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高三数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的
1.(1一√3i)2在复平面内对应的点位于
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
h
2.若函数f(x)=(x十1)一1，则
A.y=f(x一1)十1为奇函数
B.y=f(x一1)+1为偶函数
咏
C.y=f(x十1)一1为奇函数
D.y=f(x十1)+1为偶函数
3.现有200个圆锥形（每个圆锥的底面半径为2cm,高为1.5cm)金属零件，为了防止零件生
锈，需要对每个零件的表面进行喷漆，则这200个零件需要喷漆的总面积为
A.1600πcm2
B.1700πcm2
C.1800πcm3
D.2000πcm2
4若函数f)满足f(e+是)=x+是，则曲线y一fx)在点W77fW7)处的切线斜率为
A.17
B.19
C.20
D.21
5.如图，在△ABC中，点D在AC的延长线上，点E在线段BD上，若
封
A应=a+A心，Cò=AC,则入
A号
B号
c号
D.6
生
6已知四边形ABCD为矩形，则“矩形ABCD的周长为18"是“品十亮的最小值为1的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.已知集合A=(x|4x2>1),B=(cos1,sin2,cos3,tan4),则A∩B的元素个数为
线
A.1
B.2
C.3
D.4
8.若]x∈(0，十o∞)，√eFA(告，+∞)
B(2,+∞)
c.(,+∞)
D.(号，+)
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，
9.在△ABC中，AB=m一1，BC=m+1,∠ABC=120°，且AC为整数，则m的值可以为
A.2
R
C.4
D.5
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10.在高为2√2的正四棱锥P-ABCD中，AB=4,底面ABCD的中心为O,且E为线段PO的
中点，则
A.PA.PC=0
B.直线CE与平面PBD所成的角大于60
C异面直线PC与BE所成角的余弦值为√
5
四棱锥P-ABCD的棱切球（与所有棱都相切的球）的体积为
11.设数列{an}的前n项和为Sn,若对于任意的正整数n,存在正整数m,使得am=Sn,则称
{an)为“封闭数列”.下列结论正确的是
A.若an=3n,则(an}为“封闭数列”
B.若{an}为“封闭数列”，则(Sn}一定为“封闭数列”
C.若an=2”十a,则不存在常数a,使得{an}为“封闭数列”
D.若{an}和(bn)均为“封闭数列”，则(am十bn)一定为“封闭数列”
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12精周后+黄-1的离心率为▲
l3.将曲线y=sinx(sinx十cosx)向左平移m(m>0)个单位长度后，所得曲线与曲线y=
cos2x的对称轴相同，则m的最小值为▲，
ln(-x-1),x<-1,
14.已知函数f(x)=
若函数g(x)=f(f(x)-a恰有8个零点，则a
-x2+2x+2,x≥-1，
的取值范围是▲
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
小明参加某次科技知识亮赛，需解答10个题目，已知小明答对每道题目的概率均为，设小
明答对的题数为X.
(1)求D(X);
(2)已知每答对一题得5分，答错一题扣3分，小明最后的得分为Y分，求E(Y).
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1.C因为(1一√3i)2=一2-2√3i,所以(1一√3)2在复平面内对应的点位于第三象限.
2.B因为f(x-1)十1=x4,(-x)4=x4,所以y=f(x一1)十1为偶函数
3.C设每个圆锥的母线长为1cm,则l=√22十1.52=2.5，所以每个圆锥的表面积为πr2+
πrl=4π十5π=9πcm2,故这200个零件需要喷漆的总面积为1800πcm2.
4B因为f(x+)=(x+）-2,所以xf(x)=x(x2-2).设g(x)=工(x2-2),则
g'(x)=3x2-2,则g'(W7)=19,故曲线y=xf(x)在点(W7,W7f(W7)处的切线斜率为19.
5.A因为C市-AC,所以AC-号A市.又A应-子A店+λAC,所以A症=A蓝+号A市
因为BE,D三点共线，所以1-十号x,解得X-号
5
6C若矩形ABCD的周长为18，则2(AB+BC)=18,即AB+BC=-9,则+亮-号CAB
+Bc(品+急)-（6+%+0)≥5+2)=1，当且仅当器-C,即5c
2AB=6时，等号成立，所以B十BC的最小值为1.反之也成立，故“矩形ABCD的周长为
1
18”是“B十是的最小值为1的充要条件，
7.DA=x4x2>1=(-∞，-2)U(分，+∞)
因为1rad≈57.3°，2rad≈114.6°，3rad≈171.9°，4rad≈229.2°，
所以cos1>cos60-7sn2>sn150=7os3Kos120'=-,
tan4≈tan(180°+49.2)=tan49.2>tan45°=1，
所以A∩B={cos1,sin2,cos3,tan4},故A∩B的元素个数为4.
8.D由√e0时，
E(x-lnx)
e
Le
e
ez-Inx
yf(-Inz)
>0,y2=
x(x-Inx)2(x-Inx)2(x-In x)2
设g)=号（≥1），则g'e)=e2,
当1≤t<2时，g'(t)<0,g(t)单调递减，当t>2时，g'(t)>0,g(t)单调递增，
所以ga-g2)-号则E
的最小值为号，则>
√E(x-lnx)
【高三数学·参考答案第1页（共7页）】
9.BCD由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=(m-1)2+(m十1)2
+(m-1D(m+)3m2+1.当m=2时，AC=√13EZ,当m=26时，AC=3∈2A
当m=4时，AC=7∈Z;当m=√5时，AC=4∈Z.
10.ABD连接AC,则AC∩BD=O.以O为坐标原点，OB,OC,
OP所在直线分别为x,y,之轴，建立空间直角坐标系，如图所
示，则O(0,0,0),P(0,0,2√2)，E(0,0,√2)，A(0,-2√2,0)，B
1
(22,0,0),C(0,2√2,0)，则PA=(0,-2√2，-2√2)，PC=
(0,2/2,-2√2)，B2=(-2√2,0，N2),
所以Pi.P心-0，cos(P心，B眩1=PE·B脑-
PCIBE 10
,A正确，C错误.易证C0L平面
BD,则直线CE与平面PBD所成的角为∠CEO,因为tan∠CE0=光=2>√3，所沙
∠CEO>60°，B正确.设BC,PB的中点分别为F,G,连接OF,OG,则OF⊥BC,OG⊥PB,
且OF-0G=2,所以正四棱锥P-ABCD的棱切球的球心为O,半径为2，该球的体积为暂
X2-径，D正确
11.AC对于A,由a,=3m,得S.=n(a十a2_3m(n+
2
2
2,易知，1D为正整数，取m=
2
nn+卫，则S.=3m,则am=S,a,}为“封闭数列”，A正确.
2
对于B,取a,=m,则{a}为“封闭数列”，且S.=n(a1十a.）-n(n十1)
2
2
则S1十S,=1+3-4,若{S,}为“封闭数列”，则存在正整数m,使得S=4,则m(m+1D
2
4,即m(m十1)=8，显然该方程无正整数解，B错误.
对于C,Sn=2十a十22十a十…十2"十a=2+1一2十na.若{an}为“封闭数列”，则存在正整
数m,使得2”十a=21-2+a,得a公2十兰由公的任意性，不妨取-2和3，则
存在正整数m和m使得2,2十2-2,21十里，整理得2+2=2+1，由
3-1
十2为偶数，得2？-1+1为偶数，则m2-1=0,得m2=1,此时2？+1=2，然而21+2>
2,则与21十2=2？-1+1矛盾，故不存在常数a,使得{an}为“封闭数列”，C正确.
1,n=1,
对于D,设an=3n,bn={
显然{an}和{bn}均为“封闭数列”，
0,n≥2，
cn=an十bn=
4,n=1,当n=2时，S,=c1十c2=10,
3n,n≥2，
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