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人教版数学八年级下册知识点梳理
目　录
第十九章 二次根式 2
19.1 二次根式及其性质 2
19.2 二次根式的乘法与除法 2
19.3 二次根式的加法与减法 3
第二十章 勾股定理 4
20.1 勾股定理及其应用 4
20.2 勾股定理的逆定理及其应用 4
第二十一章 四边形 5
21.1 四边形及多边形 5
21.2 平行四边形 6
21.3 特殊的平行四边形 7
第二十二章 函数 8
22.1 函数的概念 8
22.2 函数的表示 9
第二十三章 一次函数 9
23.1 一次函数的概念 9
23.2 一次函数的图象和性质 10
23.3 一次函数与方程（组）、不等式 11
23.4 实际问题与一次函数 11
第二十四章 数据的分析 12
24.1 数据的集中趋势 12
24.2 数据的离散程度 13
24.3 数据的四分位数 14
24.4 数据的分组 14
综合与实践 15
学生体质健康调查与分析 15
第十九章 二次根式
19.1 二次根式及其性质
基本概念与定义
二次根式：一般地，形如 的式子叫作二次根式， 叫作被开方数，符号“”叫作二次根号。
二次根式有意义：只有当 时， 在实数范围内才有意义； 时， 没有意义。
算术平方根：正数 的正的平方根叫作 的算术平方根，记作 ，规定 。二次根式 表示 的算术平方根。
性质与运算法则
非负性：，即二次根式的值是一个非负数。
平方性质：。
开方性质：，即当 时，；当 时，。
公式
19.2 二次根式的乘法与除法
基本概念与定义
最简二次根式：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式的二次根式叫作最简二次根式。
分母有理化：把分母中的根号化去的过程叫作分母有理化。
性质与运算法则
乘法法则：。
积的算术平方根：，利用它可以进行二次根式的化简。
除法法则：。
商的算术平方根：。
化简时，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）开出来，写成最简二次根式。
公式
19.3 二次根式的加法与减法
基本概念与定义
同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫作同类二次根式。
性质与运算法则
加减法则：二次根式相加减时，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（同类二次根式）进行合并。
二次根式的加减，与整式的加减（合并同类项）类似，实质上就是合并同类二次根式。
运算结果要化成最简二次根式。
公式
第二十章 勾股定理
20.1 勾股定理及其应用
基本概念与定义
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为 、，斜边长为 ，那么两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。
“赵爽弦图”：我国古代数学家赵爽利用“出入相补法”，通过图形的分割、拼接，借助面积关系证明了勾股定理，该图被称为“赵爽弦图”，是 2002 年国际数学家大会会标的原型。
性质与运算法则
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是直角三角形的重要性质。
直角三角形中已知任意两边，都可以由勾股定理求出第三边：
已知 、 求 ：；
已知 、 求 ：。
运用勾股定理时要注意区分直角边与斜边，斜边是直角所对的边，也是最长边。
公式
20.2 勾股定理的逆定理及其应用
基本概念与定义
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 、、 满足 ，那么这个三角形是直角三角形，且边 所对的角是直角。
勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，叫作勾股数，如 、、 就是一组勾股数。
性质与运算法则
勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否为直角三角形的重要依据：只要判断两条较短边长的平方和是否等于最长边长的平方即可。
若 ，则三角形为直角三角形；若 ，则不是直角三角形。
逆定理常用于判断三角形的形状，以及解决实际中的垂直、方向等问题。
公式
第二十一章 四边形
21.1 四边形及多边形
基本概念与定义
四边形：在平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形。组成四边形的各条线段叫作四边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点。
凸四边形：画出四边形的任何一条边所在直线，如果整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形（今后如无特别说明，所讨论的四边形都是凸四边形）。
对角线：连接四边形不相邻的两个顶点的线段叫作四边形的对角线。
内角与外角：四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角；四边形的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角。
多边形：由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫作多边形，类似地有多边形的边、顶点、内角、外角和对角线。
性质与运算法则
四边形的一条对角线把四边形分成两个三角形，因此可借助三角形的知识研究四边形。
四边形的内角和等于 。
四边形的每一个内角与它相邻的外角互为邻补角，所以四边形的内角和与它的外角和之和为 ，从而四边形的外角和等于 。
一般地， 边形的内角和等于 ，外角和等于 。
公式
21.2 平行四边形
基本概念与定义
平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。平行四边形 记作“”。
梯形的相关概念：只有一组对边平行的四边形叫作梯形（作一般了解）。
性质与运算法则
平行四边形的性质：
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等；
平行四边形的对角线互相平分。
平行四边形的判定：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。顺次连接三角形各边中点所得的线段即为中位线。
公式
21.3 特殊的平行四边形
基本概念与定义
矩形：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形（也就是长方形）。
菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形。
正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形。
性质与运算法则
矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形是轴对称图形。
矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形。
菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形。
正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分（正方形兼具矩形和菱形的所有性质）。
正方形判定：先判定它是矩形，再判定它是菱形；或先判定它是菱形，再判定它是矩形。
直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
公式
第二十二章 函数
22.1 函数的概念
基本概念与定义
变量与常量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫作变量，数值始终不变的量叫作常量。
函数：一般地，在一个变化过程中有两个变量 与 ，如果对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，那么就说 是自变量， 是 的函数。
函数值：对于自变量 取定的一个值 ，函数 与之对应的值叫作当 时的函数值。
函数的三种表示：解析式（关系式）、表格、图象都可以表示两个变量之间的函数关系。
性质与运算法则
判断两个变量之间是否存在函数关系，关键是看：对于自变量的每一个确定的值，另一个变量是否有唯一确定的值与之对应。
函数关系中，自变量的取值范围要使函数解析式有意义（如分母不为 、二次根式的被开方数非负等），并且符合实际问题的意义。
22.2 函数的表示
基本概念与定义
函数的解析式：用数学式子表示函数与自变量之间的关系的方法叫作解析式法。
函数的图象：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。
列表法、图象法：用表格、图象表示函数关系的方法分别是列表法和图象法。
性质与运算法则
画函数图象的一般步骤是：列表、描点、连线。
用图象可以直观地反映函数随自变量的变化而变化的规律，如上升、下降、最大值、最小值等。
表示函数时，要根据具体情况选择合适的方法，三种方法各有优点，常常结合使用。
第二十三章 一次函数
23.1 一次函数的概念
基本概念与定义
正比例函数：形如 （ 是常数，）的函数叫作正比例函数， 叫作比例系数。
一次函数：形如 （、 是常数，）的函数叫作一次函数。
当 时， 即 ，所以正比例函数是一次函数的特殊情形。
性质与运算法则
判断一个函数是否为一次函数，要抓住两点：自变量 的次数是 ；一次项系数 。
若已知函数是一次函数，可由条件列出关于 、 的关系式，用待定系数法求出解析式。
公式
23.2 一次函数的图象和性质
基本概念与定义
一次函数 （）的图象是一条直线，通常称为“直线 ”。
正比例函数 （）的图象是一条经过原点的直线，称为“直线 ”。
性质与运算法则
正比例函数的性质：当 时，直线 经过第三、第一象限，从左向右上升，即 随 的增大而增大；当 时，直线 经过第二、第四象限，从左向右下降，即 随 的增大而减小。
一次函数的性质：对于 ， 时 随 的增大而增大， 时 随 的增大而减小； 决定直线与 轴的交点 。
画一次函数图象，只需确定两点，再过这两点画直线即可。
公式
23.3 一次函数与方程（组）、不等式
基本概念与定义
一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程（组）之间有着密切的联系。
性质与运算法则
一次函数与一元一次方程：方程 的解，就是一次函数 的图象与 轴交点的横坐标。
一次函数与一元一次不等式：不等式 （或 ）的解集，就是一次函数 的图象在 轴上方（或下方）的部分所对应的自变量的取值范围。
一次函数与二元一次方程（组）：每个二元一次方程都对应一个一次函数，也就对应一条直线；二元一次方程组的解，就是相应两个一次函数图象的交点坐标。
公式
23.4 实际问题与一次函数
基本概念与定义
运用一次函数解决实际问题，通常要把实际问题抽象为一次函数问题，再结合图象和性质求解。
分段函数：在自变量的不同取值范围内，函数解析式不同的函数，称为分段函数（如购买量超过一定数量后价格打折的问题）。
性质与运算法则
解决实际问题的一般步骤：设变量，找相等关系，写出函数解析式，确定自变量取值范围，画图象或计算，检验并作答。
分段函数要在每一段内分别写出解析式，并注明相应的自变量取值范围。
第二十四章 数据的分析
24.1 数据的集中趋势
基本概念与定义
平均数：一般地，对于 个数据 、、、，把 叫作这 个数据的平均数，记作 。平均数反映一组数据取值的平均水平，是刻画数据集中趋势最常用的统计量。
加权平均数：若 个数据中， 出现 次， 出现 次，， 出现 次（），则加权平均数为 ，其中 、、、 叫作各数据的权。
中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，处于中间位置的数（数据个数为奇数）或中间两个数的平均数（数据个数为偶数）叫作这组数据的中位数。
众数：一组数据中出现次数最多的数据叫作这组数据的众数。
组中值：在分组统计中，这个小组两个端点的数的平均数叫作该组的组中值。
性质与运算法则
平均数反映数据的平均水平；中位数反映数据的中间水平；众数反映出现次数最多的数据。
计算平均数时，如果各数据的重要程度不同，应使用加权平均数，把各数据的权一并考虑。
在分组数据中，可用各组的组中值代表该组的实际数据，把各组的频数看作相应组中值的权，通过计算加权平均数得到总平均数的近似值。
中位数不受个别极端数值的影响，众数可能不唯一。
公式
24.2 数据的离散程度
基本概念与定义
离散程度：数据的波动情况叫作数据的离散程度，它和集中趋势一样，是数据分析中经常关注的特征。
离差平方和：各数据与平均数的差的平方的和，即 。
方差：各数据与平均数的差的平方的平均数叫作这组数据的方差，记作 。
性质与运算法则
方差是刻画一组数据离散程度的统计量：方差越大，数据的波动越大，越不稳定；方差越小，数据的波动越小，越稳定。
比较两组数据的稳定性时，通常在平均数相近的情况下比较方差。
方差的计算步骤：先求平均数，再求各数据与平均数的差，求差的平方，最后求这些平方的平均数。
公式
24.3 数据的四分位数
基本概念与定义
四分位数：为了获取数据更多的信息，用来大致刻画一组数据分布情况的统计量。
将一组数据从小到大排列后，用中位数把数据分成个数相等的两部分，再分别求出这两部分的中位数：较小的部分的中位数叫作下四分位数（第一四分位数），记作 ；较大的部分的中位数叫作上四分位数（第三四分位数），记作 ；原来的中位数记作 。
四分位距：上四分位数与下四分位数的差叫作四分位距，记作 。
性质与运算法则
四分位数可以反映数据整体的分布情况，说明大部分数据落在什么范围、哪些范围比较集中。
平均数与方差反映数据的集中趋势和离散程度，但无法反映数据分布的具体信息，四分位数则能补充这些信息。
四分位距越大，说明中间一半数据的分布越分散；四分位距越小，说明中间一半数据越集中。
公式
24.4 数据的分组
基本概念与定义
分组：对于一组取值多样的数据，按一定标准把它分成若干组，有助于我们分析问题、作出判断。
组距：每个小组两个端点之间的距离叫作组距。
频数分布：把数据分组后，各组内数据的个数叫作频数，全部频数之和等于数据总数。
性质与运算法则
对一组数据分组时，常根据“组内差异最小”的原则进行：先把数据按从小到大的顺序排列，再在已排序数据中寻找分组方法。
把 个已排序的数据分成若干组，可用 个间隔来划分，选择合理的间隔即可使组内差异较小。
合理分组可以使每组内的数据比较接近，从而便于比较各组之间的差异，为决策提供依据。
综合与实践
学生体质健康调查与分析
通过收集、整理、描述和分析学生体质健康的相关数据，综合运用平均数、中位数、众数、方差等统计量，对数据作出合理的分析与判断。
体会统计调查的全过程：确定调查目的，设计调查方案，收集数据，整理数据，描述数据，分析数据并作出决策。

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