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双曲线
(120分钟 150分)
【命题视点】
单元大任务 学会利用双曲线的定义及基本性质求双曲线的标准方程及离心率
滚动考查点 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、椭圆
命题情境点 生活实践情境：5题 探索创新情境：8、19题 课程学习情境：1、4题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.方程x2-2x+1=0的两个根可分别作为
A.椭圆和双曲线的离心率
B.两双曲线的离心率
C.两椭圆的离心率
D.以上都不对
2.若直线y=5x与双曲线-=1(a>0，b>0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为
A.(，+∞)
B.(1，)
C.[，+∞)
D.(5，+∞)
3.已知离心率为的双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上的一点，若|PF2|=4a，则=
A.8a2
B.24a2
C.6a2
D.12a2
4.已知F1，F2分别为双曲线C：-=1(a>0)的左、右焦点，点A是双曲线上任意一点，若点A关于F1的对称点为点B，点B关于F2的对称点为点D，线段AD的长度是8，则双曲线的离心率是
A.
B.2
C.2
D.4
5.代数与几何是数学的两个重要分支，它们之间存在着紧密的联系.将代数问题转化为几何问题，可以利用几何直观来理解和解决代数问题.例如，与相关的代数问题，可以转化为点A(x，y)与点B(a，b)之间的距离的几何问题.结合上述观点，满足方程-=2的x的值是
A.5
B.-2
C.-5
D.2
6.已知椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点F1，F2，P是椭圆C1与双曲线C2的一个公共点，且∠F1PF2=，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，则+=
A.3
B.4
C.2
D.1
7.过双曲线C：-=1的左焦点F引圆x2+y2=36的一条切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|-|MT|=
A.1
B.4
C.3
D.2
8.已知D为双曲线C：-y2=1右支上一点，过点D分别作双曲线C的两条渐近线的平行线，与另外一条渐近线分别交于点A，B，则|DA|·|DB|=
A.2
B.
C.
D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知a>0，b>0，则双曲线C1：-=1与C2：-=12有相同的
A.焦点
B.焦距
C.离心率
D.渐近线
10.已知F1，F2分别是双曲线C：x2-=1的左、右焦点，若P是双曲线左支上一动点，Q是圆A：(x-2)2+(y-3)2=1上的动点，则下列结论正确的是
A.若|PF1|=6，则|PF2|=4或8
B.△AF1F2的周长为12
C.若|QF1|+|QF2|=8，则点Q的位置是唯一的
D.|PF2|+|PQ|的最小值是6
11.已知曲线C：9x|x|=y|y|-9，点F1(0，)，F2(0，-)，则下列结论正确的是
A.曲线C关于原点对称
B.曲线C上存在点P，使得|PF2|-|PF1|=6
C.直线y=3x与曲线C没有交点
D.点Q是曲线C上在第三象限内的一点，过点Q向直线y=±3x作垂线，垂足分别为A，B，则|QA|·|QB|为定值
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.设集合A={m||m-2|<3}，B=m+=1是双曲线，则A∩B=　　　　.
13.已知双曲线-=1的两个焦点分别是F1，F2，点A，B在双曲线上，且线段AB经过焦点F1，|AB|=10，则△ABF2的周长为　　　　.
14.已知F1，F2分别为双曲线C：-=1(a>0)的左、右焦点，过F2(2+2，0)作直线l与双曲线C的右支交于A，B两点.设O1，O2分别为△AF1F2，△BF1F2的内心，O为坐标原点，则|O1O2|的取值范围是　　　　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的离心率为，且经过点3，.
(1)求双曲线C的焦点坐标；
(2)若双曲线的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上任意一点，求·的最小值.
16.(15分)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且焦距为4，动直线l：x=my+2交C于A，B两点，当l垂直于x轴时，|AB|=6.
(1)求双曲线C的离心率；
(2)若=2，求实数m的值.
17.(15分)已知F1，F2分别为双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点，若D为双曲线C上一点，且DF2⊥F1F2，|DF2|=6，|F1F2|=8.
(1)求双曲线C的渐近线方程；
(2)若过F2的直线与双曲线C的左、右支分别交于点A，B，与圆O：x2+y2=a2交于与A，B不重合的M，N两点，求直线AB斜率的取值范围.
18.(17分)已知动点P(x，y)到定点F(5，0)的距离和它到定直线l：x=的距离的比值是，记动点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程.
(2)设A1(-4，0)，A2(4，0)，过点R(6，0)的直线l与曲线C的右支交于M，N两点.若直线A1M与A2N交于点P，证明：点P在定直线上.
19.(17分)已知y=x是双曲线C1：-=1(a>0，b>0)的一条渐近线，A，B分别为双曲线C1的左、右顶点，且右焦点F到该渐近线的距离为.设点P在第一象限且在双曲线上，O为坐标原点.
(1)求双曲线的两条渐近线夹角的余弦值.
(2)若·≤9，求||的取值范围.
(3)若椭圆C2的长轴长为2，且短轴的端点恰好是A，B两点，直线AP与椭圆的另一个交点为Q.记△POA，△QAB的面积分别为S1，S2，求-的最小值，并写出取最小值时点P的坐标.
【参考答案】
1.A　解析：由方程x2-2x+1=0，解得x==±2，又椭圆的离心率的取值范围为(0，1)，双曲线的离心率的取值范围为(1，+∞)，故方程的两个根可以分别作为双曲线和椭圆的离心率.
2.A　解析：由题意得，直线y=5x的斜率要小于双曲线的渐近线y=x的斜率，所以>5 b2>25a2 c2-a2>25a2 >26 e=>，所以双曲线的离心率的取值范围为(，+∞).
3.D　解析：由题意可知e==，所以|F1F2|=2c=2a.由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a，则|PF1|=6a，因为|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，所以△PF1F2为直角三角形，所以=|PF1|·|PF2|=12a2.
4.B　解析：由题意可知，F1，F2分别为AB，BD的中点，则|F1F2|=|AD|=4，则半焦距c=2.由双曲线的方程可知b2=3，则a==1，所以双曲线的离心率e==2.
5.C　解析：由-=2，得-=2，其几何意义为平面内一点(x，3)到两定点(4，0)，(-4，0)的距离之差为2.又2<8，由双曲线的定义可得点(x，3)在双曲线-y2=1的左支上，所以-32=1，解得x=-5或x=5(舍去).
6.B　解析：设|PF1|=m>|PF2|=n，|F1F2|=2c，由余弦定理得m2+n2-2mncos=4c2，即m2+n2-mn=4c2.在椭圆C1中，m+n等于椭圆的长轴长，因此e1=，在双曲线C2中，m-n等于双曲线的实轴长，因此e2=，则+=+==4.
7.B　解析：由双曲线C：-=1，可得a2=36，b2=100，则a=6，b=10，且c==2.设F'是双曲线C的右焦点，连接PF'，因为M，O分别为FP，FF'的中点，所以|MO|=|PF'|，在Rt△OFT中，可得|FT|==10.又由双曲线的定义，可得|PF|-|PF'|=2a=12，所以|MO|-|MT|=|PF'|-|MF|+|FT|=(|PF'|-|PF|)+|FT|=-6+10=4.
8.B　解析：设坐标原点为O，D(x0，y0)，易知双曲线C的渐近线的方程为y=±x，联立解得不妨取Ax0-y0，-x0+y0，同理可得Bx0+y0，x0+y0，则|OA|==|x0-3y0|，|OB|=|x0+3y0|.因为四边形OADB是平行四边形，于是|DA|·|DB|=|OB|·|OA|=|x0+3y0|·|x0-3y0|=|-9|，由于点D在C上，所以-=1，则-9=9，因此|DA|·|DB|=.
9.CD　解析：对于选项A，B，设c=，易知双曲线C1的左、右焦点的坐标分别为(-c，0)和(c，0)，而双曲线C2的标准方程为-=1，故其左、右焦点的坐标分别为(-2c，0)和(2c，0)，显然双曲线C1和C2的焦点和焦距均不相同，故A，B错误.对于选项C，D，双曲线C1和C2的离心率均为，渐近线的方程均为y=±x，故C，D正确.
10.BD　解析：由题意可得在双曲线C：x2-=1中，a=1，b=，c=2，则F1(-2，0)，F2(2，0)，当P在双曲线C的左支时，|PF2|-|PF1|=2a=2，因为|PF1|=6，所以|PF2|=8，故A项不正确；圆A的圆心为A(2，3)，半径r=1，|F1F2|=2c=4，|AF1|==5，|AF2|==3，所以△AF1F2的周长为12，故B项正确；若|QF1|+|QF2|=8，则点Q的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，且2a=8 a=4，又c=2，则b2=12，所以点Q的轨迹方程为+=1，将圆心A(2，3)代入椭圆方程中，可得+=1，所以圆心A在椭圆上，又点Q是圆A上的动点，所以圆A与椭圆有两个交点，所以点Q的位置不唯一，故C项不正确；由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=2a=2，所以|PF2|=|PF1|+2，所以|PF2|+|PQ|=|PF1|+|PQ|+2，因为|PF1|+|PQ|≥|QF1|，所以当P，Q，F1三点共线时，|PF1|+|PQ|取得最小值|QF1|，又因为|QF1|的最小值为|AF1|-r=4，所以|PF2|+|PQ|的最小值是4+2=6，故D项正确.
11.BCD解析：当x≥0，y>0时，曲线C的方程为9x2=y2-9，即-x2=1；
当x≥0，y<0时，曲线C的方程为9x2=-y2-9，即+x2=-1，不存在；
当x<0，y≥0时，曲线C的方程为-9x2=y2-9，即+x2=1；
当x<0，y≤0时，曲线C的方程为-9x2=-y2-9，即x2-=1.
曲线C的大致图象如图所示，由图可得A项错误；
方程-x2=1表示以F1，F2为上、下焦点的双曲线，所以当x≥0，y>0时，曲线C上存在点P，使得|PF2|-|PF1|=6，故B项正确；
一、三象限内曲线C的渐近线方程为y=3x，所以直线y=3x与曲线C没有交点，故C项正确；
设Q(x0，y0)，点A在直线y=3x上，点B在直线y=-3x上，则由点到直线的距离公式可得|QA|=，|QB|=，所以|QA|·|QB|=×=，
又点Q是曲线C上在第三象限内的一点，所以-=1，即9-=9，则|QA|·|QB|==，为定值，故D项正确.
12.{m|-113.20+4　解析：由双曲线的定义可得|BF2|-|BF1|=2　①，|AF2|-|AF1|=2　②，两式相加得|BF2|-|BF1|+|AF2|-|AF1|=4，即|BF2|+|AF2|-|AB|=|BF2|+|AF2|-10=4，所以|BF2|+|AF2|=10+4，故△ABF2的周长为|BF2|+|AF2|+|AB|=20+4.
14.[2，4)　解析：记△AF1F2的内切圆与线段AF1，AF2，F1F2的切点分别为M，N，E，则点O1，E的横坐标相等，且|AM|=|AN|，|F1M|=|F1E|，|F2N|=|F2E|，由|AF1|-|AF2|=2a，即|AM|+|MF1|-(|AN|+|NF2|)=2a，得|MF1|-|NF2|=2a，即|F1E|-|F2E|=2a.记F2(c，0)，O1的横坐标为x0，则E(x0，0)，于是x0+c-(c-x0)=2a，得x0=a，同理可得内心O2的横坐标也为a，则有O1O2⊥x轴.设直线AB的倾斜角为θ，则∠OF2O2=，∠OF2O1=90°-，在△O1F2O2中，|O1O2|=(c-a)tan+tan90°-=(c-a)==.由于直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，且双曲线C的两条渐近线的斜率为±1，倾斜角分别为45°和135°，所以45°<θ<135°，则15.解析：(1)由题意可得解得a2=4，b2=5，则c==3，故双曲线C的左、右焦点的坐标分别为(-3，0)，(3，0).
(2)由(1)可知双曲线C的方程为-=1，则左顶点A1的坐标为(-2，0)，右焦点F2的坐标为(3，0)，可设双曲线右支上任意一点P(m，n)，且m≥2，则=(-2-m，-n)，=(3-m，-n)，所以·=(-2-m，-n)·(3-m，-n)=m2-m-6+n2.又因为P(m，n)满足双曲线方程，所以-=1，则·=m2-m-6+n2=m2-m-6+-5=-m-11，所以当m=2时，y=-m-11有最小值-4，所以·的最小值是-4.
16.解析：(1)设c2=a2+b2，由焦距为4，得c=2，所以F1(-2，0)，F2(2，0).因为动直线l：x=my+2过点F2，且当l垂直于x轴时，|AB|=6，所以可得A(2，3)，B(2，-3).把A(2，3)代入双曲线C的方程中，得-=1　①，又a2+b2=4　②，联立①②，解得a2=1，b2=3，所以双曲线C的离心率e==2.
(2)由(1)可知双曲线C的方程为x2-=1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由=2，得y1=-2y2，点A，B都在双曲线的右支上，由消去x，可得(3m2-1)y2+12my+9=0，易知3m2-1≠0，Δ=36m2+36>0恒成立，y1+y2=，y1y2=，代入y1=-2y2，消元得y2=，=，所以2=，解得m=±，满足Δ>0，所以实数m的值为±.
17.解析：(1)由F1，F2分别为双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点，设F1(-c，0)，F2(c，0)，
由DF2⊥F1F2，|DF2|=6，|F1F2|=8，得|DF1|==10，则|DF1|-|DF2|=2a，即2a=10-6=4，得a=2.又|F1F2|=2c=8，则c=4，所以b2=c2-a2=16-4=12，
则双曲线的标准方程为-=1，其渐近线方程为y=±x.
(2)由(1)知F2(4，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可得直线AB的斜率存在且不为零.设直线AB的方程为x=my+4(m≠0)，与-=1联立，消去x得(3m2-1)y2+24my+36=0，所以3m2-1≠0，Δ=144(m2+1)>0，y1+y2=-，y1y2=.又A，B两点在y轴的同一侧，所以y1y2>0，则3m2-1>0，即m2>.又圆O的方程为x2+y2=4，点O到直线AB的距离d=，由d<2得m2>3，由得m2>3，所以m>或m<-.因为直线AB的斜率k=，所以直线AB斜率的取值范围是-，0∪0，.
18.解析：(1)由题意得=，化简得-=1，∴曲线C的方程为-=1.
(2)证明：设直线MN的方程为x=my+6，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程消去x得(9m2-16)y2+108my+180=0，∴9m2-16≠0，Δ=1082m2-720(9m2-16)>0，∴m≠±，y1+y2=，y1y2=.∵M(x1，y1)是双曲线C上的点，∴-=1，∴=，即=，∴=.又直线A1M的方程为y=(x+4)，直线A2N的方程为y=(x-4)，联立方程得(x+4)=(x-4)，∴==·=·=·==-5，解得x=，故点P在定直线x=上.
19.解析：(1)由已知可得双曲线的两条渐近线方程为x±y=0，则它们的方向向量分别为n1=(1，)，n2=(1，-).设两条渐近线的夹角为θ，则cos θ=|cos|===，
所以双曲线的两条渐近线的夹角的余弦值为.
(2)因为y=x是双曲线的一条渐近线，所以=，又右焦点F到该渐近线的距离为，所以=，则c=，则a2+b2=3，所以b=，a=1，设P(x1，y1)，x1>1，y1>0，易得A(-1，0)，B(1，0)，则=(-1-x1，-y1)，=(1-x1，-y1)，则·=-1+≤9，即+≤10.又点P在双曲线上，有-=1，即=2(-1)，从而+2(-1)≤10，解得≤4，而点P是双曲线在第一象限的点，则∈(1，4]，
||2=+=+2(-1)=3-2∈(1，10]，所以||∈(1，].
(3)在椭圆C2中，a=，b=1，其焦点在y轴上，标准方程为+x2=1.设Q(x2，y2)，x2>0，y2>0，直线AP的斜率为k(k>0)，则直线AP的方程为y=k(x+1)，由得(2+k2)x2+2k2x+k2-2=0，该方程的两根分别为-1和x2=，由得(2-k2)x2-2k2x-k2-2=0，该方程的两根分别为-1和x1=，于是x1·x2=1.S1=S△POA=×1×y1=，S2=S△QAB=×2×y2=y2，则-=-=×2(-1)-2(1-)=+2-=+-≥2-=-，当且仅当=，即x1=时取等号，所以-的最小值为-，此时点P的坐标为(，).

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