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人教版数学九年级下册知识点梳理
目　录
第三十一章 相似 2
31.1 图形的相似 2
31.2 相似三角形 3
31.3 相似三角形的应用 4
31.4 位似 4
第三十二章 锐角三角函数 5
32.1 锐角三角函数 5
32.2 解直角三角形及其应用 6
第三十三章 投影与视图 7
33.1 投影 7
33.2 三视图 8
第三十四章 随机事件的概率 9
34.1 随机事件与概率 9
34.2 用列举法求概率 10
34.3 用频率估计概率 10
综合与实践 11
综合与实践：停车位设计问题 11
综合与实践：建筑中的数学 11
第三十一章 相似
31.1 图形的相似
基本概念与定义
相似图形：形状相同的图形叫作相似图形。两个相似图形中，一个图形可以看作由另一个图形按一定比例放大或缩小得到。
相似多边形：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫作相似多边形。相似多边形对应边的比叫作相似比。
相似符号：相似用符号“”表示，读作“相似于”。
比例线段：对于四条线段 、、、，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即 ，那么这四条线段叫作成比例线段。
性质与运算法则
相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。
相似比是有顺序的：若四边形 四边形 ，相似比为 ，则四边形 四边形 的相似比为 。
由 可得 （比例的基本性质）。
大小不同的两个正方形一定相似。
公式
31.2 相似三角形
基本概念与定义
相似三角形：在 和 中，如果它们的三个角分别相等、三条边成比例，即 ，，，且 ，那么 ，相似比为 。相似三角形是相似多边形中最简单的情形。
性质与运算法则
平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
相似三角形的判定：
两角分别相等的两个三角形相似（AA）；
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS）；
三边成比例的两个三角形相似（SSS）。
平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。
相似三角形的性质：
相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比；
相似三角形的周长比等于相似比；
相似三角形的面积比等于相似比的平方。
公式
31.3 相似三角形的应用
基本概念与定义
相似三角形在测量和设计等活动中有着广泛的应用，常用来测量不便直接测量的物体的高度、宽度或距离。
性质与运算法则
测量高度：利用平行光（如太阳光）或同一光源，构成两个相似三角形，由对应边成比例求出未知的高度。
测量距离/宽度：通过构造相似三角形，把不可直接测量的距离转化为可测量的线段之比。
应用相似三角形解决问题的关键：找准对应边与对应角，正确列出比例式；注意相似三角形的对应关系。
公式
31.4 位似
基本概念与定义
位似图形：如果一个图形上所有的点与另一个图形上所有的点分别对应，直线 、、、 相交于一点 ，且 ，那么这两个图形叫作位似图形，点 叫作位似中心。
位似是一种特殊的相似，两个位似图形一定是相似图形，相似比就是位似比。
性质与运算法则
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于相似比。
利用位似把图形放大或缩小：在图形外（或内）任取一点 作为位似中心，分别在各射线（或其反向延长线）上按相似比取对应点，再顺次连接，即得所求图形。
当位似中心在图形内部或在对应点连线的反向延长线上时，所得的位似图形与原图形位于位似中心的两侧。
位似变换与坐标：在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作位似图形，若相似比为 ，则原图上点 的对应点为 或 。
公式
第三十二章 锐角三角函数
32.1 锐角三角函数
基本概念与定义
正弦：在 中，，我们把锐角 的对边与斜边的比叫作 的正弦，记作 。
余弦：锐角 的邻边与斜边的比叫作 的余弦，记作 。
正切：锐角 的对边与邻边的比叫作 的正切，记作 。
锐角三角函数：、、 都是锐角 的三角函数。
性质与运算法则
当锐角 的度数确定时，无论直角三角形大小如何， 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比、对边与邻边的比都是一个固定值。
对于锐角 ，有 ，，。
同一个锐角的正弦、余弦、正切之间有联系：，。
若 ，则 ，。
公式
特殊角的三角函数值
锐角
32.2 解直角三角形及其应用
基本概念与定义
解直角三角形：在直角三角形中，除直角外共有五个元素：三条边和两个锐角。由直角三角形中已知元素求出其余未知元素的过程，叫作解直角三角形。
仰角与俯角：视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫作仰角，在水平线下方的角叫作俯角。
坡度与坡角：坡面的铅直高度 与水平宽度 的比叫作坡度（坡比），记作 ；坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作 。
方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 的角。
性质与运算法则
在 中（，、、 所对的边分别为 、、），除直角外的五个元素之间有以下关系：
三边之间的关系：（勾股定理）；
两锐角之间的关系：；
边角之间的关系：，，。
知道除直角外五个元素中的两个（至少有一个是边），就可以求出其余三个未知元素。
坡度 ，坡度越大，坡角越大，坡面越陡。
公式
第三十三章 投影与视图
33.1 投影
基本概念与定义
投影：用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫作物体的投影，照射光线叫作投影线，投影所在的平面叫作投影面。
平行投影：由平行光线形成的投影叫作平行投影（如太阳光下的影子）。
中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫作中心投影（如灯泡照射下形成的影子）。
正投影：投影线垂直于投影面产生的投影叫作正投影，实际制图中经常应用正投影。
性质与运算法则
当投影线集中于一（点光源）时，形成中心投影，此时物体的投影与物体形状相同、大小不同，即它们是相似的。
当投影线互相平行时，形成平行投影；当投影线垂直照射投影面（即正对着投影面）时形成正投影，此时物体的投影与物体全等。
物体的投影与物体的形状有关，也与光线的照射方式有关。
33.2 三视图
基本概念与定义
视图：在某一方向，物体在平行光线下的正投影叫作物体的一个视图，视图反映了物体某一个方面的形状。
三视图：为全面反映物体的形状，通常从三个方向进行正投影：
主视图：在正面内得到的由前向后方向的正投影；
俯视图：在水平面内得到的由上向下方向的正投影；
左视图：在侧面内得到的由左向右方向的正投影。
性质与运算法则
三视图的位置关系：主视图在左上方，俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方。
三个视图的大小关系：主视图与俯视图“长对正”，主视图与左视图“高平齐”，左视图与俯视图“宽相等”。
主视图与俯视图表示同一个物体的长；主视图与左视图表示同一个物体的高；左视图与俯视图表示同一个物体的宽。
画三视图时，看得见部分的轮廓线画成实线，因被其他部分遮挡而看不见部分的轮廓线画成虚线。
公式
第三十四章 随机事件的概率
34.1 随机事件与概率
基本概念与定义
必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件叫作必然事件。
不可能事件：在一定条件下，必然不会发生的事件叫作不可能事件。必然事件与不可能事件统称确定性事件。
随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，叫作随机事件。
概率：一般地，对于一个随机事件 ，刻画其发生可能性大小的数值，叫作随机事件 发生的概率，记作 。
性质与运算法则
在每一次试验中，必然事件的概率为 ，不可能事件的概率为 ，随机事件的概率介于 与 之间，即 。
当一次试验中可能出现的结果只有有限个，并且各种结果出现的可能性相等时，事件 的概率等于事件 包含的可能结果种数除以所有可能结果的总种数。
公式
34.2 用列举法求概率
基本概念与定义
在一次试验中，当可能出现的结果只有有限种，且各种结果出现的可能性相等时，如果能列举出试验和事件包含的可能结果，就可以求出它们的概率。
列举法：为不重复、不遗漏地列出所有可能结果，常借助列表法或画树状图法。
性质与运算法则
列表法：适用于两步试验，用表格列出所有等可能的结果。
树状图法：从同一节点出发，把每一步（每一个因素）的各种可能结果用树枝表示出来，逐一列出所有结果。
用列举法求概率的一般步骤：确定试验中所有等可能的结果数 → 确定事件 包含的结果数 → 计算 。
列举时要做到不重不漏；对于“同时掷两枚”与“一枚掷两次”一类问题，对应结果数是相同的。
公式
34.3 用频率估计概率
基本概念与定义
频率：在 次重复试验中，如果事件 发生了 次，那么比值 叫作事件 发生的频率。
频率的稳定性：在大量重复试验中，随着试验次数的增加，事件 发生的频率会在某个常数附近摆动，并且摆动的幅度会越来越小。
性质与运算法则
当试验次数很大时，事件发生的频率会稳定在某个常数值附近，这个常数就是事件发生的概率。
可以用大量重复试验中事件发生的频率来估计事件发生的概率。
概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生（例如抛硬币正面朝上的概率为 ，并不表示连续抛 次一定恰好有 次正面朝上）。
公式
综合与实践
综合与实践：停车位设计问题
运用图形的相似、解直角三角形等知识，对停车位的设计建立数学模型并进行计算与分析。
经历从实际问题中抽象出数学问题、综合运用几何知识解决问题的过程，增强应用意识。
综合与实践：建筑中的数学
通过分析建筑物中蕴含的数学元素（如相似、三角函数、投影与视图等），领略建筑中的数学美。
综合运用所学的几何与图形变化知识，体会数学在现实生活中的应用价值。

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