树状图或列表法求解．
17．综合与实践主题：利用相似三角形的有关知识测量建筑物的高度．
素材：平面镜、标杆、皮尺等测量工具．
步骤1：如图，站在B处，位于点B正前方3米点C处有一平面镜，通过平面镜刚好可以看到建筑物的顶端M的像，此时测得眼睛到地面的距离为1.5米；
步骤2：在F处竖立了一根高2米的标杆，发现地面上的点D、标杆顶点E和建筑物顶端M在一条直线上，此时测得为6米，为4米．
猜想与计算：已知，点N、C、B、F、D在同一条直线上，且点N、C之间存在障碍物，无法直接测量． 请根据以上所测数据：
（1）直接写出平面镜到建筑物的距离与建筑物高度之间的数量关系；
（2）计算建筑物的高度（平面镜大小忽略不计）．
18．如图，四边形中，，，于点．
（1）用尺规作的角平分线，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接，四边形是什么特殊的四边形？请加以证明；
（3）连接，若，，求长．
19．根据以下素材，完成探索任务．
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1 其农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果． 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米．
素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调4元，每月可多销售500平方米草莓，果园每月的承包费为2万元．
问题解决
任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围． （2）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求．
任务2 解决果园种植的预期利润问题． （总利润销售利润承包费） （3）若农户预期一个月的总利润为55.2万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？
20．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友爱四边形”，这条对角线叫“友爱线”．
（1）如图1，在的正方形网格中，有一个网格和两个网格四边形与四边形，其中是被分割成的“友爱四边形”的是______．
（2）如图2，四边形是“友爱四边形”，对角线是“友爱线”，同时也是的角平分线，若中，，，，求友爱四边形的周长．
（3）如图3，在中，，，的面积为，点D是的平分线上一点，连接，．若四边形是被分割成的“友爱四边形”，求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由几何体可得，从正面看到的平面图形为，
故选：B．
【分析】根据组合体的三视图即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A.是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B.是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C.是一元二次方程，故本选项符合题意；
D.一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
【分析】根据一元二次方程的定义逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D．
∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，
∴，
即，
∴BC=9.6(cm)．
故选：C．
【分析】过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，根据平行线分线段成比例定理可得，代值计算即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
移项得，
配方得，即，
故答案为：D
【分析】根据题意移项，进而配方，从而对应选项即可求解。
5．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：由DE∥CA，DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形；
又有∠BAC=90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形
故A. B正确；
如果AD平分∠BAC，那么∠EAD=∠FAD，又有DF∥BA，可得∠EAD=∠ADF，
∴∠FAD=∠ADF，
∴AF=FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形故C正确；
如果AD⊥BC且AB=AC，那么AD平分∠BAC，同上可得四边形AEDF是菱形，故D错误.
故选D
【分析】根据平行四边形，矩形，菱形，正方形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：最快移动速度是载重后总质量的反比例函数，
∴设v与M的函数关系式为（k为常数，且），
将，代入得：，
，
∴v与M的函数关系式为，
时，，
∴当其载重后总质量时，它的最快移动速度．
故答案为：D．
【分析】用待定系数法确定k=60，则v与M的函数关系式为，当时，v=1．
7．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图所示，
，，，
根据题意得，是等腰三角形，则过点作于，交于点，
∴根据等腰三角形的性质可知，垂直平分，垂直平分，
在，中，，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即液面距离杯口的距离h，
故选：．
【分析】根据题意得，是等腰三角形，则过点作于，交于点，根据等腰三角形三线合一性质可得DM，根据勾股定理可得EM，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得EN，再根据边之间的关系即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】菱形的性质；动点问题的函数图象；三角形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：作于，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
由图象知：，，，
令，
∴
由勾股定理：
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】由函数图象，得，，，由勾股定理：再，，.
9．【答案】15
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：
【分析】由题意得，，则；；
10．【答案】4
【知识点】一元一次方程的其他应用；游戏公平性
【解析】【解答】解：若游戏对甲、乙双方都公平，
∴绿球与黑球的个数应相等，也为个，
根据题意可得：，
解得：．
故答案为：4．
【分析】根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】黄金分割；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠B=72°
∴∠ACB=∠B=72°
∴∠A=180°-∠B-∠ACB=36°
∵CD是∠CAB的角平分线
∴∠ACD=∠BCD=
∴∠A=∠ACD
∴AD=CD
在△ABC与△CBD中
∠A=∠BCD=36°，∠B=∠B
∴△ABC∽△CBD
∴
在三角形CDB中，∠B=72°，∠BCD=36°
∴∠CDB=72°
∴∠CDB=∠B=72°
∴AD=CD=BC
∴
即
∴D点为AB的黄金分割点
在三角形CDB中，∠B=72°，∠BCD=36°
∴CD>BD（大角对大边）
∴AD>BD
∵D是AB的黄金分割点，AD>BD
∴
∴
故答案为：.
【分析】根据等边对等角可得∠ACB=∠B=72°，再根据三角形内角和定理可得∠A，根据角平分线定义可得∠ACD=∠BCD=，则∠A=∠ACD，根据等角对等边可得AD=CD，再根据相似三角形判定定理可得△ABC∽△CBD，则，根据三角形内角和定理可得∠CDB=72°，则∠CDB=∠B=72°，即AD=CD=BC，可得，即，D点为AB的黄金分割点，再根据边之间的关系黄金分割点可得 ，再根据边之间的关系即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式
【解析】【解答】分两种情况：若方程为一元一次方程，则；若方程为一元二次方程，则，解得且．故满足方程有实数根的m的取值范围是．
故答案为：；
【分析】方程可能为一元一次方程或一元二次方程，则或，则m的取值范围是．
13．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点D作，
∵在中，，，，
∴，
∵将绕着的中点D顺时针旋转一定角度（小于）后得到，
∴，
∵，
∴，且，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】如图，过点D作，
由勾股定理得，，且，得四边形是矩形，得，，得，，.
14．【答案】（1）解：，
，
，
；

（2）解：，
，
，
或
．

【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）方程运用配方法解得；
（2）方程移项后运用因式分解法解得．
（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
，
，
或
．
15．【答案】（1）解：由位似的性质作图，如图1：
，
（2）
（3）
【知识点】作图﹣位似变换；图形位似变换的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】（1）解：由位似的性质作图，如图1：
∴，
故答案为：；
（2）解：由位似的性质可知，，
故答案为：；
（3）解：如图2，连接，
由位似的性质可知，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）由位似的性质作图，如图1：得；
（2）由位似的性质可知，；
（3）如图2，连接，由位似的性质可知，，即，根据=1：3.
（1）解：由位似的性质作图，如图1：
∴，
故答案为：；
（2）解：由位似的性质可知，，
故答案为：；
（3）解：如图2，连接，
由位似的性质可知，，
∴，
∴，
故答案为：．
16．【答案】（1）0.25
（2）5
（3）①④
（4）解：列表如下：
白 黑 黑 黑
白 （白，白） （白，黑） （白，黑） （白，黑）
黑 （黑，白） （黑，黑） （黑，黑） （黑，黑）
黑 （黑，白） （黑，黑） （黑，黑） （黑，黑）
黑 （黑，白） （黑，黑） （黑，黑） （黑，黑）
共有16种等可能的结果，其中这2次均为白球的结果有：（白，白），共1种，
两次均摸到白球的概率是．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；利用频率估计概率；概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】（1）解：由表可知，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的频率将会接近0.25；
故答案为：0.25；
（2）解：根据题意得：（个），
则盒子里白球有5个，
故答案为：；
（3）解：①从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率为，故此选项符合题意；
②掷一个质地均匀的正六面体骰子（面的点数标记分别为1到6），落地时面朝上的点数小于3的概率为，故不符合题意；
③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率为，不符合题意；
④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲的概率为，故此选项符合题意．
故答案为：①④．
【分析】（1）由表中n的最大值所对应的频率为0.25；
（2）根据白球个数球的总数得到的白球的概率，（个）.
（3）试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为；
（4）首先利用列表法求出所有可能的结果，共有16种等可能的结果，其中这2次均为白球的结果有：（白，白），共1种，概率为
（1）解：由表可知，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的频率将会接近0.25；
故答案为：0.25；
（2）解：根据题意得：（个），
则盒子里白球有5个，
故答案为：；
（3）解：①从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率为，故此选项符合题意；
②掷一个质地均匀的正六面体骰子（面的点数标记分别为1到6），落地时面朝上的点数小于3的概率为，故不符合题意；
③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率为，不符合题意；
④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲的概率为，故此选项符合题意．
故答案为：①④．
（4）解：列表如下：
白 黑 黑 黑
白 （白，白） （白，黑） （白，黑） （白，黑）
黑 （黑，白） （黑，黑） （黑，黑） （黑，黑）
黑 （黑，白） （黑，黑） （黑，黑） （黑，黑）
黑 （黑，白） （黑，黑） （黑，黑） （黑，黑）
共有16种等可能的结果，其中这2次均为白球的结果有：（白，白），共1种，
两次均摸到白球的概率是．
17．【答案】（1）
（2）解：设米，则米，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得：，
答：建筑物的高度为10米．
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：由题意得：，
∵，
∴，
∴，
∴，即，解得，，
∴；
【分析】（1）根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）设米，则米，根据边之间的关系可得DN，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
（1）解：由题意得：，
∵，
∴，
∴，
∴，即，解得，，
∴；
（2）解：设米，则米，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得：，
答：建筑物的高度为10米．
18．【答案】（1）解：如图，
∴的角平分线即为；
（2）解：如图，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
∴四边形是菱形；
（3）．解：如图，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定；菱形的性质；菱形的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（）作角平分线；
（）由平分，则，，得，则，，则四边形是菱形；
（） 由勾股定理得=，，则．
（1）解：如图，
∴的角平分线即为；
（2）解：如图，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
∴四边形是菱形；
（3）解：如图，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∵，
∴．
19．【答案】解：（1）
（2）根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
，
路面设置的宽度符合要求；
（3）设每平方米草莓平均利润下调y元，
整理得：．
解得：，，
又要让利于顾客，
．
答：每平方米草莓平均利润下调48元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据“道路宽度不超过12米，且不小于5米”，建立不等式即可求出答案.
（2）根据矩形面积建立方程，解方程即可求出答案.
（3）设每平方米草莓平均利润下调y元，根据总利润销售利润承包费建立方程，解方程即可求出答案.
20．【答案】（1）四边形ABCE；
（2）∵AC平分∠BCD，
∴∠ACB=∠ACD，
当∠B=∠DAC时，ABC∽DAC，
则＝＝，
∵，，，
∴＝＝，
解得AD＝，CD＝，
∴友爱四边形的周长为；
当∠B=∠D时，ABC∽ADC，
则＝＝＝1，
∵，，，
∴＝＝1，
解得AD＝2，CD＝3，
∴友爱四边形的周长为，
综上所述，友爱四边形的周长为13或10；
（3）如图3，过点A作AM⊥BC于M，
则∠AMB＝90°，
∵，
∴∠BAM＝30°，
∴BM＝AB，
∴在Rt△ABM中，AM＝
＝
＝AB，
∵ABC的面积为3，
∴BC×AB＝3，
∴BC×AB＝12，
∵四边形ABCD是被BD分割成的“友爱四边形”，且AB≠BC，
∴ABD∽DBC
∴，
∴BD2＝AB×BC＝12，
∴BD＝＝2．

【知识点】勾股定理的应用；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的判定-SSS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）∵AB＝2，BC＝1，AD＝4，
∴由勾股定理得，AC＝＝，CD＝＝，
AE＝＝2，CE＝＝5，
∴＝＝＝，
∴ABC∽EAC，
∴四边形ABCE是“友爱四边形”，
∵≠，
∴ABC与ACD不相似，
∴四边形ABCD不是“友爱四边形”，
故答案为：四边形ABCE；
【分析】（1）根据勾股定理分别求出三个三角形的各边长，根据三边对应成比例的三角形相似、“友爱四边形”是四边形ABCE；
（2）当∠B=∠DAC时，ABC∽DAC，解得AD＝，CD＝，友爱四边形的周长为；或当∠B=∠D时，ABC∽ADC，解得AD＝2，CD＝3，友爱四边形的周长为，10；
（3）AM⊥BC，由勾股定理得AM＝＝＝AB，BC×AB＝3，则BC×AB＝12，BD=2．
1 / 1广东省深圳市红岭教育集团2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．我国古代数学家利用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由几何体可得，从正面看到的平面图形为，
故选：B．
【分析】根据组合体的三视图即可求出答案.
2．下列属于一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A.是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B.是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C.是一元二次方程，故本选项符合题意；
D.一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
【分析】根据一元二次方程的定义逐项进行判断即可求出答案.
3．如图所示是小明的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点，，都在竖格线上.若线段，则线段的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D．
∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，
∴，
即，
∴BC=9.6(cm)．
故选：C．
【分析】过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，根据平行线分线段成比例定理可得，代值计算即可求出答案.
4．用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
移项得，
配方得，即，
故答案为：D
【分析】根据题意移项，进而配方，从而对应选项即可求解。
5．如图，在中，点分别在边，，上，且，．下列四个判断中，不正确的是（　　）
A．四边形是平行四边形
B．如果，那么四边形是矩形
C．如果平分平分∠BAC，那么四边形 AEDF 是菱形
D．如果AD⊥BC 且 AB＝AC，那么四边形 AEDF 是正方形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：由DE∥CA，DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形；
又有∠BAC=90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形
故A. B正确；
如果AD平分∠BAC，那么∠EAD=∠FAD，又有DF∥BA，可得∠EAD=∠ADF，
∴∠FAD=∠ADF，
∴AF=FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形故C正确；
如果AD⊥BC且AB=AC，那么AD平分∠BAC，同上可得四边形AEDF是菱形，故D错误.
故选D
【分析】根据平行四边形，矩形，菱形，正方形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
6．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗（如图所示）载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度（　　）．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：最快移动速度是载重后总质量的反比例函数，
∴设v与M的函数关系式为（k为常数，且），
将，代入得：，
，
∴v与M的函数关系式为，
时，，
∴当其载重后总质量时，它的最快移动速度．
故答案为：D．
【分析】用待定系数法确定k=60，则v与M的函数关系式为，当时，v=1．
7．如图，图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液面距离杯口的距离（　　）
A． B．2cm C． D．3cm
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图所示，
，，，
根据题意得，是等腰三角形，则过点作于，交于点，
∴根据等腰三角形的性质可知，垂直平分，垂直平分，
在，中，，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即液面距离杯口的距离h，
故选：．
【分析】根据题意得，是等腰三角形，则过点作于，交于点，根据等腰三角形三线合一性质可得DM，根据勾股定理可得EM，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得EN，再根据边之间的关系即可求出答案.
8．如图1，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，点运动时的面积随时间变化的关系如图，则的值为（　　）
A． B． C． D．9
【答案】B
【知识点】菱形的性质；动点问题的函数图象；三角形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：作于，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
由图象知：，，，
令，
∴
由勾股定理：
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】由函数图象，得，，，由勾股定理：再，，.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
9．已知，若，且，则　 　．
【答案】15
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：
【分析】由题意得，，则；；
10．在一个不透明的口袋中有20个球，这些球除颜色外均相同，其中白球个，绿球个，其余为黑球．搅匀后，甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中搅匀，乙从袋中任意摸出一个球，若为黑球则乙获胜，若游戏对甲、乙双方都公平，则的值应为　 　．
【答案】4
【知识点】一元一次方程的其他应用；游戏公平性
【解析】【解答】解：若游戏对甲、乙双方都公平，
∴绿球与黑球的个数应相等，也为个，
根据题意可得：，
解得：．
故答案为：4．
【分析】根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
11．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点．若AC＝2，则BD＝　 　．
【答案】
【知识点】黄金分割；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠B=72°
∴∠ACB=∠B=72°
∴∠A=180°-∠B-∠ACB=36°
∵CD是∠CAB的角平分线
∴∠ACD=∠BCD=
∴∠A=∠ACD
∴AD=CD
在△ABC与△CBD中
∠A=∠BCD=36°，∠B=∠B
∴△ABC∽△CBD
∴
在三角形CDB中，∠B=72°，∠BCD=36°
∴∠CDB=72°
∴∠CDB=∠B=72°
∴AD=CD=BC
∴
即
∴D点为AB的黄金分割点
在三角形CDB中，∠B=72°，∠BCD=36°
∴CD>BD（大角对大边）
∴AD>BD
∵D是AB的黄金分割点，AD>BD
∴
∴
故答案为：.
【分析】根据等边对等角可得∠ACB=∠B=72°，再根据三角形内角和定理可得∠A，根据角平分线定义可得∠ACD=∠BCD=，则∠A=∠ACD，根据等角对等边可得AD=CD，再根据相似三角形判定定理可得△ABC∽△CBD，则，根据三角形内角和定理可得∠CDB=72°，则∠CDB=∠B=72°，即AD=CD=BC，可得，即，D点为AB的黄金分割点，再根据边之间的关系黄金分割点可得 ，再根据边之间的关系即可求出答案.
12．关于x的方程有实数根，则m的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式
【解析】【解答】分两种情况：若方程为一元一次方程，则；若方程为一元二次方程，则，解得且．故满足方程有实数根的m的取值范围是．
故答案为：；
【分析】方程可能为一元一次方程或一元二次方程，则或，则m的取值范围是．
13．如图，在中，，，，将它绕着的中点D顺时针旋转一定角度（小于）后得到，恰好使，与交于点E，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点D作，
∵在中，，，，
∴，
∵将绕着的中点D顺时针旋转一定角度（小于）后得到，
∴，
∵，
∴，且，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】如图，过点D作，
由勾股定理得，，且，得四边形是矩形，得，，得，，.
三、解答题：本题共7小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
14．解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
，
，
；

（2）解：，
，
，
或
．

【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）方程运用配方法解得；
（2）方程移项后运用因式分解法解得．
（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
，
，
或
．
15．如图，的顶点都在网格点上，点A的坐标为．
（1）以点O为位似中心，在第二象限作的位似图形，使的边长放大到原来的2倍，并直接写出点A的对应点的坐标：___________；
（2）如果内部的一点M坐标为，则M的对应点的坐标是___________．
（3）___________．
【答案】（1）解：由位似的性质作图，如图1：
，
（2）
（3）
【知识点】作图﹣位似变换；图形位似变换的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】（1）解：由位似的性质作图，如图1：
∴，
故答案为：；
（2）解：由位似的性质可知，，
故答案为：；
（3）解：如图2，连接，
由位似的性质可知，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）由位似的性质作图，如图1：得；
（2）由位似的性质可知，；
（3）如图2，连接，由位似的性质可知，，即，根据=1：3.
（1）解：由位似的性质作图，如图1：
∴，
故答案为：；
（2）解：由位似的性质可知，，
故答案为：；
（3）解：如图2，连接，
由位似的性质可知，，
∴，
∴，
故答案为：．
16．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的部分统计数据：
摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000
摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252
摸到白球的频率 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252
（1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近__________；（精确到0.01）
（2）试估算盒子里白球有__________个；
（3）某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合这一结果的试验最有可能的是__________（填写所有正确结论的序号）；
①从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”；②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”；③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上；④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲
（4）李老师利用这个盒子内的球提出了一个问题，先摸一个球，放回，再摸一个球，两次均摸到白球的概率是多少？小瑞打算直接画树状图求解，发现过于复杂．小璇经过思考设计了一个等价的方法，她计算黑白球的比例后，将转盘平均分成四份，…，按照这种思路，设计出如图所示示意图，请你根据示意图利用树状图或列表法求解．
【答案】（1）0.25
（2）5
（3）①④
（4）解：列表如下：
白 黑 黑 黑
白 （白，白） （白，黑） （白，黑） （白，黑）
黑 （黑，白） （黑，黑） （黑，黑） （黑，黑）
黑 （黑，白） （黑，黑） （黑，黑） （黑，黑）
黑 （黑，白） （黑，黑） （黑，黑） （黑，黑）
共有16种等可能的结果，其中这2次均为白球的结果有：（白，白），共1种，
两次均摸到白球的概率是．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；利用频率估计概率；概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】（1）解：由表可知，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的频率将会接近0.25；
故答案为：0.25；
（2）解：根据题意得：（个），
则盒子里白球有5个，
故答案为：；
（3）解：①从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率为，故此选项符合题意；
②掷一个质地均匀的正六面体骰子（面的点数标记分别为1到6），落地时面朝上的点数小于3的概率为，故不符合题意；
③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率为，不符合题意；
④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲的概率为，故此选项符合题意．
故答案为：①④．
【分析】（1）由表中n的最大值所对应的频率为0.25；
（2）根据白球个数球的总数得到的白球的概率，（个）.
（3）试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为；
（4）首先利用列表法求出所有可能的结果，共有16种等可能的结果，其中这2次均为白球的结果有：（白，白），共1种，概率为
（1）解：由表可知，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的频率将会接近0.25；
故答案为：0.25；
（2）解：根据题意得：（个），
则盒子里白球有5个，
故答案为：；
（3）解：①从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率为，故此选项符合题意；
②掷一个质地均匀的正六面体骰子（面的点数标记分别为1到6），落地时面朝上的点数小于3的概率为，故不符合题意；
③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率为，不符合题意；
④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲的概率为，故此选项符合题意．
故答案为：①④．
（4）解：列表如下：
白 黑 黑 黑
白 （白，白） （白，黑） （白，黑） （白，黑）
黑 （黑，白） （黑，黑） （黑，黑） （黑，黑）
黑 （黑，白） （黑，黑） （黑，黑） （黑，黑）
黑 （黑，白） （黑，黑） （黑，黑） （黑，黑）
共有16种等可能的结果，其中这2次均为白球的结果有：（白，白），共1种，
两次均摸到白球的概率是．
17．综合与实践主题：利用相似三角形的有关知识测量建筑物的高度．
素材：平面镜、标杆、皮尺等测量工具．
步骤1：如图，站在B处，位于点B正前方3米点C处有一平面镜，通过平面镜刚好可以看到建筑物的顶端M的像，此时测得眼睛到地面的距离为1.5米；
步骤2：在F处竖立了一根高2米的标杆，发现地面上的点D、标杆顶点E和建筑物顶端M在一条直线上，此时测得为6米，为4米．
猜想与计算：已知，点N、C、B、F、D在同一条直线上，且点N、C之间存在障碍物，无法直接测量． 请根据以上所测数据：
（1）直接写出平面镜到建筑物的距离与建筑物高度之间的数量关系；
（2）计算建筑物的高度（平面镜大小忽略不计）．
【答案】（1）
（2）解：设米，则米，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得：，
答：建筑物的高度为10米．
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：由题意得：，
∵，
∴，
∴，
∴，即，解得，，
∴；
【分析】（1）根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）设米，则米，根据边之间的关系可得DN，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
（1）解：由题意得：，
∵，
∴，
∴，
∴，即，解得，，
∴；
（2）解：设米，则米，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得：，
答：建筑物的高度为10米．
18．如图，四边形中，，，于点．
（1）用尺规作的角平分线，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接，四边形是什么特殊的四边形？请加以证明；
（3）连接，若，，求长．
【答案】（1）解：如图，
∴的角平分线即为；
（2）解：如图，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
∴四边形是菱形；
（3）．解：如图，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定；菱形的性质；菱形的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（）作角平分线；
（）由平分，则，，得，则，，则四边形是菱形；
（） 由勾股定理得=，，则．
（1）解：如图，
∴的角平分线即为；
（2）解：如图，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
∴四边形是菱形；
（3）解：如图，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∵，
∴．
19．根据以下素材，完成探索任务．
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1 其农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果． 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米．
素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调4元，每月可多销售500平方米草莓，果园每月的承包费为2万元．
问题解决
任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围． （2）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求．
任务2 解决果园种植的预期利润问题． （总利润销售利润承包费） （3）若农户预期一个月的总利润为55.2万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？
【答案】解：（1）
（2）根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
，
路面设置的宽度符合要求；
（3）设每平方米草莓平均利润下调y元，
整理得：．
解得：，，
又要让利于顾客，
．
答：每平方米草莓平均利润下调48元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据“道路宽度不超过12米，且不小于5米”，建立不等式即可求出答案.
（2）根据矩形面积建立方程，解方程即可求出答案.
（3）设每平方米草莓平均利润下调y元，根据总利润销售利润承包费建立方程，解方程即可求出答案.
20．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友爱四边形”，这条对角线叫“友爱线”．
（1）如图1，在的正方形网格中，有一个网格和两个网格四边形与四边形，其中是被分割成的“友爱四边形”的是______．
（2）如图2，四边形是“友爱四边形”，对角线是“友爱线”，同时也是的角平分线，若中，，，，求友爱四边形的周长．
（3）如图3，在中，，，的面积为，点D是的平分线上一点，连接，．若四边形是被分割成的“友爱四边形”，求的长．
【答案】（1）四边形ABCE；
（2）∵AC平分∠BCD，
∴∠ACB=∠ACD，
当∠B=∠DAC时，ABC∽DAC，
则＝＝，
∵，，，
∴＝＝，
解得AD＝，CD＝，
∴友爱四边形的周长为；
当∠B=∠D时，ABC∽ADC，
则＝＝＝1，
∵，，，
∴＝＝1，
解得AD＝2，CD＝3，
∴友爱四边形的周长为，
综上所述，友爱四边形的周长为13或10；
（3）如图3，过点A作AM⊥BC于M，
则∠AMB＝90°，
∵，
∴∠BAM＝30°，
∴BM＝AB，
∴在Rt△ABM中，AM＝
＝
＝AB，
∵ABC的面积为3，
∴BC×AB＝3，
∴BC×AB＝12，
∵四边形ABCD是被BD分割成的“友爱四边形”，且AB≠BC，
∴ABD∽DBC
∴，
∴BD2＝AB×BC＝12，
∴BD＝＝2．

【知识点】勾股定理的应用；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的判定-SSS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）∵AB＝2，BC＝1，AD＝4，
∴由勾股定理得，AC＝＝，CD＝＝，
AE＝＝2，CE＝＝5，
∴＝＝＝，
∴ABC∽EAC，
∴四边形ABCE是“友爱四边形”，
∵≠，
∴ABC与ACD不相似，
∴四边形ABCD不是“友爱四边形”，
故答案为：四边形ABCE；
【分析】（1）根据勾股定理分别求出三个三角形的各边长，根据三边对应成比例的三角形相似、“友爱四边形”是四边形ABCE；
（2）当∠B=∠DAC时，ABC∽DAC，解得AD＝，CD＝，友爱四边形的周长为；或当∠B=∠D时，ABC∽ADC，解得AD＝2，CD＝3，友爱四边形的周长为，10；
（3）AM⊥BC，由勾股定理得AM＝＝＝AB，BC×AB＝3，则BC×AB＝12，BD=2．
1 / 1

展开更多......

收起↑