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直线与方程
(120分钟 150分)
【命题视点】
单元大任务 理解直线的倾斜角和斜率的概念；掌握直线方程的几种形式并能灵活运用；能判定两直线的位置关系，会求交点及相关距离
命题情境点 生活实践情境：1、12、14、19题 探索创新情境：8、18题 课程学习情境：9、15题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.射击手在进行射击训练时，要掌握两个动作要领：一是托枪的手要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向.若把子弹飞行的轨迹看作一条直线，且子弹在飞行过程中经过点A(-2，1)，B(0，3)，目标位于点C(20，m)，若该射击手能击中目标，则m=
A.19
B.20
C.22
D.23
2.已知直线l1：(m+3)x+4y+3m-3=0，l2：(m+3)x+4y=0，若l1∥l2，则l1，l2之间的距离可以为
A.3
B.
C.
D.5
3.已知直线l1，l2，直线l1的斜率为-，将l2绕其直线上一点旋转60°后得直线l3，若l3⊥l1，则直线l2的倾斜角为
A.30°
B.90°
C.30°或150°
D.90°或150°
4.已知△ABC的三个顶点分别为A(3，0)，B(0，4)，C(1，m)，若△ABC的面积为，则m=
A.-6
B.11
C.-或11
D.-7或6
5.+的最小值为
A.0
B.3
C.4
D.5
6.已知直线l在x轴和y轴上的截距分别为-tan α和，其中α为锐角，则直线l的倾斜角β的取值范围为
A.0，
B.，
C.，π
D.，∪，π
7.已知直线l1：2x-3y-9=0，l2：3x-y+1=0，A，B分别为l1，l2上的动点，若线段AB被点M(1，2)平分，则直线AB的方程为
A.5x+y-7=0
B.5x-y-3=0
C.x+2y-5=0
D.x-2y+3=0
8.已知点A(a，b)在线段x+y+4=0(-4≤x≤0)上，则|4a+3b-12|的取值范围为
A.[24，+∞)
B.[12，24]
C.[24，28]
D.[12，28]
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知直线l1：2x-3y+m=0，l2：nx+y+1=0，若l1，l2之间的距离为，则实数m的值可以为
A.-16
B.-10
C.10
D.16
10.已知直线l1：2x+y+1=0，l2：x-y-7=0，l3：(a-2)x+ay+3a+1=0，若l1，l2，l3不能构成一个三角形，则实数a的值可以为
A.-2
B.-
C.
D.1
11.已知直线l：xsin 2θ+sin θ-ycos θ-(4+3)=0，则下列结论正确的是
A.直线l的斜率不一定存在
B.存在θ，使得直线l过点(-1，1)
C.当θ∈0，时，直线l的倾斜角的取值范围为0，
D.存在θ，使得直线l与坐标轴围成的面积为12+18
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.折射定律也称斯涅尔定律，它是由荷兰数学家斯涅尔发现的.光线通过两介质的界面折射时，入射光线AO与通过入射点O的界面法线NN'所构成的平面称为入射面，入射光线和折射光线与法线的夹角分别称为入射角和折射角，以θ1和θ2表示.折射定律表述如下：①折射光线在入射面内；②入射角和折射角的正弦之比为一常数，用k表示，即k=.如图，光线由空气照射入水中，若θ1=45°(θ1>θ2)，k=，以点O为坐标原点，NN'所在的直线为y轴，则折射光线OB所在直线的方程为　　　　.
13.已知P(0，1)，Q(0，4)，M为x轴负半轴上的动点，当∠PMQ最大时，∠PMQ的平分线所在的直线方程为　　　　.
14.如图，有一张撕掉了一个角的矩形纸片，其中AB=35，BC=40，CD=50，DE=30，现将该纸片裁剪为一个矩形广告宣传纸片LMNC，其中L，M，N分别在线段CD，EA，BC上，则广告宣传纸片的面积的最大值为　　　　，此时=　　　　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知凸四边形ABCD(每个内角都小于180°，其对角线都在四边形的内部)的三个顶点分别为A(3，-1)，B(1，2)，D(-2，-2)，且对角线互相垂直.
(1)若点C的坐标为(-1，b)，求四边形ABCD的面积；
(2)求点C的轨迹方程.
16.(15分)已知y=x2，直线l：y=kx+b.
(1)若y=x2的图象与直线l交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且b=-1，+=7，求k的值；
(2)若k=1，b=0，求y=x2的图象关于直线l对称的曲线的方程.
17.(15分)已知点P(1-t，2t-1)，A(0，0)，B(1，2)，C(1，-2).
(1)求|PB|-|PA|的最大值；
(2)求|PC|+|PA|的最小值.
18.(17分)已知点M(0，1)，N(0，-1)，直线l过点P，2且在x轴上的截距和在y轴上的截距之比为3∶4.
(1)求直线l的方程；
(2)若点Q是直线l上位于第一象限内的动点，求·的取值范围；
(3)若直线l'过点M，且与直线l的夹角夹角范围为0，的正弦值为，求直线l'的方程.
19.(17分)某公园有一个边长为20m的正方形花圃ABCD，花圃内有一段墙DE，如图所示.因工程需要，测量员将使用仪器沿正方形的内侧进行测量，其中仪器P的移动速度为1.5m/s，仪器Q的移动速度为3m/s.若仪器P与仪器Q的对视光线被墙DE阻挡，则称仪器Q在仪器P的“盲区”中.
(1)设AB的中点为F，若|EF|=10 m，且S△ABE=120 m2，求∠AEB的正切值.
(2)设花圃内有一段长为11 m的墙DE，且点E在对角线BD上.
①若仪器P在点A处，仪器Q在BC边上距离点C4m处，试判断仪器Q是否在仪器P的“盲区”中，并说明理由；
②仪器P从点A出发向点D移动，同时仪器Q从点C出发向点B移动，在这个移动过程中，仪器Q在仪器P的“盲区”中的时长为多少
【参考答案】
1.D　解析：由题意可知kAB=kBC，即=，解得m=23.
2.A　解析：因为l1∥l2，且直线l1，l2分别过定点P(-3，3)，O(0，0)，所以当PO⊥l1时，两直线之间的距离最大，最大值为|PO|=3，故直线l1，l2之间的距离的取值范围为(0，3]，故l1，l2之间的距离可以为3.
3.D　解析：由题意知·=-=-1，所以=，所以直线l3的倾斜角为30°，则l2的倾斜角为90°或150°.
4.C　解析：因为|AB|==5，△ABC的面积为，所以点C到直线AB的距离d=5.又直线AB的方程为+=1，即4x+3y-12=0，所以点C到直线AB的距离d===5，解得m=-或11.
5.D　解析：+的几何意义为点P(x，y)到点O(0，0)和Q(-3，4)的距离之和，而|PO|+|PQ|≥|OQ|=5，所以+的最小值为5.
6.B　解析：==tan2α+1，则由题意可知直线l经过点(-tan α，0)和0，，所以kl=×=tan α+≥1α为锐角，当且仅当tan α=，即α=时取等号，即tan β≥1，又因为β∈[0，π)，所以β∈，.
7.B　解析：设B(a，3a+1)，由于点A与B关于点M对称，故有A(2-a，3-3a)，将点A的坐标代入l1的方程中，可得2(2-a)-3(3-3a)-9=0，解得a=2，故点A(0，-3)，B(2，7).由直线的两点式方程得直线AB的方程为5x-y-3=0.
8.C　解析：|4a+3b-12|表示点A(a，b)到直线l：4x+3y-12=0的距离的5倍，直线x+y+4=0(-4≤x≤0)的两个端点分别为M(-4，0)，N(0，-4)，点M，N到直线l的距离分别为=，=，所以|4a+3b-12|的取值范围为[24，28].
9.AC　解析：由题意可知l1∥l2，所以有n=-且m≠-3，从而l2可化为2x-3y-3=0，所以l1，l2之间的距离d==，解得m=-16或10.
10.AD　解析：由得即l1，l2相交于点(2，-5)，显然直线l3不经过点(2，-5)，所以要使l1，l2，l3不能构成一个三角形，只需l3与l1或l2平行即可，所以有2a-(a-2)=0或a+(a-2)=0，所以a=-2或a=1.
11.ACD　解析：当θ=时，cos θ=0，直线l的斜率不存在，故A项正确；
当x=-1，y=1时，xsin 2θ+sin θ-ycos θ-(4+3)=-sin 2θ-sin θ-cos θ-(4+3)，令sin θ+cos θ=t，t∈[-，]，则sin 2θ=t2-1，从而u=-sin 2θ-sin θ-cos θ=-(t2-1)-t=-t2-t+，当t=-时，u有最大值，而<4+3，所以-sin 2θ-sin θ-cos θ-(4+3)≠0，故B项错误；易知直线l的斜率k=f(θ)==sin θ+tan θ，因为f(θ)在0，上单调递增，所以0≤f(θ)≤，所以直线l的倾斜角的取值范围为0，，故C项正确；当θ=时，直线l的方程可化为+x-y-(4+3)=0，直线l在x轴和y轴上的截距分别为6和-(4+6)，所以直线l与坐标轴围成的面积S=×6×(4+6)=12+18，故D项正确.
12.x+y=0　解析：由题意可知=，所以sin θ2=，因为0<θ2<45°，所以θ2=30°，所以直线OB的倾斜角为30°+90°=120°，所以直线OB的斜率kOB=tan 120°=-.又直线OB过坐标原点，所以直线OB的方程为y=-x，即x+y=0.
13.x-y+2=0　解析：设M(-a，0)，其中a>0，则tan∠PMO=，tan∠QMO=，其中O为坐标原点，则tan∠PMQ=tan(∠QMO-∠PMO)==≤=，当且仅当a=，即a=2时，等号成立，所以M(-2，0).设∠PMQ的平分线所在的直线与y轴交于点N(0，b)，由三角形角平分线的性质可知，=，即=，解得b=2.由直线的截距式方程可得∠PMQ的平分线所在的直线方程为+=1，即x-y+2=0.
14.　　解析：如图所示，将所给纸片还原为矩形OBCD，并建立以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OD所在直线为y轴的平面直角坐标系，
则A(15，0)，E(0，10)，故直线AE的方程为+=1.
设M(a，b)(0≤a≤15)，则+=1，即b=10-a，矩形LMNC的面积S=(50-a)(40-b)=(50-a)40-10+a=-a-2+，当a=时，Smax=；因为OA=15，所以=，所以=.
15.解析：(1)kAC=-，kBD=，∵AC⊥BD，∴kAC·kBD=-×=-1，∴b=2，即C(-1，2)，∴|AC|=5，又∵|BD|=5，∴四边形ABCD的面积S=×|AC|×|BD|=.
(2)设C(x，y)，则kAC=，由kAC·kBD=×=-1，整理可得3x+4y-5=0.又直线BD的方程为4x-3y+2=0，由得x=，所以点C的轨迹方程为3x+4y-5=0x<.
16.解析：(1)当b=-1时，直线l的方程为y=kx-1.由得x2-kx+1=0，
∴Δ=k2-4>0，即k<-2或k>2，由韦达定理可得x1+x2=k，x1x2=1，∴+=(x1+x2)2-2x1x2=k2-2=7，解得k=-3或3.
(2)当k=1，b=0时，直线l的方程为y=x.设P(a，b)为y=x2图象上的任意一点，其关于直线l的对称点为Q(x，y)，易知直线PQ的斜率存在，且kPQ=.又P，Q的中点为，，点P，Q关于直线l对称，∴化简可得又∵b=a2，∴x=y2，即y=x2的图象关于直线l对称的曲线的方程为x=y2.
17.解析：令x=1-t，y=2t-1，则2x+y-1=0，所以点P在直线l：2x+y-1=0上.
设点A关于直线l的对称点为A'(a，b)，则AA'的中点为，，且kAA'=，
所以有解得即A'，.
(1)|PB|-|PA|=|PB|-|PA'|≤|A'B|==，即|PB|-|PA|的最大值为.
(2)|PC|+|PA|=|PC|+|PA'|≥|A'C|==，即|PC|+|PA|的最小值为.
18.解析：(1)由题意可知，直线l在两坐标轴上的截距均不为0.设直线l在x轴上的截距和在y轴上的截距分别为3m，4m，其中m≠0，则直线l的方程可设为+=1，把P，2代入得+=1，解得m=1，所以直线l的方程为+=1，即4x+3y-12=0.
(2)设Q(x，y)，则由题意可知0(3)由(1)可知，kl=-，故直线l的一个方向向量为m=1，-.设直线l'的斜率为k，则直线l'的一个方向向量为n=(1，k).设两直线的夹角为α0<α≤，则sin α=，所以cos α=，所以cos α===，化简得31k2-48k+17=0，解得k=1或k=，所以直线l'的方程为y=x+1或y=x+1，即x-y+1=0或17x-31y+31=0.
19.解析：(1)以点F为坐标原点，AB所在的直线为x轴，过点F且平行于BC的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则F(0，0)，A(-10，0)，B(10，0)，设E(x0，y0)，则+=200.
因为=(-10-x0，-y0)，=(10-x0，-y0)，
所以·=||||cos∠AEB=+-100=100，
又因为S△ABE=||||sin∠AEB=120，所以||||sin∠AEB=240，故tan∠AEB=.
(2)以BD的中点O为坐标原点，且x轴与AB平行，y轴与BC平行，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(-10，-10)，B(10，-10)，C(10，10)，D(-10，10)，E(1，-1).
①由题意可知，Q(10，6)，P(-10，-10)，所以kPQ=，所以直线PQ的方程为y-6=(x-10)，即4x-5y-10=0.当x=1时，y=-<-1，所以点E在直线4x-5y-10=0的上方，所以仪器Q不在仪器P的“盲区”中.
②依题意可知，起始时刻仪器Q在仪器P的“盲区”中.假设仪器Q在仪器P的“盲区”中的时长为t0≤t≤s，则P(-10，1.5t-10)，Q(10，10-3t)，所以直线PQ的斜率kPQ==，故直线PQ的方程为y-(10-3t)=(x-10)，即(40-9t)x-40y-30t=0.当x=1时，y=，令≥-1，得t≤，又0≤t≤，得0≤t≤，故仪器Q在仪器P的“盲区”中的时长不超过 s.

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