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椭圆
(120分钟 150分)
【命题视点】
单元大任务 学会利用椭圆的定义及基本性质求椭圆的标准方程及离心率
滚动考查点 直线与圆的位置关系
命题情境点 生活实践情境：5题 探索创新情境：6、19题 课程学习情境：1、4题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若椭圆+=1的离心率为，则实数k的值为
A.-
B.-或10
C.10
D.8
2.已知椭圆36x2+25y2=1的上顶点、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，则tan∠ABO=
A.
B.
C.
D.
3.已知椭圆C：+=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，若∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为
A.4
B.6
C.8
D.3
4.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为e1，若椭圆C的长轴、短轴长同时增加4m(m>0)，得到离心率为e2的椭圆C'，则
A.e1B.e1=e2
C.e1>e2
D.无法比较e1与e2的大小
5.《九章算术》是我国古代一部内容极为丰富的数学名著，其中第九章“勾股”将直角三角形的两直角边与斜边分别称为“勾”“股”“弦”.如图所示的是一直角△ABC，以AB所在的直线为x轴，边AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，若以A，B为焦点，且过点C的椭圆方程为+=1(b>0)，则直角△ABC的“勾”“股”之积的最大值为
A.32
B.8
C.16
D.64
6.已知椭圆C：+=1上存在关于直线l：y=x+m对称的两点，则实数m的取值范围是
A.-，
B.-，
C.-，
D.-，
7.已知椭圆C：+=1(a>b>0)，M是椭圆C上一动点，若P是圆x2+(y-b)2=b2上一动点，且|MP|≤3b，则椭圆C的离心率的取值范围为
A.0，
B.，1
C.0，
D.，
8.已知P为椭圆C：+=1上的一点，F为椭圆C的右焦点，且PF⊥x轴，过点P的两条动直线交椭圆C于A，B两点，记∠FBA=α，∠FAB=β，若直线AB的斜率为，则sin α-sin β的最大值为
A.
B.
C.
D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.若椭圆+=1(a>b>0)的四个顶点中有两个顶点之间的距离为8，则下列结论可能成立的是
A.a=6，b=4
B.a=4，b=2
C.a=3，b=6
D.a=2，b=2
10.已知动点M到定点F(2，0)的距离和它到直线l：x=6的距离的比是常数，若M点的轨迹称为曲线C，且C的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上任意一点，A(1，1)是一个定点，则下列结论正确的是
A.曲线C的离心率为
B.△PF1F2的周长为4(+)
C.·>0
D.|PA|+|PF1|的最大值为4+
11.设A，B两点的坐标分别为(-，0)，(，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是-，若P(0，1)，在M的轨迹上任取一点Q(异于点P)，则下列结论正确的是
A.点M的轨迹方程为+y2=1(x≠±)
B.线段PQ长的最小值为
C.点M的轨迹方程为+y2=1(x≠±2)
D.线段PQ长的最大值为
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知椭圆C：+y2=1，直线l：y=k(x+1)(k>0)与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1+x2=-1，则k=　　　　.
13.在某城市中，F地位于E地的正南方向，相距2 km，Q地位于E地的正东方向，相距2 km.现有一条沿湖小径RS(曲线)，其上任意一点到E和F的距离之和为4 km，计划在该小径上选择一个合适的点P建造一个观景台，经测算，从P到F，Q两地修建观景步道的费用都是10万元/km，则修建两条观景步道的总费用最低约为　　　　万元.(结果保留整数)
14.已知椭圆+=1(a>)的左、右焦点分别为F1，F2，若过点F1且斜率为的直线与椭圆在第一象限交于点P，且·=0，则a=　　　　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)(1)已知椭圆C：+=1(b>0)的右焦点为F，点A，B在C上，且=，|AB|=3，求椭圆C的标准方程；
(2)已知椭圆+=1的上、下焦点分别是F1，F2，点M在椭圆上，且·=0，求点M到x轴的距离.
16.(15分)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率是，且椭圆C的一个顶点为(2，0).
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C上有一动点P(x，y)，使得·<0，求x的取值范围.
17.(15分)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左焦点为F1(-，0)，且点(，1)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的短半轴长；
(2)若A-，0，直线l：x=ty+(t>0)交椭圆C于E，F两点，且△AEF的面积为，求t的值.
18.(17分)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若椭圆C的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F2的直线l交椭圆C于点M，N(异于A，B)，记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，证明：为定值.
19.(17分)定义：由椭圆的一个焦点、长轴的一个顶点(焦点与顶点在同一边)和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的“焦顶三角形”相似，那么就称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比.下列问题中，椭圆C1对应图1，椭圆C2对应图2.
(1)判断椭圆C1：+=1与椭圆C2：+=1是否是“相似椭圆”.若是，求出相似比；若不是，请说明理由.
(2)证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等.
(3)已知椭圆C1：+=1(a>b>0)，椭圆C2：+=1(a'>b'>0)的离心率为e'，C1与C2是“相似椭圆”，且C1与C2的相似比为k∶1，若△AF2B的面积为S，求△A'F1'F2' 的面积.(用e'，k，S表示)
【参考答案】
1.B　解析：当椭圆的焦点在x轴上时，a=，c==，所以离心率e===，解得k=10；当椭圆的焦点在y轴上时，a=3，c==，所以离心率e====，解得k=-.
综上所述，实数k的值为-或10.
2.A　解析：36x2+25y2=1可化为+=1，则A0，，B，0，易知△ABO为直角三角形，所以tan∠ABO===.
3.D　解析：由题意可知a=4，b=3，则c==.由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=8，|F1F2|=2c=2.又因为∠F1PF2=60°，所以由勾股定理可得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°=|F1F2|2，即(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=28，解得|PF1|·|PF2|=12，则△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|sin 60°=3.
4.C　解析：由题意知e1====，则e2=.
因为a>b>0，m>0，所以<，所以e1>e2.
5.D　解析：设|AC|=x，|BC|=y，根据椭圆的定义得x+y=2a=2×=16，所以xy≤2=64，当且仅当x=y=8时取等号，所以直角△ABC的“勾”“股”之积的最大值为64.
6.C　解析：由题意可知，直线l：y=x+m的斜率k=1，设椭圆C上关于直线l对称的两点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为E(x0，y0)，O为坐标原点，可得且kAB==-1，kOE==.因为点A，B在椭圆C上，所以两式相减得+=0，整理可得·=-，即kAB·kOE=-，则kOE=，所以OE：y=x.联立解得即E(-4m，-3m).因为点E在椭圆C内，所以4m2+3m2<1，解得-7.A解析：如图，圆心为A(0，b)，半径为b.
由P是圆x2+(y-b)2=b2上一动点，且|MP|≤3b，可得|MA|≤2b.设M(x0，y0)，则+=1，所以|MA|2=+(y0-b)2=a21-+(y0-b)2=-y0+2++a2+b2，-b≤y0≤b.当-≤-b，即b2≥c2时，(|MA|2)max=4b2，即|MA|max=2b，符合题意，由b2≥c2，可得a2≥2c2，即0-b，即b28.B解析：不妨设∠AFB=γ，△ABF的外接圆半径为R，
因为∠FBA=α，∠FAB=β，所以在△ABF中，由正弦定理可得===2R，所以|AF|=2Rsin α，|BF|=2Rsin β，|AB|=2Rsin γ.如图，过点A，B分别作直线x=2的垂线，垂足分别为D，E，过点B作BG⊥AD于点G，则=，=，所以|AF|-|BF|=(|AD|-|BE|)，即2Rsin α-2Rsin β=|AG|，所以|AG|=2R(sin α-sin β).又由kAB=，得tan∠BAG=，则在Rt△BAG中，cos∠BAG==，即=，所以sin α-sin β=sin γ≤，当且仅当γ=，即FA⊥FB时，等号成立，所以sin α-sin β的最大值为.
9.ABD　解析：根据题意，a>b，若左、右顶点的距离为8，则a=4，若上、下顶点的距离为8，则b=4，若上顶点与右顶点的距离为8，则a2+b2=64，结合选项代入可知A，B，D正确，C错误.
10.ACD　解析：设M(x，y)，则=，即9(x-2)2+9y2=108-36x+3x2，化简得+=1，所以曲线C为椭圆，且椭圆C：+=1的长半轴长a=2，短半轴长b=2，半焦距c==2.对于A，椭圆C的离心率e==，故A正确；对于B，△PF1F2的周长为2a+2c=4(+1)，故B不正确；对于C，设P(x0，y0)，因为F1(-2，0)，F2(2，0)，且=8-，所以=(-2-x0，-y0)，=(2-x0，-y0)，因此·=-4+=+4>0，故C正确；对于D，|PA|+|PF1|=|PA|+2a-|PF2|≤2a+|AF2|=4+，当且仅当F2在A，P之间且它们三点共线时，等号成立，故D正确.
11.AD　解析：设点M(x，y)，因为A(-，0)，所以直线AM的斜率kAM=(x≠-)，同理可得直线BM的斜率kBM=(x≠).由题意可得×=-(x≠±)，化简可得+y2=1(x≠±)，即点M的轨迹是除去(-，0)，(，0)两点的椭圆+y2=1.设Q(x0，y0)，则+=1，所以|PQ|2=+(y0-1)2=5-5+(y0-1)2，即|PQ|2=-4-2y0+6=-4y0+2+，根据椭圆的方程可得-112.　解析：由题意可得两式相减，得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0，即(x1+x2)(x1-x2)=-(y1+y2)(y1-y2).又x1+x2=-1，所以线段AB的中点的纵坐标为k+1=k-+1=，所以y1+y2=2×=k，所以-(x1-x2)=-k(y1-y2)，所以==.又因为k=，所以k=，所以k2=.又因为k>0，所以k=.
13.50解析：以EF所在直线为y轴，线段EF的垂直平分线为x轴，
建立如图所示的平面直角坐标系.设P为沿湖小径RS上的任意一点，则|PE|+|PF|=4，根据椭圆的定义可知，点P的轨迹为椭圆，所以2a=4，a=2，2c=2，c=，则b==3，故点P的轨迹方程为+=1.由题意可知，修建两条观景步道的总费用为10|PF|+10|PQ|=10(|PQ|+2a-|PE|)，由图可知，当E，Q，P三点共线且Q在E，P之间，即P运动到P0处时，总费用最低，最低为10(4-|EQ|)≈49.28(万元)，故总费用最低约为50万元.
14.3　解析：由·=0，可知⊥，又直线PF1的斜率为，则tan∠PF1F2=，∴cos∠PF1F2=，又椭圆方程为+=1(a>)，∴|F2F1|=2.
∴解得又|PF2|+|PF1|=2a，∴3=2a，∴a2=9，且a>，即a=3.
15.解析：
(1)由=可知AB⊥x轴，所以|AB|=2b=b2=3，所以椭圆C的标准方程为+=1.
(2)由椭圆方程得F1(0，-2)，F2(0，2)，设M(x，y)，则=(x，y+2)，=(x，y-2).由·=0，可得x2+y2-4=0　①，又点M在椭圆上，可得+=1　②.联立①②，消去x2得y2=3，即|y|=，故点M到x轴的距离是.
16.解析：(1)因为椭圆C的一个顶点为(2，0)，离心率是，所以解得
又因为b==1，所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)由(1)可得F1(-，0)，F2(，0)，所以=(x+，y)，=(x-，y)，所以·=x2-3+y2<0，所以有x2+y2<3　①.因为点P(x，y)在椭圆C上，所以+y2=1，即y2=1-，将其代入①中，有x2+1-<3，整理可得x2<，解得-17.解析：(1)由题意知c=，则c2=2=a2-b2　①，又因为点(，1)在椭圆C：+=1(a>b>0)上，所以+=1　②.联立①②式，可得解得所以b=，即椭圆C的短半轴长为.
(2)由(1)可知椭圆C的标准方程为+=1，设E(x1，y1)，F(x2，y2)，联立整理得(t2+2)y2+3ty-=0，Δ>0，则y1+y2=-，y1y2=-，故|y1-y2|===.设直线l与x轴的交点为D，则点D的坐标为，0，又A-，0，则|AD|=--=4，故S△AEF=|AD|·|y1-y2|=2×=，结合t>0，解得t=.
18.解析：(1)设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0)，由已知得解得所以椭圆C的标准方程为+=1.
(2)证明：依题意可知直线l与x轴不重合，设l的方程为x=my+2.联立消去x得(3m2+4)y2+12my-36=0，Δ=(12m)2+4(3m2+4)×36>0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由韦达定理得y1+y2=，y1y2=.因为A(-4，0)，B(4，0)，所以====，又==，即my1y2=3(y1+y2)，所以====，为定值.
19.解析：(1)椭圆C1和C2是“相似椭圆”，相似比为.理由如下：
在椭圆C1：+=1中，|BF2|=2-1=1，|AF2|=2，|AB|==，
在椭圆C2：+=1中，|B'F2'|=4-2=2，|A'F2'|=4，|A'B'|==2，因为===，所以这两个椭圆的“焦顶三角形”相似，则这两个椭圆是“相似椭圆”，且相似比为.
(2)证明：若两个椭圆是“相似椭圆”，则其“焦顶三角形”的三个对应角相等，若∠ABO=∠A'B'O'，则tan∠ABO==，tan∠A'B'O'==，所以=.又因为e====，e'====，所以e=e'，故必要性成立.若离心率相等，则=，所以=，则tan∠ABO==，tan∠A'B'O'===，则∠ABO=∠A'B'O'，同理可得tan∠AF2O==，tan∠A'F2'O'===，则∠AF2O=∠A'F2'O'，所以∠AF2B=∠A'F2'B'，所以两个椭圆的“焦顶三角形”相似，所以两个椭圆是“相似椭圆”，故充分性成立.故两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等.
(3)设椭圆C1的半焦距为c，因为椭圆C2的离心率为e'，椭圆C2与椭圆C1是“相似椭圆”，所以椭圆C1的离心率也为e'.因为△AF2B的面积为S，且=·2c·b=bc，S=ab-ac=(a-c)b，所以△AF2F1的面积与△AF2B的面积之比为2c∶(a-c)，所以△AF2F1的面积为.因为椭圆C1与椭圆C2的相似比为k∶1，所以△AF2F1的面积与△AF2'F1'的面积之比为k2∶1，所以△AF2'F1'的面积为==.

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