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《二次函数》全章总结提升
◆本章总结归纳
（一）知识框架
（二）重点难点突破
1．函数图象的理解与应用
易错点：函数图象的意义认识不表，它的性质、特征与函数图象联系不上，不能达到数形互助；
突破点：加强对函数图象中点的坐标的意义认识，分析各点的坐标，理解随的变化情况，从而达到能直接根据图象说出二次函数的有关性质。（如：增减性、极值、对称轴等）
理解的值对抛物线的影响，提高解题效率
2.抛物线的特征与符号：
决定开口方向
与决定对称轴位置
决定抛物线与轴交点的位置
易错点：以上关系不清楚，导致做题盲目，出错。
突破点：数形结合，变式训练，特别是与一走决定对称轴位置的理解与判定。
3．解析式之间的转化与解析式的求法。
易错点：①将化成顶点式
②用待定系数法求解时，不能根据不同条件恰当地选取解析式。
突破点：①强调配方的步骤、配方的规律，注意恒等变形与检验。②比较不同形式的解析式的优劣，应用的环境，加强对顶点式、交点式的理解，并能正确运用。
4．抛物线的平移规律，表达式的变化。
易错点：抛物线的移动，对解析式变化理解不透，不同方向的移动，到底是加还是减判断不清。
突破点：抓住顶点坐标的变化，熟记平移规律，左加右减，上加下减。
5．抛物线与轴交点情况。
易错点：此类题综合性较大，对应关系不很明确，隐含条件较多，极易出错。
突破点：抛物线与轴交点横坐标就是相应一元二次方程的两根，把交点的个数转化为方程。根的个数，把交点位置转化为方程根的正负，多加练习，方可过关。
6．利用二次函数解决实际问题。
易错点：①题意不清，信息处理不当。
②选用哪种函数模型解题，判断不清。
③忽视取值范围的确定，忽视图象的正确画法。
④将实际问题转化为数学问题，对学生要求较高，一般学生不易达到。
突破点：反复读题，理解清楚题意，对模糊的信息要反复比较。
②加强对实际问题的分析，加强对几何关系的探求，提高自己的分析能力。
③注意实际问题对自变量取值范围的影响，进而对函数图象的影响。
④注意检验，养成良好的解题习惯。⑤⑥
◆整合拓展创新
类型之一 用等定系数法求二次函数解析式
例1 已知二次函数的图象过和三点，求其解析式。
【分析】利用待定系数法可求。
解：设二次函数的解析式为。
由已知得，解之得
所以此二次函数的解析式为
【点评】此题是典型的根据三点坐标求其解析式，关键是①熟悉待定系数法；②点在函数图象上时，点的坐标满足此函数的解析式；③会解简单的三元一次方程组。
例2已知二次函数的函数经过原点，且当时，有最小值是-1，求这个二次函数的解析式。
【分析】由题意知（1，-1）是抛物线的顶点坐标，故可选用顶点式求解。
解：根据题意知抛物线的顶点坐标为（1，-1）
故可设抛物线为
又因为此抛物线过点(0,0)
所以，即
所以此二次函数的解析式为，即。
【点评】此题用顶点式求解较易，用一般式也可以求出但仍要利用顶点坐标公式，大家可以试着用一般式求解。比较出它们的优劣。
例3 如图26-1，抛物线经过点（-1，-1），对称轴为，在轴上截得的线段长为，求其解析式。
【分析】假设抛物线与轴的两个交点分别为（），则A与B关于直线（对称轴）对称，由轴对称可知点A、点B到对称轴的距离都等于，所以，如图26-1所示，然后用两根式求函数解析式。
解：设抛物线与轴的两个交点分别为（），
因为抛物线在轴上截得的线段长为，且对称轴为，
所以，
设抛物线解析式为 ①
把（-1，-1）代入①得
，解得，
所以,即。
【点评】①注意利用抛物线的对称性。②已知抛物线与轴的两个交点坐标时，可选用交点式：为两交点的横坐标。
类型二 根据抛物线的不同位置，确定的值。
例4 已知二次函数的图象如图26-2所示，则下列结论中正确的判断是（ ）
① ② ③ ④
A．①②③④ B．④
C．④②③ D．①④
解:因为抛物线开口向下,所以,故①正确;
又因为抛物线与轴的交点在轴的正半轴上,
所以故②错误;
由抛物线与轴有两个不同的交点,知
所以④正确;
因为对称轴在轴左侧,所以同号,故,所以③错误.
【答案】D.
【点评】熟悉对抛物线的影响.
变式题 已知二次函数的图象如图26-3所示,下列结论中:
① ②
③ ④
正确的个数是( )
【解析】根据开口方向、对称轴知，，根据抛物线与轴的交点在轴的正半轴上知。
所以，故①正确；
由对称轴是知，故②正确；
根据点和点的位置知，，
故③④正确。
根据抛物线的位置知①②③④都正确。
【答案】A。
类型三 二次函数与二次方程关系的应用
例5图26-4，图中抛物线的解析式为，根据图象判断下列方程根的情况。
方程的两根分别为
方程的两根分别为
方程的根的情况是
方程的根的情况是
【分析】抛物线与直线的交点的横坐标即为方程的根，故可根据图象可直接判断。
解：在同一坐标系内，分别作直线看它们与抛物线的交点个数及交点横坐标。
（1）因为抛物线与轴两个交点为
所以方程的两根为
（2）因为抛物线与直线只有一个交点，
所以方程的两根为
（3）因为抛物线与直线有两个交点，
所以方程有两个不相等的实根。
（4）因为抛物线与直线没有交点，
所以方程没有实根。
【答案】（1），（2），（3）两个不相等的实根，（4）没有实根。
【点评】此题充分选用抛物线与方程之间的关系看一元二次方程的根，各种情况都包括其中，注意理解。
例6 已知抛物线与轴相交于两点，求的取值范围。
【分析】抛物线与轴相交于两点，则，另，由此可求的取值范围。
解：由题意可得
即
解得
所以的取值范围是且。
【点评】解这一类型题目，除了考虑抛物线与轴的交点个数与值关系，常常要考虑二次项系数不等于零的隐含条件，注意练习。
变式题 已知二次函数的图象最低点在轴上，求的值。
解：由题意可得，即
解得 （舍去）。
所以的值为2。
类型之四 抛物线的平移、对称
例7 （1）抛物线向左平移3个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的解析式是 。
（2）抛物线绕其顶点旋转180后，所得抛物线的解析式是 。
【解析】（1）先将抛物线化为顶点式：，再根据平移规律左加左减进行解答，得抛物线。
（2）先将抛物线化为顶点式：旋转后的抛物线形状大小不变，顶点位置不变，只是开口方向改变，故所求抛物线为。
【答案】（1）（或），（2）（或）。
【点评】①解这一类题目，需将解析式化为顶点式，抓住顶点位置的改变，根据平移规律进行解答。②抛物线反向后，不只是二次项系数改变，其他各项系数也随之发生了改变。故仍需就顶点式进行解答。
例8 已知二次函数，当从逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动。下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（ ）
A．先往左上方移动，再往左下方移动
B．先往左下方移动，再往左上方移动
C．先往右上方移动，再往右下方移动
D．先往右下方移动，再往右上方移动
【分析】因为
所以顶点坐标是
当时，顶点坐标是，
当时，顶点坐标是，
当时，顶点坐标是，
所以由顶点的位置可知先向右上方移，再向右下方移
所以选择C。
【点评】此题很新颖，撇开了传统的平移模式，但思维点仍不变，即抓住了顶点的位置变化看平移情况，是一个难得的好题。
例9 已知抛物线C1：
（1）抛物线C2与抛物线C1关于轴对称，则抛物线C2的解析式为
（1）抛物线C3与抛物线C1关于轴对称，则抛物线C3的解析式为
【解析】画出草图26-6比较抛物线的顶点变化，从而求解。
解：因为抛物线C2与抛物线C1关于轴对称，
所以它们的顶点也关于轴对称，
又因为抛物线C1的顶点为（2，3）
所以抛物线C2的顶点为（-2，3）
所以抛物线C2的解析式为
同理可求得抛物线C3顶点为（2，-3）。
所以抛物线C3的解析式为。
【点评】此类题很灵活，但若能看出顶点变化情况，而形状大小不变时，又很容易。
类型之五 二次函数的实际应用
例10 某公司年初推出一种高新技术新产品，该新产品销售的累积利润（万元）与销售时间（月）之间的关系（即前个月的利润总和与之间的关系）为。
(1)求出这个函数图象的顶点坐标和对称轴；
(2)请在所给坐标系中画出这个函数的简图；
(3)根据函数图象，你能否凑数出公司的这种新新产品销售累积利润是从什么时候开始盈利的？
(4)这个公司第6个月所获的利润是多少？
【分析】①画函数图象时，注意带来的变化。②根据图象进行分析。
解；（1）由
得函数图象的顶点坐标为（2，-2），对称轴为直线；
（2）如图26-8所示；
（3）从函数图象可以看出，从4月份开始新新产品的销售累积利润盈利。
当时，。
当时，
所以这个公司第6个月所获的利润是3。5万元。
【点评】①数形结合，理解函数图象的实际意义，②累积利润易理解错，需特别注意。
例11 某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元售出，那么每月可售出500个，根据销售经验，食欲每提高1元，销售量相应减少10个。
（1）假设销售单价提高元，那么销售每个篮球所获得的利润是 元；这种篮球每月的销售量是 个（用含的代数式表示）。
（2）8000元是否为每月销售这种篮球的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，
请你求出最大利润，此时篮球的售价应定为多少元？
解：（1）；
（2）设月销售利润为元，由题意得
整理得
当时，的最大利润为9000元。
20+50=70（元）
答8000不是最大利润，最大利润为9000元。此时篮球的售价为70元。
【点评】（1）题设计了两个问题，一是每个篮球的利润，二是每月的销售个数，这（2）题解答铺平了道路，要会利用二次函数的最值，解决实际问题。
例12 如图26-9（1）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两个小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度AB=20米，顶点M距水面6米（即MO=6米）小孔顶点N距水面4.5米，（即NC=4.5米），当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图26-9（2）中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF。
【解析】根据图中直角坐标系知抛物线的顶点M（0，6），B（10，0），故可求抛物线的解析式，再根据E，F，N三点的纵坐标相同，都为4.5，可求E，F的横坐标，从而求出水面宽EF。
解；没抛物线解析式为
依题意得，又B（10，0）在抛物线上，
所以：，解得
所以
当时，，解得
所以E，F
所以EF=10，即水面宽度为10米。
【点评】解题的关键有两点：（1）建立恰当的平面直角坐标第（此题题中已给出）。（2）点的坐标未直接给出，要结合题意去理解，抛物线的解析式通常要求出来。
例13 某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，该矩形一边长为米，面积为S平方米。
(1)求出S与之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围。
(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用。
(3)为使广告牌美观、大方，要求做成黄金矩形，请你按要求设计，并计算出可获得的设计费的多少（精确到元）？
（参考资料：①当矩形的长是宽与“长+宽”的比例中项时，这样的矩形叫做黄金矩形②。
【解析】（1）若矩形的长为米，则宽为（6-）米，由长、宽均有意义，可确定的取值范围。（2）S最大时，设计费最多，可根据二次函数的极值求出。（3）的值应当是一个具体的值，可求。
解：（1）因为矩形一边长为米，周长为12米，所以矩形的宽为（6-）米。
所以，
（2）由（1）知
所以，当时，S取最大值为9。
9×1000=9000（元）。
所以广告牌设计成正方形时，可获得设计费最多，此时设计费为9000（元）。
（3）根据题意，得整理得，
因为，所以（米），（米）
=
1000S（元）。
因此，应设计成长为3.71米,宽为2.29米,此时,设计费是8496元.
【点评】（1）(2)问为常规的二次函数与几何面积的综合题,利用二次函数的性质可以解决,(3)问从美观的角度考虑,很新颖,有意义.
◆中考名题欣赏
1.（2006陕西） 如图26-10,抛物线的函数表达式是
A．B．
C．D．
【解析】设抛物线的解析式为，则有
解得
所以，故选择D。
【点评】利用三点坐标求解析式仍是二次函数的一个重要内容，不能忽视。
2．（2006浙江金华）二次函数的图象如图26-11所示，则下列结论：①②③，其中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解析】因为抛物线的开口向下，故，所以①错误；又因为抛物线与轴的正半轴相交，所以，故②正确；又因为抛物线与轴有两个不同的交点，所以，故③正确。综上所述，应选C。
【点评】此题主要是利用对抛物线的影响来解，另时，抛物线与轴有两个不同的交点。
3．（2006杭州）有3个二次函数，甲：；乙：；丙： 则下列叙述中正确的是（ ）
A．甲的图形经过适当的平行移动后，可以与乙的图形重合
B．甲的图形经过适当的平行移动后，可以与丙的图形重合
C．乙的图形经过适当的平行移动后，可以与丙的图形重合
D．甲、乙、丙3个图形经过适当的平行移动后，都可重合。
解：丙：
故只有甲、乙通过平移图形可以重合。所以应选B。
【点评】两抛物线的表达式中：只有二次项系数相同时，两抛物线才能通过平移而重合。
4．一辆电瓶车在实验过程中，前10秒行驶的路程S（米）与时间（秒）满足关系式，第10秒末开始匀速行驶，第24秒末开始刹车，第28秒末停止离终点20米处，图26-12是电瓶车行驶过程中每2秒记录的一次的图象。
（1）求电瓶车从出发到刹车时的路程S（米）与时间（秒）的函数关系式。
（2）如果第24秒末不刹车继续匀速行驶，那么出发多少秒后通过终点？
（3）如果10秒后仍按的运动方式行驶，那么出发多少少后通过终点？
解：当时，点（10，10）在上，可解得，。
当，由图象可设一次函数，过（10，10），（24，28）
，可得，
（2）当S=40+20=60时， ，
即如果第24秒末不刹车继续匀速行驶，第35秒可通过终点。
（3）当进，由可得，（负值舍去）
所以，即出发约25秒通通过终点。
【点评】这是一个分段函数习题，综合了一次函数、二次函数的图象与性质，分析过程中需注意时间段和对应函数的选择。
5．已知：半径为1的与轴交于A，B两点，圆心O1的坐标为（2，0），二次函数的图象经过A，B两点，其顶点为F。
（1）求的值，及二次函数的顶点F的坐标；
（2）写出将二次函数的图象向下平移1个单位，再向左平移2个单位的图象的函数表达式；
（3）若经过原点O的直线与相切，求直线的函数表达式。
解：（1）由由已知得A（1，0），B（3，0），
由题意有解得
所以
所以顶点F（2，1）
（2）
（3）设经过原点O的直线与相切于点C。则
设点C的坐标为，则
，得 ,
由图的对称性，另一条直线的解析式是。
【点评】此题综合性较强，但仍注重了基础长春市考查。
6．（2006杭州）杭州体博会期间，嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施，若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元，而该游乐设施开放后，从第1个月到第个月的维修保养费用累计为万元，且，若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元；若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益万元，也时关于的二次函数。
（1）求关于的解析式；
（2）求纯收益关于的解析式；
（3）问设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大？几个月后能收回投资？
解：（1）由题意，时，；时，，代入，解得，所以；
（2）纯收益；
（3），即设施开放16个月后，游乐场的纯收益最大；又在时，随着的增大而增大，当时，；而当时，，所以6个月后能收回投资。
【点评】①易错点：时，；②易混点：几个月后能收回投资，一方面，另一方面月数为正整数；③利用二次函数的极值解题，是常用的数学模型，注意总结、体会。
◆二次函数图象信息题的解法
二次函数图象信息题，是根据抛物线在直角坐标系的位置信息（包括开口方向、对称轴位置、与坐标纲交点等）来确定其解析式及相关问题的一种题型，这种题型，简称图象
信息题，解决这类问题的关键是运用数形结合的思想和方法，抓住规律进行分析和推理。
一、掌握规律
由二次函数（）的图象位置判定系数及判别式符号的方法可以归纳成下表：
序号
判别目标
判别方法
1
的符号
开口向上
开口向下
2
的符号
对称轴在轴左边同号
对称轴在轴右边异号
对称轴为轴
3
的符号
交点位于轴正半轴
交点位于轴负半轴
交点在原点
4
的符号
抛物线与轴相交
抛物线与轴相切
抛物线与轴相离
二、实例说明
下面例子均选自各地中考试卷，可以看出这类试题是中考命题的热点。
例1．二次函数（）的图象如图26-15所示，则下列结论成立的是（ ）
A．，B．，C．，D．
解：由表中方法1，3，易知，；对称轴在轴在轴右侧，同号，即，于是得，选D。
例2二次函数（）的图象如图26-16所示，则点在直角坐标系中的（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
解：本题关键是判别的符号，然后再判别的符号，由方法1，2，3易知，进而易知，故该点位于第三象限，选C。
例3二次函数（）的图象如图26-17所示，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．的大小关系不能确定
解：由方法1，2，3易知，；下一步的关键是判定的大小，由图象知，当时，图象上对应点在第三象限，故，即，因为，
所以，即，故，选A。
例4二次函数（）的图象如图26-18所示，有下列结论：①；②。③；④。其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：抛物线开口向下，所以，又抛物线与轴交点位于负半轴，
；由知，因为对称轴为，
由对称性知，当时，，
故③不正确；当时，，
所以，又因为，，所以
，故成立。选C。
以上几例说明，函数图象信息的主要特点是数形结合，从“形”的特点去判断“数”符号，解决这类题，首先要注意学会观察，提高图形信息的识别能力；其次要会分析和理解，作出正确的判断，例如例4，由图象标出的时的Y值，可得出，然后结合，，可推出，（想一想，为什么？）。这种推理的过程要用到许多相关的基础知识，更需灵活的、严密的思维技巧，具有知识和能力的综合性。
◆本章活动探究 活动课题-图形的分割
活动内容
从一张矩形纸较短的边上长一点E，过E点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE，要使剪下的两个正方形的面积和最小，
活动目的
1.通过活动过程，增强对二次函数的性质认识
2.使学生俯数学来自于生活，又服务于生活的理念，增强数学应用能力。
活动过程
1、活动准备
①每人准备1到3个开关完全相同，大小相等的矩形硬纸片；
②每人准备剪刀、刻度尺各一把
2、活动要求
①全体学生参与活动过程，积极合作、探讨，精心测量、计算；
②则测量、计算结果能列表分析，得出结论确定E点的位置；
③用数学方法进行验证，增强对二次函数性质的认识
3.活动流程
①两人一小组进行活动一人剪接，一人测量与计算，记录，分工协作；
②E点的位置取3至5次，分别求出它们的面积和
③列出表格比较他们的变化情况，找出规律，猜想结论，并给出理论上的分析；
4、小结
①当E点为较短边的中点时，所得的两个正方形面积最小;
②对活动中同学们的表现给出评估。

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