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第一章~第二章
(120分钟 150分)
【命题视点】
单元大任务 掌握二面角求法，判断直线与圆的位置关系
命题情境点 生活实践情境：18题 探索创新情境：8、11题 课程学习情境：14、19题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若倾斜角为的直线过A，a，B(1，)两点，则实数a=
A.3
B.2
C.
D.
2.已知向量a=(1，1，0)，b=(-1，0，-2)，且ka+b与4a+b互相垂直，则k的值是
A.-
B.
C.
D.
3.若直线l：x+y+m=0与圆C：x2+y2-4x-2y-4=0恒有公共点，则m的取值范围是
A.[-3-3，3-3]
B.[-2-3，2-3]
C.[--1，-1]
D.[-2-1，2-1]
4.已知A(2，1)和B(-4，3)两点到直线mx+y-1=0的距离相等，则m=
A.0或-
B.或-6
C.或1
D.0或
5.圆心为直线3x-2y+2=0与直线x+y-6=0的交点，且过原点的圆的标准方程是
A.(x-1)2+(y+2)2=5
B.(x+1)2+(y+2)2=5
C.(x-2)2+(y-4)2=20
D.(x-2)2+(y-4)2=5
6.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱AB，AD，AA1两两的夹角都为60°，且AB=2，AD=1，AA1=4，M，N分别为BB1，B1C1的中点，则MN与AC所成角的余弦值为
A.
B.
C.
D.
7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点.设点P在线段BB1(P不与B重合)上，直线OP与平面A1BD所成角的余弦值最小值为
A.
B.
C.
D.
8.已知平面上任意一点P0(x0，y0)，直线l：y=kx+b，则点P到直线l的距离d=，当点P0(x0，y0)在函数y=f(x)的图象上时，点P到直线l的距离d=.请参考该公式，求出|x+3-|+|2t-4+2|(x，t∈R)的最小值为
A.6-3
B.7-3
C.6-2
D.4-2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.在棱长为a的正方体ABCD-A'B'C'D'中，E，F分别是BC，A'D'的中点，下列结论正确的是
A.四边形B'EDF是正方形
B.直线A'C与DE所成角的余弦值是
C.直线AD与平面B'EDF所成角的正弦值是
D.平面B'EDF与平面ABCD所成角的正弦值是
10.已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是圆C：(x-1)2+y2=16上的两点，则下列结论正确的是
A.若|AB|=4，则∠ACB=
B.若点C到直线AB的距离为2，则|AB|=2
C.若∠ACB=，则|x1+y1-1|+|x2+y2-1|的最大值为8
D.过点(-4，0)作圆C的两条切线，设切点分别为A，B，则线段AB的长6
11.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，将△ABD沿对角线BD翻折到△PBD位置，连接PC，构成三棱锥P-BCD.在翻折过程中，设二面角P-BD-C为θ，直线PB与直线CD所成的角为α，下列结论正确的是
A.PC与平面BCD所成的角最大为60°
B.·=-1+3cos θ
C.当θ∈，时，cos α取值范围为0，
D.不存在某个位置，使得B到平面PDC的距离为
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.过点(1，3)且与圆x2+y2=1相切的直线l的方程是　　　　.
13.已知点A，B，C在圆x2+y2=4上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(-3，0)，则|++|的最大值为　　　　.
14.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，则A1F与平面BCC1B1所成角的正弦值的取值范围是　　　　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知直线l：x-y+6=0和A(2，0)，B(0，-4)两点.
(1)在直线l上有一点P，求|PA|+|PB|的最小值；
(2)在直线l上有一点P，要使||PB|-|PA||最大，求点P的坐标.
16.(15分)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x-2)2+(y-3)2=1交于M，N两点.
(1)当k=1时，求|MN|；
(2)若·=，其中O为坐标原点，求k的值.
17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AB，F是PC的中点，AC=2BC=2CD，∠ACB=∠ACD=.
(1)证明：PB⊥AF.
(2)求平面ABCD与平面AFD所成角的大小.
18.(17分)古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角系xOy中，点M-2，0，N-，0，满足|PM|=|PN|的动点P的轨迹记为圆E.
(1)求圆E的方程；
(2)若点A(-2，2)，B(-2，6)，C(4，-2)，当P在E上运动时，记|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值和最小值分别为M和m，求M+m的值；
(3)过点Q(3，3)向圆E作切线QS，QT，切点分别是S，T，求直线ST的方程.
19.(17分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，AB=2，BC=2，∠ABC=30°，PA⊥平面ABCD，PA=2，点M为线段AD的中点.
(1)求异面直线PM与AB所成角的余弦值；
(2)求平面MPC与平面APC所成角的余弦值；
(3)若点N是直线CD上的动点，求△NPB面积的最小值，并说明此时点N的位置.
【参考答案】
1.D　解析：tan=，解得a=.
2.A解析：ka+b=k(1，1，0)+(-1，0，-2)=(k-1，k，-2)，4a+b=4(1，1，0)+(-1，0，-2)=(3，4，-2)，
因为ka+b与4a+b互相垂直，所以(k-1，k，-2)·(3，4，-2)=0，所以7k+1=0，k=-.
3.A　解析：圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=9，圆心坐标为(2，1)，半径为3，若直线与圆恒有公共点，则圆心到直线的距离d=≤3，解得-3-3≤m≤3-3.
4.C　解析：由题意知直线mx+y-1=0与AB平行或过AB的中点，则有-m==-或m×+-1=0，所以m=或1.
5.C　解析：由可得x=2，y=4，即圆心坐标为(2，4)，从而r==2，故圆的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=20.
6.B解析：如图所示，
由题意可得=+，=+=(+)，
所以||2=(+)2=++2·=22+12+2×2×1×cos 60°=7，
||2=(+)2=(++2·)=(12+42+2×1×4cos 60°)=.
·=(+)·(+)=(·+·+·+)
=[(2×1+2×4+1×4)cos 60°+12]=4，所以cos<，>===.
因此MN与AC所成角的余弦值为.
7.D解析：建立如图所示的空间直角坐标系，令直线OP与平面A1BD所成的角为α.
设正方体的棱长为2，||=λ(λ∈(0，2])，则点A1(2，0，2)，D(0，0，0)，B(2，2，0)，O(1，1，0)，P(2，2，λ).设平面A1BD的法向量为m=(x，y，z)，=(2，0，2)，=(2，2，0)，=(1，1，λ)，则即可取m=(-1，1，1).
sin α====，
因为λ∈(0，2]，所以当λ=2时，sin α有最大值，最大值为，故cos α的最小值为.
8.B　解析：令u=×+2×，u1=，u2=，
则u1表示函数y=图象上的点到直线x-y+3=0的距离，u2表示函数y=图象上的点到直线x+y-2=0的距离，∴目标式的几何意义：半圆函数y=图象上的点到直线x-y+3=0的距离的倍与到直线x+y-2=0的距离的2倍的和.
根据圆上的点到与圆相离的直线距离的最小值为圆心到直线的距离与半径之差，
可知所求最小值为×-1+2×-1=7-3.
9.BC解析：如图，分别以AB，AD，AA'为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则点A(0，0，0)，B(a，0，0)，C(a，a，0)，D(0，a，0)，A'(0，0，a)，B'(a，0，a)，C'(a，a，a)，D'(0，a，a)，Ea，，0，F0，，a.
直线DE不垂直B'E在底面ABCD中的射影BC，故DE不垂直B'E，A项错误；=(a，a，-a)，=a，-，0，cos<，>===，B项正确；=0，，-a，设平面B'EDF的法向量为n=(x，y，z)，由得取y=2，则x=1，z=1，即n=(1，2，1)，=(0，a，0)，cos<，n>===，直线AD与平面B'EDF所成角的正弦值是，C项正确；
平面ABCD的一个法向量是m=(0，0，1)，cos===，
平面B'EDF与平面ABCD所成角的余弦值为，正弦值为，D项错误.
10.AC　解析：若|AB|=4，又|CA|=|CB|=4，则∠ACB=，故A项正确；
若点C到直线AB的距离为2，由勾股定理知|AB|=2，故B项错误；
|x1+y1-1|+|x2+y2-1|=×+，其几何意义为点A(x1，y1)，B(x2，y2)到直线x+y-1=0的距离之和的倍，设AB的中点为Q，|x1+y1-1|+|x2+y2-1|=2×，则AB的中点Q的轨迹为(x-1)2+y2=8，所以max=2，所以|x1+y1-1|+|x2+y2-1|的最大值为8，故C项正确；令点P(-4，0)，切线长AP==3，∴AB=2×=，D项错误.
11.BD解析：如图，取BD的中点O，连接OP，OC，
则OP⊥BD，OC⊥BD，又OP∩OC=O，可得BD⊥平面OPC，BD 平面BDC，所以平面OPC⊥平面BDC，PC与平面BCD所成的角为∠PCO，PC越小，∠PCO越大，但∠PCO<，故A项错误；
由上可知∠POC为P-BD-C的平面角，即∠POC=θ，因为=-，=-，所以·=(-)·(-)=·-·-·+·=-1+3cos θ，故B正确；
cos α=|cos<，>|==，
当θ∈，时，cos θ∈-，，-1+3cos θ∈-，，|-1+3cos θ|∈0，，
所以cos α∈0，，故C项错误；
因为点B到PD的距离为，点B到CD的距离为，
所以若点B到平面PDC的距离为，则平面PBD⊥平面PCD，平面CBD⊥平面PCD，
则DB⊥平面PCD，即DB⊥CD，这与△BCD是等边三角形矛盾，故D项正确.
12.x=1或4x-3y+5=0　解析：当直线l的斜率不存在时，因为直线过点(1，3)，所以直线l的方程为x=1，此时圆心(0，0)到直线x=1的距离为r即1，直线l：x=1与圆x2+y2=1相切，满足题意.当直线l的斜率存在时，设斜率为k，所以l：y-3=k(x-1)，因为直线l与圆相切，所以圆心到直线的距离d==r=1，解得k=，所以直线l的方程为4x-3y+5=0.
13.11　解析：∵点A，B，C在圆x2+y2=4上，且AB⊥BC，∴AC为圆的直径，故+=2=(6，0).设点B(x，y)，则x2+y2=4且x∈[-2，2]，=(x+3，y)，∴++=(x+9，y)，故|++|=，当x=2时，有最大值，即=11.
14.，　解析：建立如图所示的坐标系，
令AB=1，则点A(0，0，0)，E1，1，，D1(0，1，1)，B(1，0，0)，C1(1，1，1)，A1(0，0，1)，F(1，t，s).设平面D1AE的法向量为n=(x，y，z)，则=(1，t，s-1)，=1，0，-，=(0，1，1)，所以·n=0，·n=0，即令z=2，则x=1，y=-2，z=2，所以n=(1，-2，2).又因为A1F∥平面D1AE，所以·n=0，即1-2t+2(s-1)=0，s-1=t-，所以=1，t，t-.因为n1=(1，0，0)是平面BCC1B1的一个法向量，且·n1=1，所以cos<，n1>=，记与平面BCC1B1所成的角为α，则sin α=，因为s=t+≤1，所以t≤，故t∈0，，因为∈，，所以sin α∈，.
15.解析：(1)设点A关于直线l的对称点为A'(m，n)，则故点A'(-6，8).因为P为直线l上的一点，所以|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|，当且仅当B，P，A'三点共线时，|PA|+|PB|取得最小值|A'B|，|A'B|==6.
(2)因为A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，所以||PB|-|PA||≤|AB|.
当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|-|PA||取得最大值|AB|，
点P即是直线AB与直线l的交点，直线AB的方程为y=2x-4，则解得故所求的点P的坐标为(10，16).
16.解析：(1)由题设，可知直线l的方程为y=x+1，圆心到直线的距离d==0，所以MN为直径，故|MN|=2.
(2)设点M(x1，y1)，N(x2，y2).将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1中，
整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0，所以Δ>0，x1+x2=，x1x2=.
·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=+8=.
解得k=2(k=3舍去).
17.解析：(1)证明：∵BC=CD，∠ACB=∠ACD=，∴△ACB≌△ACD，∴AB=AD.
设AC=2BC=2CD=4a，在△ACD中，由余弦定理得AD2=4a2+16a2-8a2=12a2，即AD=2a，则AD2+CD2=AC2，即AB⊥BC，AD⊥DC.
连接BD交AC于点O，分别以OA，OB为x轴、y轴，过O作z轴∥PA，建立如图所示的空间直角坐标系，
则点O(0，0，0)，A(3a，0，0)，B(0，a，0)，C(-a，0，0)，D(0，-a，0)，P(3a，0，2a)，F(a，0，a)，则=(-3a，a，-2a)，=(-2a，0，a)，
∵·=6a2+0-6a2=0，∴PB⊥AF.
(2)由(1)可知，=(-3a，-a，0)，=(-2a，0，a).设平面AFD的法向量为n=(x，y，z)，则即令x=，则y=-3，z=2，即n=(，-3，2)，且易知平面ABCD的一个法向量为m=(0，0，1)，则|cos|===，
故平面ABCD与平面AFD所成角的大小为.
18.解析：(1)设点P(x，y)，由|PM|=|PN|，且点M-2，0，N-，0，
得=×，整理得x2+y2=4，所以圆E的方程为x2+y2=4.
(2)由题意，设点P(x，y)，则|PA|2+|PB|2+|PC|2=(x+2)2+(y-2)2+(x+2)2+(y-6)2+(x-4)2+(y+2)2=3(x2+y2)-12y+68=12+68-12y=80-12y，
而-2≤y≤2，当y=2时，其取得最小值，m=56；当y=-2时，其取得最大值，M=104，所以m+M=160.
(3)设切点S(x1，y1)，T(x2，y2)，则kOS=，kQS=-，直线QS方程为y=-(x-x1)+y1，整理得x1x+y1y=+=4.同理可得直线QT方程为x2x+y2y=4.
由直线QS，QT均过点Q(3，3)，得3x1+3y1=4，3x2+3y2=4，
即点Q，S都在直线3x+3y=4上，所以直线ST的方程为3x+3y-4=0.
19.解析：(1)在△ABC中，cos∠ABC=.
∵∠ABC=30°，|AB|=2，|BC|=2，∴=，即|AC|2=4，∴|AC|=2，∴|AC|=|BC|=2.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴|AC|=|AD|=2.
如图，取CD的中点T，则AT⊥CD，∵AB∥CD，∴AT⊥AB，∴AB，AT，AP两两垂直，
以AB，AT，AP为x，y，z轴建立直角坐标系A-xyz，
则点B(2，0，0)，M-，，0，P(0，0，2)，=2，0，0，=-，，-2，cos<，>==-，故异面直线PM与AB所成角的余弦值为.
(2)∵AT为CD边上的高，|CT|=|CD|=，|AT|===1，
∴点C(，1，0)，D(-，1，0).∵|AM|=1，∴M为AD的中点，
∴=(，1，-2)，=(0，0，2)，=，，0.
设平面APC的法向量为m=(x1，y1，z1)∴m·=0，m·=0，即取m=(，-3，0).
设平面MPC的法向量为n=(x2，y2，z2)，∴n·=0，n·=0，
即取n=，-9，-，|m|=，|n|=，m·n=3+27=30，
∴cos==，故平面MPC与平面APC所成角的余弦值为.
(3)设点N(t，1，0)，则=(t，1，-2)，=(2，0，-2)，·=2t+8，∴cos∠BPN==，∴sin∠BPN=.
∵S△NPB=||·||sin∠BPN，
∴(S△NPB)2=()2·()2·sin2∠BPN=×(t2+9)×20×1-
=5(t2+9)-(t+4)2=2t2-8t+29=2(t-2)2+5≥5，
当t=2时，△NPB面积取最小值，此时N在DC的延长线上且NC=CD，即C为ND的中点﹒

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