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第二章
(120分钟 150分)
【命题视点】
单元大任务 会判断直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系
命题情境点 生活实践情境：14题 探索创新情境：8、11题 课程学习情境：1、2题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知点P(1，-2)在圆C：x2+y2+kx+4y+k2+1=0的外部，则k的取值范围是
A.-2B.1C.k<-2
D.-22.已知θ∈R，直线y=(cos θ-1)x的倾斜角的取值范围是
A.，π
B.0，
C.，π
D.，π∪{0}
3.设a∈R，直线l1：(a+1)x+y-1=0，l2：2x+ay-(a+2)=0，则“a=1”是“l1∥l2”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知圆C：x2+(y-2)2=r2(r>0)上恰好存在2个到直线y=x-2的距离为1的点，则r的取值范围是
A.(1，3)
B.(2，3)
C.(0，3)
D.(2，4)
5.已知圆M：x2-4x+y2-2y-5=0，若圆M关于直线2ax+y+b-3=0(a>0，b>0)对称，则+的最小值为
A.3
B.4
C.
D.
6.已知圆C：x2+(y-4)2=4，直线l：(3m+1)x+(1-m)y-4=0，直线被圆所截的最短弦长为
A.
B.2
C.4
D.2
7.直线l1：x+(m+1)y-3m-3=0与直线l2：(m+1)x-y-3m-3=0相交于点P，对于任意实数m，直线l1，l2分别恒过定点A，B，则|PA|+|PB|的最大值为
A.6
B.2
C.3
D.4
8.已知圆C：x2+y2=8，MN为圆C的动弦，且满足|MN|=4，G为弦MN的中点，两动点P，Q在直线l：y=x-4上，且|PQ|=4，当MN运动时，·>0恒成立，则线段PQ中点的纵坐标的取值范围是
A.(0，4)
B.(0，2)
C.(-∞，0)∪(4，+∞)
D.(-∞，-4)∪(0，+∞)
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知直线l：3x-2y+2=0，则下列结论正确的是
A.直线l的一个方向向量为(2，3)
B.到直线l的距离为的点的坐标可以是(3，-1)
C.直线l与直线x-3y+10=0的交点坐标为(2，4)
D.将直线y=kx+b先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，得到直线l，则
10.已知M(x，y)为圆C：x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点，下列结论正确的是
A.的最大值为
B.x2+y2-5x-15y的最小值为-68
C.的最小值为
D.x2+y2-5x-15y的最大值为-50
11.已知直线l：x+λy-λ-3=0，圆C：x2+y2=4，O为坐标原点，下列说法正确的是
A.若圆C关于直线l对称，则λ=-3
B.点O到直线l的距离的最大值为
C.存在两个不同的实数λ，使得直线l与圆C相切
D.存在两个不同的实数λ，使得圆C上恰有三个点到直线l的距离为1
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知圆M：x2+(y-a)2=4(a>0)与圆N：(x-2)2+y2=1有3条公切线，则a的值为　　　　.
13.已知平行四边形的两条边所在的直线方程分别为x+y-1=0，3x-y+4=0，且它的对角线的交点是M(2，2)，则这个平行四边形其他两条边所在的直线方程分别是　　　　，　　　　.
14.点E是圆C(x-1)2+(y-3)2=9与x轴的公共点，一条光线从第一象限入射后与圆C相切于点A，并与x轴交于点B，其在点B处被直线m反射后沿着x轴负方向传播，此时△ABE的面积恰好为，则直线m的方程为　　　　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程.
(1)已知直线l过点M(4，1)，它在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍，求此直线方程；
(2)已知直线m1x+n1y+2=0和m2x+n2y+2=0都经过点A(3，1)，求过两点P1(m1，n1)，P2(m2，n2)的直线方程.
16.(15分)已知点P2，，圆C：(x-3)2+(y-1)2=9.
(1)求圆C过点P的最短弦所在的直线方程；
(2)若圆C与直线x-y+a=0相交于A，B两点，O为原点，且∠AOB=，求a的值.
17.(15分)已知△ABC的三个顶点分别为A(1，1)，B(-5，1)，C(-2，4).
(1)求经过A，B，C三点的圆M的标准方程.
(2)若圆N：(x-m)2+y2=m2(m>0)，是否存在实数m，使得圆N与圆M公共弦的长度为2 若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由.
18.(17分)已知圆M的圆心为(2，2)，且圆M与直线3x+4y-4=0相切，直线l经过点D(1，0).
(1)求圆M的方程；
(2)若直线l与圆M相交于P，Q两点，且|PQ|=2，求直线l的方程；
(3)若直线l与圆M相交于P，Q两点，求△PMQ面积的最大值，并求出此时的直线l的斜率.
19.(17分)已知点P(1，3)，圆O：x2+y2=4，直线l与圆O相交于A，B两点，|AB|=2.
(1)若直线l过点P，求直线l的方程.
(2)①若线段AB的中点为D，求点D的轨迹方程C；
②过点P作直线m与曲线C交于不同的两点M，N，设Q(1，0)，QM，QN的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值.
【参考答案】
1.B　解析：由已知可得k2+16-4(k2+1)>0，解得-20，解得k<-2或k>1，综上可得k的取值范围是12.D　解析：设直线的倾斜角为α，则tan α=(cos θ-1)∈[-，0]，故α的取值范围是，π∪{0}.
3.A　解析：因为直线l1：(a+1)x+y-1=0，l2：2x+ay-(a+2)=0，当a=1时，l1：2x+y-1=0，l2：2x+y-3=0，此时l1∥l2，所以由a=1可以推出l1∥l2.当l1∥l2时，可得(a+1)a=2，解得a=1或-2，又当a=-2时，l1：x-y+1=0，l2：x-y=0，此时l1∥l2，所以由l1∥l2推不出a=1，所以“a=1”是“l1∥l2”的充分不必要条件.
4.A　解析：由圆C：x2+(y-2)2=r2，得圆心为C(0，2)，半径为r，将直线y=x-2化为一般式为x-y-2=0，所以圆心到直线的距离d==2，由题意可知d-15.C　解析：圆M：x2-4x+y2-2y=5，整理得(x-2)2+(y-1)2=10，则M的圆心为(2，1).
由题意得直线2ax+y+b-3=0过圆心(2，1)，所以4a+b=2，又a>0，b>0，所以+=+(4a+b)×=4+++1≥×5+2=当且仅当a=，b=时，取“=”，此时直线的方程为x+y-=0，即2x+3y-7=0.
6.B　解析：圆C：x2+(y-4)2=4的圆心为C(0，4)，半径r=2，将直线l的方程化为(3x-y)m+x+y-4=0，由解得则直线l过定点A(1，3)，显然点A(1，3)在圆C内.当l⊥AC时，直线l被圆C所截的弦长最短，而|AC|==，所以最短弦长为2=2.
7.A　解析：因为l1：x+(m+1)y-3m-3=0，即x+y-3+m(y-3)=0，由解得所以直线l1过定点A(0，3)，同理，可得直线l2过定点B(3，0).又因为1×(m+1)+(-1)×(m+1)=0，所以l1⊥l2，即有PA⊥PB，所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=18，所以|PA|+|PB|≤=6，当且仅当|PA|=|PB|=3时，等号成立，
所以|PA|+|PB|的最大值为6.
8.D　解析：由题意，圆C：x2+y2=8的圆心为C(0，0)，半径r=2，因为|MN|=4，G为弦MN的中点，所以|OG|==2，其中O为坐标原点，所以点G在以O为圆心，2为半径的圆上.又由两动点P，Q在直线l：y=x-4上，且|PQ|=4，设PQ的中点为E(a，a-4)，则P，Q在以E(a，a-4)为圆心，2为半径的圆上.因为当M，N在圆C上运动时，·>0恒成立，所以以O为圆心，2为半径的圆与以E为圆心，2为半径的圆外离，则>2+2，即a2-4a>0，解得a<0或a>4，则a-4<-4或a-4>0，所以线段PQ中点的纵坐标的取值范围是(-∞，-4)∪(0，+∞).
9.ABC　解析：由3x-2y+2=0，得直线l的一个方向向量为1，，又直线l的一个方向向量也可为(2，3)，故A正确；设到直线l的距离为的点的坐标为(a，b)，则由点到直线的距离公式得d==，解得3a-2b=11或3a-2b=-15，又3×3-2×(-1)=11，故B正确；由解得故C正确；将直线y=kx+b向右平移2个单位长度得直线y=k(x-2)+b，再向下平移1个单位长度得直线y=k(x-2)+b-1=kx-2k+b-1，将直线l：3x-2y+2=0化为y=x+1，可得解得故D错误.
10.AD　解析：将圆C的方程化为(x-2)2+(y-7)2=8，设=k，得直线kx-y+3k+4=0，该直线与圆(x-2)2+(y-7)2=8有交点即可，所以圆心C(2，7)到直线的距离要小于等于圆C的半径，即≤2，解得≤k≤，即≤≤，所以的最大值为，最小值为，故A项正确，C项错误.x2+y2-5x-15y=x-2+y-2-，显然x-2+y-2表示点M(x，y)到点N，的距离MN的平方，即x-2+y-2=|MN|2，已知M(x，y)在圆(x-2)2+(y-7)2=8上，所以||NC|-r|≤|MN|≤|NC|+r，显然C(2，7)，r=2，所以|NC|==，所以≤|MN|≤，所以x-2+y-2=|MN|2∈，，所以x2+y2-5x-15y=x-2+y-2-∈[-58，-50]，所以x2+y2-5x-15y的最大值为-50，最小值为-58，故B项错误，D项正确.
11.ABC　解析：直线l：x+λy-λ-3=0过定点P(3，1)，圆C：x2+y2=4的圆心为C(0，0)，半径r=2.
对于A，可得直线l过圆心C，则-λ-3=0，解得λ=-3，故选项A正确；对于B，点O到直线l的距离的最大值为|PO|==，故选项B正确；对于C，若直线l与圆C相切，则圆心到直线的距离d==2，解得λ=，故选项C正确；对于D，当圆C上恰有三个点到直线l的距离为1时，圆心C到直线l的距离d==1，解得λ=-，故选项D错误.
12.　解析：圆M：x2+(y-a)2=4的圆心为(0，a)，半径为2，圆N：(x-2)2+y2=1的圆心为(2，0)，半径为1，因为两圆有3条公切线，所以两圆外切，故圆心距|MN|==3，解得a=.
13.x+y-7=0　3x-y-12=0　解析：由解得x=-，y=，则平行四边形的一个顶点为A-，，点A关于点M的对称点为C，，于是平行四边形的另外两条边过点C，它们分别与直线x+y-1=0，3x-y+4=0平行，设对应的方程分别为x+y-m=0，3x-y+n=0，m≠1，n≠4，则+-m=0，3×-+n=0，解得m=7，n=-12，所以这个平行四边形其他两条边所在的直线方程分别是x+y-7=0，3x-y-12=0.
14.2x-3y-6=0　解析：因为圆C的方程为(x-1)2+(y-3)2=9，所以点C到x轴的距离为3，即x轴与圆C相切于点E(1，0).由一条光线从第一象限入射后与圆C相切于点A，并与x轴交于点B，得点B在点E的右侧，如图，
设B(a，0)，a>1，则|BA|=|BE|=a-1，连接EC，BC，则EC⊥EB，sin∠CBE=，cos∠CBE=，sin∠ABE=sin 2∠CBE==.又S△ABE=|BE|2sin∠ABE=(a-1)2·=，解得a=3，则点B(3，0)，直线BC的斜率为=-，由光的反射性质知直线m⊥BC，则直线m的斜率为，所以直线m的方程为y=(x-3)，即2x-3y-6=0.
15.解析：(1)当截距为0时，易得直线方程为x-4y=0；当截距不为0时，由题意设直线方程为+=1，代入点M(4，1)，可得+=1，解得a=3，此时直线方程为+=1，即x+2y-6=0.故直线方程为x-4y=0或x+2y-6=0.
(2)因为直线m1x+n1y+2=0和m2x+n2y+2=0都经过点A(3，1)，所以所以点P1(m1，n1)，P2(m2，n2)在直线3x+y+2=0上，故过两点P1(m1，n1)，P2(m2，n2)的直线方程为3x+y+2=0.
16.解析：(1)过点P的最短弦所在的直线与圆心和点P的连线垂直，圆(x-3)2+(y-1)2=9的圆心为C(3，1)，则过点P的最短弦所在的直线的斜率k=-=-=2，所以过点P的最短弦所在的直线方程为y-=2(x-2)，即4x-2y-5=0.
(2)联立消去y得(x-3)2+(x+a-1)2=9，化简后为2x2+(2a-8)x+(a-1)2=0，因为圆C与直线x-y+a=0交于A，B两点，所以Δ=(2a-8)2-8(a-1)2>0，即a2+4a-14<0，解得-2-317.解析：(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，D2+E2-4F>0，则解得则圆M的方程为x2+y2+4x-2y-4=0，
即(x+2)2+(y-1)2=9.
(2)圆N：(x-m)2+y2=m2(m>0)的圆心为(m，0)，半径为m，两个圆有公共弦，则|m-3|<|MN|.由得两圆公共弦所在的直线方程为(m+2)x-y-2=0，又两圆的公共弦的长度为2，则圆心M到公共弦所在直线的距离d==，且2=2，即d=2，所以=2，解得m=或m=.又m>，所以m=，经检验，符合题意，故存在实数m=，使得圆N与圆M公共弦的长度为2.
18.解析：(1)设圆M的半径为r，圆M与直线3x+4y-4=0相切，所以圆心M到直线3x+4y-4=0的距离等于圆M的半径，即r==2，所以圆M的方程为(x-2)2+(y-2)2=4.
(2)由(1)得圆心M(2，2)，半径r=2，又|PQ|=2，可知圆心M到直线l的距离d===1.当直线l的斜率不存在时，因为直线l经过点D(1，0)，所以直线l的方程为x=1，此时圆心M(2，2)到直线l的距离为1，|PQ|=2成立；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x-1)，即kx-y-k=0，由圆心M(2，2)到直线l的距离d==1，解得k=，则直线l的方程为y=(x-1)，即3x-4y-3=0.综上，直线l的方程为x=1或3x-4y-3=0.
(3)D(1，0)在圆M外，在△PMQ中，∠PMQ∈(0，π)，sin∠PMQ∈(0，1]，
又S△PMQ=|MP|·|MQ|·sin∠PMQ=2sin∠PMQ，则当sin∠PMQ=1，即∠PMQ=时，S△PMQ取得最大值2，此时△PMQ为等腰直角三角形，则圆心M到直线l的距离d=r=，即d==，解得k=-2±.
19.解析：(1)由题意可知，圆O的圆心为O(0，0)，半径r=2，则圆心O到直线l的距离d==1.若直线l的斜率不存在，由直线l过点P(1，3)，可得直线l的方程为x=1，满足题意；若直线l的斜率存在，设直线l：y-3=k(x-1)，即kx-y+3-k=0，则d==1，解得k=，所以直线l：4x-3y+5=0.
综上所述，直线l的方程为x=1或4x-3y+5=0.
(2)①由线段AB的中点为D，可得OD⊥AB，则|OD|=d=1，可知点D的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆，所以点D的轨迹方程C：x2+y2=1.
②证明：由题意可知直线m的斜率存在，设直线m的方程为y-3=k(x-1)，即y=kx+(3-k)，点M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立消去y可得(k2+1)x2-2k(k-3)x+(k-3)2-1=0，由Δ=4k2(k-3)2-4(k2+1)[(k-3)2-1]>0，解得k>.由韦达定理可得x1+x2=，x1x2=，则k1+k2=+=+=2k++=2k+=2k+=2k+=2k-=-，所以k1+k2为定值.

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