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第三章
(120分钟 150分)
【命题视点】
单元大任务 计算圆锥曲线中的相关问题，运用设而不求的方法
命题情境点 生活实践情境：8题 探索创新情境：11、14题 课程学习情境：18、19题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若方程y2+=1表示双曲线，则实数m的取值范围是
A.(-1，3)
B.(-1，+∞)
C.(3，+∞)
D.(-∞，-1)
2.过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1+x2=3，则|PQ|等于
A.5
B.6
C.7
D.8
3.已知F1，F2是椭圆C：+=1的两个焦点，点M在椭圆C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为
A.9
B.12
C.25
D.16
4.已知F1，F2分别为双曲线C：-=1的左、右焦点，点P在双曲线C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|·|PF2|=
A.32
B.16
C.8
D.4
5.设P是焦点为F的抛物线y2=4x上的一个动点，若B(5，-1)，则|PB|+|PF|的最小值为
A.4
B.5
C.6
D.7
6.已知焦点为F1，F2的双曲线C的离心率为，P为双曲线C上的一点，且满足2|PF1|=3|PF2|.若△PF1F2的面积为4，则双曲线C的半焦距为
A.
B.
C.2
D.
7.已知椭圆C的方程为+y2=1，在直线l：x+y-3=0上存在点Q，使得过点Q能作椭圆C的两条互相垂直的切线，则点Q的坐标为
A.(3，0)
B.(-1，2)
C.2，
D.(1，)
8.设F1，F2同时为椭圆C1：+=1(a>b>0)与双曲线C2：-=1(a1>0，b1>0)的左、右焦点，椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点M，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2.若|F1F2|=6|MF2|，则e1e2的取值范围为
A.，2
B.，
C.，
D.，
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于点A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D.若|AF|=6，则以下结论正确的是
A.p=3
B.F为AD的中点
C.点B的坐标为(1，-)
D.O为原点，则S△ABO=4
10.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=4，点P(2，2)在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下结论正确的是
A.|QF1|+|QP|的最大值为2a+1
B.椭圆C的短轴长可能为6
C.椭圆C的离心率的取值范围为0，
D.若=，则椭圆C的长半轴长为+
11.如图所示，已知F1，F2分别为双曲线x2-=1的左、右焦点，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，记△AF1F2的内切圆O1的面积为S1，△BF1F2的内切圆O2的面积为S2，则
A.圆心O1和圆心O2的横坐标相同，且都为1
B.O，O1，A三点可能共线
C.S1·S2=π2
D.S1+S2的取值范围是2π，π
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.设点P在双曲线-=1上，F1，F2为双曲线的两个焦点，且|PF1|∶|PF2|=1∶3，则△F1PF2的周长为　　　　.
13.椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，斜率为1的直线l过左焦点F1且交椭圆C于A，B两点，△ABF2的内切圆的周长是4π.若椭圆的离心率e=，则线段AB的长度为　　　　.
14.已知椭圆C：+y2=1，过点D(0，4)的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N(M在D，N之间)，O为坐标原点，若·=，则直线l的斜率为　　　　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知双曲线x2-y2=9及其上一点P.
(1)证明：点P到双曲线的两个焦点的距离之积等于点P到双曲线的中心O的距离的平方.
(2)过点P作双曲线的两条渐近线的垂线，求所构成的矩形的面积.
16.(15分)已知抛物线C2：y2=8x，F为抛物线C2的焦点.
(1)求抛物线C2的通径长；
(2)过焦点F作互相垂直的两条直线，与抛物线C2分别相交于点A，B和C，D，点P，Q分别为AB，CD的中点，求△FPQ面积的最小值.
17.(15分)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，点1，在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程.
(2)设P(x0，y0)是椭圆C上第一象限内的点，直线l过点P且与椭圆C有且仅有一个公共点.
①求直线l的方程(用x0，y0表示)；
②设O为坐标原点，直线l分别与x轴、y轴相交于点M，N，求△MON面积的最小值.
18.(17分)已知双曲线C1：-=1，抛物线C2：y2=2px(p>0)的准线与双曲线C1交于A1，B1两点，F为抛物线C2的焦点，|A1B1|=|A1F|，且过点F的直线与抛物线C2交于A2，B2两点.
(1)求C2的方程.
(2)过A2B2的中点M作抛物线C2的准线的垂线，垂足为N.
①证明：为定值.
②判断直线A2N与抛物线y2=4x的公共点的个数.
19.(17分)已知椭圆C：+=1(a>b>0)与双曲线E：-y2=1的离心率互为倒数，椭圆C的上顶点为P，右顶点为Q，O为坐标原点，△POQ的面积为1.
(1)求椭圆C的方程.
(2)设直线l2交椭圆C于A，B两点.
①若直线l2的斜率为，且△AOB的面积为，求直线l2的方程；
②若直线l2与x轴交于点M，当点A在x轴的上方时，有=2，且直线l2与圆O：x2+y2=相切于点N，求|MN|的长.
【参考答案】
1.D解析：依题意，应有m+1<0，即m<-1.
2.A　解析：抛物线y2=4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x=-1，根据题意可得|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=5.
3.D　解析：由椭圆方程知a=4，根据椭圆的定义可知|MF1|+|MF2|=2a=8，
∴|MF1|·|MF2|≤2=16(当且仅当|MF1|=|MF2|时取等号)，
∴|MF1|·|MF2|的最大值为16.
4.B　解析：由双曲线的方程得a=2，c=2，由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=4.
在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°，
即48=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|=32+|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|=16.
5.C　解析：过点B作BQ垂直抛物线的准线于点Q，交抛物线于点P1(图略)，则|P1Q|=|P1F|，
则|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=6，即|PB|+|PF|的最小值为6.
6.A　解析：∵2|PF1|=3|PF2|，∴|PF1|>|PF2|，由双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=2a，∴|PF1|=6a，|PF2|=4a，
∴cos∠F1PF2===.又e==，∴c=a，∴cos∠F1PF2=.∵∠F1PF2∈(0，π)，∴sin∠F1PF2==，=|PF1||PF2|sin∠F1PF2=×24a2×=4，得a=1，则c=.
7.D　解析：设点Q(x0，y0)，当x0=或-时，易得过点Q的椭圆C的两条切线并不垂直，
故可设过点Q的椭圆C的切线方程为y=kx+m，联立方程消元可得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0，由Δ=16k2m2-4(2k2+1)(2m2-2)=0，可得2k2+1=m2.
又直线y=kx+m过点Q(x0，y0)，则m=y0-kx0，于是2k2+1=m2=(y0-kx0)2，
化简可得(2-)k2+2x0y0k+1-=0，由两条切线互相垂直，可知该方程的两根之积为k1k2==-1，则+=3，即点Q在圆x2+y2=3上.由解得故存在点Q(1，)满足题意.
8.C　解析：设|MF1|=m，|MF2|=n，焦距为2c，由椭圆的定义可得m+n=2a，由双曲线的定义可得m-n=2a1，解得m=a+a1，n=a-a1.当|F1F2|=6|MF2|时，可得n=c，即a-a1=c，可得-=.
由01，则>，即1设3+e2=t4由f(t)=t+-6在4，上单调递增，可得f(t)∈，，则e1e2∈，.
9.AB　解析：依题意得F，0，设直线l的方程为y=x-，由消去y并化简得(2x-3p)(6x-p)=0，解得x1=p，x2=p，所以Ap，p，Bp，-p，所以|AF|=p+=2p=6，p=3，A选项正确.直线l的方程为y=x-，令x=-，得y=-3，故D-，-3，由于A，3，F，0，所以F是AD的中点，B选项正确.B，-，S△ABO=×OF×|yA-yB|=××4=3，C，D选项错误.
10.BD　解析：对于A，因为|F1F2|=4，所以|QF1|+|QP|=2a-|QF2|+|QP|≤2a+|PF2|=2a+2，当Q，F2，P三点共线时，取等号，故A项错误；对于B，若椭圆C的短轴长为6，则b=3，a=，所以椭圆C的方程为+=1，+<1，则点P在椭圆内部，故B项正确；
对于C，因为点P(2，2)在椭圆内部，所以+<1，又b2=a2-4，所以+<1，即a4-12a2+16>0，得a2>6+2=(1+)2，所以a>1+，所以e=<，所以椭圆C的离心率的取值范围为0，，故C项错误；对于D，若=，则F1为线段PQ的中点，所以Q(-6，-2)，则2a=+=2+2，所以椭圆C的长半轴长为+，故D项正确.
11.ACD　解析：由题意得双曲线x2-=1的a=1，b=，c=2，渐近线方程为y=x，y=-x，两条渐近线的倾斜角分别为和.设圆O1与x轴的切点为G，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，可知直线AB的倾斜角的取值范围为，.由双曲线的定义和圆的切线长定理可知O1，O2的横坐标均为a，即O1O2与x轴垂直，故圆O1和圆O2均与x轴相切于G(1，0)，圆O1和圆O2外切，选项A正确.
由双曲线的定义知，在△AF1F2中，|AF1|>|AF2|，则AO只能是△AF1F2的中线，不能成为∠F1AF2的平分线，则圆心O1一定不在直线AO上，选项B错误.
在△O1O2F2中，由角平分线的性质可知∠O1F2O2=90°，O1O2⊥F2G，则由直角三角形的射影定理可知F2G2=O1G·O2G，即(c-a)2=r1·r2，则r1·r2=1，故S1·S2=π·π=π2，选项C正确.由直线AB的倾斜角的取值范围为，，可知∠AF2F1的取值范围为，，则∠O1F2F1的取值范围为，，故r1=F2G·tan∠O1F2F1=tan∠O1F2F1∈，，S1+S2=π(+)=π+，r1∈，.
令f(x)=x+，x∈，3，则f(x)在，1上单调递减，在(1，3)上单调递增，
f(1)=2，f=，f(3)=，则f(x)=x+，x∈，3的值域为2，，
故S1+S2=π+，r1∈，的取值范围为2π，π，选项D正确.
12.26　解析：由题意知|F1F2|=2=10，||PF2|-|PF1||=8，又|PF1|∶|PF2|=1∶3，∴|PF1|=4，|PF2|=12，∴△F1PF2的周长为4+12+10=26.
13.8解析：如图所示，
由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，则△ABF2的周长为4a.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，△ABF2的内切圆的半径为r，因为△ABF2的内切圆的周长是4π，所以r=2，由题意得×4a×r=×2c×|y1-y2|，
则|y1-y2|===4，所以|AB|=|y1-y2|=8.
14.±3　解析：设直线l的方程为y=kx+4，与椭圆方程联立，得到x2+4(kx+4)2=4，即(1+4k2)x2+32kx+60=0，则x1+x2=-，x1x2=，y1y2=(kx1+4)(kx2+4)=k2x1x2+4k(x1+x2)+16，故·=x1x2+y1y1==，解得k=±3，即直线l的斜率为±3.
15.解析：
(1)证明：设P(x0，y0)，则-=9，又双曲线的左、右焦点分别为F1(-3，0)，F2(3，0)，
所以|PF1||PF2|=·=·=|x0+3||x0-3|=|2-9|=|+|=|PO|2.
(2)设P(x0，y0)，垂足分别为Q，R，则由点到直线的距离公式知|PQ|=，|PR|=，
所以S矩形PQOR=|PQ||PR|=|-|=.
16.解析：(1)易知抛物线的焦点为F(2，0)，当x=2时，y=±4，故抛物线C2的通径长为8.
(2)已知F(2，0)，若直线AB，CD分别与两坐标轴垂直，则其中有一条直线与抛物线只有一个交点，不合题意，所以直线AB，CD的斜率均存在且不为0.
如图，设直线AB的斜率为k(k≠0)，则直线AB的方程为y=k(x-2)，
联立得ky2-8y-16k=0，则Δ=64+64k2>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1+y2=，
设P(xP，yP)，则yP==，xP=+2=+2，即P+2，，同理得Q(4k2+2，-4k)，
故|QF|===4，|PF|==，又PF⊥QF，所以S△FPQ=|PF|×|QF|=×4×==8×|k|+≥8×2=16，当且仅当|k|=，即k=±1时等号成立，故△FPQ面积的最小值为16.
17.解析：
(1)由题意知，椭圆C的离心率为，且过点1，，则解得a2=4，b2=1，所以椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)①因为P(x0，y0)是椭圆C在第一象限内的点，所以+=1，即+4-4=0(x0>0，y0>0).设直线l的方程为y-y0=k(x-x0)，则消去y并整理得(4k2+1)x2+8k(y0-kx0)x+4(y0-kx0)2-4=0，则Δ=[8k(y0-kx0)]2-4(4k2+1)[4(y0-kx0)2-4]=0，整理得4k2-1=(y0-kx0)2，即(-4)k2-2x0y0k+-1=0，对于确定的点P，切线只有一条，故解得k==-，所以直线l的方程为y-y0=-(x-x0)，即+y0y=1.
②令x=0，得y=，令y=0，得x=，即M，0，N0，.由+4-4=0(x0>0，y0>0)，得4=+4≥4x0y0，当且仅当x0=2y0，即x0=，y0=时等号成立，
所以x0y0≤1，得≥1，所以S△MON==≥2，此时P，.
故当点P的坐标为，时，△MON的面积最小，最小值为2.
18.解析：
(1)由题意可知抛物线的准线方程为y=-，
得解得p=8，所以抛物线C2的方程为y2=16x.
(2)①证明：设A2(x3，y3)B2(x4，y4)，则x3=，x4=.由(1)知F(4，0)，设直线A2B2的方程为x=ty+4，与y2=16x联立，得y2-16ty-64=0，所以y3+y4=16t，y3y4=-64，y3≠0，+=(y3+y4)2-2y3y4=256t2+128.
由抛物线的定义得|FA2||FB2|=(x3+4)(x4+4)=+4+4=++16=64t2+64.设M(x0，y0)，则x0===8t2+4，y0==8t，所以M(8t2+4，8t)，N(-4，8t).因为|FN|2=64t2+64=|FA2||FB2|，所以=1，为定值.
②由①知A2，y3，N(-4，8t)，即N，，所以直线A2N的方程为=，整理得4x=y-，与y2=4x联立，得y2-y+=0，因为Δ=2-=-<0，所以直线A2N与抛物线y2=4x的公共点的个数为0.
19.解析：
(1)设椭圆C的半焦距为c(c>0).因为双曲线E：-y2=1的离心率为，
所以椭圆C的离心率为，即=　①.因为△POQ的面积为1，所以ab=1　②.
结合①②与a2=b2+c2，解得a=2，b=1，所以椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)①设直线l2：y=x+m，联立可得3x2+4mx+4m2-4=0.
由Δ>0，得-则x3+x4=-，x3x4=，所以|AB|=×=.
设原点O到直线AB的距离为d1，则d1==，故S△AOB=××=，解得m=±1或±，经检验，符合要求，故直线l2的方程为y=x±1或y=x±.
②如图，设直线l2：x=k1y+n，则M(n，0)，联立可得(4+)y2+2k1ny+n2-4=0，则y3+y4=-　①，y3y4=　②.
由=2，可得y3=-2y4，代入①②中，可得9n2+4n2-4-16=0.
因为直线l2与圆O：x2+y2=相切于点N，所以=，解得=n2-1，代入9n2+4n2-4-16=0中，解得n2=或n2=-(舍去).
设圆O：x2+y2=的半径为r，则|MN|===.

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