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第十七章 因式分解能力提优卷
时间:120分钟 满分:120分
一 选择题(每小题3分，共30分)
1.(2026·重庆期末)下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是 ( )
2.(2026·烟台期末)多项式 中，各项的最大公因式是 ( )
B.3a b C.3a bc D. a b
3.(2026·江门期中)下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是 ( )
4.(2026·常德期末)把多项式 因式分解的结果为 ( )
C.(a-b)(2a+1)(2a-1)
5.若多项式 可分解为(x+3)(x-b),则a-b的值为 ( )
A.3 B.-3 C.11 D.-11
6.(2026·贵港期末)如果a+b=2, ab=1,那么 的值为 ( )
A.1 B.3 C.4 D.8
7.在对二次三项式 因式分解时，小刚看错了常数项c，分解成(x-3)(x-4)，小明看错了一次项系数b,分解成(x-1)(x-2),则b+c的值为 ( )
A.-5 B.7 C.9 D.21
8.(2026·周口期末)下列选项中，对任意的整数n，能整除 的整数是 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
9.(2026·南通期末)已知实数a,b满足 且a≠b，则代数式 的值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.(2026·泉州期末)若x + kx+12=(x+a)(x+b),且a，b，k均为整数，则k的值不可能是( )
A.6 B.7 C.8 D.-13
二填空题(每小题3分，共24分)
11.(2026·襄阳期末)利用因式分解计算:2026×2027-2027 = .
12.(2026·榆林期末)若 能用完全平方公式因式分解，则n的值为 .
13.课堂上老师在黑板上布置了如图所示的题目，小聪发现其中有一道题目出错了，出错的是第 道题.(填序号)
用平方差公式把下列各式因式分解： ①a -b ;②x -1;③-x -y ;④4m -25n .
14.(2026·临汾期末)若长方形的长为a，宽为b，它的周长为24，面积为32，则
15.(2026·荆门期末)已知x-y=5,则 的值是 .
16.(2026·安康期末)若a,b为实数,且满足 ,则a+b= .
17.已知a=2025(x+y)+2024,b=2025(x+y)+2 026,c=2025(x+y)+2027,则
18.(2026·德州期末)如果m=k(k+1),其中m,k都是正整数,则称m为“矩数”,k为m的最佳拆分点.例如:6=2×(2+1),6为“矩数”,2为6的最佳拆分点.若“矩数”p的最佳拆分点为t，“矩数”q的最佳拆分点为s，且lp-q=8,则 的值为 .
三解答题(本大题共8小题，共66分)
19.(6分)(2026·南通月考)分解因式:
(1)2m(a-b)-3n(a-b);
20.(6分)用简便方法计算：
21.(6分)过程性学习在学习对复杂多项式进行因式分解时，老师示范解答了一道例题，如下图.
解答下列问题：
(1)例题中第二步到第三步运用了因式分解的 (填序号)；
①提取公因式；②平方差公式；③两数和的完全平方公式；④两数差的完全平方公式.
(2)请仿照以上例题分解因式：
22.(6分)(2026·临沂期末)已知a,b,c是△ABC的三边,且
(1)试判断△ABC 的形状;
(2)若a=5，求第三边c的取值范围.
23.(8分)对于二次三项式 可以直接用完全平方公式将它因式分解成( 但对于二次三项式 就不能直接用完全平方公式因式分解，因此常采用将 加上一项60 ，使它与 的和成为一个完全平方式，再减去60 ，使整个式子的值不变.过程如下：
=(x-60+12)(x-60-12)
=(x-48)(x-72).
请你按照上面的方法因式分解：
24.(10分)整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法 反过来为 恰好是因式分解.基于上述原理，将式子 分解因式如下：
一次项-x=x·(-3)+x·2，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项x·2+x·(-3)=-x;③横向写出两因式:
请仔细阅读材料，回答下列问题：
(1)填空:
(2)若 可分解为(x+a)(x+b)(a，b均为整数)，求出整数p的所有可能值.
25.(10分)(2026·衡水期末)综合与实践.
聪明的嘉嘉发现某广场的地砖图案是由多个圆套在一起的，从外向里由黑色瓷砖铺设的圆环和白色瓷砖铺设的圆环交替构成.根据这一现象嘉嘉画出了如图所示的图形，已知最外面的圆的半径为10cm，向里依次为9cm，8cm，…，1cm，嘉嘉想利用所学的数学知识计算这个图形中所有黑色圆环面积的和.
回归课本：
(1)此问题的解决需利用平方差公式：
问题解决：
(2)求黑色圆环面积的和；(计算结果保留π)
问题拓展：
(3)运用上述公式计算：
26.(14分)(2026·南通期末)【阅读发现】
人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，然后将因式码按从小到大的顺序排列，就可以形成密码.例如，多项式 将其分解因式为y(x+2)(x-2),取x=15,y=12,则有y=12,x+2=17,x-2=13.其中，12，17，13分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317.当然，也可取另外一些适当的数，得出其他的密码.
【问题解决】
(1)已知多项式 当m=6,n=4|时，用上述方法生成的密码是 ；
(2)已知多项式 用上述方法生成的密码是242526，若密码的每个因式码都是两位数,求p,q 的值;
【拓展延伸】
(3)国庆假期，小亮全家外出自驾游，在行驶数百公里后，小亮发现此时汽车仪表盘上的里程数比一个完全平方数大1，若再行驶90km后的里程数还是完全平方数，问此时汽车仪表盘上的里程数是多少
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C C B C A B C A
11.-2 027 12.±6 13.③ 14.384
15.25 16.9 17.7 18.
19. (1)2m(a-b)-3n(a-b)=(a-b)(2m-3n). (3分)
…… (6分)
评分标准 本题每小问3分.
20.(1)原式 (3分)
(2)原式 (6分)
评分标准 本题每小问3分.
21.(1)④ (2分)
解析：第二步得到 第三步得到 运用了两数差的完全平方公式.
(2)设 则原式 (6分)
评分标准 本题第(1)问2分，第(2)问4分.
22.
(b+c)(b-c)+2a(b-c)=0,
∴(b-c)(b+c+2a)=0. (2分)
∵a,b,c是△ABC 的三边,∴b+c+2a≠0,∴b=c,
∴ △ABC 是等腰三角形. (4分)
(2)由(1)可得,b=c,当a=5时,三角形的三边为5,c,c,根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，得c+c>5，解得c>2.5. (6分)
评分标准 本题第(1)问4分，因式分解正确得2分，第(2)问2分.
23. (1)原式 (4分)
(2)原式 (8分)
评分标准 本题每小问4分.
24.(1)(x-1)(x-2) (2分)
可分解为(x+a)(x+b),
∴p=a+b, ab=-8.∵a,b为整数,且-8=-1×8=-8×1=-2×4=-4×2,
∴a=-1,b=8或a=-8,b=1或a=-4,b=2或a=-2,b=4或a=1,b=-8或a=8,b=-1或a=4,b=-2或a=2,b=-4,
∴p=-1+8=7或p=-8+1=-7或p=-4+2=-2或p=-2+4=2或p=1+(-8)=-7或p=8+(-1)=7或p=4+(-2)=2或p=2+(-4)=-2,
∴整数p的所有可能值为7或-7或2或-2.… (10分)
评分标准 本题第(1)问2分，第(2)问8分，每求对一个可能值得2分.
25.(1)(a+b)(a-b) ……(2分)
答:黑色圆环面积的和为55πcm . …(6分)
(10分)
评分标准 本题第(1)问2分,第(2)(3)问各4分.
26.(1)816160 ……(2分)
解析： 当m=6,n=4时, 144+16=160,2m+n=2×6+4=16,2m-n=2×6-4=8,将160,16,8按从小到大排列得8,16,160,故生成的密码是816160.
∵生成的密码是242526，密码的每个因式码都是两位数，
∴三个因式码为24,25,26,即三个因式的值分别为24,25,26,分三种情况：
①当x=24时，另外两个因式的值为25，26，即x+1=25,x+2=26,则 可知p=3,q=2;
②当x=25时,另外两个因式的值为24,26,即x-1=24,x+1=26,则 可知p=0,q=-1;
③当x=26时,另外两个因式的值为24,25,即:x-2=24,x-1=25,则 可知p=-3,q=2;
综上所述,p=3,q=2或p=0,q=-1或p=-3,q=2. ……(8分)
(3)设此时汽车仪表盘上的里程数为 xkm(x为正整数，且x>100),根据题意,得 (a,b为正整数,且b>a),将x= 代入 得 即 因式分解得(b-a)(b+a)=91,将91分解为正整数因数对;(1,91),(7,13),当b-a=1,b+a=91时,解得a=45,b=46,此时里程数x= 符合题意;当b-a=7,b+a=13时,解得a=3,b=10,此时里程数 不符合题意，舍去.故此时汽车仪表盘上的里程数是2026 km. …(14分)
评分标准 本题第(1)问2分，第(2)问6分，每种情况2分，第(3)问6分.

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