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12月月考能力提优卷
考查内容：第十六章、第十七章 时间：120分钟 满分：120分
一 选择题(每小题3分，共30分)
1.(2026·阜阳期末)下列运算正确的是 ( )
2.(2026·大同期末)下列各式中，从左到右的变形是因式分解且正确的是 ( )
A.(x+4)(x-4)=x -16
3.(2026·烟台期末)下列计算正确的是 ( )
C.(-x-4)(x+4)=x -16
4.(2026·福州期末)从图①到图②的变化过程中可以发现的结论是 ( )
5.(2026·福州期末)计算 则m与n的关系是 ( )
A.4m=n B.2m=n C. m+2=n D. m+2=2n
6.若(x-2)(x+n)展开合并后不含x的一次项，则常数n的值为 ( )
A.2 B.-2 C.
7.(2026·定西月考)532-1可以被20和30之间的某两个整数整除，则这两个数是 ( )
A.26,24 B.26,25 C.24,25 D.23,24
8.(2026·日照月考)若关于x的多项式 含有因式x-2，则另一个因数为 ( )
9.(2026·凉山月考)已知 则 的值为 ( )
A.-1 B.-2 C.1 D.2
10.已知 且x ，x ，x 都为正数，若满足
则 ( )
二填空题(每小题3分，共24分)
11.已知 则
12.(2026·新乡期末)已知 则代数式 的值为 .
13.新运算 (2026·商丘月考)将4个数a，b，c，d排成两行两列，两边各加一条竖线记成定义若则x= .
14.我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证.观察图①，( (a-1)(a+1).接下来，观察图②，通过类比思考，因式分解：
15.(2026·上海期末)如图,在长方形ABCD中,AB=16,BC=14,点E,F分别是BC,CD上的点,且BE=DF,分别以FC,CE为边在长方形ABCD 外侧作正方形 CFGH 和正方形 CEMN,在长方形ABCD 内侧作长方形CEPF；若长方形CEPF 的面积为m，则图中阴影部分的面积和为 .(用含m的代数式表示)
16.(2026·烟台期中)若多项式 的值为0，则x+y的值为 .
17.(2026·武汉月考)已知当x=n和x=m时;多项式: 的值相等,且m-n≠0,则当x=m+n+1时，多项式 的值等于 .
18.(2026·漳州期末)若( 则下列说法：
其中所有正确结论的序号为 .
三解答题(本大题共8小题，共66分)
19.(6分)(1)计算:(a-b)(a+2b);
(2)因式分解：
20.(6分)利用因式分解进行计算：
(1)39×37-13×91;
(2)29×20.09+72×20.09+13×20.09-20.09×14.
21.(6分)(1)计算:
(2)先化简，再求值： 其中
22.(8分)(2026·安阳期末)数学活动：在月历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律.图①是2026年1月的月历，我们任意框住3个数(如图②阴影部分)，将位置B上的数平方，位置A，C 上的数相乘，然后再相减.
(1)填空:
例如:13×13-5×21= ,14×14-6×22= .不难发现,结果都是 ;
(2)请你再举出一个符合这个规律的类似的例子；
(3)设位置B上的数为x，请你对以上的规律加以证明.
23.(8分)(2026·厦门期末)如图，某工厂计划用一块长为2n、宽为n(单位：m)的长方形铁皮制作一个无盖的长方体废料箱，用于存放工业废料.在长方形铁皮的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周凸出部分折起，焊接成一个长方体形状的废料箱.
(1)当切去的正方形的边长为1m 时，用含n的式子表示该废料箱的容积.
(2)充分考虑场地因素，该工厂现有如下两种切割方案：
方案一：切去的正方形的边长为 am；
方案二：切去的正方形的边长为 m.
若 为了使废料箱能存放更多的工业废料，判断哪种方案更符合该工厂的要求.
24.(8分)(2026·孝感期末)对于三个非负整数p,a,b,若满足: 则称p为a与b的“2次幂差数”.
(1)2与1 的“2次幂差数”为 ;
(2)若p为m+1与m-1的“2次幂差数”,求p;(用含m的代数式表示)
(3)若p为a与b的“2次幂差数”,且b=k-3,p=-2k+71,求a的最小值.
25.(10分)(2026·南昌期末)我们把多项式 及 叫作完全平方式，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常进行如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它能解决一些与非负数或非正数有关的问题，如求代数式最大值、最小值等，甚至我们还能巧妙地利用它来比较一些多项式的大小.
例如：求代数式 的最小值.
小明是这样做的：原式
.当x=3时, 的最小值为3.
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)求代数式 的最小值；
(2)求代数式 的最大值；
(3)若多项式 试着比较多项式 P 和 Q 的大小，并说明理由.
26.(14分)(2026·泉州期末)定义:若多项式 mx+a,mx+b,mx+c满足 a)(mx+c)=n(其中a(1)试判断多项式2x-3,2x+1,2x+5是否是“和谐多项式群” 若是,求出“和谐值”;若不是,请说明理由；
(2)若多项式 mx+a,mx+b,mx+c为“和谐多项式群”(其中a①试说明a，b，c满足的数量关系；
②设S=4n,请用含a,c的代数式表示S;
(3)若x-3,x-p,x-q为“和谐多项式群”,p,q满足p>q(p,q为常数),“和谐值”为 求出所 弥有符合条件的p，q的值.
1-10DDBB DAABCA
11.54 12.7 13.1
15.2m+4 16.0 17.3 18.(1)(2)(3)
(3分)
(a+2b)(a-2b) (6分)
评分标准 本题每小问3分.
20.(1)39×37-13×91=3×13×37-13×91=13×(3×37-91)=13×20=260… (3分)
(2)29×20.09+72×20.09+13×20.09-20.09×14=20.09×(29+72+13-14)=20.09×100=2009. (6分)
评分标准 本题每小问3分.
21.(1)原式 (2分)
(2)原式 (4分)
当 时，原式 (6分)
评分标准 本题第(1)问2分，第(2)问4分，化简正确得2分.
22.(1)64 64 64 (3分)
解析:13×13-5×21=169-105=64,14×14-6×22=196-132=64，不难发现，结果都是64.
(2)12×12-4×20=144-80=64.(答案不唯一,计算正确均可) (6分)
(3)设位置B上的数为x，则位置A 上的数为(x-8)，位置C上的数为(x+8).
(8分)评分标准 本题第(1)(2)问各3分,第(3)问2分.
23.(1)当切去的正方形的边长为1m 时，则该废料箱的长为(2n-2)m,宽为(n-2)m,高为1m,
∴这个废料箱的容积为 (2分)
(2)方案一：切去的正方形的边长为 am时，则该废料箱的长为(2n-2a)m,宽为(n-2a)m,高为am,∴这个废料箱的容积为
方案二：切去的正方形的边长为a/2m时，则该废料箱的长为(2n-a)m,宽为(n-a)m,高为a/2 m,∴这个废料箱的容积为 (6分'
即n>4a,∴ ∴方案一的废料箱的容积大，即方案一符合要求.…(8分)
评分标准 本题第(1)问2分，第(2)问6分，求出两种方案的容积得4分.24.(1)3 (2分)
解析：根据“2次幂差数”的定义可得
∴2与1的“2次幂差数”为3.
(2)依题意，得 m+1)=2m×2=4m.…(4分)
(3)已知b=k-3,p=-2k+71,代入 得 即 64,由b=k-3≥0,p=-2k+71≥0及k为整数,可得k的取值范围为3≤k≤35,且k为整数,∵k=4在该范围内,∴当k=4时，a 取得最小值64，则a的最小值为8.…(8分)
评分标准 本题第(1)(2)问各2分,第(3)问4分.
∴当x=-2时, 的最小值为-1...…(4分)
∴当:x=4时, 的最大值为6.……(8分)
(3)P>Q,理由如下: P>Q.…(10分)
评分标准 本题第(1)(2)问各4分，每小问中配方正确得2分，第(3)问2分，没有理由不得分.
26.(1)多项式:2x-3,2x+1,2x+5是“和谐多项式群”.
理由： 15=16,∴多项式2x-3,2x+1,2x+5是“和谐多项式群”,“和谐值”为16.…(4分)
∵多项式 mx+a,mx+b,mx+c为“和谐多项式群”,∴2b-a-c=0,即2b=a+c.·…(8分)
②∵多项式 mx+a,mx+b,mx+c为“和谐多项式群”,∴“和谐值 又∵2b=a+c,
…(10分)
(3)当3>p>q时,-3<-p<-q,此时a=-3,b=-p,c=-q.∵2b=a+c,∴-2p=-3-q,2p=3+q,∴q=2p-3.
又 15=0.∴(p-5)(p+3)=0,∴p=5或lp=-3,∴当p=5时,q=7;当p=-3时,q=-9.又∵3>p>q,∴p=-3,q=-9.……(12分)
当p>3>q时,-p<-3<-q,此时a=-p,b=-3,c=-q.∵2b=a+c,∴-6=(-p)+(-q),6=p+q,∴p=6-q.
又∵ ∴q=9,∴p=6-q=6-9=-3,此时.p当p>q>3时,-p<-q<-3,此时a=-p,b=-q,c=-3.∵2b=a+c,∴-2q=(-p)+(-3),2q=p+3,∴p=2q-3.
又∵. ∴2q-3=15,∴q=9,此时p>q>3,符合题意.
综上所述,p=-3,q=-9或p=15,q=9.……(14分)
评分标准 本题第(1)问4分，没有理由不得分，第(2)①问4分,第(2)②问2分,第(3)问4分,求出一组值得2分.

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