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圆与方程
(120分钟 150分)
【命题视点】
单元大任务 判断直线与圆的关系
滚动考查点 直线方程、空间向量
命题情境点 生活实践情境：4题 探索创新情境：8、11题 课程学习情境：14、19题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.过点A(-1，3)，B(-3，5)，且圆心在直线y=2x上的圆的圆心坐标为
A.(3，6)
B.(4，8)
C.(6，12)
D.(8，16)
2.若过点A(-1，1)的直线l与圆(x-2)2+(y-2)2=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为
A.[0，]
B.-3，
C.-，
D.0，
3.已知圆(x-2)2+(y+4)2=4关于直线ax-by-8=0(a>0，b>0)对称，则+的最小值为
A.
B.9
C.
D.2
4.现代有很多圆拱的悬索拱桥(如寒山桥)，经测得某圆拱索桥(如图)的跨度|AB|=100米，拱高|OP|=10米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP相距10米的支柱MN的高度约为
(参考数据：≈6.48)
A.8.5米
B.8.8米
C.9.2米
D.9.6米
5.已知圆C：x2+y2-2y=0，P为直线l：2x-y-4=0上任一点，过点P作圆C的切线PT(T为切点)，则|PT|的最小值是
A.
B.2
C.2
D.2
6.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，P是AA1的中点，点M在侧面AA1B1B(含边界)内，若D1M⊥CP，则BM的最小值为
A.
B.4
C.
D.
7.下列直线与圆x2+y2=1和圆x2+y2-8x+6y+9=0都相切的是
A.2x+7y+25=0
B.4x-3y-5=0
C.x-3y-3=0
D.x=1
8.已知圆C1：(x-2)2+(y-3)2=1，圆C2：(x-4)2+(y-5)2=16，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为
A.5-4
B.-1
C.6-2
D.2-5
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.圆O1：x2+y2+2x-2y=0和圆O2：x2+y2-2x-3=0的交点为A，B，则有
A.公共弦AB所在直线的方程为x-y=0
B.公共弦AB所在直线的方程为4x-2y+3=0
C.公共弦AB的长为
D.P为圆O2上一动点，则P到直线AB距离的最大值为+2
10.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy中，A(-6，0)，B(-12，0)，点P满足=.设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是
A.轨迹C的方程为(x+4)2+y2=16
B.在x轴上不存在异于A，B的两点D，E，使得=
C.若F(-8，0)，当A，B，P三点不共线时，射线PF是∠APB的平分线
D.在C上存在一点M，使得2|MO|=|MA|
11.已知点P在圆O：x2+y2=4上，点A(3，0)，B(0，4)，则
A.点P到直线AB距离的最大值为
B.满足AP⊥BP的点P有1个
C.过点B作圆O的两切线，切点分别为M，N，则直线MN的方程为y=1
D.2|PA|+|PB|的最小值是4
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知P(-2，m)，Q(m，4)，且直线PQ垂直于直线x-2y+3=0，则m=　　　　.
13.已知圆C：(x+2)2+(y+m-4)2=1，当m变化时，圆C上的点与点(-1，1)的最短距离是　　　　.
14.已知圆x2+y2-4x+2y-4=0，过点E(1，0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为　　　　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知圆C：x2+y2-4x+8y-5=0，直线l：x+(m+1)y+2m=0，l与圆C交于M，N两点.
(1)求|MN|的范围；
(2)若|MN|=4，求直线l的方程.
16.(15分)已知圆C：(x-2)2+y2=9.
(1)过点D(0，4)作圆C的两条切线，切点分别为A，B，求直线AB的方程；
(2)设直线l2：x+y-1=0与圆C相交于M，N两点，点P为圆C上的一动点，求△PMN的面积S的最大值.
17.(15分)已知圆C1：x2+y2=4.
(1)若x≤0，求的取值范围；
(2)若圆C1与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，P为第三象限内一点且在圆C1上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.
18.(17分)如图所示的几何体是一个半圆柱，点P是半圆弧上一动点(点P与点A，D不重合)，E为的中点，AB=AD=4.
(1)若∠ADP=，求异面直线DP与BE所成角的余弦值；
(2)若点P在平面ABCD的射影为点H，当点P运动到某个位置时，平面PBD与平面CDE的夹角为45°，求此时DH的长度.
19.(17分)已知圆C：x2-(1+a)x+y2-ay+a=0.
(1)若a=-1，点P在圆C上运动，连接P与定点B(6，0)，求PB的中点Q的轨迹方程.
(2)若a>1，圆C与x轴相交于M，N两点，且点M的横坐标小于点N的横坐标，过点M作一条直线与圆O：x2+y2=9相交于A，B两点，若∠ANM=∠BNM，求a的值.
(3)若a=0，把圆C图象上所有点的横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变，且半径扩大为原来的2倍，得到圆C'的图象，设直线y=-x+m与圆C'交于R，T两点，那么以RT为直径的圆能否经过原点 若能，请求出直线RT的方程；若不能，请说明理由.
【参考答案】
1.C　解析：由题意得kAB=-1，AB的中点坐标为(-2，4)，故线段AB的垂直平分线的方程为y=x+6，联立解得x=6，y=12，故圆心坐标为(6，12).
2.D　解析：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y-1=k(x+1)，圆心为(2，2)，半径为1，所以圆心到直线l的距离d=≤1，解得0≤k≤.
3.A　解析：圆(x-2)2+(y+4)2=4的圆心在直线ax-by-8=0上，因此a+2b=4，∴+=+(a+2b)=5++≥5+2=，
当且仅当=，即a=b=时取“=”.
4.D解析：以O为原点，AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系(图略).
设圆心坐标为(0，a)，则P(0，10)，A(-50，0).可设圆拱所在圆的方程为x2+(y-a)2=r2，由题意可得解得所以所求圆的方程为x2+(y+120)2=16 900.
将x=-10代入圆的方程，得100+(y+120)2=16 900，因为y>0，所以y=20-120≈9.6.
5.B　解析：由圆C：x2+(y-1)2=1，得圆心C(0，1)，半径r=1，设圆心C到直线l：2x-y-4=0的距离为d，故当圆心C到直线l上点的距离最小时，即为圆心C到直线的距离d，此时|PT|最小.因为d==，所以|PT|min==2.
6.A解析：以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图，
则P(4，0，2)，C(0，4，0)，D1(0，0，4)，B(4，4，0)，设M(4，a，b)(a，b∈[0，4])，则=(4，a，b-4)，=(4，-4，2).因为D1M⊥CP，所以·=16-4a+2b-8=0，得b=2a-4.令AB的中点为E，可知点M的轨迹为EB1，
故BM的最小值为=.
7.B解析：设圆x2+y2=1的圆心为O，O(0，0)，半径为1，圆x2+y2-8x+6x+9=0的圆心为C，C(4，-3)，半径为4，圆心距为|OC|=5，所以两圆外切.
如图，有三条切线l1，l2，l3，易得切线l1的方程为y=1.
因为l3⊥OC，且kOC=-，所以=，设l3：y=x+b，即4x-3y+3b=0，则O(0，0)到l3的距离为=1，解得b=(舍去)或b=-，所以l3：4x-3y-5=0，可知直线l1和l2关于直线OC：y=-x对称，联立解得x=-，y=1，点-，1在l2上，在l1上任取一点(0，1)，设其关于OC的对称点为(x0，y0)，则解得则==-，所以直线l2：y-1=-x+，即24x+7y+25=0.综上，切线方程为y=1或24x+7y+25=0或4x-3y-5=0.
8.D　解析：由两圆是包含关系，设P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|-1，同理可得|PN|的最小值为|PC2|-4，则|PM|+|PN|的最小值为|PC1|+|PC2|-5.作C1关于x轴的对称点C'1(2，-3)，连接C'1C2，与x轴交于点P，连接PC1，根据三角形两边之和大于第三边可知|PC1|+|PC2|的最小值为|C'1C2|，则|PM|+|PN|的最小值为2-5.
9.BC　解析：由x2+y2+2x-2y=0与x2+y2-2x-3=0作差可得4x-2y+3=0，即公共弦AB所在直线的方程为4x-2y+3=0，故A项错误，B项正确；圆心O2(1，0)到直线4x-2y+3=0的距离d==，所以|AB|=2=，故C项正确；点P为圆O2上一动点，则点P到直线AB距离的最大值为d+r=+2，故D项错误.
10.ACD　解析：在平面直角坐标系xOy中，A(-6，0)，B(-12，0)，点P满足=，设P(x，y)，则=，化简得(x+4)2+y2=16，所以A项正确；假设在x轴上存在异于A，B的两点D，E，使得=，设D(m，0)，E(n，0)，则=2，化简得3x2+3y2-(8m-2n)x+4m2-n2=0，由轨迹C的方程为x2+y2+8x=0，可得8m-2n=-24，4m2-n2=0，解得m=-6，n=-12(舍去)或m=-2，n=4，即在x轴上存在异于A，B的两点D，E，使得=，所以B项错误；
当A，B，P三点不共线时，==，可得射线PF是∠APB的平分线，所以C项正确；根据阿波罗尼斯圆的性质，可求得点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=16，与轨迹C有两个交点，所以D项正确.
11.AC　解析：由题意得lAB：+=1，即4x+3y-12=0，则圆心O到直线AB的距离d==，所以点P到直线AB距离的最大值为+2=，A项正确；
设点P(x，y)，则x2+y2=4，且=(x-3，y)，=(x，y-4)，由题意得·=(x-3，y)·(x，y-4)=x2+y2-3x-4y=0，整理得x-2+(y-2)2=，
两圆的圆心距为=，半径和与半径差分别为+2=，-2=，于是>>，即两圆相交，满足这样条件的点P有2个，B项不正确；
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则直线MB，NB的方程分别为x1x+y1y=4，x2x+y2y=4，因为点B在两条直线上，所以x1·0+y1·4=4，x2·0+y2·4=4，于是点M，N都满足直线方程x·0+y·4=4，即直线MN的方程为y=1，C项正确；问题即求2|PA|+|PB|的最小值，设存在定点C(0，t)，使得点P在圆O上任意移动时均有|PC|=|PB|，设P(x，y)，则有=，化简得3x2+3y2+8(1-t)y=16-4t2，因为x2+y2=4，则有2(1-t)y=1-t2，即(1-t)(2y-1-t)=0，所以t=1，C(0，1)，
所以2|PA|+|PB|=2(|PA|+|PC|)≥2|AC|=2，D项不正确.
12.-8　解析：由题意知=-2，所以m=-8.
13.0　解析：圆C：(x+2)2+(y+m-4)2=1表示圆心为C(-2，-m+4)，半径R=1的圆，
令A(-1，1)，得|AC|=，则当m=3时，|AC|的最小值为1，故当m变化时，圆C上的点与点A的最短距离是|AC|min-R=1-1=0.
14.6　解析：圆x2+y2-4x+2y-4=0可化简为(x-2)2+(y+1)2=9，则圆心为(2，-1)，r=3，易知过点E(1，0)的最长弦为直径，即|AC|=6，而最短弦为过E(1，0)与AC垂直的弦，圆心(2，-1)到E(1，0)的距离d==，所以弦|BD|=2=2，所以四边形ABCD的面积S=|AC|·|BD|=6.
15.解析：
(1)圆C的标准方程为(x-2)2+(y+4)2=25，故圆心为C(2，-4)，半径为5.又直线l：x+(m+1)y+2m=0过定点A(2，-2)，所以|AC|=2，故|MN|min=2=2，|MN|max=10，且直线l的斜率不为0，故|MN|的范围为(2，10].
(2)由题意知|MN|=4，则d==1，即d==1，解得m=-1或m=--1，
故直线l的方程为x+y+-2=0或x-y--2=0.
16.解析：
(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则切线AD的方程为(x-2)(x1-2)+yy1=9，切线BD的方程为(x-2)(x2-2)+yy2=9.又因为这两条切线都过D点，所以
故A，B两点所在直线的方程为-2(x-2)+4y=9，即直线AB的方程为2x-4y+5=0.
(2)由题意得圆心C到直线l2的距离d==，设圆C的半径为r，所以r=3，所以|MN|=2×=，点P到直线l2距离的最大值为r+d=，
则△PMN的面积的最大值Smax=×|MN|×(r+d)=××=.
17.解析：
(1)由x2+y2=4(x≤0)，知此方程表示的是圆心在原点，半径为2的半圆，故的几何意义是点(x，y)与点P(1，0)连线的斜率.以圆心C1为原点建立平面直角坐标系(图略)，则A(0，2)，B(0，-2)，故kPA==-2，kPB==2，所以的取值范围为[-2，2].
(2)由题意得，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(0，2)，设P点的坐标为(x0，y0)(x0<0，y0<0)，
则直线PA的方程为y=(x-2)，直线PB的方程为y=x+2，
所以点M的坐标为0，，点N的坐标为，0，
则四边形ABNM的面积S=×|AN|×|BM|=×2-×2-
=××=×.由点P在圆上，可得+=4，代入上式，所以四边形ABNM的面积S===4，
即四边形ABNM的面积为定值4.
18.解析：(1)依题意可知，以线段AD的中点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
由DP=2，E(0，0，2)，D(-2，0，0)，B(2，4，0)，P(-1，0，)，得=(1，0，)，
=(-2，-4，2)，故cos<，>==，故异面直线DP与BE的夹角的余弦值为.
(2)由题意知C(-2，4，0)，设∠AOP=θ，则P(2cos θ，0，2sin θ)，所以=(2，0，2)，=(0，4，0)，设平面CDE的法向量为m=(x1，y1，z1)，所以则令x1=1，z1=-1，则m=(1，0，-1).
设平面PBD的法向量为n=(x2，y2，z2)，=(2cos θ+2，0，2sin θ)，=(4，4，0)，
所以则
令x2=1，则y2=-1，z2=，所以n=1，-1，.
因为平面PBD与平面CDE所成的夹角为45°，所以cos 45°===，
令t=，则=1+t，平方得t=，即sin θ=2cos θ+2，
又由sin2θ+cos2θ=1，可解得cos θ=-或cos θ=-1(舍去)，所以P-，0，.
又点P在平面ABCD的射影为点H-，0，0，所以DH的长度为.
19.解析：(1)设P(x0，y0)，Q(x，y)，则由中点坐标公式可得代入x2+y2+y-1=0，得(2x-6)2+(2y)2+2y-1=0，即PB的中点Q的轨迹方程为(x-3)2+y+2=.
(2)令y=0，得x2-(1+a)x+a=0，解得x=1或x=a，而a>1，即M(1，0)，N(a，0).
如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k(x-1)，
由得(1+k2)x2-2k2x+k2-9=0，所以x1+x2=，x1x2=，
又∠ANM=∠BNM，即NA，NB的斜率互为相反数，所以+=0，即(x1-1)(x2-a)+(x2-1)(x1-a)=0，整理得2x1x2-(a+1)(x1+x2)+2a=0，
所以-+2a=0，即2a-18=0，解得a=9.
当直线AB与x轴垂直时，仍然满足∠ANM=∠BNM，即NA，NB的斜率互为相反数.
综上所述，a=9.
(3)平移变形后可得到圆C'的方程为(x-2)2+y2=10，
设R(x1，y1)，T(x2，y2)是直线y=-x+m与圆C'的交点，将y=-x+m代入圆C'的方程，得2x2-(4+2m)x+m2-6=0，即Δ=-4(m2-4m-16)>0，所以2-2且x1+x2=m+2，x1x2=，所以RT的中点为H，.
假设以RT为直径的圆能过原点，则|OH|=|RT|.又圆心C'(2，0)到直线RT的距离d=，所以|RT|=2=2，所以m2-2m-6=0，解得m=1±，
经检验，当m=1±时，直线RT与圆C'相交，所以直线RT的方程为y=-x+1+或y=-x+1-.

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